ЗНО онлайн 2016 року з математики – основна сесія

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення розв'язку нерівності з однією змінною.

ОДЗ: \(x-3\ne 0.\)

Розв'яжемо нерівність:

\begin{gather*} \frac{5}{x-3}\ge 1,\\[6pt] \frac{5}{x-3}-1\ge 0,\\[6pt] \frac{5-(x-3)}{x-3}\ge 0,\\[6pt] \frac{-x+8}{x-3}\ge 0. \end{gather*}

Розв'яжемо методом інтервалів:

З наведених чисел, лише \(4\) належить даному проміжку.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Перетворення виразів із степенями.

Це завдання перевіряє вміння зводити одночлен до стандартного вигляду. Для цього треба знайти добуток коефіцієнтів: $$ 0\mathord{,}4\cdot 5=2 $$ та добуток степенів з однаковою основою, використовуючи формулу

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}\mathord{:}\\[7pt] x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5. \end{gather*}

Тоді $$ 0\mathord{,}4x^2\cdot 5x^3=2x^5. $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Друге рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є показниковим. Розв'яжемо це рівняння. Для цього запишемо число \(16\) у вигляді степеня з основою \(4\): $$ 16=4^2, $$ тоді $$ 16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}. $$ Отже, рівняння набуває вигляду $$ 4^x=4^{-2}. $$ Оскільки степені з однаковими основами рівні, коли рівні показники їх степенів, то отримуємо \(x=-2.\) Підставимо отримане значення \(x=-2\) в перше рівняння системи:

\begin{gather*} -2+y=5,\\[7pt] y=7. \end{gather*}

Отже, пара чисел \((-2; 7)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Тоді

$$ x_0\cdot y_0=-2\cdot 7=-14. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків основних елементарних функцій.

Пряма є графіком лінійної функції, тобто функції, заданої рівнянням $$ y=kx+b, $$ де \(k\), \(b\) – числа. Серед наведених функцій лінійною є лише функція \(y=2x.\)

Цю функцію отримаємо, якщо в рівняння $$ y=kx+b $$ підставимо значення \(k=2\) i \(b=0.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Нерівність трикутника.

Це завдання перевіряє вміння визначати можливе значення невідомої сторони трикутника.

Використаємо нерівність трикутника: будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю. Оскільки сторони трикутника \(AB\) і \(BC\) дорівнюють відповідно \(3\) см і \(10\) см, то довжина сторони \(AC\) повинна бути більшою за $$ 10-3=7\ \text{см} $$ та меншою за $$ 10+3=13\ \text{см}. $$

Цю умову задовольняє лише варіант Г – \(11\) см.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Щоб спростити вираз, зведемо дроби до спільного знаменника. На практиці дроби з різними знаменниками зводять до найпростішого (найменшого) спільного знаменника. Найпростішим спільним знаменником дробів є вираз \(ab(a-b)\), який ділиться і на \(b(a-b)\), і на \(a(a-b).\) Зазначимо, що, наприклад, вираз

\begin{gather*} a(a-b)\cdot b(a-b)=ab(a-b)^2 \end{gather*}

також є спільним знаменником, проте він ділиться на спільний знаменник \(ab(a-b)\), тому не є найпростішим.

Скористаємось основною властивістю дробів: дріб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник домножити на один і той самий ненульовий вираз. Тоді чисельник і знаменник першого дробу домножимо на \(a\), а другого – на \(b\mathord{:}\)

\begin{gather*} \frac{a}{b(a-b)}\cdot \frac aa=\frac{a^2}{ab(a-b)},\\[6pt] \frac{b}{a(a-b)}\cdot \frac bb=\frac{b^2}{ab(a-b)}. \end{gather*}

Тоді

$$ \frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}=\frac{a^2-b^2}{ab(a-b)}. $$

Розкладемо чисельник на множники, скориставшись формулою різниці квадратів, і скоротимо отриманий дріб:

Запропонований спосіб розв'язання не є єдиноможливим. Вираз можна спростити, виконавши ще такі перетворення:

Тоді

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(M\) належить осі \(z\) прямокутної системи координат в просторі і розташована вище за початок координат – точку \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною.

Серед наведених цій умові задовільняє лише відповідь В.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

$$ a_n=a_1+d(n-1), $$

тоді для \(15\text{-го}\) члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії \(d=0\mathord{,}5\) та \(a_{15}=12\), отримаємо рівняння відносно \(a_1\mathord{:}\) $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки \(a_1=5.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм.

Щоб відповідсти на запитання, потрібно визначити на осі "роки" рік, в якому точка, що йому відповідає, віддалена від точки, що відповідає попередньому року, по вертикалі на найбільшу відстань.

З діаграми видно, що найбільші по вертикалі відстані спостерігаються між точками, що відповідають \(2006\) р. \((5\mathord{,}8\) млн. км\(^2)\) i \(2007\) р. \((4\mathord{,}3\) млн. км\(^2)\) та точками, що відповідають \(2012\) р. \((3\mathord{,}4\) млн. км\(^2)\) і \(2013\) р. \((5\mathord{,}1\) млн. км\(^2).\)

Знайдемо різниці між річними мінімумами: $$ 5\mathord{,}8-4\mathord{,}3=1\mathord{,}5 $$ (зменшення у \(2007\) р. порівняно з \(2006\) р.) та $$ 5\mathord{,}1-4\mathord{,}3=1\mathord{,}8 $$ (збільшення у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р.)

Оскільки \(1\mathord{,}8\gt 1\mathord{,}5\), то величина річного мінімуму площі поверхні льоду найбільше змінилася у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р. Отже, правильна відповідь \(2013\) р.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення мимобіжних прямих і вміння його використовувати до розв'язування задач.

I. Оскільки через дві прямі, що перетинаються, можна провести єдину площину, а мимобіжні прямі не перетинаються, тому твердження є неправильним.

II. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними. Тому твердження є неправильним.

III. Оскільки прямі \(a\) i \(b\) не лежать в одній площині, то вони лежать у паралельних площинах \(\alpha\) i \(\beta\) відповідно. Тому у площині \(\beta\) існує пряма, що паралельна прямій \(a\) і вона перетинає пряму \(b\), оскільки прямі \(a\) i \(b\) не є паралельними (через паралельні прямі завжди можна провести площину). Тому твердження є правильним.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння оцінювати значення ірраціонального виразу, використовуючи властивості функції.

Оскільки виконується нерівність $$ 8\lt 18\lt 27 $$ і функція $$ y=\sqrt[3]{x} $$ є зростаючою, тобто більшому значенню аргумента \(x\) відпвідає більше значення функції \(y\), то $$ \sqrt[3]{8}\lt \sqrt[3]{18}\lt \sqrt[3]{27}. $$

Оскільки

\begin{gather*} \sqrt[3]{8}=2,\\[7pt] \sqrt[3]{27}=3, \end{gather*}

то $$ 2\lt \sqrt[3]{18}\lt 3. $$ Отже, число \(\sqrt[3]{18}\) належить проміжку \([2; 3).\)

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формули суми логарифмів та вміння її застосовувати до розв'язування задач.

Оскільки

\begin{gather*} \log_a b+\log_a c=\log_a (bc) \end{gather*}

при

\begin{gather*} a\gt 0, \ \ a\ne 0,\\[7pt] b\gt 0,\\[7pt] c\gt 0, \end{gather*}

то

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Подібність фігур.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні фігури та використовувати пропорційність їх відповідних лінійних елементів для знаходження відношення площ цих фігур.

Подібними називаються фігури однакової форми. Коефіцієнтом подібності називається відношення відповідних лінійних елементів цих фігур. Оскільки у зображених на рисунку телевізорів екрани мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні, то ці прямокутники подібні.

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню діагоналей цих прямокутників, тобто діагоналей екранів телевізорів: $$ k=\frac{48}{32}=1\mathord{,}5. $$ Якщо фігури подібні з коефіцієнтом подібності \(k\), то відношення їх площ дорівнює \(k^2.\) Тому площа екрану більшого телевізора перевищує площу екрана меншого телевізора у $$ 1\mathord{,}5^2=2\mathord{,}25\ \text{раза}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної тригонометричної тотожності та вміння її застосовувати до перетворення тригонометричних виразів.

Для будь-якого кута \(\alpha\) виконується рівність: $$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

I спосіб. Домножимо обідві частини цієї рівності на \(4\mathord{:}\)

$$ 4\sin^2 \alpha+4\cos^2 \alpha=4, $$

звідси

$$ 4\sin^2 \alpha=4-4\cos^2 \alpha. $$

Оскільки за умовою

$$ 4\cos^2 \alpha=1, $$

то отримаємо:

$$ 4\sin^2 \alpha=4-4\cos^2 \alpha=4-1=3. $$

II спосіб. Виразимо з основної тригонометричної тотожності \(\sin^2 \alpha\mathord{:}\) $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha. $$ Оскільки за умовою $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ то $$ \cos^2 \alpha=\frac 14, $$ тоді $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha=1-\frac 14=\frac 34. $$ Звідки $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\frac 34=3. $$

Зауваження. Правильну відповідь до завдання можна отримати, якщо навіть не знати (чи не пам'ятати) основної тригонометричної тотожності. Якщо знати, що $$ \cos 60^\circ=\frac 12, $$ тобто \(\alpha=60^\circ\) задовольняє умову $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ а $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ тоді $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца.

Це завдання перевіряє знання таблиці первісних основних елементарних функцій та вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для знаходження визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона - Лейбніца:

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a), $$

де \(F(x)\) – будь-яка первісна функції \(f(x)\) на відрізку \([a; b].\)

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x\in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x)=f(x).\)

Визначимо одну з первісних функції \(y=6x^2.\)

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_1(x)\) – первісна функції \(f_1(x)\), а \(\mathrm{C}\) – довільна стала, то $$ F(x)=\mathrm{C}F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=\mathrm{C}f_1(x). $$

Отже, $$ F(x)=6F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=6x^2, $$ де \(F_1(x)\) – первісна функції \(f_1(x)=x^2.\)

Однією з первісних степеневої функції \(x^n\), причому \(n\ne -1\), є $$ \frac{x^{n+1}}{n+1}. $$ Тому $$ F_1(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}. $$ Отже, $$ F(x)=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3. $$ Тоді

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Об'єм призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати об'єм призми. Для виконання завдання потрібно знати формули об'єму призми, площі рівностороннього трикутника, означення квадрата та периметра рівностороннього трикутника.

Нехай \(ABCA_1B_1C_1\) – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник \(ABC\), \(AB=BC=AC=a.\)

Оскільки периметр правильного трикутника зі стороною \(a\) дрівнює \(3a\), то \(3a=12\) (за умовою), звідки \(a=4.\)

Оскільки бічні грані призми за умовою є квадратами, то \(AA_1=AB=4.\)

Об'єм призми визначається за формулою $$ V=S_\text{осн}\cdot h, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи призми, \(h\) – висота призми.

Площа правильного трикутника зі стороною \(a\) визначається за формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$ Тоді

$$ S_\text{осн}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}. $$

Оскільки \(ABCA_1B_1C_1\) – пряма призма, то її висота дорівнює бічному ребру: $$ h=AA_1=4. $$ Тоді $$ V=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати графік аналітично заданої функції.

Графіком квадратичної функції $$ y=ax^2+bx+c $$ є парабола, вітки якої напрямлені вгору при \(a\gt 0\) і вниз при \(a\lt 0.\) Оскільки \(a=1\gt 0\), то вітки графіка функції $$ y=x^2+px+q $$ напрямлені вгору.

З наведених рисунків цю умову задовольняють варіанти А, В і Д. Оскільки за умовою рівняння $$ x^2+px+q=0 $$ не має дійсних коренів, то не існує дійсних значень аргумента \(x\), при яких функція $$ y=x^2+px+q $$ дорівнювала б \(0\), тобто функція $$ y=x^2+px+q $$ не має нулів. Тому графіік цієї функції не перетинає вісь абсцис. Цю умову з варіантів А, В і Д задовольняє лише варіант Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між тригонометричними функціями одного аргумента та вміння розв'язувати тригонометричні рівняння.

Оскільки $$ \frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\ x, $$ то вихідне рівняння запишемо у вигляді: $$ 3\mathrm{tg}\ x=\sqrt{3}, $$ звідки $$ \mathrm{tg}\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Розв'язком такого рівняння є

$$ x=\mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n,\ n\in Z. $$

Оскільки $$ \mathrm{arctg}\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}, $$ то остаточно отримаємо

$$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in Z. $$

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні нерівності.

Запишемо ОДЗ цєї нерівності: \(x\gt 0\), оскільки логарифмічна функція визначена лише для додатного аргумента.

Запишемо \(-1\) у вигляді логарифма з основою \(3\mathord{:}\) $$ -1=\log_3 3^{-1}=\log_3 \frac 13. $$ Тоді вихідна нерівність матиме вигляд: $$ \log_3 x\lt \log_3 \frac 13. $$ Оскільки функція $$ y=\log_3 x $$ є зростаючою ще раз підкреслимо, що вона існує лише для \(x\gt 0,\) то отримана нерівність рівносильна нерівності $$ 0\lt x\lt \frac 13. $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функцій: монотонність, парність та непарність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графічно та належність точки графіку заданої функції.

Щоб розв'язати це завдання, потрібно знати означення зростаючої (спадної) функції, парної та непарної функцій, властивості та графік логарифмічної функції \(y=\log_a x.\)

Функція \(y=f(x)\) називається зростаючою на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_1\in (a; b)\) i \(x_2\in (a; b)\) таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується нерівність \(f(x_1)\lt f(x_2)\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає більше значення функції.

Функція \(y=f(x)\) називається спадною на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_1\in (a; b)\) i \(x_2\in (a; b)\) таких, що \(x_1\lt x_2\), виконується нерівність \(f(x_1)\gt f(x_2)\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає менше значення функції.

Функція \(y=f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=f(x).\)

Функція \(y=f(x)\) називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x)=-f(x).\)

Область визначення і парної, і непарної функції симетрична відносно точки \(x=0.\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(Oy\), а непарної – відносно початку координат.

Доберемо до кожного із запитань (1 – 4) правильну відповідь.

1. Точка \((1; 0)\) знаходиться на осі абсцис праворуч від початку відліку. З рисунків видно, що через цю точку проходить лише графік функції, зображеної на рис. 1. Отже, 1 – A.

2. Оскільки графік парної функції симетричний відносно осі \(Oy\), то 2 – Б. Зазначимо, що на рисунку 5 зображено графік непарної функції.

3. Щоб вказати графік функції, що має дві спільні точки з графіком логарифмічної функції $$ y=\log_{\frac 13} x, $$ потрібно знати, що функція $$ y=\log_{\frac 13} x $$ визначена для всіх додатних значень \(x\), проходить через точку \((1; 0)\), є спадною на всій області визначення і набуває значень від \(+\infty\) до \(-\infty\), коли змінюється від \(0\) до \(+\infty.\)

Зауважимо, що графік функції $$ y=\log_{\frac 13} x, $$ проходить через точку \((3; -1)\), оскільки

$$ \log_{\frac 13}3=\log_{3^{-1}} 3=-\log_3 3=-1. $$

Графік цієї функції перетинає графіки функцій, зображених на рисунках 1 – 3, по одному разу, не має жодної спільної точки з графіком, зображеним на рисунку 5, і дві спільні точки, – з графіком, зображеним на рисунку 4. Отже, 3 – Г.

4. Графік функції, що зростає на відрізку \([-2; 3]\), зображено на рис. 3. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні числа та дії з ними. Означення степеня з раціональним показником. Модуль дійсного числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, записаними у вигляді звичайних дробів, знаходити значення степеневого виразу, виразу, що містить знак модуля.

Для розв'язання завдання потрібно знати правила дій із звичайними дробами, означення степеня з раціональним показником та правила дій зі степенями, а саме:

\begin{gather*} x^{-p}=\frac{1}{x^p},\\[6pt] \left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p},\\[6pt] (a^p)^q=a^{pq},\\[7pt] a^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p} \end{gather*}

то значення модуля дійсного числа.

Нагадаємо, що за означенням модулем числа \(x\) називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до \(x\) число, якщо воно є від'ємним, тобто

$$ |x|=\left\{\begin{array}{l} x,\ \text{якщо}\ x\ge 0, \\ -x,\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{array}\right. $$

Обчислимо значення виразів (1 – 4).

1.

Отже, 1 – Д.

2. $$ \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. $$ Отже, 2 – A.

3.

Отже, 3 – Г.

4.

Або

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Описане коло, дотична до кола та її властивості. Трикутники (рівносторонній та прямокутний трикутники). Тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжини відрізків, використовуючи властивості дотичної до кола, елементів кола, вписаних у коло кутів та співвідношень у прямокутному трикутнику.

Обчислимо довжини відрізків (1 – 4).

1. Оскільки діаметр кола вдвічі більший за його радіус, то згідно умови $$ BK=2\cdot 6=12. $$ Отже, 1 – B.

2. Розглянемо трикутник \(ABO.\) Оскільки пряма \(AB\) є дотичною до кола, то \(\angle ABO=90^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(ABO\) катет \(BO=6\), а гіпотенуза \(AO=2AB.\) За теоремою Піфагора отримаємо

\begin{gather*} 6^2+AB^2=(2AB)^2,\\[7pt] 36+AB^2=4AB^2,\\[7pt] 36=3AB^2,\\[7pt] AB^2=12,\\[7pt] AB=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}. \end{gather*}

Такий же результат отримаємо, якщо скористаємось тим фактом, що у прямокутному трикутнику \(ABO\ \angle AOB=30^\circ\) (оскільки вказано, що гіпотенуза вдвічі більша за протилежний до цього кута катет). Тоді

$$ AB=BO\mathrm{tg}\ 30^\circ=6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}. $$

Отже, 2 – Б.

Отже, 3 – A.

4. Розглянмо вписаний у коло трикутник \(BCK.\) Оскільки вписаний кут \(BCK\) спирається на діаметр кола, то \(\angle BCK=90^\circ\), тобто трикутник \(BCK\) є прямокутним. У цьому трикутнику \(BK=12\), \(\angle CBK=60^\circ\), тоді

Або за теоремою Піфагора отримуємо:

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює \(R\), а висота – \(H\), обчислюється за формулою

За умовою \(R=3\), \(H=4\), тоді

$$ S_\text{повн.}=2\pi\cdot 3(3+4)=42\pi. $$

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи \(R\) та твірну \(L\mathord{:}\)

Оскільки \(R=3\), \(L=5\), то

$$ S_\text{повн.}=3\pi(5+3)=24\pi. $$

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром \(a=\sqrt{3\pi}\) обчислюємо за формулою

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса \(R\) визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою \(R=2\sqrt{3}\), тому

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення, пропорції та відсотки.

1. За діаграмою визначаємо, що підручники становлять $$ 100-75-8-5=12\ \text{%} $$ від загальної кількості книг, що є в бібліотеці. За умовою, кількість підручників дорівнює \(84.\) Знайдемо загальну кількість книг \((n)\) у бібліотеці. Складемо пропорцію: \begin{gather*} n - 100\ \text{%}\\[7pt] 84 - 12\ \text{%}. \end{gather*} Тоді

$$ n=\frac{84\cdot 100}{12}=7\cdot 100=700. $$

2. Визначаємо кількість довідників \((m)\) з пропорції: \begin{gather*} 700 - 100\ \text{%}\\[7pt] m - 8\ \text{%}. \end{gather*} Тоді $$ m=\frac{8\cdot 700}{100}=56. $$

Нехай додатково придбано \(k\) підручників. Згідно умови повинна виконуватися рівність $$ (84+k):m=4:1. $$ Отже, $$ (84+k):56=4, $$ звідки отримуємо:

\begin{gather*} 84+k=224,\\[7pt] k=224-84=140. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(700.\)
                   2. \(140.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Трапеція та її властивості. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків як елементи відповідних геометричних фігур, використовуючи властивості середньої лінії трапеції та означення квадрата.

1. Оскільки чотирикутник \(ABMK\) є трапецією \((AK\ ||\ BM)\), то відрізок \(NP\) (див. рисунок), що сполучає середини сторін \(AB\) i \(KM\) є її середньою лінією, довжина якої дорівнює півсумі цих сторін. За умовою

\begin{gather*} AK=4,\\[7pt] BM=BC-MC=12-3=9, \end{gather*}

тоді

$$ NP=(4+9):2=6\mathord{,}5. $$

2. Опустимо з точки \(M\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(MO\) і розглянемо прямокутний трикутник \(KOM.\) У цьому трикутнику відомі катети:

За теоремою Піфагора отримуємо:

Відповідь: 1. \(6\mathord{,}5.\)
                   2. \(13.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Правило знаходження похідної складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення похідної складеної функції у заданій точці.

Нехай \(y=f(u(x))\) – складена функція, тобто \(y=f(u)\), де \(u=u(x).\)

Якщо функція \(u(x)\) має в точці \(x\) похідну \(u'(x)\), а функція \(y=f(u)\) – похідну у відповідній точці \(u=u(x)\), то складена функція \(y=f(u(x))\) також має похідну в точці \(x\), причому $$ y'=f_u'(u)\cdot u_x'(x). $$

Функцію \(y=\sqrt{13-3x}\) запишемо у вигляді \(y=\sqrt{u}\), де \(u=13-3x.\) Тоді

Обчислюємо значення похідної в точці \(x_0=3\mathord{:}\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Застосування рівнянь та їхніх систем до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем.

І спосіб. Позначимо кількість тримісних номерів через \(n.\) Оскільки за умовою кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних, то їх кількість становить $$ \frac{124-n}{2} $$ номерів.

В одномісних номерах при повному заповненні проживає $$ \frac{124-n}{2} $$ туристів, в двомісних – $$ 2\cdot \frac{124-n}{2}=124-n $$ туристів, в тримісних – \(3n\) туристів.

Складаємо рівняння

звідки отримуємо

\begin{gather*} 124-n+2(124-n)+6n=510,\\[7pt] 124-n+248-2n+6n=510,\\[7pt] 3n=138,\\[7pt] n=46. \end{gather*}

Отже, у готелі було всього \(46\) тримісних номерів.

ІІ спосіб. Якщо ввести позначення: \(n\) – кількість тримісних номерів, \(k\) – кількість одномісних номерів, \(k\) – кількість двомісних номерів, то отримаємо систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+2k+3n=255, \end{array}\right. $$ тобто $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+n=85. \end{array}\right. $$ Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо \(k=39\), тоді $$ n=85-39=46. $$

Відповідь: \(46.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Координати та вектори на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Теорема косинусів.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

Нагадаємо, що скалярним добутком векторів \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{b}\) називають число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними: $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \varphi, $$ де \(\varphi\) – кут між векторами \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{b}\).

Довжину вектора \(\overrightarrow{a}(a_x; a_y)\) обчислюють за формулою $$ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. $$

На рисунку \(ABCD\) – паралелограм, \(\overrightarrow{AB}(6; -8)\), \(\cos A=0\mathord{,}44.\)

За умовою $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=88, $$ тобто $$ |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos A=88. $$ Оскільки вектор \(\overrightarrow{AB}(6; -8)\) відомий, то його довжина

Визначаємо довжину вектора \(\overrightarrow{AD}\mathord{:}\)

\begin{gather*} 10\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot 0\mathord{,}44=88,\\[6pt] |\overrightarrow{AD}|=\frac{88}{4\mathord{,}4}=20. \end{gather*}

Діагональ \(BD\) паралелограма \(ABCD\) є стороною трикутника \(ABD.\) У цьому трикутнику відомі довжини сторін \(AB\) та \(AD\), що дорівнюють довжинам векторів \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) відповідно, та косинус кута між ними. За теоремою косинусів

Звідки отримуємо $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Отже, довжина діагоналі \(BD\) дорівнює \(18.\)

Знаючи довжини сторін \(AB\) та \(AD\) і косинус кута між ними, довжину діагоналі \(BD\) можна визначати ще так. Опустимо з вершини \(B\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(BK\).

Прямокутні трикутники \(AKB\) та \(BKD\) мають спільний катет, тоді виконується рівність

$$ AB^2-AK^2=BD^2-KD^2. $$

З прямокутного трикутника \(AKB\) визначаємо

$$ AK=AB\cos A=10\cdot 0\mathord{,}44=4\mathord{,}4. $$

Тоді

$$ KD=20-4\mathord{,}4=15\mathord{,}6. $$

Отже, $$ 10^2-4\mathord{,}4^2=BD^2-15\mathord{,}6^2 $$ звідки отримуємо

тоді $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Відповідь: \(18.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи комбінаторні формули.

Оскільки серед трьох різних видів чаю, які обирає покупець, обов'язково є вид "чорна перлина", то шукана кількість варіантів вибору трьох коробок чаю дорівнює кількості варіантів вибору двох коробок різних видів з \(7\) видів чаю, відмінних від виду "чорна перлина". Тому всього у покупця є \(C_7^2\) варіантів сформувати такий набір з трьох коробок чаю. Використовуючи формулу $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій $$ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-1)n, $$ знайдемо:

Наведені міркування можна обґрунтувати ще так.

Правило добутку. Якщо елемент \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а після цього елемент \(B\) – \(m\) способами, то \(A\) i \(B\) можна вибрати \(nm\) способами.

Розділимо \(8\) видів чаю на дві частини: перша частина – вид чаю "чорна перлина", а друга – решта \(7\) видів. Набір з \(3\) видів чаю містить чай виду "чорна перлина" та двох інших видів. Вид чаю "чорна перлина" з одного виду можна вибрати лише одним способом \((C_1^1=1)\), а чай двох інших різних видів можна вибрати \(C_7^2\) способами. Оскільки вибір чаю "чорна перлина" та чаю двох інших видів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість варіантів формування наборів чаю, зазначених в умові, дорівнює $$ C_1^1C_7^2=1\cdot C_7^2=21. $$

Зауваження. Важливо розрізняти, у яких випадках потрібно застосовувати формулу для обчислення кількості комбінацій: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ а в яких – формулу для обчислення кількості розміщень:

У нашому випадку, під час формування наборів чаю не важливим є порядок вибору виду чаю, тому використано формулу для обчислення кількості комбінацій.

Відповідь: \(21.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Побудова графіків функцій.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій.

Щоб виконати це завдання, потрібно вміти розкладати квадратний тричлен на лінійні множники, знати означення модуля числа та вміти розкрити модуль лінійного виразу, будувати графік лінійної функції, знати означення області значень функції та вміти визначати її за графіком функції.

Розв'язання завдання слушно розбити на такі кроки.

Перший крок. Спростимо задану функцію.

Спочатку розкладемо на лінійні множники квадратичний вираз $$ x^2-x-2. $$ Це можна зробити кількома способами. Наприклад, можна скористатися формулою

\begin{gather*} ax^2+bc+c=a(x-x_1)(x-x_2), \end{gather*}

в якій \(x_1\), \(x_2\) – корені квадратного рівняння $$ ax^2+bx+c=0. $$

У нашому випадку \(x_1=-1\), \(x_2=2\), \(a=1.\) Тому $$ x^2-x-2=(x+1)(x-2). $$

Можна розкласти квадратичний вираз на множники, використовуючи метод групування, наприклад, так:

За означенням модулем числа \(a\) називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до \(a\) число, якщо воно є від'ємним, тобто

$$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Отже,

тобто

$$ |x+1|=\left\{\begin{array}{l} x+1,\ \text{якщо}\ x\ge -1, \\ -(x+1),\ \text{якщо}\ x\lt -1. \end{array}\right. $$

Враховуємо, що знаменник будь-якого дробу не може дорівнювати нулю. Отже, область визначення функції задається умовою \(|x+1|\ne 0\), тобто \(D(y)=(-\infty; -1)\cup (-1; +\infty).\) Тоді

Другий крок. Будуємо графік заданої функції. Він є об'єднанням графіків лінійних функцій \(y=x-2\), заданої на проміжку \((-1; +\infty)\), та \(y=2-x\), заданої на проміжку \((-\infty; -1).\)

Областю значень функції $$ y=\frac{x^2-x-2}{|x+1|} $$ є проміжок \((-3; +\infty).\)

Нагадаємо, що область значень функції \(y=f(x)\) – це множина, що складається з усіх значень \(y\), яких набуває ця функція при всіх значеннях \(x\), що належать її області визначення.

Геометрично, щоб визначити область значень функції, потрібно спроектувати її графік на вісь ординат.

Відповідь: \(E(y)=(-3; +\infty).\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Чотирикутна піраміда. Кут між прямою та площиною, площинами. Планіметрія. Ромб та його властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач, зокрема, знаходити міру кута між площинами.

Для розв'язання завдання потрібно перш за все правильно побудувати рисунок, важливо правильно показати положення висоти піраміди, знати означення кута між площинами, двогранного кута та його лінійного кута, вміти визначати довжини відрізків, використовуючи теорему Піфагора чи тригонометричні співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

1) Нехай \(SABCD\) – задана правильна чотирикутна піраміда, ромб \(ABCD\) – основа піраміди, діагоналі якого перпендикулярні і перетинаються в точці \(O.\) Оскільки грань \(SBC\) перпендикулярна до площини основи піраміди, то точка \(K\) – основа висоти піраміди – належить відрізку \(BC.\) Оскільки у трикутнику \(SBC\ SB=SC\), то точка \(K\) є серединою сторони \(BC.\) Кут нахилу ребра \(SC\) до площини основи піраміди – це кут між ребром \(SC\) та відрізком \(KC\), що є ортогональною проекцією цього ребра на площину основи піраміди.

Отже, \(\angle SCK=30^\circ.\) Крім цього, у прямокутному трикутнику \(SKC\) відомий катет \(SK=5.\) Тоді

\begin{gather*} KC=SK\mathrm{ctg} 30^\circ=5\sqrt{3},\\[7pt] BC=2KC=10\sqrt{3}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник \(BOC\mathord{:}\) \(\angle O=90^\circ\), \(BC=10\sqrt{3}\) – гіпотенуза, \(OC=\frac 12AC=15\) – катет. За теоремою Піфагора

Тоді $$ BD=2BO=10\sqrt{3}. $$

У трикутнику \(BCD\) усі сторони рівні: $$ BD=BC=DC=10\sqrt{3}. $$ Отже, відрізок \(DK\) є висотою цього трикутника, проведеної з вершини \(D\) до сторони \(BC.\) Звідси випливає, що площина, що проходить через висоту \(SK\) перпендикулярно до прямої \(AD\) перетинає цю пряму в точці \(D.\) Таким чином, \(\angle SDK\) – кут між площинами \((SAD)\) i \((ABC)\) (він є також лінійним кутом двогранного кута при ребрі \(AD\)). У прямокутному трикутнику \(SKD\) відомі катети \(SK=5\) та \(DK=OC=15.\) Тоді $$ \mathrm{tg}\ \angle SDK=\frac{SK}{DK}=\frac{5}{15}=\frac 13. $$ Отже, кут між площинами \((SAD)\) i \((ABC)\) дорівнює \(\mathrm{arctg}\ \frac 13.\)

Зауваження. Оскільки відрізок \(KD\) – це висота ромба \(ABCD\), то довжину висоти ромба можна визначити за формулою $$ h=\frac Sa, $$ де \(S\) – площа ромба, \(a\) – сторона ромба. Для обчислення площі ромба можна застосувати, наприклад, формулу $$ S=\frac 12d_1d_2, $$ де \(d_1\), \(d_2\) – діагоналі ромба.

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \frac 13.\)

Пояснення

33

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння мішаного типу з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння залежно від значення параметра.

Задане рівняння

ріносильне системі

Знайдемо корені рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0. $$

Для цього запишемо це рівняння у вигляді

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^a\cdot 5^x+5^x-5^{a-1}=0, $$

тобто

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^x\cdot (5^a-1)-5^{a-1}=0, $$

і розглянемо його як квадратне відносно \(5^x.\) Знайдемо дискримінант

Тоді:

1)

$$ (5^x)_1=\frac{(5^a-1)-(5^a+1)}{2\cdot 5}=-\frac 15. $$

Оскільки завжди \(5^x\gt 0\), то рівняння \(5^x=-\frac 15\) не має коренів.

2)

Рівняння \(5^x=5^{a-1}\) має єдиний корінь \(x=a-1.\)

Отже, рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0 $$

має єдиний корінь \(x=a-1\), відповідно нерівність

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x\ne 0 $$

виконується для всіх \(x\ne a-1.\)

Рівняння

$$ \sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}=0 $$

рівносильно системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2=8a,\\ a\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

тобто

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0,\\ a\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Зауваження. Окремо розв'язувати нерівність

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2\ge 0 $$

залежно від значень \(a\) непотрібно. Адже рівняння \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\) на множині розв'язків рівносильне системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

яка, в свою чергу, рівносильна кожній із систем

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{або}\ \ \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

На практиці з останніх двох систем розглядаємо ту, у якій нерівність \(f(x)\ge 0\) чи \(g(x)\ge 0\) є простішою.

Розв'яжемо квадратне рівняння

причому \(x_1\ne x_2\) для всіх значень параметра \(a.\)

Зауваження. Квадратне рівняння

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0 $$

можна розв'язати, виконавши низку наступних перетворень:

\begin{gather*} x^2+4ax+4a^2-4x-8a=0,\\[7pt] (x+2a)^2-4(x+2a)=0,\\[7pt] (x+2a)(x+2a-4)=0, \end{gather*}

звідси отримуємо \(x+2a=0\) або \(x+2a-4=0\), тобто \(x=-2a\) або \(x=4-2a.\)

Залишилося врахувати обмеження на параметр \(a\mathord{:}\) \(a\ge 0\) та на \(x\mathord{:}\) \(x\ne a-1.\)

Значення \(x_1=-2a\) буде коренем заданого рівняння, якщо \(a\ge 0\) i \(x_1=-2a\ne a-1\), що виконується при \(a\ne \frac 13.\)

Значення \(x_2=4-2a\) буде коренем заданого рівняння, якщо \(a\ge 0\) i \(x_2=4-2a\ne a-1\), що виконується при \(a\ne \frac 53.\)

При \(a=\frac 13\) рівняння має єдний корінь

$$ x_2=4-2\cdot \frac 13=4-\frac 23=3\frac 13, $$

а при \(a=\frac 53\) – єдиний корінь

$$ x_1=-2\cdot \frac 53=-3\frac 13. $$

Позначимо область існування коренів на числовій прямій:
\(x=-2a\)

\(x=4-2a\)

Відповідь: рівняння не має змісту, якщо \(a\in (-\infty; 0)\);
                   \(\{-2a; 4-2a\}\), якщо \(a\in \left[0; \frac 13\right)\cup \left(\frac 13; 1\frac 23\right)\cup \left(1\frac 23; +\infty\right)\);
                   \(\{3\frac 13\}\), якщо \(a=\frac 13\);
                   \(\{-3\frac 13\}\), якщо \(a=1\frac 23\).