Укажіть систему рівнянь, яка є математичною моделлю такої задачі:

Щоб перевірити всі роботи учасників ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики, задіяли дві групи вчителів, які разом можуть перевірити ці роботи за \(8\ \text{год.}\) Якщо спочатку роботи перевірятиме лише перша група вчителів протягом \(2\ \text{год,}\) а потім лише друга група протягом \(5\ \text{год,}\) то перевірено буде тільки половину всіх робіт. За скільки годин зможе перевірити всі роботи кожна група вчителів, працюючи самостійно?

(Уважайте, що перша група вчителів, працюючи самостійно, може перевірити всі роботи за \(x\) годин, а друга – за \(y\) годин).

Увідповідніть твердження (1-3) та функцію (А-Д), для якої це твердження є правильним.

Набір складається з тридцяти карток, на кожній з яких записано одне з натуральних чисел від \(1\) до \(30.\) Випробування полягає в тому, що навмання вибирають одну картку з набору. Установіть відповідність між подією (1-3), яка відбудеться внаслідок цього випробування, та її ймовірністю (А – Д).

До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Микола Петрович у квітні скоротив використання електроенергії на \(30\ \text{%}\) порівняно з березнем, а в травні кількість використаної електроенергії збільшилася на \(20\ \text{%}\) порівняно з квітнем.

1. Яку кількість електроенергії (кВт·год) використав Микола Петрович у березні, якщо в травні він використав на \(56\ \text{кВт}\) год більше, ніж у квітні?

2. На скільки відсотків менше електроенергії використав Микола Петрович у травні порівняно з березнем?

У трикутнику \(ABC:\ AC=5\ \text{см},\ BC=7\ \text{см},\) \(\angle A=60^\circ,\ AK\ -\ \text{бісектриса.}\)

1. Обчисліть периметр (см) трикутника \(ABC.\)

2. Визначте, у скільки разів довжина відрізка \(BK\) більша за довжину відрізка \(KC.\)

Проаналізуйте інформацію і виконайте завдання.

За результатами дослідження було визначено рівні розвитку пізнавальної активності учнів на уроках математики в експериментальній і контрольній групах. Дані про кількість учнів кожної групи, які мають високий, достатній і середній рівні розвитку пізнавальної активності, відображено на діаграмі. Водночас у кожній групі є учні з початковим рівнем розвитку пізнавальної активності, однак це не відображено на діаграмі. Відомо, що учнів в обох групах, які мають високий рівень пізнавальної активності, на \(12\) більше, ніж учнів із середнім рівнем. Зверніть увагу, що на вертикальній осі діаграми немає числової шкали.

1. Укажіть кількість учнів експериментальної групи, які продемонстрували достатній рівень розвитку пізнавальної активності.

2. На основі даних про розподіл учнів контрольної групи за рівнями (високим, достатнім, середнім, початковим) розвитку пізнавальної активності побудували кругову діаграму. Визначте кількість учнів у контрольній групі з початковим рівнем розвитку пізнавальної активності, якщо на круговій діаграмі цій кількості відповідає сектор із градусною мірою \(24^\circ\).

Задано прямокутний трикутник \(ABC\ (\angle C=90^\circ)\) з вершинами в точках \(A(-6; 4; 1)\) \(B(x; -2; 0),\) \(C(-4; -4; -4).\)

1. Визначте \(x.\)

2. Обчисліть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника (відповідь округліть до одиниць).

Розміри футбольного поля у формі прямокутника на плані місцевості з масштабом \(1:5000\) дорівнюють \(2,2\ \text{см}\) i \(1,5\ \text{см.}\) Скільки посадкового матеріалу (кг) потрібно для створення нового газонного покриття на цьому полі, якщо на \(150\ \text{м}^2\) витрачають п'ятикілограмову упаковку такого матеріалу?

Обчисліть значення виразу $$ \frac{(a^2-1)^{-1}\cdot (a^{-2}-1)}{(a^{-1}+4)\cdot (16a^2-1)^{-1}} $$ при \(a=-0,125.\)

У рівнобічній трапеції \(ABCD\ (BC||AD,\ BC\lt AD)\) довжини основ дорівнюють \(11\ \text{см}\) і \(19\ \text{см.}\) Пряма, паралельна основам трапеції, перетинає її бічні сторони \(AB\) і \(CD\) в точках \(E\) і \(F\) відповідно. Визначте відношення площі чотирикутника \(ABCD\) до площі чотирикутника \(BCFE,\) якщо \(CF\ :\ FD = 3\ :\ 5.\)

Сума нескінченної геометричної прогресії \((bn)\) зі знаменником \(q\ (|q|\lt 1)\) дорівнює сумі двадцяти перших членів арифметичної прогресії \((a_n),\) заданої формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=3n-5.\) Визначте \(q,\) якщо сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює \(525,76.\)

Укажіть усі значення параметра \(a,\) при яких рівняння \((x-1)a^2-(3x-5)a-10x=0\) має безліч коренів. Якщо таке значення параметра \(a\) одне, то запишіть його у відповіді. Якщо таких значень параметра \(a\) кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Основою піраміди є ромб, менша діагональ якого дорівнює \(12\ \text{см,}\) а гострий кут – \(60^\circ.\) У піраміду вписано конус, твірна якого утворює з площиною його основи кут \(45^\circ.\) Обчисліть об'єм піраміди \((\text{см}^3).\)