ЗНО онлайн 2017 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні нерівності.

Помножимо обидві частини нерівності на \(-5:\)

Отже, правильна відповідь: \(x\in (-\infty; -25).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

Щоб розв’язати це завдання, достатньо скористатися формулами

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірності та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів, графічну табличну форму подання статистичної інформації.

Користуючись діаграмою, визначаємо, що країна, яка посіла третє місце за обсягом виробництва, – це Гана.

У \(2009\) році обсяг виробництва Гани був приблизно \(660\) тис. тонн. Це значення маси належить проміжку \([600; 700].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування показникових рівнянь.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\)

З наведених прямих усі, крім \(AA_1\), є мимобіжними з \(CC_1.\)

Прямі \(CC_1\) та \(AA_1\) – паралельні, тому через них можна провести площину.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів та знаходити їхне числове значення при заданих значеннях змінних.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степеневі функції та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=\frac 1x\) – обернена пропорційність, графік якої – гіпербола.

Загальний вигляд функції \(y=\frac kx.\)

При \(k\lt 0\) графік функції лежить у ІІ та IV координатних чвертях.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка \(A(-1; -3; 4)\) знаходиться на відстані \(|y|\) від площини \(xz.\)

Отже, правильна відповідь: \(|y|=|-3|=3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня та арифметичного кореня \(n\text{-го}.\) степеня.

За властивістю кореня \(n\text{-го}\) степеня \(\sqrt[n+1]{a^{n+1}}\ =a\) (степінь кореня – непарний) та арифметичного квадратного кореня: \(\sqrt{a^2}=|a|\), знаходимо:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, застосовувати властивості трикутників до розв'язування планіметричних задач.

За умовою, довжини сторін трикутника відносяться як \(3:4:5.\) Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності, тоді довжини сторін будуть: \(3x\) см, \(4x\) см, \(5x\) см. Периметр трикутника – \(72\) см.

Отже, складемо рівняння:

Довжина найбільшої сторони: \(5x=5\cdot 6=30\) см.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Якщо \(x=t-2\), то

При перетворенні виразу використана формула $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$ (квадрат різниці).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

\(b_1=-0\mathord{,}25\); \(b_4=2.\) За формулою \(n\text{-го}\) члена

Звідси,

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє вміння використовувати формули площ трикутника та прямокутника.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

За властивістю логарифма

З наведених проміжків \(x=\frac 19\) належить \((-1; 2].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій.

Використовуючи перетворення графіків \(y=f(x)\Rightarrow y=f(x)+A\) переміщуємо вздовж осі \(y\) на \(A\) одиниць.

Отже, \(y=f(x)-2\) переносимo на \(2\) одиниці вниз i точка перетину з віссю \(y\) – \((0; 2).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, застосовувати властивості тіл обертання до розв'язування стереометричних задач практичного змісту.

\(50\) суцільних півкуль – це \(25\) куль з радіусом \(0\mathord{,}3\) м.

Об'єм однієї кулі знаходимо за формулою: $$ V=\frac 43 \pi R^3, $$ де \(R\) – радіус кулі.

Об'єм однієї кулі $$ V=\frac 43 \pi\cdot 0\mathord{,}3^3\ \text{м}^3. $$

Відповідь, найближча до точної – \(2\mathord{,}9\) м\(^3.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За означенням модуля числа \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0, \end{array}\right.\\[7pt] |x|=-x\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{gather*}

З наведених виразів тільки

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості.

Задана функція \(y=3x.\) Її первісна

Графік первісної – параболи, які переміщуються паралельно, вздовж осі \(y.\)

Отже, не будь-який графік первісної проходить через точку \(O(0; 0)\) та не будь-який графік перетинає вісь \(x\), але будь-яка первісна цієї функції є парною.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Знайдемо нулі функції \(x^2+x-6=0:\)

Зобразимо схематично графік функції.

$$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, степеневі функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1.

\(y=2x-7\) лінійна функція, зростаюча, тому найбільше значення на проміжку \([0; 5]\) буде при більшому значенні аргументу: $$ y(5)=2\cdot 5-7=3. $$ Отже, 1 – B.

2.

\(y=-x^2+2\) графік – парабола з гілками вниз. На проміжку \([0; 5]\) спадає. Найбільше значення функції буде при найменшому значенні аргументу $$ y(0)=-1\cdot 0^2+2=2. $$ Отже, 2 – Б.

3. 

\(y=\sin 2x\) найбільше значення \(y=1.\) Отже, 3 – A.

4. 

\(y=\sqrt{x-1}+3\) – зростає, тому при \(x=5\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення.

1. \(\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ=1\) за основною тригонометричною тотожністю. Отже, 1 – Г.

2.

Отже, 2 – Д.

3.

за формулою $$ \sin 2\alpha=2\sin \alpha\cdot \cos \alpha. $$ Отже, 3 – B.

4.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення і властивості циліндра та піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. Площа основи циліндра дорівнює \(9\pi.\) Отже,

Отже, 1 – Б.

2. \(\angle AOB=90^\circ\), \(AO=OB=3\) як радіуси, тому \(\Delta AOB\) – прямокутний, рівнобедрений. За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Г.

3. Висоту циліндра \(OO_1\) знаходимо з \(\Delta OO_1B\) \((\angle O=90^\circ).\) \(\angle B=60^\circ\), тому

Отже, 3 – Д.

4. Об'єм піраміди \(O_1AOB\) знаходимо за формулою:

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути та їхні властивості.

1. У коло вписано чотирикутник, тому сума протилежних кутів \(180^\circ.\) \(\angle D=100^\circ\), тому \(\angle C=80^\circ.\)

Отже, 1 – B.

2. \(\angle AOB=100^\circ\) – центральний, \(\angle ACB\) – відповідний вписаний. За властивістю вписаного кута

Отже, 2 – Д.

3. \(\angle ACB=90^\circ\) тому, що вписаний кут, який спирається на діаметр – прямий.

Отже, 3 – Б.

4. \(\angle ADB=\angle ACB=100^\circ\), тому, що вписані кути, які спираються на одну хорду – рівні.

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

1. Перший автомат за \(2\) хвилини, що дорівнює \(120\) секундам, наповнює гелієм \(3\) кульки, а другий – на \(100\text{%}\), тобто в два рази більше, кульок.

Якщо за \(120\) секунд автомат наповнить \(6\) кульок, то одну він наповнить за: $$ 120:6=20\ \text{секунд}. $$

2. За \(10\) хвилин перший автомат наповнить $$ 3\cdot 5=15\ \text{кульок}, $$ а другий – $$ 6\cdot 5=30\ \text{кульок}. $$

Обидва автомати за \(10\) хвилин наповнять $$ 30+15=45\ \text{кульок}. $$

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(45.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач, знання середньої лінії трапеції та її властивості, вписаного кола в чотирикутник.

1. За властивістю чотирикутника, в який можно вписати коло, сума протилежних сторін рівна.

Отже, сума довжин основ трапеції дорівнює: $$ BC+AD=\frac P2=\frac{132}{2} = 66\ \text{см}. $$

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тому довжина середньої лінії становить $$ \frac 12\cdot 66=33\ \text{см}. $$

2. Довжина кола вписаного в трапецію, становить \(24\pi\) см.

За формулою довжини кола знаходимо його радіус

де \(p\) – півпериметр трапеції, \(r\) – радіус вписаного кола.

Відповідь: 1. \(33.\)
                   2. \(792.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння нерівності та їхні системи. Текстові задачі. Системи лінійних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь, текстові задачі.

Нехай початкова вартість \(1\) кг огірків – \(x\) грн, а \(1\) кг помідорів – \(y\) грн.

За \(4\) кг огірків та \(5\) кг помідорів заплатили \(87\) грн, тому \(4x+5y=87.\)

Після подорожчання огірків на третину вони стали коштувати \(\frac 43x\) грн за \(1\) кг. Після подешевшання помідорів на третину їхня ціна стала \(\frac 23y\) грн за \(1\) кг.

За \(4\) кг огірків та \(5\) кг помідорів заплатили \(86\) грн, тому

Складемо систему рівнянь:

Віднімемо почленно рівняння системи:

Підставимо значення \(x\) в перше рівняння. Отримаємо

Відповідь: \(19\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє знання означення похідної функції в точці, вміння знаходити кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці.

Значення похідної функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції. Отже, \(f'(5)=0\) тому що дотична паралельна осі абсцис і кут нахилу дотичної до осі абсцис дорівнює нулю.

За умовою \(f(5)=-9.\)

Значення виразу

Відповідь: \(-90.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Комбінації.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру, знання комбінаторного правила добутку.

Кількість комбінацій можна знайти за формулою:

Так способів вибору \(1\) картинки з \(5\) з діючої експозиції: \(C_5^1.\)

Кількість способів вибрати \(3\) картинки з \(10\) з архіву \(C_{10}^3.\) За комбінаторним правилом добутку всього способів такого вибору:

Відповідь: \(600.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, вміння знаходити скалярний добуток векторів, виконувати дії з векторами.

Якщо \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x_2-x_1; y_2-y_1).\)

Знайдемо координати векторів:

Координати вектора \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) дорівнюють \((a_1+b_1; a_2+b_2).\) $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0; 4). $$

Довжина вектора обчислюється за формулою

За формулою

Знаходимо косинус кута між векторами

Відповідь: \(0\mathord{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знаходити область значень функції, будувати графіки елементарних функцій.

1. \(x^2+x-6=0.\)

2. 

3. Область визначення функції:

Після спрощення виразу: $$ y=-\frac{1}{x+3}. $$

Паралельним перенесенням уздовж осі \(Ox\) вліво на \(3\) одиниці графіка $$ y=-\frac 1x, $$ отримаємо $$ y=-\frac{1}{x+3}. $$

Відповідь: 1. \(2; -3.\)
                   2. \(-\frac{1}{x+3}.\)
                   4. \((-\infty; -0\mathord{,}2)\cup (-0\mathord{,}2; 0)\cup (0; +\infty).\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє ознаки перпендикулярності прямої та площини, проекції прямої на площину, кута між площинами піраміди.

1. За умовою \(SB\ \perp\ AB\) та \(SB\ \perp\ BC\), тому \(SB\ \perp\ (ABC)\) за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

\(SB\) – висота піраміди.

2. \(SB\ \perp\ (ABC)\), \(SD\) – похила, тому \(BD\) – проекція похилої. \(BD=10\) см, \(\angle BDA=30^\circ.\)

3. \(BK\ \perp\ AD\) – висота паралелограма. За теоремою про три перпендикуляри \(SK\ \perp\ AD\Rightarrow AD\ \perp (SKB)\), а \(\angle SKB\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SAD)\) та \((ABC).\)

4. У \(\Delta BKD\ (\angle K=90^\circ)\), \(\angle D=30^\circ\), \(BD=10\) см.

5. У \(\Delta SBD\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

6. У \(\Delta SBK\ (\angle B=90^\circ)\)

Отже, \(\angle SKB=\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.\)

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні, тригонометричні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, тригонометричні тівняння та їхні системи, розв'язувати рівняння, нерівності та системи з параметрами.

1. Знайдемо ОДЗ:

2. Знайдемо корені рівняння

Використаємо основну логарифмічну тотожність $$ a^{\log_ab}=b, $$ маємо

\(D\ge 0\) при будь-яких значеннях \(a\), тому корені квадратного рівняння:

Розглянемо окремо \(D = 0\mathord{:}\) $$ x=\frac{6a-1}{6}=a-\frac 16, $$ при

Перевіримо, чи влаштовує цей корінь ОДЗ: \begin{gather*} x\gt a,\\[6pt] -\frac 13\gt -\frac 16 \end{gather*} не виконується, тому $$ x=a-\frac 16 $$ не є коренем.

При \(D\gt 0\)