Розділ: Планіметрія
Тема: Паралелограм. Ромб. Трапеція
Кількість завдань: 72
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.
\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)
1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)
2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}
3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)
Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)
Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивості трапеції, прямокутного трикутника.
\(AK:KD=3:2.\) За властивістю паралелограма \(BC=AD.\) $$ KD=\frac 25AD=\frac 25\cdot 20=8\ \text{см}. $$ \(BKDC\) – рівнобічна трапеція.
\(\angle AKB=\angle KBM=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) (внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ KD\) і січною \(BK\)). \(\angle KBC=\angle DCP=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) як кути при основі рівнобедреної трапеції.
У \(\Delta DPC\ (\angle P=90^\circ)\ PC=6\ \text{см}, \angle C=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) $$ CD=\frac{PC}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=\frac{6}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}. $$
Площу паралелограма знаходимо за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot b\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha},\\[6pt] S=CD\cdot BC\sin C=\frac{6}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}\cdot 20\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=\\[6pt] =120\frac{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=120\ \mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора, описані навколо кола чотирикутники.
Якщо у чотирикутник можна вписати коло, то сума довжин протилежних сторін рівна.
1 – В. Середня лінія трапеції дорівнює \begin{gather*} \frac{BC+AD}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}
2 – Г. За умовою \begin{gather*} AB-BC=14\ \text{см}, BC=AD-14,\\[7pt] BC+AD=50,\ \ AD-14+AD=50,\\[7pt] 2AD=64,\ \ AD=32\ \text{см}. \end{gather*}
3 – Б. \(BC=50-32=18\ \text{см}.\) \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD.\)
за теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] BK^2=25^2-7^2=625-49=576,\\[7pt] BK=24\ \text{см}. \end{gather*}
Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання про паралелограм, ромб, квадрат та їх властивості.
I. Твердження неправильне. Сума двох сусідніх сторін паралелограма не може дорівнювати його діагоналі, тому що за нерівністю трикутника \(AB+AD\gt BD.\)
II. Твердження правильне. Існує паралелограм, в якому один з кутів вдвічі більше за інший. Наприклад, з кутами \(60^\circ\) i \(120^\circ.\)
III. Твердження правильне. Існує паралелограм – ромб, у якого діагоналі перпендикулярні.
Відповідь: В.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.
За умовою \(AD=3BK,\) де \(BK\) – висота паралелограма.
У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за властивістю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ,\) \(AB=2BK,\) \(BK=6\ \text{см}.\) $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$
Площа паралелограма \(S=ah_a,\) де \(a=AD, h_a=BK.\) $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.
Правильне лише ІІІ твердження.
I. Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.
II. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники \(\Delta ABC\ne \Delta ACD.\)
III. \(AC=BD\) (властивість рівнобічної трапеції). \(\Delta ABC=\Delta DCB\) (І ознака).
Відповідь: А.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.
I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл (властивість ромба).
IІ. Неправильне твердження.
IІІ. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні (це властивість ромба, а квадрат є ромбом із прямими кутами).
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.
1. \(MB\) – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$ MN=\frac{AD+BC}{2}. $$
2. Отже, \begin{gather*} AD=2MN-BC=\\[7pt] =2*13-9=26-9=17\ (\text{см}). \end{gather*}
3. Проведемо \(CK\perp AD.\) Отримали \begin{gather*} BC=AK=9\ \text{см},\\[7pt] KD=AD-AK=17-9=8\ \text{см}. \end{gather*}
4. \(\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ\) – прямокутний рівнобедрений \((\angle D=45^\circ).\) Отже, \begin{gather*} KD=CK=8\ \text{см}. \end{gather*}
5. \(ABCD\) – прямокутна трапеція, тому $$ AB=CK=8\ \text{см}. $$
Відповідь: 8.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції, властивостей паралельних прямих.
I. \(\angle BAD+\angle ABC=180^\circ\) правильне твердження. За властивістю трапеції сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює \(180^\circ.\)
II. \(\angle BCA=\angle CAD\) правильне твердження. \(BC || AD,\ CA\) – січна. \(\angle BCA\) та \(\angle CAD\) – внутрішні різносторонні.
III. \(AC=BD\) неправильне твердження. Діагоналі довільної трапеції не рівні.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.
Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів та паралелограма.
\(\angle ABM+\angle ABC=180^\circ\) за властивістю суміжних кутів.
За властивістю паралелограма $$ \angle B=\angle D=155^\circ. $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.
2.
У \(\triangle ABK (\angle K=90^\circ )\) катет \(BK=4\) менше гіпотенузи вдвічі \(AB=8\), тому \(\angle A=30^\circ\ \left(\sin 30^\circ=\frac 12=\frac{BK}{AB}\right)\). Правильна відповідь - Б.
3.
За формулою \(S=ah_a\), де \(a=8,\ \ h_a=2\). Площа паралелограма \(S=8\cdot 2=16\). Отже, 3 – Д.
Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.
Побудуємо математичну модель задачі:
\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).
Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$
У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.
Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41 $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).
1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.
2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.
3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A
Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак ромба.
І. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. Ця властивість у будь-якому ромбі не виконується. Отже, твердження неправильне.
ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба). Правильне твердження.
ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні (означення ромба). Правильне твердження.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.
Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $$ 360^\circ-280^\circ=80^\circ $$
Якщо гострі кути паралелограма \(\angle A=\angle C=80^\circ\), то \(\angle B=\angle D=180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.
1. За теоремою Піфагора, \(PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.\) \(PL=6\ \text{см}\).
\(\triangle ALK\) - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}2. \(\triangle APL\sim \triangle LEB\) (за гострим кутом). \(\angle LAP=\angle BLE\) - відповідні при \(AP\ ||\ LE\) та січної \(AB\). \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}
Відповідь: 1. 12. 2. 21.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак паралелограма.
З наведених тверджень привильними є твердження II i III.
Протилежні кути паралелограма рівні (властивість).
Відстані від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні. $$ \triangle BEO=\triangle DKO $$ за гіпотенузою та гострим кутом.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.
І спосіб:
\(\angle ADB=\angle CBD=35^\circ\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(BD\).
$$
\triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ,
$$
отже
$$
\angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ.
$$
ІІ спосіб:
За властивістю трапеції
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.
1.
\(\angle A=90^\circ\), \(AC\) бісектриса, \(\angle BAC=45^\circ.\)
\(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((\angle B=90^\circ)\), \(AB=BC=6\) см.
Отже, 1 – A.
2. \(CH\perp AD\), \(HD\) – проекція \(CD\) на \(AD.\)
У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)\), \(CH=6\) см, \(HD=8\) см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.
3. \(ABCH\) – квадрат.
\(BC=AH=6\) см, \(AD=AH+HD=14\) см.
Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.
Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.
I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.
III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.
\(ABCD\) – ромб, \(BD=2\) м, \(\angle D=60^\circ.\)
\(\Delta BMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(BD=2\) м, \(\angle MDB=30^\circ\) (діагональ ромба \(BD\) – бісектриса
кута \(D\)).
\(MB=\frac 12BD=\frac 12\cdot 2=1\) м.
За властивістю катета, протилеглого до кута \(30^\circ.\)
Відповідь, найближча до точної \(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7\ \textit{м}^2.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.
I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).
II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).
III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.
За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$
За властивістю паралелограма \(\angle B=\angle D=155^\circ\) як протилежні.
Відповідь: Д.
