Паралелограм. Ромб. Трапеція – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Планіметрія
Тема: Паралелограм. Ромб. Трапеція
Кількість завдань: 128

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 128

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, площа якого дорівнює $60$ см$^2.$ Точка $M$ належить стороні $BC.$ Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А$45$ см$^2$

Б$40$ см$^2$

В$35$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$20$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання формул площі трикутника та паралелограма, поняття площі фігури.

$MK$ – висота паралелограма та трикутника.

\begin{gather*} S_{ABCD} = AD \cdot MK = 60\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{AMD} = \frac{1}{2}AD \cdot MK = 30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площа фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників, дорівнює

\begin{gather*} S_{\text{фігури}} = S_{ABCD} - S_{AMD} = 60 - 30 = 30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6089

Завдання 2 з 128

Укажіть хибне твердження.

АПротилежні сторони паралелограма рівні.

БСума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^\circ$.

ВДіагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

ГПлоща паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.

ДПлоща паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, формули знаходження площі паралелограма.

Твердження А, Б, В – властивості паралелограма.

Твердження Г – формула для знаходження площі паралелограма.

Отже, хибне твердження Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6097

Завдання 3 з 128

На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює $96$ см$^2$. У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.

А$24$ см$^2$

Б$32$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання поняття площі фігури.

На рисунку зображено ромб та коло, вписане в нього.

Застосуємо властивість: площа фігури дорівнює сумі площ фігур, на які вона розбивається.

Площі зафарбованих фігур дорівнюють площі незафарбованих. Отже, площа зафарбованої фігури дорівнює половині площі ромба.

\begin{gather*} S_{\text{фігури}} = \frac{1}{2}S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2}\cdot 96 = 48\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6103

Завдання 4 з 128

Обчисліть площу чотирикутника $ABCD$ (див. рисунок), сторони $AB$ i $CD$ якого паралельні вісі $Oy$.

А$10$

Б$5$

В$3$

Г$6$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Площі фігур.

Це завдання перевіряє знання формули знаходження площі паралелограма.

$CK\!\perp\!AB$, $AB\!\parallel\!Oy$, $CD\!\parallel\!Oy$, $AB = CD$, звідси $ABCD$ – паралелограм.

Площа паралелограма $ABCD$.

\begin{gather*} S = ah_a;\\[7pt] a = AB = 2;\\[7pt] h_a = CK = 3;\\[7pt] S = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6136

Завдання 5 з 128

Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює $150^\circ$. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.

А$75^\circ$

Б$95^\circ$

В$105^\circ$

Г$115^\circ$

Д$120^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

У паралелограма протилежні кути рівні, а прилеглі до однієї сторони – у сумі дорівнюють $180^\circ$ (як внутрішні односторонні при паралельних прямих).

За умовою сума двох кутів $150^\circ.$ Це можуть бути тільки протилежні кути, кожен з яких

\begin{gather*} 150^\circ : 2 = 75^\circ. \end{gather*}

Інші протилежні кути дорівнюють

\begin{gather*} 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\ \text{(більший кут)}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6164

Завдання 6 з 128

На рисунку зображено ромб $ABCD$. Знайдіть градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle CAD=25^\circ$.

А$155^\circ$

Б$130^\circ$

В$120^\circ$

Г$100^\circ$

Д$50^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

За властивістю ромба (діагоналі є бісектрисами кутів) $\angle BAD = 50^\circ$

\begin{gather*} \angle A + \angle B = 180^\circ;\\[7pt] \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6212

Завдання 7 з 128

На папері у клітинку зображено паралелограм $ABCD$, вершини якого збігаються з вершинами клітинок (див. рисунок). Знайдіть площу паралелограма $ABCD$, якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною завдовжки $1$ см.

А$9$ см$^2$

Б$12$ см$^2$

В$15$ см$^2$

Г$18$ см$^2$

Д$24$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання формули площі паралелограма.

Площа паралелограма

\begin{gather*} S = AD \cdot BH = 6 \cdot 3 = 18\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6225

Завдання 8 з 128

На рисунку зображено рівносторонній трикутник $ABC$, $KM$ – його середня лінія. Периметр трикутника $KBM$ дорівнює $12$ см. Визначте периметр чотирикутника $AKMC.$

А$32$ см

Б$28$ см

В$24$ см

Г$20$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників.

$\Delta ABC$ – рівносторонній $KM = \dfrac{1}{2}AC$, $KM\ ||\ AC$ (за властивістю середньої лінії).

$\Delta ABC$ подібний $\Delta KBM.$ Отже, $\Delta KBM$ – рівносторонній.

\begin{gather*} P = 12\ \text{см},\\[7pt] KM = KB = BM = 12 : 3 = 4\ \text{см},\\[7pt] AC = 8\ \text{см},\\[7pt] AK = KM = MC = 4\ \text{см},\\[7pt] P_{AKMC} = AC + 3KM = 8 + 3 \cdot 4 = 20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6289

Завдання 9 з 128

У прямокутній трапеції $ABCD$ $(AD\!\parallel\!BC)$ діагональ $AC$ перпендикулярна до бічної сторони $CD.$ Знайдіть довжину цієї діагоналі (у см), якщо $AD=18$ см, $BC=8$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику, теореми Піфагора, властивостей трапеції.

$AC\!\perp\!CD.$ Проведемо $CK\!\perp\!AD.$

$ABCK$ – прямокутник,

\begin{gather*} BC = AK = 8\ \text{см},\\[7pt] KD = AD - AK = 18 - 8 = 10\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ACD$ $(\angle C = 90^\circ)$ за властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи:

\begin{gather*} CK = \sqrt{AK \cdot KD} = \sqrt{8 \cdot 10} = 4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ACK$ $(\angle K = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AK^2 + CK^2 = 64 + 80 = 144,\\[7pt] AC = \sqrt{144} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6310

Завдання 10 з 128

Які твердження є правильними?

I. Протилежні кути ромба рівні.

II. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-який ромб можна вписати коло.

Алише I та II

Блише I та ІІІ

Влише II та ІІІ

Глише IІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

I. Протилежні кути ромба рівні (властивість будь-якого паралелограма).

II. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба).

III. У будь-який ромб можна вписати коло (сума довжин протилежних сторін рівна).

Усі твердження є правильними.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6320

Завдання 11 з 128

Укажіть хибне твердження.

АЯкщо в чотирикутнику кожна сторона дорівнює протилежній стороні, то такий чотирикутник – паралелограм.

БЯкщо всі кути чотирикутника рівні, то такий чотирикутник – прямокутник.

ВДіагоналі прямокутника рівні.

ГДіагоналі прямокутника є бісектрисами його кутів.

ДДіагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів.

Хибне твердження: діагоналі прямокутника є бісектрисами його кутів.

Усі інші твердження – правильні.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6349

Завдання 12 з 128

Господарю потрібно зорати город, що має форму прямокутної трапеції. Розміри городу вказано на рисунку. Оранка трактором ділянки площею $100$ м$^2$ коштує $8$ грн. Скільки грошей (у грн) повинен заплатити господар трактористу за оранку всього городу?

А$144$ грн

Б$450$ грн

В$576$ грн

Г$288$ грн

Д$360$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції, формули площі трапеції.

$AB = 120$ м, $BC = 27$ м, $AD = 33$ м.

Знайдемо площу трапеції за формулою:

\begin{gather*} S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CK;\\[6pt] CK = AB = 120\ \text{м};\\[6pt] S = \frac{27 + 33}{2} \cdot 120 = 30 \cdot 120 = 3600\ \text{м}^2. \end{gather*}

Оранка ділянки площею $100$ м$^2$ коштує $8$ грн. Отже, за оранку всього городу господар повинен заплатити:

\begin{gather*} 3600 : 100 \cdot 8 = 36 \cdot 8 = 288\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6369

Завдання 13 з 128

На рисунку зображено рівнобедрену трапецію $ABCD$, у якій $AD = 8$ см, $BC = 4$ см, $AC = 10$ см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1–4) та довжиною проекції (А – Д).

Проекція відрізка на пряму

1проекція відрізка $BC$ на пряму $AD$

2проекція відрізка $CD$ на пряму $AD$

3проекція відрізка $AC$ на пряму $AD$

4проекція відрізка $AD$ на пряму $AC$

Довжина проекції

А$2$ см

Б$4$ см

В$4{,}8$ см

Г$5{,}6$ см

Д$6$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції, трикутника.

$ABCD$ – рівнобедрена трапеція. $AD = 8$ см, $BC = 4$ см, $AC = 10$ см.

1. Проекція $BC$ на $AD$ – відрізок $KM$. $(BK$, $CM$ – висоти). $BC = KM = 4$ см. Отже, 1 – Б.

2. Проекція $CD$ на $AD$ – відрізок $MD.$

\begin{gather*} MD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Проекція $AC$ на $AD$ – відрізок $AM.$

\begin{gather*} AM = AK + KM = 2 + 4 = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

4. Проекція $AD$ на $AC$ – відрізок $AO.$ $(DO\!\perp\!AC).$

$\Delta ACM\ (\angle M = 90^\circ)$, $AM = 6$ см, $AC = 10$ см єгипетський, отже, $CM = 8$ см.

\begin{gather*} S_{ACD} = \frac 12 \cdot AD \cdot CM = \frac 12 \cdot 8 \cdot 8 = 32\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{ACD} = \frac 12 AC \cdot OD = \frac 12 \cdot 10 \cdot OD = 32;\\[6pt] OD = 6{,}4\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOD\ (\angle O = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2 = AO^2 + OD^2;\\[7pt] AO = \sqrt{8^2 - 6{,}4^2} = \sqrt{(8 - 6{,}4)(8 + 6{,}4)} = \sqrt{1{,}6 \cdot 14{,}4} = \\[7pt] =\sqrt{16 \cdot 144 \cdot 0{,}01} = 4 \cdot 12 \cdot 0{,}1 = 4{,}8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6373

Завдання 14 з 128

Діагоналі трапеції $ABCD\ (AD||BC)$ перетинаються в точці $O$. Знайдіть довжину основи $BC$ трапеції, якщо $AD=24$ см, $AO=9$ см, $OC=6$ см.

А$6$ см

Б$9$ см

В$12$ см

Г$16$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції та подібних трикутників.

$\angle BCO = \angle OAD$ внутрішні різносторонні при $BC\!\parallel\!AD$ та січної $AC.$

$\angle BOC = \angle AOD$ вертикальні.

$\Delta AOD$ подібний $\Delta COB$ (за двома кутами).

\begin{gather*} \frac{BC}{AD} = \frac{CO}{OA};\\[6pt] \frac{BC}{24} = \frac 69;\\[6pt] BC = \frac{6 \cdot 24}{9} = 16\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6387

Завдання 15 з 128

Точки $K$ і $L$ – середини сторін $AB$ і $AD$ паралелограма $ABCD$ (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника $KBCDL$ (у см$^2$), якщо площа паралелограма $ABCD$ дорівнює $24$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей та ознак подібних трикутників.

Площа паралелограма $S_{ABCD} = 24\ \text{см}^2.$

У $\Delta ABD$ $KL$ середня лінія, $KL = \dfrac 12BD.$

$\Delta AKL$ подібний $\Delta ABD.$

\begin{gather*} \frac{KL}{BD} = \frac 12 = k;\\[6pt] \frac{S_{AKL}}{S_{ABD}} = \frac 14 = k^{2};\\[6pt] S_{AKL} = \frac 14S_{ABD} = \frac 14 \cdot 12 = 3\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{KBCDL} = S_{ABCD} - S_{AKL} = 24 - 3 = 21\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $21.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6415

Завдання 16 з 128

Бісектриса гострого кута $A$ паралелограма $ABCD$ ділить сторону $BD$ на відрізки $BM=3$ см і $MC=5$ см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма $ABCD$.

А$18$ см

Б$20$ см

В$22$ см

Г$24$ см

Д$26$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей паралельних прямих.

$AM$ – бісектриса $\angle A$, $\angle BAM = \angle MAD.$

$\angle MAD = \angle AMB$ – внутрішні різносторонні при $AD\!\parallel\! BC$ та січної $AM.$
$AB = BM = 3$ см.

\begin{gather*} P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(3 + 8) = 22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6461

Завдання 17 з 128

Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною $13$ см і $23$ см. Обчисліть (у см$^2$) площу трапеції.

Впишіть відповідь:

864

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення рівнобічної трапеції, її властивості, означення та властивості середньої лінії трапеції та трикутника, бісектриси кута трапеції, а також формули площі трапеції.

Нехай $ABCD$ – задана рівнобічна трапеція, $LN$ – її середня лінія, $LO=13$ см, $NO=23$ см, $\angle BAC=\angle CAD$ (див. рисунок). Оскільки $LO$ і $NO$ – середні лінії в трикутниках $BAC$ і $CAD$ відповідно, то $$ BC=13\cdot 2=26\ \text{см} $$ і $$ AD=23\cdot 2=46\ \text{см}. $$ Оскільки $\angle BCA=\angle CAD$ як внутрішні різносторонні, то трикутник $BAC$ рівнобедрений і $$ AB=BC=26\ \text{см}. $$

Опустимо з вершин $B$ і $C$ на сторону $AD$ перпендикуляри $BK$ і $CM$ відповідно (див. рисунок). З прямокутного трикутника $CMD$ за теоремою Піфагора знаходимо висоту:

$$ CM=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \text{см}. $$

Площа трапеції дорівнює добутку півсумі її основ на висоту, врахуємо, що за властивістю середньої лінії трапеції

\begin{gather*} LN=\frac{BC+AD}{2}{:}\\[6pt] S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CM=LN\cdot CM=(13+23)\cdot 24=864\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $864.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6902

Завдання 18 з 128

На рисунку зображено паралелограм $ABCD.$

Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$

II. $\angle B+\angle D=180^\circ.$

III. $\angle B-\angle A\gt 0^\circ.$

Алише І

Блише І i II

Влише ІI

Глише І i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма. Розглянемо окремо кожне твердження.

I. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ – твердження є правильним, оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює $360^\circ.$

II. $\angle B + \angle D = 180^\circ$ – це твердження неправильне. Протилежні кути паралелограма рівні, їх сума може дорівнювати $180^\circ$ лише тоді, коли ці кути прямі. Але з рисунка видно, що кути $B$ і $D$ – тупі (їх градусна міра перевищує $90^\circ$, отже, їх сума більша за $180^\circ$).

III. $\angle B - \angle A \gt 0^\circ$ – ця нерівність рівносильна нерівності $\angle B \gt \angle A.$ З рисунка видно, що це твердження є правильним. Отже, правильні твердження I і III.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7076

Завдання 19 з 128

У ромб $ABCD$ вписано коло з центром у точці $O$, яке дотикається сторін $AB$ i $AD$ у точках $K$ i $M$ відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнює $48$ см, $\angle A=60^\circ.$ Знайдіть:

1. Довжину відрізка $OB$ (у см).

2. Довжину відрізка $KM$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			9

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб та його властивості. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, вписане в ромб. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків, які є складовими рівностороннього та прямокутного трикутників.

З умови випливає, що сторона ромба дорівнює $48 : 4 = 12\ \text{см}.$

1. Проведемо діагональ $BD$ і розглянемо трикутник $ABD$ (див. рисунок).

Оскільки $AB = AD$ і $\angle A = 60^\circ$, то цей трикутник є рівностороннім. Тоді $$ BD = AB = AD = 12\ \text{см}. $$ Проведемо радіуси $OK$ та $OM$ і розглянемо трикутники $OKB$ та $OMD$. Оскільки $OK\ \perp\ AB$ і $OM\ \perp\ AD$ (дотична до кола перпендикулярна до радіуса, який сполучає центр кола з точкою дотику), $OK = OM$ (як радіуси вписаного кола). $\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ$, то ці прямокутні трикутники рівні (за стороною та двома кутами). Тому $$ OB = OD = \frac{1}{2}BD = 6\ \text{см}. $$

2. Доведемо спочатку, що трикутник $AKM$ є рівностороннім. З рівності трикутників $OKB$ та $OMD$ випливає, що $KB = MD.$ Оскільки $AB = AD$ i $AK+KB=AB$, $AM+MD=AD$, то $AK=AM$. Оскільки $\angle A = 60^\circ$, то трикутник $AKM$ є рівностороннім. У прямокутному трикутнику $OKB$ $\angle KBO = 60^\circ$, тоді $\angle KOB = 30^\circ.$ Отже, катет $KB$ удвічі менший за гіпотенузу $OB\mathord{:}$ $$ KB = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\ \text{см}. $$ Тоді

$$ KM = AK=AB - KB = 12 - 3 = 9\ \text{см}. $$

Відповідь: 1. $6.$
2. $9.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7153

Завдання 20 з 128

У ромбі $ABCD$ з вершини тупого кута $D$ до сторони $BC$ проведено перпендикуляр $DK.$ $BK=4$ см, $KC=6$ см.

1. Визначте довжину перпендикуляра $DK$ (у см).

2. Обчисліть площу ромба $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	8			80

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Ромб та його властивості. Площа ромба. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжину висоти та площу ромба. Для розв’язання завдання потрібно знати означення ромба та його властивості, формулу його площі та вміти використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутного трикутника.

Нехай $ABCD$ – заданий ромб, $DK$ – висота ромба (див. рисунок).

Оскільки точка $K$ лежить на стороні ромба, то її довжина дорівнює сумі довжин відрізків $BK$ та $KC{:}$

$$ BC = BK + KC = 4 + 6 = 10\ \text{см}. $$

1. У прямокутному трикутнику $DKC$ катет $KC = 6$ см, гіпотенуза $DC = 10$ см. За теоремою Піфагора визначаємо довжину перпендикуляра $DK{:}$

$$ DK = \sqrt{DC^2 - KC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\ \text{см}. $$

2. Площу ромба можна обчислити за формулою $$ S = a \cdot h, $$ де $a$ – сторона ромба, $h$ – висота ромба. Обчислимо площу ромба $ABCD{:}$

$$ S_{ABCD} = BC \cdot DK = 10 \cdot 8 = 80\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $8.$
2. $80.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7189

Завдання 21 з 128

На стороні $AD$ паралелограма $ABCD$ як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони $BC$ в точці $M.$ Довжина дуги $MD$ дорівнює $6{,}5\pi$ см.

1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього півкола.

2. Обчисліть площу паралелограма $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	13			338

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм. Коло.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та паралелограма, формули довжини дуги і вміння обчислювати площу паралелограма.

1. Нехай $ABCD$ заданий паралелограм, $O$ – центр півкола радіуса $r$, що дотикається до сторони $BC$ в точці $M$ (див. рисунок). Оскільки півколо дотикається до сторони $BC$ в точці $M$, то $OM\ \perp\ BC$ – як радіус, проведений в точку дотику. За означенням паралелограма $AD\ ||\ BC$, отже, $OM\ \perp\ AD.$ Тоді дуга $MD$ – четверта частина кола радіуса $r$, її довжина дорівнює $$ \frac{2\pi r}{4}=\frac{\ }{2}\ \text{см}. $$ За умовою довжина дуги $MD$ дорівнює $6{,}5\pi$ см.

Отже, $$ \frac{\pi r}{2}=6{,}5\pi, $$ звідки $r=13$ см.

2. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї:

$$ S_{ABCD}=AD\cdot MO=2r\cdot r=2r^2=2\cdot 13^2=338\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $13.$
2. $338.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 7463

Завдання 22 з 128

Гострий кут паралелограма дорівнює $60^\circ$, а його сторони – $3$ см і $4$ см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

А$\sqrt{37}$ см

Б$\sqrt{31}$ см

В$5$ см

Г$\sqrt{19}$ см

Д$\sqrt{13}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей паралелограма.

Менша діагональ паралелограма лежить напроти гострого кута.

Нехай $AB = 3$ см, $AD = 4$ см, $\angle A = 60^\circ.$

У $\Delta ABD$ за теоремою косинусів

\begin{gather*} BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB^2 \cdot AD \cdot \cos A=\\[6pt] = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4\cos 60^\circ = 9 + 16 - 2 \cdot 12 \cdot \frac 12 = 25 - 12 = 13;\\[6pt] BD = \sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7524

Завдання 23 з 128

У трапеції $ABCD$: $\angle A=90^\circ$, $AB=12$ см (див. рисунок). Діагональ $BD$ ділить середню лінію $KL$ трапеції на відрізки $KM$ і $ML$, причому $KM=5{,}5$ см і $ML=3$ см. Обчисліть периметр трапеції $ABCD$ (у см).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, теорем Піфагора, властивості трапеції.

У $\Delta ABD\ KM$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії $KM = \dfrac 12AD$, $AD = 11$ см.

У $\Delta BCD\ ML$ – середня лінія. $ML = \dfrac 12BC$, $BC = 6$ см.

Проведемо $CE\!\perp\!AD.$

$ABCE$ – прямокутник, $BC = AE = 6$ см.

\begin{gather*} AD = AE + ED.\\[7pt] ED = AD - AE = 11 - 6 = 5\ \text{см}.\\[7pt] AB = CE = 12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta CED\ (\angle E = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2 = CE^2 + ED^2 = 144 + 25 = 169;\\[7pt] CD = \sqrt{169} = 13\ \text{см};\\[7pt] P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 12 + 6 + 13 + 11 = 42\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $42.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7527

Завдання 24 з 128

Площа ромба дорівнює $10{,}8$ см$^2$, а площа круга, вписаного в цей ромб, – $2{,}25 \pi$ см$^2.$

1. Визначте довжину радіуса круга, вписаного в ромб (у см).

2. Обчисліть довжину сторони ромба (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	1.5			3.6

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості ромба до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Фалеса.

$ABCD$ – ромб, $OK$ – радіус вписаного кола.

1. $S_{кр}=\pi r^2=2{,}25\pi\ \text{см}^2.$ $\ r^2=2{,}25;\ \ r=1{,}5\ \text{см}.$

$$ \left.\begin{array}{l} AE\ \perp\ BC\\ OK\ \perp\ BC \end{array}\right|\rightarrow AE\ ||\ OK. $$

$AO=OC.$ За теоремою Фалеса $KC=KE.$ Отже, в $\Delta AEC$ $OK$ – середня лінія, $$ OK=\frac{1}{2}AE. $$

$AE=2\cdot OK=2\cdot 1{,}5=3$ см – висота ромба.
$S_{p}=BC\cdot AE=BC\cdot 3=10{,}8;$ $\ BC=3{,}6$ см.

Відповідь: 1. $1{,}5.$
2. $3{,}6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 7579

Завдання 25 з 128

З вершини тупого кута $B$ паралелограма $ABCD$ опущено перпендикуляр $BO$ на сторону $AD.$ Коло з центром у точці $A$ проходить через вершину $B$ та перетинає сторону $AD$ в точці $K.$ Відомо, що $AK=6$ см, $KD=4$ см, $AO=5$ см.

1. Визначте периметр паралелограма $ABCD$ (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	32			6

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, означення периметра паралелограма та ознаки рівності прямокутних трикутників.

Нехай $ABCD$ – заданий паралелограм, $BO$ – перпендикуляр, $AK = 6$ см, $KD = 4$ см, $AO = 5$ см (див. рисунок).

1. $AD = AK + KD = 6 + 4 = 10$ см. Оскільки $AB$ і $AK$ – радіуси кола з центром у точці $A$, то $AB = AK = 6$ см. Тоді периметр паралелограма $ABCD$ дорівнює сумі довжин усіх сторін паралелограма, тобто

$$ P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(6 + 10) = 32\ \text{см}. $$

2. Проведемо діагональ $BD$ (див. рисунок).

Прямокутні трикутники $AOB$ та $BOD$ рівні $(BO$ – спільний катет, $AO = OD$, оскільки $AO = 5$ см, $AD = 10$ см$).$ Тому $BD = AB = 6$ см.

Відповідь: 1. $32.$
2. $6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7648

Завдання 26 з 128

У прямокутній трапеції $ABCD$ проведено середню лінію $MN$ (див. рисунок). $BC=9$ см, $MN=13$ см, $\angle ADC=45^\circ.$

1. Визначте довжину сторони $AD$ (у см).

2. Визначте довжину сторони $AB$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	17			8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості. Середня лінія трапеції та її властивості. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Bміння визначати висоту трапеції як відповідний катет прямокутного трикутника.

1. Згідно з умовою $MN$ – середня лінія, $AD$ і $BC$ – основи трапеції $ABCD.$ Отже, $$ MN = \frac{AD + BC}{2}, $$ звідки одержимо

$$ AD = 2MN - BC = 2 \cdot 13 - 9 = 17 \text{ см}. $$

2. Опустимо з точки $C$ на основу $AD$ перпендикуляр $CK$ і розглянемо прямокутний трикутник $CKD$ (див. рисунок).

У цьому трикутнику $\angle K = 90^\circ$, $\angle D = 45^\circ$. Тоді $$ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. $$ Отже, трикутник $CKD$ є прямокутним і рівнобедреним, у якому $KC = KD.$ Оскільки

$$ KD = AD - AK = AD-BC=17 - 9 = 8 \text{ см} $$

і $KC = AB$, то $AB = KD = 8$ см.

Зазначимо, що якщо провести відрізок $BP$ паралельно стороні $CD$ (точка $P$ належить основі $AD$), то утвориться прямокутний рівнобедрений трикутник $BAP$, у якому $$ AB = AP = AD-BC = 8 \text{ см}. $$

Відповідь: 1. $17.$
2. $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8193

Завдання 27 з 128

Довжина сторони $AB$ паралелограма $ABCD$ дорівнює $10$ см, а його периметр – $60$ см. Визначте довжину сторони $BC$.

А$50$ см

Б$40$ см

В$25$ см

Г$20$ см

Д$6$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Периметр паралелограма.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідому сторону паралелограма за його периметром і відомою стороною.

За означенням периметром паралелограма (як і будь-якого многокутника) називають суму довжин всіх його сторін. Оскільки у паралелограма $ABCD$ протилежні сторони попарно рівні: $AB=CD$ i $AD=BC$, то його периметр визначається за формулою: $$ P_{ABCD}=2(AB+BC). $$

Підставимо дані з умови: $$ 60=2(10+BC), $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 30=10+BC,\\[7pt] BC=30-10=20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9233

Завдання 28 з 128

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1–4) та радіусом кола (А – Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

Геометрична фігура

Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру

А$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Б$1$

В$\frac 12$

Г$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Д$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні $2 : 1$, рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює $\frac{1}{3}$ його висоти. За умовою висота дорівнює $\sqrt{2}$, тому радіус вписаного кола дорівнює $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус $r$ кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти $h$ цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус $r$ кола, вписаного в квадрат зі стороною $a$, дорівнює половині його сторони: $r = \frac{a}{2}$. Якщо діагональ квадрата дорівнює $\sqrt{2}$, то $a = 1$. Тоді $r = \frac{1}{2}$. Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює $a$, то радіус вписаного кола $r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$. Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність $2a = 2\sqrt{2}$. Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9255

Завдання 29 з 128

Діагональ $BD$ прямокутної трапеції $ABCD$ є бісектрисою кута $ADC$ й утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину середньої лінії трапеції $ABCD$ (у см), якщо $BD=20\sqrt{3}$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжину середньої лінії прямокутної трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення прямокутної трапеції, її властивості, означення та властивість середньої лінії трапеції, бісектриси кута трапеції. Також потрібно знати тригонометричні співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Нехай $ABCD$ задана прямокутна трапеція (див. рисунок), $LN$ – її середня лінія: $$ LN = \frac{AD + BC}{2}. $$ У прямокутному трикутнику $BAD$ відомі гіпотенуза $BD = 20\sqrt{3}$ см та $\angle BDA = 30^\circ.$ Тоді $$ \frac{AD}{BD} = \cos 30^\circ, $$ звідки отримуємо:

$$ AD = BD \cos 30^\circ = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\ \text{см}. $$

Основа $BC$ трапеції є стороною трикутника $BCD$. Оскільки $BC\ ||\ AD$, то $\angle CBD = \angle ADB = 30^\circ$ (як внутрішні різносторонні), а оскільки $BD$ є бісектрисою кута $ADC$, то $\angle BDC = 30^\circ$. Отже, трикутник $BCD$ є рівнобедреним ($BC = DC$). Висота $CO$ цього трикутника є його медіаною і ділить сторону $BD$ навпіл: $BO = OD$. Знаючи катет $BO = 10\sqrt{3}$ см та прилеглий до нього кут $\angle OBC = 30^\circ$, визначаємо сторону $BC\mathord{:}$ $$ \frac{BO}{BC} = \cos 30^\circ, $$ тоді $$ BC = \frac{BO}{\cos 30^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\ \text{см}. $$

Отже,

$$ LN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{30 + 20}{2} = 25\ \text{см}. $$

Відповідь: $25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9261

Завдання 30 з 128

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$, $\cos A=0\mathord{,}44.$ Визначте довжину діагоналі $BD$ паралелограма, якщо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{AB}(6; -8)$ i $\overrightarrow{AD}$ дорівнює $88.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Координати та вектори на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Теорема косинусів.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

Нагадаємо, що скалярним добутком векторів $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ називають число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними: $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \varphi, $$ де $\varphi$ – кут між векторами $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$.

Довжину вектора $\overrightarrow{a}(a_x; a_y)$ обчислюють за формулою $$ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. $$

На рисунку $ABCD$ – паралелограм, $\overrightarrow{AB}(6; -8)$, $\cos A=0\mathord{,}44.$

За умовою $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=88, $$ тобто $$ |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos A=88. $$ Оскільки вектор $\overrightarrow{AB}(6; -8)$ відомий, то його довжина

\begin{gather*} |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10. \end{gather*}

Визначаємо довжину вектора $\overrightarrow{AD}\mathord{:}$

\begin{gather*} 10\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot 0\mathord{,}44=88,\\[6pt] |\overrightarrow{AD}|=\frac{88}{4\mathord{,}4}=20. \end{gather*}

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ є стороною трикутника $ABD.$ У цьому трикутнику відомі довжини сторін $AB$ та $AD$, що дорівнюють довжинам векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AD}$ відповідно, та косинус кута між ними. За теоремою косинусів

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos A=10^2+20^2-2\cdot 10\cdot 20\cdot 0\mathord{,}44=324, $$

Звідки отримуємо $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Отже, довжина діагоналі $BD$ дорівнює $18.$

Знаючи довжини сторін $AB$ та $AD$ і косинус кута між ними, довжину діагоналі $BD$ можна визначати ще так. Опустимо з вершини $B$ на сторону $AD$ перпендикуляр $BK$.

Прямокутні трикутники $AKB$ та $BKD$ мають спільний катет, тоді виконується рівність

$$ AB^2-AK^2=BD^2-KD^2. $$

З прямокутного трикутника $AKB$ визначаємо

$$ AK=AB\cos A=10\cdot 0\mathord{,}44=4\mathord{,}4. $$

Тоді

$$ KD=20-4\mathord{,}4=15\mathord{,}6. $$

Отже, $$ 10^2-4\mathord{,}4^2=BD^2-15\mathord{,}6^2 $$ звідки отримуємо

$$ BD^2=100+15\mathord{,}6^2-4\mathord{,}4^2=100+(15\mathord{,}6-4\mathord{,}4)(15\mathord{,}6+4\mathord{,}4)=100+11\mathord{,}2\cdot 20=324, $$

тоді $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Відповідь: $18.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9455

Завдання 31 з 128

На рисунку зображено ромб $ABCD$ та коло, побудоване на мешій діагоналі $BD$ як на діаметрі. Довжина кола дорівнює $12\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.$ Це коло ділить діагональ $AC$ на три відрізки $AK$, $KM$ та $MC$, довжини яких відносяться як $1 : 6 : 1.$

1. Обчисліть довжину діагоналі $BD.$

2. Обчисліть площу ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			96

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, уміння застосовувати властивості ромба, використовувати формули площ геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина кола $$ C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=12\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}. $$ Отже,

\begin{gather*} R=6,\\[7pt] BD=2R=12. \end{gather*}

2. Нехай $$ AK=MC=x, $$ тоді $$ KM=6x=2R=12. $$ Отже, $x=2.$

\begin{gather*} AC=AK+KM+MC=x+6x+x=8x=16. \end{gather*}

Площу ромба знайдемо за формулою: $$ S=\frac 12d_1d_2, $$ де $d_1$, $d_2$ – довжини діагоналей.

$$ S_{ABCD}=\frac 12BD\cdot AC=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96. $$

Відповідь: 1. $12.$
2. $96.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10857

Завдання 32 з 128

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$, основа якої $AD$ вдвічі більша за основу $BC.$ Обчисліть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{BD}$ та $\overrightarrow{AC}$, якщо $\overrightarrow{AB}(2; 9)$ i $\overrightarrow{BC}(-4; 3).$

Впишіть відповідь:

-16

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

1. $AD\ ||\ BC.$ Отже,

\begin{gather*} \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC},\\[7pt] \overrightarrow{BC}(-4; 3)\Rightarrow \overrightarrow{AD}(-8; 6). \end{gather*}

2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (за правилом трикутника). Отже, $\overrightarrow{AC}(-2; 12).$

3. $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BD}(-10; -3).$

4. Знаходимо скалярний добуток векторів:

$$ \overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=-10\cdot (-2)+(-3)\cdot 12=20-36=-16. $$

Відповідь: $-16.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10861

Завдання 33 з 128

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM.$ Точки $K$ i $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює $18$ см$^2.$

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			72

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата $KBCM\ 18$ см$^2$, то

$$ BC=CM=KM=BK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{см}. $$

$KM$ з'єднує середини діагоналей $AC$ та $BD$, належить середній лінії $LN.$

$\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD$, $KM$ – середня лінія $KM=\frac 12AE$, $AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Фалеса $MK\ ||\ AD$, оскільки середина $AC$, тому точка $M$ – середина $CE.$ $CE=2CM=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AE^2+CE^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=144\ \textit{см}^2,\\[7pt] AC=12\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Оскільки $LK$ – середня лінія $\Delta BAC$, $MN$ – середня лінія $\Delta BCD$, то

\begin{gather*} LK=MN=\frac 12BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \textit{см},\\[6pt] LN=LK+KM+MN=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \textit{см},\\[6pt] S_{ABCD}=LN\cdot CE=6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $12.$
2. $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12090

Завдання 34 з 128

Довжина сторони ромба дорівнює $12$ см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює $120^\circ.$

А$6\sqrt{3}$ см

Б$8\sqrt{3}$ см

В$12$ см

Г$12\sqrt{3}$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей ромба, уміння розв'язувати планіметричні задачі.

Дано: ромб $ABCD$, $AB=12$ см, $\angle A=120^\circ.$

Більша діагональ лежить напроти більшого кута ромба $\angle A=\angle C=120^\circ.$ Тому $BD$ – більша діагональ.

У трикутнику $DAB\ \angle A=120^\circ$, $AB=AD=12$ см. За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=\\[6pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =2\cdot 12^2+12^2=3\cdot 12^2. \end{gather*}

Отже, $$BD=\sqrt{3\cdot 12^2}=12\sqrt{3}\ \textit{см}.$$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12512

Завдання 35 з 128

Діагональ $AC$ та висота $BP$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $K$ (див. рисунок). Відомо, що $AB=12$, $\angle BAD=60^\circ$, $BK:KP=4:1.$

1. Визначте довжину відрізка $AP.$

2. Обчисліть периметр паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			72

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)$ $\angle A=60^\circ$, $\angle B=30^\circ.$

За властивостю катета, який лежить напроти кута $30^\circ$ $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. $\angle KAP=\angle BCK$ як внутнішні різнсторонні при $BC\ ||\ AP$ та січної $AC.$

$\Delta AKP$ подібний $\Delta CKP$ (за гострим кутом), тому відповідні сторони пропорційні

\begin{gather*} \frac{AP}{BC}=\frac{KP}{BK}=\frac 14\ (\text{за умовою}),\\[6pt] \frac{6}{BC}=\frac 14,\\[6pt] BC=24,\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+24)=2\cdot 36=72. \end{gather*}

Відповідь: 1. $6.$
2. $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14260

Завдання 36 з 128

У паралелограмі $ABCD$ нa стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ i відрізок $BK$ перетинаються в точці $O.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$18$ см

В$16$ см

Г$15$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Розглянемо $\Delta AOK$ та $\Delta COB.$

$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при $BC\ ||\ AD$ та січної $AC.$

$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BO}{OK}=\frac{BC}{AK},\\[6pt] \frac 32=\frac{BC}{12},\\[6pt] BC=\frac{3\cdot 12}{2}=18\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15247

Завдання 37 з 128

Установіть відповідність між чотирикутником (1–4) та довжиною його висоти (А – Д).

Чотирикутник

1ромб, гострий кут якого дорівнює $60^\circ$, а менша діагональ – $8\sqrt{3}$ см

2ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$, а периметр – $80$ см

3прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють $13$ см і $7$ см, а більша бічна сторона – $10$ см

4трапеція, середня лінія якої дорівнює $6$ см, а площа – $84$ см

Довжина висоти

А$7$ см.

Б$8$ см.

В$10$ см.

Г$12$ см.

Д$14$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}.$

$\Delta ABC$ – рівносторонній, $\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$

$\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ).$

$AK=AC\cdot \sin \angle C=8\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\ \textit{см}.$

Отже, 1 – Г.

$P_{ABCD}=80\ \textit{см}$, $AB=BC=CD=AD=20\ \textit{см}.$

$S_{ABCD}=AB^2\cdot \sin 30^\circ=BC\cdot AK=20^2\cdot \frac 12=20\cdot AK.$

$200=20AK$, $AK=10\ \textit{см}.$

Отже, 2 – В.

$BC=7$ см, $AD=13$ см, $AB\ \perp\ AD$, $CD=10$ см.

Додаткова побудова $CK\ \perp\ AD.$

$ABCK$ – прямокутник, $BC=AK=7$ см, $AD=13$ см, $KD=13-7=6$ см.

$\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ)$ – єгипетський, $CK=8$ см.

Отже, 3 – Б.

$ABCD$ – трапеція, $BK$ – висота.

$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BK.$

$MN$ – середня лінія, $MN=\frac{BC+AD}{2}.$

$S=MN\cdot BK$, $BK=\frac{S}{MN}=\frac{84}{16}=14$ см.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16620

Завдання 38 з 128

На рисунку зображено паралелограм $ABCD.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ.$

II. $AB=CD.$

III. $AC\ \perp\ BD.$

Алише І

Блише ІI i ІІI

Влише І i ІІ

Глише І i ІІI

Длише ІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

I. Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює $180^\circ.$ Отже, твердження І правильне.

II. Протилежні сторони паралелограма рівні. Отже, твердження ІІ правильне.

III. $AC$ та $BD$ - діагоналі паралелограма. Якщо діагоналі паралелограма перетинаються під прямим кутом, то такий паралелограм є ромбом. За умовою $ABCD$ паралелограм. Отже, $AC \not\perp BD$, тому твердження III неправильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17073

Завдання 39 з 128

Прямокутну трапецію $ABCD\ (AD\ ||\ BC$, $AD\gt BC)$ з більшою бічною стороною $CD=10$ описано навколо кола радіуса $4.$ Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Величина

1довжина сторони $AB$

2довжина проекції сторони $CD$ на пряму $AD$

3довжина основи $AD$

4довжина середньої лінії трапеції $ABCD$

Числове значення величини

А$6$

Б$8$

В$9$

Г$12$

Д$18$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

$OK=4$, $CD=10.$

1. Висота трапеції – діаметр кола $AB=8.$
Отже, 1 – Б.

2. $CE\ \perp\ AD$, $ED$ – проекція сторони $CD$ на $AD.$

$\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай $BC=AE=x$, тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17083

Завдання 40 з 128

На рисунку зображено ромб $ABCD$, діагоналі якого перетинаються в точці $O.$ Із цієї точки до сторони $AD$ проведено перпендикуляр $OK$ довжиною $3$ см. Площа трикутника $AOD$ дорівнює $15$ см$^2.$

1. Визначте довжину сторони ромба $ABCD$ (у см).

2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	10			0.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

$OK=3$ см, $S_{AOD}=15$ см$^2.$

1. $\Delta AOD$ \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. $BE\ \perp\ AD$ висота ромба $BO=OD$, $KD=EK$ (за теоремою Фалеса).

У $\Delta BED\ OK$ – середня лінія. $BE=2OK=6$ см.

$\Delta ABE\ (\angle E=90^\circ)\ AB=10$ см, $BE=6$ см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=BE^2+AE^2,\\[7pt] AE=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \textit{см},\\[6pt] \operatorname{tg}\ A=\frac{BE}{AE}=\frac 68=\frac 34=0\mathord{,}75. \end{gather*}

Відповідь: 1. $10.$
2. $0\mathord{,}75.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17086

Завдання 41 з 128

Основи $BC$ й $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють $7$ см i $25$ см відповідно. Діагональ трапеції $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Середня лінія трапеції дорівнює

2Проекція сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Висота трапеції дорівнює

4Сторона $AB$ трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$9$ см.

Б$12$ см.

В$15$ см.

Г$16$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про середню лінію трапеції, вміння застосовувати властивості трапеції до розв'язування планіметричних задач.

$BC=7$ см, $AD=25$ см, $BD\ \perp\ AB.$

1. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

$$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{7+25}{2}=\frac{32}{2}=16\ \textit{см}. $$

Отже, 1 – Г.

2. $BK\ \perp\ AD$, $AK$ – проекція $AB$ на пряму $AD.$ Проведемо перпендикуляр з вершини $C$ на пряму $AD.$ $CP\ \perp\ AD$ $BCPK$ – прямокутник, $BC=KP=7$ см.

$AK=PD=(AD-BC):2=(25-7):2=9$ см.

Отже, 2 – А.

3. $KD=25-9=16$ см.

За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи:

$BK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{9\cdot 16}=3\cdot 4=12$ см.

Отже, 3 – Б.

4. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$AB^2=AK^2+BK^2=9^2+12^2=81+144=225.$ $AB=15$ см.

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17664

Завдання 42 з 128

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, точка $B$ лежить на прямій $MC.$
Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ.$

А$115^\circ$

Б$65^\circ$

В$175^\circ$

Г$165^\circ$

Д$155^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$

$$ \angle CBA=180^\circ-\angle ABM=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

За властивістю паралелограма $\angle B=\angle D=155^\circ$ як протилежні.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18979

Завдання 43 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

І. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні.

ІІ. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін.

ІІІ. Довжина сторони будь-якого квадрата вдвічі менша за його периметр.

Алише І

Блише І та IІІ

Влише І та ІІ

Глише ІІ та ІІI

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. $P=4a$ – периметр квадрата, де $a$ – сторона квадрата.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18984

Завдання 44 з 128

На рисунку зображено поверхню повітряного змія, що складається з двох рівних прямокутних трикутників $AMB$ й $CNB$ та ромба $ABCD.$ Точки $A$ i $C$ належать відрізкам $DM$ i $DN$ відповідно. Гострий кут ромба дорівнює $60^\circ$, $BD=2$ м. Визначте площу поверхні (чотирикутника $MBND$) цього змія, якщо всі його елементи лежать в одній площині.
Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А$1\mathord{,}5$ м$^2$

Б$1\mathord{,}7$ м$^2$

В$2\mathord{,}6$ м$^2$

Г$3\mathord{,}4$ м$^2$

Д$3\mathord{,}9$ м$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

$ABCD$ – ромб, $BD=2$ м, $\angle D=60^\circ.$

$\Delta BMD\ (\angle M=90^\circ)$, $BD=2$ м, $\angle MDB=30^\circ$ (діагональ ромба $BD$ – бісектриса
кута $D$).

$MB=\frac 12BD=\frac 12\cdot 2=1$ м.

За властивістю катета, протилеглого до кута $30^\circ.$

\begin{gather*} MD=BD\cdot \cos D=2\cdot \cos 30^\circ=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \textit{м}.\\[6pt] S_{BMD}=\frac 12MB\cdot MD=\frac 12\sqrt{3}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \textit{м}^2.\\[6pt] S_{MBND}=2\cdot S_{MBD}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \textit{м}^2. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної $\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7\ \textit{м}^2.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18990

Завдання 45 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.

II. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює $180^\circ.$

III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює $180^\circ.$

Алише І

Блише ІI

Влише І i ІІ

Глише ІI i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I – неправильне твердження. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші – ні (бічні).

IІ – правильне твердження. Основи трапеції – паралельні відрізки, бічна сторона – січна. Кути, прилеглі до бічної сторони – внутрішні односторонні кути, і за властивістю паралельних прямих їх сума дорівнює $180^\circ.$

III – неправильне твердження. Наведемо контрприклад. У прямокутній трапеції сума протилежних кутів не дорівнює $180^\circ.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19497

Завдання 46 з 128

Довжина сторони ромба $ABCD$ дорівнює $8$, $\angle B=60^\circ.$ Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі $AC$

2довжина висоти ромба $ABCD$

3відстань від точки $A$ до центра кола, яке вписане в ромб

Значення величини

А$4$

Б$4\sqrt{3}$

В$8$

Г$8\sqrt{3}$

Д$8\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AB=BC=CD=DA=8.$

1. $\Delta ABC$ – рівносторонній, $AC=8.$ Отже, 1 – B.

2. $\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$ Отже, 2 – Б.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка $O.$

За властивістю ромба $AO=OC=\frac 12AC=4.$ Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19508

Завдання 47 з 128

У паралелограмі $ABCD$ з вершини тупого кута $B$ проведено висоти $BK$ та $BM$ (див. рисунок). $BK=16$ см, $AK=12$ см, $BM=24$ см.

1. Визначте довжину сторони $AB$ (у см).

2. Обчисліть площу (у см$^2$) паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20			480

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

1. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2=12^2+16^2=144+256=400,\\[7pt] AB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

2. За формулою $S=ah$, де $a$ – сторона паралелограма, $h$ – висота, проведена до сторони $a$, знаходимо площу

$$ S=CD\cdot BM=AB\cdot BM=20\cdot 24=480\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $20.$
2. $480.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19511

Завдання 48 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.

III. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

Алише І

БI, II та III

Влише ІIІ

Глише І та ІІ

Длише І та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19953

Завдання 49 з 128

Бічні сторони $AB$ та $CD$ прямокутної трапеції $ABCD$ дорівнюють $6$ см i $10$ см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною
(А – Д).

Відрізок

1основа $BC$

2проєкція сторони $CD$ на пряму $AD$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$10\sqrt{2}$ см

Г$10$ см

Д$14$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

$\angle A=90^\circ$, $AC$ бісектриса, $\angle BAC=45^\circ.$

$\Delta ABC$ – рівнобедрений $(\angle B=90^\circ)$, $AB=BC=6$ см.
Отже, 1 – A.

2. $CH\perp AD$, $HD$ – проєкція $CD$ на $AD.$

У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)$, $CH=6$ см, $HD=8$ см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. $ABCH$ – квадрат.

$BC=AH=6$ см, $AD=AH+HD=14$ см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19967

Завдання 50 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.

II. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.

III. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

Алише І та ІІI

Блише І

Влише ІIІ

ГI, II та III

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює $180^\circ.$ Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21216

Завдання 51 з 128

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точки $K$ та $M$ так, що $BK\ ||\ CD$, $MC\ || AB$ (див. рисунок). Відрізки $BK$ та $CM$ перетинаються в точці $O$, $BO:OK=2:3.$ Периметр чотирикутника $ABCM$ дорівнює $84$, $BC=12.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MK$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$21$

Б$30$

В$18$

Г$27$

Д$54$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.

$BO:OK=2:3$, $P_{ABCM}=84$, $BC=12.$

1. $AB\ ||\ CM$ за умовою $BC\ ||\ AM$ за властивістю трапеції. $ABCM$ – паралелограм.

$P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84$, $AB=30.$
Отже, 1 – Б.

2. $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOM$ (за $2$ кутами). $\angle BOC=\angle MOK$ – вертикальні. $\angle OBC=\angle OKM$ – внутрішні різносторонні.

\begin{gather*} \frac{BC}{MK}=\frac{BO}{OK},\\[6pt] \frac{12}{MK}=\frac 23,\\[6pt] MK=18. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. $AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.$

Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21229

Завдання 52 з 128

На рисунку зображено трапецію $ABCD$. Визначте градусну міру кута $BCD$, якщо $\angle ADB=35^\circ, \angle BDC = 20^\circ$.

А125°

Б165°

В155°

Г145°

Д140°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.

І спосіб:
$\angle ADB=\angle CBD=35^\circ$ як внутрішні різносторонні при $BC\ ||\ AD$ та січної $BD$. $$ \triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ, $$ отже $$ \angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

ІІ спосіб:

За властивістю трапеції

$$ \angle D+\angle C=180^\circ, $$ $$ \angle C=180^\circ - \angle D=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22904

Завдання 53 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.

II. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.

III. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.

Алише ІІ

Блише І і ІІІ

ВІ, ІІ, ІІІ

Глише І і ІІ

Длише ІІ і ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак паралелограма.

З наведених тверджень привильними є твердження II i III.

Протилежні кути паралелограма рівні (властивість).

Відстані від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні. $$ \triangle BEO=\triangle DKO $$ за гіпотенузою та гострим кутом.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22909

Завдання 54 з 128

У ромб $ABCD$ вписано квадрат $KLMN$, сторона $KL$ якого перетинає діагональ $AC$ в точці $P$ (див. рисунок). $AL=10\ \text{см},\ AP=8\ \text{см}$.

1. Обчисліть довжину сторони квадрата $KLMN$ (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ ромба $ABCD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			21

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, $PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.$ $PL=6\ \text{см}$.

$\triangle ALK$ - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}

2. $\triangle APL\sim \triangle LEB$ (за гострим кутом). $\angle LAP=\angle BLE$ - відповідні при $AP\ ||\ LE$ та січної $AB$. \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22921

Завдання 55 з 128

Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280°. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.

А100°

Б80°

В140°

Г40°

Д120°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.

Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $$ 360^\circ-280^\circ=80^\circ $$

Якщо гострі кути паралелограма $\angle A=\angle C=80^\circ$, то $\angle B=\angle D=180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23665

Завдання 56 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.

II. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

Алише І та ІІ

Блише І і ІІІ

Влише ІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак ромба.

І. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. Ця властивість у будь-якому ромбі не виконується. Отже, твердження неправильне.

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба). Правильне твердження.

ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні (означення ромба). Правильне твердження.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23668

Завдання 57 з 128

Квадрат $ABCD$ й прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2$, $AM=15\ \text{см}$.

Установіть відповідність між відрізком (1-3) i його довжиною (А – Д).

Відрізок

1сторона квадрата $ABCD$

2висота трапеції $BMNC$

3менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка

А$2$ см

Б$3$ см

В$4$ см

Г$6$ см

Д$9$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

$S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}$.

1. $S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}$ – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції $BM$ – висота.
$BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}$, отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23678

Завдання 58 з 128

Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції $ABCD$. Довжина більшої основи $AD$ становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи $BC$ й бічних сторін $AB$ й $CD$ планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін $AB,\ BC$ й $CD$ цієї кишені, якщо вздовж $BC$ вже встановлено 15 стовпчиків?

А39

Б41

В42

Г43

Д45

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$ABCD$ – рівнобічна трапеція, $AB=CD$. Уздовж основи $BC$ встановлено $15$ стовпчиків на відстані $1$ м. Отже, довжина сторони $BC=14\ \text{м}$.

Відстань між паралельними сторонами $BC$ та $AD$ дорівнює $5$ м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

$$ ED=(AD-BC):2=(38-14):2=12\ (\text{м}). $$

У $\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2=5^2+12^2=25+144=169\\[7pt] CD=\sqrt{169}=13\ (\text{м}). \end{gather*}

Уздовж сторін $AB$ й $CD$ має бути по $13$ стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24697

Завдання 59 з 128

На рисунках (1-5) наведено інформацію про п'ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на

2Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на

3Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.

У $\triangle ABK (\angle K=90^\circ )$ катет $BK=4$ менше гіпотенузи вдвічі $AB=8$, тому $\angle A=30^\circ\ \left(\sin 30^\circ=\frac 12=\frac{BK}{AB}\right)$. Правильна відповідь - Б.

За формулою $S=ah_a$, де $a=8,\ \ h_a=2$. Площа паралелограма $S=8\cdot 2=16.$ Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24701

Завдання 60 з 128

Вершина $B$ паралелограма $ABCD$ лежить на прямій $MC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ$.

А$65^\circ$

Б$115^\circ$

В$155^\circ$

Г$165^\circ$

Д$175^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів та паралелограма.

$\angle ABM+\angle ABC=180^\circ$ за властивістю суміжних кутів.

$$ \angle ABC=180^\circ-\angle ABM=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

За властивістю паралелограма $$ \angle B=\angle D=155^\circ. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 25996

Завдання 61 з 128

Які з наведених тверджень щодо довільної трапеції $ABCD\ (BC\ ||\ AD)$ є правильними?

I. $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$

II. $\angle BCA=\angle CAD$

III. $AC=BD$

Алише І

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції, властивостей паралельних прямих.

I. $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$ правильне твердження. За властивістю трапеції сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює $180^\circ.$

II. $\angle BCA=\angle CAD$ правильне твердження. $BC || AD,\ CA$ – січна. $\angle BCA$ та $\angle CAD$ – внутрішні різносторонні.

III. $AC=BD$ неправильне твердження. Діагоналі довільної трапеції не рівні.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26003

Завдання 62 з 128

У прямокутній трапеції $ABCD$ проведено середню лінію $MN$ (див. рисунок). $BC=9\ \text{см},\ MN=13\ \text{см},\ \angle ADC=45^\circ.$ Визначте довжину (см) сторони $AB.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $MB$ – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$ MN=\frac{AD+BC}{2}. $$

2. Отже, \begin{gather*} AD=2MN-BC=\\[7pt] =2\cdot 13-9=26-9=17\ (\text{см}). \end{gather*}

3. Проведемо $CK\perp AD.$ Отримали \begin{gather*} BC=AK=9\ \text{см},\\[7pt] KD=AD-AK=17-9=8\ \text{см}. \end{gather*}

4. $\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ$ – прямокутний рівнобедрений $(\angle D=45^\circ).$ Отже, \begin{gather*} KD=CK=8\ \text{см}. \end{gather*}

5. $ABCD$ – прямокутна трапеція, тому $$ AB=CK=8\ \text{см}. $$

Відповідь: 8.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26133

Завдання 63 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точка перетину ділить навпіл.

III. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні.

Алише I

БІ, II та ІІІ

Влише III

Глише I та II

Длише I та IIІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл (властивість ромба).

IІ. Неправильне твердження.

IІІ. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні (це властивість ромба, а квадрат є ромбом із прямими кутами).

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26192

Завдання 64 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише III

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише II та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I. Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

III. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26808

Завдання 65 з 128

У паралелограмі $ABCD\ \angle A=30^\circ,$ бічна сторона $AB = 12\ \text{см.}$ Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу $(\text{см}^2)$ цього паралелограма.

А$54$

Б$54\sqrt{3}$

В$108$

Г$108\sqrt{3}$

Д$216$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.

За умовою $AD=3BK,$ де $BK$ – висота паралелограма.

У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за властивістю катета, який лежить напроти кута $30^\circ,$ $AB=2BK,$ $BK=6\ \text{см}.$ $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$

Площа паралелограма $S=ah_a,$ де $a=AD, h_a=BK.$ $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26811

Завдання 66 з 128

У паралелограмі $ABCD: AB=\sqrt{6}\ \text{см},$ $\angle BAD=30^\circ,$ $\angle CBD=45^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі $BD.$

А$2\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$3\ \text{см}$

В$\sqrt{2}\ \text{см}$

Г$2\ \text{см}$

Д$\sqrt{3}\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми синусів, властивостей паралельних прямих.

$AB || CD,\ BD$ січна. $\angle CBD=\angle BDA=45^\circ$ як внутрішні різності.

За теоремою синусів у $\Delta ABD$:

\begin{gather*} \frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin D};\\[6pt] BD=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin D}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}=\\[6pt] =\frac{\sqrt{6}\cdot 1\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27698

Завдання 67 з 128

Квадрат $ABCD$ та прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2,$ $AM=15\ \text{см}.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною ( А– Д).

Відрізок

1сторона квадрата $ABCD$

2висота трапеції $BMNC$

3менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка, см

А$2$

Б$3$

В$4$

Г$6$

Д$9$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата та трапеції, площ чотирикутників.

$S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ AM=15\ \text{см}.$

1 – Г. \begin{gather*} S_{ABCD}=a^2=AB^2=36\ \text{см}^2,\\[7pt] AB=6\ \text{см} - \text{сторона квадрата.} \end{gather*}

2 – Д. \begin{gather*} AM=AB+BM,\\[7pt] BM=15-6=9\ \text{см}. \end{gather*}

$BMNC$ – прямокутна трапеція. Отже, висота трапеції – бічна сторона $MB=9\ \text{см}.$

3 – A. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot MB,\\[6pt] \frac{MN+6}{2}\cdot 9=36,\ \ (MN+6)\cdot 9=72,\\[6pt] MN+6=8, MN=2\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27702

Завдання 68 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін.

II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.

III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

Алише ІІ

Блише І та ІІІ

Влише ІІ та ІІІ

Глише І та ІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання про паралелограм, ромб, квадрат та їх властивості.

I. Твердження неправильне. Сума двох сусідніх сторін паралелограма не може дорівнювати його діагоналі, тому що за нерівністю трикутника $AB+AD\gt BD.$

II. Твердження правильне. Існує паралелограм, в якому один з кутів вдвічі більше за інший. Наприклад, з кутами $60^\circ$ i $120^\circ.$

III. Твердження правильне. Існує паралелограм – ромб, у якого діагоналі перпендикулярні.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28363

Завдання 69 з 128

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює $100\ \text{см}.$ Різниця основ трапеції дорівнює $14\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина більшої основи трапеції дорівнює

3Довжина висоти трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$18\ \text{см}$

Б$24\ \text{см}$

В$25\ \text{см}$

Г$32\ \text{см}$

Д$36\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора, описані навколо кола чотирикутники.

Якщо у чотирикутник можна вписати коло, то сума довжин протилежних сторін рівна.

\begin{gather*} AB+CD=BC+AD,\ \ P=100\ \text{см},\\[7pt] AB+CD=50\ \text{см}, AB=CD=25\ \text{см}. \end{gather*}

1 – В. Середня лінія трапеції дорівнює \begin{gather*} \frac{BC+AD}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}

2 – Г. За умовою \begin{gather*} AB-BC=14\ \text{см}, BC=AD-14,\\[7pt] BC+AD=50,\ \ AD-14+AD=50,\\[7pt] 2AD=64,\ \ AD=32\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. $BC=50-32=18\ \text{см}.$ $ABCD$ – рівнобічна трапеція, $AB=CD.$

\begin{gather*} AK=(AD-BC):2=(32-18):2=7\ \text{см}.\\[7pt] \Delta ABK\ (\angle K=90^\circ) \end{gather*}

за теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] BK^2=25^2-7^2=625-49=576,\\[7pt] BK=24\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28371

Завдання 70 з 128

На стороні $AD$ паралелограма $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $AK:KD=3:2,$ $BK=CD$ (див. рисунок). Визначте площу паралелограма $ABCD,$ якщо $\angle AKB=\mathbf{\alpha},$ $BC=20.$

А$\frac{120}{\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}}$

Б$120\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}$

В$160\sin\mathbf{\alpha}$

Г$60\cos\mathbf{\alpha}$

Д$\frac{60}{\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості трапеції, прямокутного трикутника.

$AK:KD=3:2.$ За властивістю паралелограма $BC=AD.$ $$ KD=\frac 25AD=\frac 25\cdot 20=8\ \text{см}. $$ $BKDC$ – рівнобічна трапеція.

\begin{gather*} KM\perp BC,\ \ DP\perp BC.\\[7pt] KD=MP=8\ \text{см},\ \ BM=PC=(20-8):2=6\ \text{см}. \end{gather*}

$\angle AKB=\angle KBM=\mathbf{\alpha}$ (внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC\ ||\ KD$ і січною $BK$). $\angle KBC=\angle DCP=\mathbf{\alpha}$ як кути при основі рівнобедреної трапеції.

У $\Delta DPC\ (\angle P=90^\circ)\ PC=6\ \text{см}, \angle C=\mathbf{\alpha}.$ $$ CD=\frac{PC}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{6}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$

Площу паралелограма знаходимо за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot b\sin\mathbf{\alpha},\\[6pt] S=CD\cdot BC\sin C=\frac{6}{\cos\mathbf{\alpha}}\cdot 20\cdot\sin\mathbf{\alpha}=\\[6pt] =120\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=120\ \operatorname{tg}\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28390

Завдання 71 з 128

Трапеція $AKCD$ складається з квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $24\ \text{см},$ середня лінія трапеції $AKCD$ дорівнює $10\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина відрізка $BK$ дорівнює

2Довжина відрізка $KC$ дорівнює

3Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC,$ дорівнює

Закінчення речення

А$8\ \text{см}.$

Б$7\ \text{см}.$

В$6\ \text{см}.$

Г$10\ \text{см}.$

Д$12\ \text{см}.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

$P_{ABCD}=24\ \text{см}.$ $ABCD$ – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції $AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.$ $EF=PF+PE,\ 10=6+PE,$ $PE=4\ \text{см}.$

1 – A. $PE$ – середня лінія $\Delta KBC.$ За властивістю середньої лінії $PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.$

2 – Г. $\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка $O.$

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка $E.$ Отже, відстань між центрами кіл буде $OP+PE=3+4=7\ \text{см}.$

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28393

Завдання 72 з 128

У рівнобічній трапеції $ABCD$ точка $O$ є серединою основи $AD$, $\angle AOB=45^\circ$, $AD:BC=5:2$ (див. рисунок). Визначте площу трапеції $ABCD$, якщо $AD=b.$

А$\frac{7}{50}b^2$

Б$\frac{7}{25}b^2$

В$\frac{7\sqrt{2}}{50}b^2$

Г$\frac{b^2}{14}$

Д$\frac{4b^2}{25}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку властивостей трапеції та трикутника, їх властивостей.

1. $AD=b$, точка $O$ – середина $AD$, тому $AO=OD.$ Проведемо перпендикуляр $OH\ \perp BC.$

2. Трапеція $ABCD$ – рівнобічна, тому $BH=HC.$

\begin{gather*} AD:BC=5:2,\\[6pt] BC=\frac{2AD}{5}=\frac{2b}{5},\\[6pt] BH=\frac 12BC=\frac b5. \end{gather*}

3. $\angle AOB=45^\circ$, $\angle AOH=90^\circ.$ Отже, $\angle BOH=45^\circ$ а $\Delta BHO$ – прямокутний рівнобедрений. $BH=HO=\frac b5.$

4. Площу трапеції знаходимо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота.

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot OH=\left(\frac{2b}{5}+b\right):2\cdot \frac b5=\frac{7b\cdot b}{5\cdot 2\cdot 5}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34387

Завдання 73 з 128

У паралелограмі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $\angle CAD=18^\circ$, $\angle ACD=43^\circ.$

А$61^\circ$

Б$25^\circ$

В$129^\circ$

Г$51^\circ$

Д$29^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралельних прямих та паралелограмів, умінь розв’язувати планіметричні задачі.

$ABCD$ – паралелограм. $AB\ ||\ CD$, $AC$ – січна, $\angle BAC=\angle DCA=43^\circ$ як внутрішні різносторонні.

$$ \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=43^\circ+18^\circ=61^\circ. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34396

Завдання 74 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

II. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції.

Алише І та ІІ

Блише І

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції та трикутника.

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то воно буде дотикатись до всіх її сторін, а отже, до основ. $OE=OF=r.$ Центр кола точка $O$ – лежить на середній лінії $MN.$ Отже, твердження правильне.

II, III твердження не є правильними, бо точка перетину діагоналей не належить середній лінії, та центр описаного кола не обов'язково лежить на більшій основі.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34404

Завдання 75 з 128

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ На стороні $C$ вибрано точку $K$ так, що $KC=4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $AK.$ Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$, перетинає сторони $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM=6$ см. Узгодьте відрізок (1-3) та його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MP$

3$AK$

Довжина відрізка (см)

А$10$

Б$12$

В$16$

Г$20$

Д$24$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

$NP\ ||\ BC$

1 – В. Точка $M$ – середина $AK.$ За теоремою Фалеса: $NM\ ||\ BC$ і $AN=NB.$

У $\Delta ABK\ NM$ – середня лінія. $BK=2NM=12$ см.

$BC=BK+KC=12+4=16$ см. $AB=BC=16$ см.

2 – A.

У трапеції $AKCD\ MP$ – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. $\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)$, $AB=16$, $BK=12.$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400,\\[7pt] AK=20. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34412

Завдання 76 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба дорівнює сумі його діагоналей.

III. Висота ромба вдвічі більша за радіус уписаного в нього кола.

Алише I

Блише III

Влише I та II

Глише I та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб – паралелограм, тому всі властивості паралелограма є властивостями ромба.

Отже, у будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба не дорівнює сумі його діагоналей. Якби це твердження було правильним, то в $\Delta ABC$ сума довжин двох сторін $(AB+BC)$ дорівнювала б довжині третьої сторони $AC.$ А це суперечить нерівності трикутника.

III. Твердження правильне. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного кола.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35308

Завдання 77 з 128

Діагональ $AC$ рівнобічної трапеції $ABCD$ утворює зі стороною $CD$ кут $120^\circ.$ Довжини основ трапеції дорівнюють $12$ см і $30$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина проєкції сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює

А$9$ см

Б$20\sqrt{3}$ см

В$21$ см

Г$10\sqrt{3}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де $a$, $b$ – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. $BK\ \perp\ AD.$ Проєкція $AB$ на пряму $AD$ – відрізок $AK.$ $ABCD$ – рівнобічна трапеція, тому $AB=CD.$

Рівні похилі $BA$ i $CD$ мають рівні проєкції $AK=HD.$

$$ AK=(AD-BC):2=(30\ \textit{см}-12\ \textit{см}):2=9\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції $ABCD$, це коло описане навколо $\Delta ACD.$

За наслідком з теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{a}{\sin \mathbf{\alpha}}=2R,\\[6pt] \frac{AD}{\sin \angle ACD}=2R,\\[6pt] \frac{30}{\sin 120^\circ}=2R,\\[6pt] \sin 120^\circ=\sin (180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] \frac{30\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R,\\[6pt] R=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \textit{см} \end{gather*}.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35315

Завдання 78 з 128

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівну площу.

III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише I та IIІ

Длише ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35330

Завдання 79 з 128

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $(AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ.$ $AD:BC=5:2$, $AD=b.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$\frac{7b^2}{25}$

Б$\frac{7b^2\sqrt{2}}{50}$

В$\frac{21b^2}{100}$

Г$\frac{7b^2}{50}$

Д$\frac{7b^2}{45}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

$BC=2x$, $AD=5x=b$, $x=\frac b5.$

Побудуймо висоти $BH$ i $CK.$ $HBCK$ – прямокутник, тому

\begin{gather*} BC=HK=2x,\\[7pt] AH=KD=(5x-2x):2=1\mathord{,}5x. \end{gather*}

Точка $O$ – середина $AD$, а тому $HO=OK=x.$

У $\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)$, $O=45^\circ.$ Отже, $\Delta BHO$ – рівнобедрений. $HO=BH=x.$

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{2x+5x}{2}\cdot x=\frac 72 x^2. \end{gather*}

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

$$ S=\frac 72\cdot \left(\frac b5\right)^2=\frac{7b^2}{2\cdot 25}=\frac{7b^2}{50}. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35332

Завдання 80 з 128

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O.$ Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=–\frac{1}{4}.$

А$\sqrt{31}$ см

Б$2\sqrt{7}$ см

В$\sqrt{22}$ см

Г$5$ см

Д$\sqrt{19}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

$AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=-\frac 14.$

За властивістю паралелограма

\begin{gather*} AO=OC=\frac 12AC=4\ \text{см},\\[6pt] BO=OD=\frac 12BD=3\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOD$ за теоремою косинусів:

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2-2\cdot AO\cdot OD\cdot \cos \angle AOD,\\[6pt] AD^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \left(-\frac 14\right)=16+9+6=31\ \text{см}^2,\\[6pt] AD=\sqrt{31}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35351

Завдання 81 з 128

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC.$ $\angle CAD=23^\circ.$ Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

А$67^\circ$

Б$136^\circ$

В$134^\circ$

Г$124^\circ$

Д$144^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

$ABCD$ – ромб, тому $AB=BC=CD=DA.$

Отже, $\Delta ADC$ – рівнобедрений з основою $AC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника:

\begin{gather*} \angle A=\angle C=23^\circ,\\[7pt] \angle D=180^\circ-2\cdot 23^\circ=180^\circ-46^\circ=134^\circ. \end{gather*}

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, $AC$ – бісектриса кута $A{:}$ $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює $180^\circ.$ Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35366

Завдання 82 з 128

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ $(AB=CD)$, точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції, діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO=5$ см, $OM=7$ см, $\angle CAD=30^\circ.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$144$ см$^2$

Б$144\sqrt{3}$ см$^2$

В$288$ см$^2$

Г$48\sqrt{3}$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

\begin{gather*} KM=\frac 12(BC+AD). \end{gather*}

У $\Delta ABC\ KO$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, $BC=10$ см.

У $\Delta ACD\ OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12AD,\\[6pt] AD=14\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуймо $CH\ \perp\ AD.$

\begin{gather*} HD=(AD-BC):2=(14-10):2=2\ \text{см}.\\[7pt] AH=AD-HD=14-2=12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$

\begin{gather*} \operatorname{tg}\ A=\frac{CH}{AH},\\[6pt] CH=AH\cdot \operatorname{tg}\ A=12\cdot \operatorname{tg}\ 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа трапеції

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=KM\cdot CH=12\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35376

Завдання 83 з 128

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка $O$ – середина діагоналі $AC$, то

\begin{gather*} AO=\frac 12AC,\\[7pt] AO=40:2=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+CD^2=AC^2,\\[7pt] AD^2=40^2-24^2=1600-576=1024,\\[7pt] AD=\sqrt{1024}=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

Нехай $BC=x.$

Оскільки $AB=BC$, то $AB=x.$

Проведімо висоту з точки $B$ на основу $AD.$ Нехай це буде $BK$. У прямокутній трапеції висота $BK=CD=24$ см. Відрізок $AK=AD-KD.$

Оскільки $BCDK$ – прямокутник, то $KD=BC=x.$ Отже, $AK=32-x.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] x^2=(32-x)^2+24^2,\\[7pt] x^2=1024-64x+x^2+576,\\[7pt] 64x=1600,\\[7pt] x=25\ \text{см},\\[7pt] AB=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35442

Завдання 84 з 128

Довжина сторони ромба $ABCD$ – ціле число. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А$38$

Б$42$

В$56$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою, довжина сторони $(a)$ є цілим числом (наприклад $1$, $2$, $3$, $4\ \text{...}$). Тому, периметр $(P)$ буде завжди добутком цілого числа на $4$, що дає числа, які кратні $4{:}$

\begin{gather*} 4\cdot 1=4,\\[7pt] 4\cdot 2=8,\\[7pt] 4\cdot 3=12\ \text{і так далі}. \end{gather*}

З запропонованих чисел лише $56$ – кратне $4.$

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35771

Завдання 85 з 128

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й рівносторонній трикутник $DCK$ зі стороною $8.$ Точка $D$ належить відрізку $AK$, точка $M$ i $N$ є серединами сторін $AB$ i $CK$ відповідно. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1висота ромба $ABCD$

2менша діагональ ромба $ABCD$

3$MN$

А$8\sqrt{3}$

Б$8$

В$12$

Г$4\sqrt{3}$

Д$4$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

$ABCD$ – ромб, $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CD=DK=CK=8.$ $MN$ – середня лінія.

1. Висота $CH$ трикутника $CDK$ – це висота ромба $ABCD.$

\begin{gather*} CK=8,\\[6pt] HK=\frac 12DK=4. \end{gather*}

У $\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CH^2=CK^2-HK^2=8^2-4^2=64-16=48,\\[7pt] CH=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. $\Delta DCK$ – рівносторонній, $CK=CD=DK=8$, $\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.$

$BC\ ||\ DK$, $CD$ – січна. $\angle KDC=\angle DCB=60^\circ$ як внутрішні різносторонні.

У ромбі $ABCD$ гострий кут $C$ дорівнює $60^\circ.$ $\Delta CBD$ – рівносторонній, тому $BC=CD=BD=8.$ Менша діагональ ромба $BD=8.$

Правильна відповідь – Б.

3.$BC=8$, $AK=AD+DK=8+8=16.$

Середнія лінія

\begin{gather*} MN=\frac{BC+AK}{2}=\frac{8+16}{2}=12. \end{gather*}

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35786

Завдання 86 з 128

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ $(AB=BC)$ і $CMN$ $(CM=MN)$, що лежать в одній площині. $AN=8$ см, $AB=2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

1Відстань від $B$ до сторони $AC$

2$BM$

3Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$

А$4$ см

Б$6$ см

В$7$ см

Г$8$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

$AN=8$, $\Delta ABC=\Delta CMN$, $AC=CN=\frac 12AN=4$ см, $AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}$ см.

1. Відстань від $B$ до $BC$ – це довжина висоти $BK\ \Delta ABC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника: $BK$ – висота та медіана. $KC=\frac 12 AC=2$ см.

За теоремою Піфагора в $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}$

\begin{gather*} BC^2=BK^2+KC^2,\\[7pt] BK^2=BC^2-KC^2=(2\sqrt{17})^2-2^2=4\cdot 17-4=64,\\[7pt] BK=8\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо $MP\ \perp\ CN$ у $\Delta CMN.$

$KBMP$ – прямокутник.

$$ BM=KP=KC+CP=2+2=4\ (\text{см}). $$

$KC=CP$ в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. $ABMN$ – рівнобічна трапеція, а $DE$ – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} DE=\frac{BM+AN}{2}=\frac{4+8}{2}=6\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35808

Завдання 87 з 128

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, навколо якого можна описати коло.

II. Середини сторін будь-якого ромба лежать на вписаному в нього колі.

III. Радіус кола, вписаного в ромб, удвічі менший за його висоту.

Алише I

Блише I та II

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб, у якого всі кути дорівнюють $90^\circ$, є квадратом. Оскільки сума його протилежних кутів $180^\circ$, то навколо нього можна описати коло. Твердження правильне.

II. Вписане коло дотикається сторін ромба, але не обов'язково в їхніх серединах. Точка дотику збігається із серединою сторони лише якщо цей ромб – квадрат. Твердження неправильне.

III. Висота ромба $BH$ удвічі більша за радіус $OK$ вписаного в нього кола. Твердження правильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36334

Завдання 88 з 128

У паралелограмі $ABCD$ діагональ $BD$ утворює зі сторонами $AB$ i $AD$ кути $60^\circ$ i $45^\circ$ відповідно (див. рисунок). Обчисліть довжину сторони $BC$, якщо $AB=2$ см.

А$2\sqrt{2}$ см

Б$\sqrt{6}$ см

В$3$ см

Г$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см

Д$\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому $BC=AD.$ Тобто достатньо визначити довжину сторони $AD$ в трикутнику $ABD.$

За теоремою синусів у $\Delta ABD{:}$

\begin{gather*} \frac{AD}{\sin B}=\frac{AB}{\sin D};\\[6pt] AD=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin D}=\frac{2\cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\\[6pt] =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\ \text{(см).} \end{gather*}

Оскільки $BC=AD$, то $BC=\sqrt{6}$ см.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36339

Завдання 89 з 128

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$27$

Б$45$

В$24$

Г$25$

Д$54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=6.$

Обчислімо площу трапеції за формулою: \begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 6=\frac 92\cdot 6=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36357

Завдання 90 з 128

У паралелограмі $ABCD$ на стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ і відрізок $BK$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$16$ см

В$8$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники $\Delta AOK$ та $\Delta COB{:}$
$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC\ ||\ AD$ та січній $AC$;
$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні кути.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BC}{AK}=\frac{OB}{OK};\\[6pt] \frac{BC}{12\ \text{см}}=\frac{3\ \text{см}}{2\ \text{см}};\\[6pt] BC=\frac{3\ \text{см}\cdot 12\ \text{см}}{2\ \text{см}}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36360

Завдання 91 з 128

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ перпендикулярна до сторони $AB$ (див. рисунок). $\angle A=60^\circ$, $BD=12$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$

2Довжина сторони $AD$

3Довжина діагоналі $AC$

Закінчення речення

Адорівнює $4\sqrt{3}$ см.

Бдорівнює $8\sqrt{3}$ см.

Вдорівнює $2\sqrt{21}$ см.

Гдорівнює $4\sqrt{21}$ см.

Ддорівнює $24$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони $AB.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням тангенса:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\frac{BD}{AB};\\[6pt] AB=\frac{BD}{\mathrm{tg}\ 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони $AD.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням синуса:

\begin{gather*} \sin 60^\circ=\frac{BD}{AD};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{AD};\\[6pt] AD=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі $AC.$ Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника $ABC.$

У паралелограма сума сусідніх кутів становить $180^\circ$, тому

\begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ;\\[7pt] AB=4\sqrt{3};\\[7pt] BC=AD=8\sqrt{3}. \end{gather*}

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\cos 120^\circ=-\frac 12$,

\begin{gather*} AC^2=(4\sqrt{3})^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] AC^2=48+192+4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3};\\[6pt] AC^2=240+96=336;\\[7pt] AC=\sqrt{336}=\sqrt{16\cdot 21}=4\sqrt{21}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36402

Завдання 92 з 128

У рівнобічній трапеції $ABCD$ діагоналі $AC$ i $BD$ взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці $O$, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $BO=6\sqrt{2}$ см, $KM=12$ см (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2$AD$

3висота трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$12$ см

Б$15$ см

В$18$ см

Г$21$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники $AOD$ та $BOC$, утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки $AC=BD$, діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: $AO=OD$ та $BO=OC$). Отже, $BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.$

У прямокутному трикутнику $BOC$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BC^2=BO^2+OC^2;\\[7pt] BC^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2+36\cdot 2=72+72=144;\\[7pt] BC=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. За умовою, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $KM=12$ см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

\begin{gather*} AD=2\cdot KM=2\cdot 12\ \text{см}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Висота $h$ трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників $AOD$ та $BOC$).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота $\Delta BOC{:}$

\begin{gather*} h_1=\frac{BC}{2}=\frac{12\ \text{см}}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Висота $\Delta AOD{:}$

\begin{gather*} h_2=\frac{AD}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції:

\begin{gather*} h=h_1+h_2=6\ \text{см}+12\ \text{см}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36607

Завдання 93 з 128

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, у якого менша діагональ дорівнює стороні.

II. Висота будь-якого ромба більша за його сторону.

III. Діагональ будь-якого ромба ділить ромб на два рівні трикутники.

Алише I

Блише IІІ

Влише II та ІІІ

Глише I та III

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює $60^\circ$, то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36912

Завдання 94 з 128

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $AB=BC=CD=6$ см, діагональ $AC$ утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1основа $AD$

2висота трапеції $ABCD$

3діагональ $AC$

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$6\ \text{см}$

В$3\sqrt{3}\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$3\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа $AD{:}$ оскільки $BC\ ||\ AD$, то внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$ $\Delta ABC$ — рівнобедрений $(AB=BC=6)$, тому $\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.$

Отже, у трапеції

\begin{gather*} \angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож $\angle D=60^\circ.$

Розгляньмо $\Delta ACD{:}$

\begin{gather*} \angle CAD=30^\circ;\\[7pt] \angle D=60^\circ \Rightarrow \angle ACD=90^\circ. \end{gather*}

У прямокутному $\Delta ACD$ катет $CD=6$ і лежить навпроти кута $30^\circ$, тому гіпотенуза

\begin{gather*} AD=2\cdot CD=2\cdot 6\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту $CH.$ У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ$, $\angle D=60^\circ){:}$

\begin{gather*} CH=CD\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. Діагональ $AC{:}$ у прямокутному $\Delta ACD$

\begin{gather*} AC=AD\cdot \cos 30^\circ=12\ \text{см}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36919

Завдання 95 з 128

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точку $O$ так, що $BO\ ||\ CD$ (див. рисунок). $CO$ – висота трапеції, $BC=6$ см, $CD=10$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OD$

2$CO$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. $BC\ ||\ AD$ (за означенням трапеції), а за умовою $BO\ ||\ CD.$ Чотирикутник $BODC$ – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

\begin{gather*} OD=BC=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$ ($\angle COD=90^\circ$, оскільки $CO$ – висота).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CO^2+OD^2=CD^2;\\[7pt] CO^2+6^2=10^2;\\[7pt] CO^2=100-36=64;\\[7pt] CO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин $B$ і $C$, відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту $BK$ з точки $B$, то $AK=OD=6$ см.

Також $KO=BC=6$ см. Отже, довжина основи

\begin{gather*} AD=AK+KO+OD=6\ \text{см} + 6\ \text{см} + 6\ \text{см} = 18\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} L=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6\ \text{см}+18\ \text{см}}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37115

Завдання 96 з 128

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього паралелограма.

А$10{,}5$

Б$1{,}5\sqrt{85}$

В$21$

Г$18$

Д$3\sqrt{85}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу паралелограма.

Площа паралелограма обчислюється за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot h_a, \end{gather*} де $a$ — сторона паралелограма, а $h_a$ — висота, проведена до цієї сторони.

Сторона $(a){:}\ CD = 3.$

Висота $(h_a){:}\ BH=7$ (висота паралелограма — це перпендикуляр між вертикальними прямими, на яких лежать сторони $AB$ та $CD$).

Підставляємо значення у формулу:

\begin{gather*} S=3\cdot 7=21. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37175

Завдання 97 з 128

Які з наведених тверджень правильні?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише IІІ

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чтирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердженння.

І. Середня лінія трапеції не проходить чирез точку перетину її діагоналей.

ІІ. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

\begin{gather*} \Delta ABD\ne \Delta DBC. \end{gather*}

ІІІ. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37363

Завдання 98 з 128

А$32{,}5$

Б$63$

В$29{,}5$

Г$27$

Д$31{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа $BC=3$, нижня основа $AD=6$, висота трапеції $BH=7.$

Обчилімо площу трапеції за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{3+6}{2}\cdot 7=\frac 92\cdot \frac 71=\frac{63}{2}=31{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37368

Завдання 99 з 128

Обчисліть довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють $7$ м і $12$ м.

А$9{,}5$ м

Б$8{,}5$ м

В$5$ м

Г$19$ м

Д$6$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання формули середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

За властивістю середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} KM\ ||\ BC\ ||\ AD;\\[6pt] KM=\frac 12(BC+AD);\\[6pt] KM=\frac 12(7+12)=\frac 12\cdot 19=\frac{19}{2}=9{,}5\ \text{м}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37459

Завдання 100 з 128

У паралелограмі $ABCD$ на середині сторони $BC$ вибрано точку $K$ так, що $AK\!\perp\!KD$, $KP$ – висота паралелограма (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $AP=18$ см, $PD=8$ см.

Відрізок

1$KC$

2середня лінія трапеції $KCDP$

3$KP$

Довжина відрізка

А$10{,}5$ см

Б$11$ см

В$12$ см

Г$12{,}5$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. $KC.$ У паралелограмі протилежні сторони рівні:

$AD=BC;$

\begin{gather*} AD=AP+PD=18+8=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $BC=26$ см.

Оскільки точка $K$ – середина $BC{:}$

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції $KCDP.$

Розгляньмо чотирикутник $KCDP.$ Сторони $KC\!\parallel\!PD$ (як частини основ паралелограма), а $KP\!\nparallel\!PD.$ Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. $KP.$ Розгляньмо трикутник $AKD.$ За умовою він прямокутний $(\angle AKD=90^\circ)$, а $KP$ – його висота, проведена до гіпотенузи $AD.$ За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37472

Завдання 101 з 128

Визначте сторону ромба, діагоналі якого дорівнюють $12\sqrt{5}$ i $6\sqrt{5}.$

А$6\sqrt{15}$

Б$15$

В$9\sqrt{5}$

Г$30$

Д$3\sqrt{15}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора.

Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ$ і діляться навпіл. Отже, ромб розділено на чотири рівні прямокутні трикутники. Розгляньмо один із них – прямокутний трикутник $\Delta AOB$, де:
$AO=12\sqrt{5}:2=6\sqrt{5}$ (перший катет).
$BO=6\sqrt{5}:2=3\sqrt{5}$ (другий катет)
$AB$ – сторона ромба (гіпотенуза).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=(6\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2;\\[7pt] AB^2=6^2\cdot (\sqrt{5})^2+3^2\cdot (\sqrt{5})^2;\\[7pt] AB^2=36\cdot 5+9\cdot 5;\\[7pt] AB^2=180+45=225;\\[7pt] AB=\sqrt{225}=15. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37568

Завдання 102 з 128

Довжини сторін трапеції $ABCD\ (AD\ ||\ BC)$ задовольняють співвідношення $AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.$ Точки $K$ i $M$ – середини сторін $AB$ i $CD$ відповідно. Обчисліть периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр трапеції $ABCD$ дорівнює $80$ см.

А$75$ см

Б$70$ см

В$40$ см

Г$60$ см

Д$55$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її середньої лінії.

За умовою, відношення сторін $AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.$

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності.

Периметр усієї трапеції $ABCD$ дорівнює $80$ см:

\begin{gather*} 2x+3x+4x+7x=80;\\[7pt] 16x=80;\\[7pt] x=80:16;\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Отже, довжини сторін:

\begin{gather*} AB=2\cdot 5=10\ \text{см};\\[7pt] BC=3\cdot 5=15\ \text{см};\\[7pt] CD=4\cdot 5=20\ \text{см};\\[7pt] AD=7\cdot 5=35\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою $K$ і $M$ – середини бічних сторін. Це означає, що відрізок $KM$ – середня лінія трапеції $ABCD.$

\begin{gather*} KM=\frac{BC+AD}{2}=\frac{15+35}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо периметр чотирикутника $AKMD{:}$

\begin{gather*} P_{AKMD}=AK+KM+MD+AD;\\[7pt] AK=AB:2=10:2=5\ \text{см};\\[7pt] MD=CD:2=20:2=10\ \text{см};\\[7pt] P_{AKMD}=5+25+10+35=75\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37573

Завдання 103 з 128

У паралелограмі $ABCD$ бісектриса кута $A=60^\circ$ перетинає сторону $BC$ в точці $K$, $BK=8$ см, $KC=6$ см (див. рисунок). Обчисліть площу паралелограма $ABCD.$

А$56\sqrt{3}$ см$^2$

Б$28$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$28\sqrt{3}$ см$^2$

Д$56$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, уміння визначати площу паралелограма.

Оскільки в паралелограмі протилежні сторони рівні, то $AD=BC.$

\begin{gather*} BC=BK+KC=8+6=14\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, $AD=14$ см.

При перетині паралельних прямих $BC$ і $AD$ січною $AK$ внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle KAD=\angle BKA.$ Оскільки $AK$ – бісектриса, то $\angle BAK=\angle KAD.$ Звідси $\angle BAK=\angle BKA.$

У трикутнику $ABK$ два кути рівні, отже, він рівнобедрений з основою $AK.$ Тому бічні сторони рівні: $AB=BK=8$ см.

Площу паралелограма визначмо за формулою:

\begin{gather*} S=ab\sin\gamma.\\[7pt] S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle A;\\[7pt] S=8\cdot 14\cdot \sin 60^\circ=8\cdot 14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\cdot 7\cdot \sqrt{3}=56\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37694

Завдання 104 з 128

Сторона $CD$ паралелограма $ABCD$ утворює з прямою $AD$ кут, градусна міра якого дорівнює $55^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть градусну міру кута $MAB.$

А$125^\circ$

Б$55^\circ$

В$115^\circ$

Г$145^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

Розгляньмо прямі $AB$ і $CD$ та січну $MK.$ Кут $BAD$ та кут $CDK$ є відповідними кутами при паралельних прямих $AB\!\parallel\!CD$ та січній $MK.$

\begin{gather*} \angle BAD=\angle CDK=55^\circ. \end{gather*}

За властивістю суміжних кутів:

\begin{gather*} \angle MAB+\angle BAD=180^\circ;\\[7pt] \angle MAB=180^\circ-\angle BAD=180^\circ-55^\circ=125^\circ. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37743

Завдання 105 з 128

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD$, у якої $AB=BC$, $AC=80$ см, $CD=48$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $O$ – середина діагоналі $AC$ трапеції $ABCD.$

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина відрізка

А$64$ см

Б$40$ см

В$54$ см

Г$50$ см

Д$32$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. $AO.$

За умовою точка $O$ – середина діагоналі $AC$, тому маємо:

\begin{gather*} AO=AC:2=80:2=40\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $AD.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $ACD\ (\angle A=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AD^2+DC^2;\\[7pt] AD^2=AC^2-DC^2=80^2-48^2=6400-2304=4096;\\[7pt] AD=\sqrt{4096}=64\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. $AB.$

Проведімо висоту $BK$ з вершини $B$ до основи $AD.$ Трапеція прямокутна, тому $BK=CD=48$ см.

Нехай $AB=BC=x.$ Тоді чотирикутник $KBCD$ – прямокутник, отже $KD=BC=x.$ Тоді відрізок $AK=AD-KD=64-x.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $ABK.$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+KB^2;\\[7pt] (64-x)^2+48^2=x^2;\\[7pt] 4096-128x+x^2+2304=x^2;\\[7pt] -128x+6400=0;\\[7pt] 128x=6400;\\[7pt] x=6400:128;\\[7pt] x=50. \end{gather*}

Тож $AB=50$ см.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37757

Завдання 106 з 128

Обчисліть периметр рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють $18$ см і $7$ см, а бічна сторона – $11$ см.

А$37$ см

Б$42$ см

В$47$ см

Г$52$ см

Д$57$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметр трапеції.

Трапеція рівнобічна, отже бічні сторони рівні. Якщо одна бічна сторона дорівнює $11$ см, то й інша також дорівнює $11$ см.

Периметр $(P)$ – це сума довжин усіх сторін многокутника.

\begin{gather*} P=18+7+11+11=47\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37831

Завдання 107 з 128

На рисунку зображено ромб, сторона якого дорівнює $a$, а кут між стороною і меншою діагоналлю – $\beta.$ Визначте радіус кола, уписаного в цей ромб.

А$a\sin^2 \beta$

Б$a\cos^2 \beta$

В$\frac{a\sin 2\beta}{2}$

Г$a\cos \beta$

Д$a\sin \beta$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1 спосіб.

Діагоналі ромба – бісектриси його кутів. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює $180^\circ.$ Якщо кут ромба $\angle C=2\beta$, то інший $\angle B=180^\circ-2\beta.$

За формулою зведення $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha.$ Тобто:

\begin{gather*} \sin \angle B=\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta. \end{gather*}

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола $CH=d=2r.$ Отже:

\begin{gather*} r=\frac{CH}{2}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $CHB{:}$ $\angle H=90^\circ$, $BC=a.$

\begin{gather*} \sin \angle B=\frac{CH}{CB};\\[6pt] CH=CB\cdot \sin \angle B;\\[7pt] CH=a\sin 2\beta. \end{gather*}

Оскільки радіус вписаного кола – це половина висоти ромба, маємо кінцеву формулу:

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

2 спосіб.

У ромбі діагональ ділить кут навпіл, тож якщо гострий кут ромба дорівнює $\alpha$, то

\begin{gather*} \beta=\frac{\alpha}{2}. \end{gather*}

Площа ромба:

\begin{gather*} S=a^2\sin \alpha. \end{gather*}

Для будь-якого ромба існує вписане коло, до того ж

\begin{gather*} S=r\cdot p, \end{gather*}

де $r$ – радіус вписаного кола, $p$ – півпериметр.

Оскільки

\begin{gather*} p=2a, \end{gather*}

то

\begin{gather*} r=\frac Sp=\frac{a^2\sin\alpha}{2a}=\frac{a\sin\alpha}{2}. \end{gather*}

Підставмо $\alpha=2\beta{:}$

\begin{gather*} r=\frac{a\sin 2\beta}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37837

Завдання 108 з 128

Прямокутник $ABCD$, паралелограм $BKMC$ та трапеція $DCMN$ лежать в одній площині, точки $K$, $C$ і $D$ належать одній прямій (див. рисунок). $AB=5$ см, $AD=12$ см, $BK=15$ см. До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі прямокутника $ABCD$

2відстань від точки $K$ до прямої $AN$

3довжина висоти трапеції $DCMN$

Значення величини

А$17$ см

Б$14$ см

В$13$ см

Г$12$ см

Д$5$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції, прямокутних трикутників.

1. Довжина діагоналі прямокутника $ABCD.$

Діагональ $BD$ розбиває прямокутник $ABCD$ на два рівні прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора для $\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}$

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2;\\[7pt] BD=\sqrt{AB^2+AD^2};\\[7pt] BD=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – B.

2. Відстань від точки $K$ до прямої $AN.$ Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Оскільки точки $K$, $C$ та $D$ лежать на одній прямій (за умовою), а пряма $CD$ перпендикулярна до $AN$ (бо це сторона прямокутника), то шукана відстань – довжина відрізка $KD.$

\begin{gather*} KD=KC+CD. \end{gather*}

У прямокутнику $ABCD$:
$AB=CD=5$ см і $AD=BC=12$ см.

Оскільки $ABCD$ – прямокутник, кут $\angle BCD=90^\circ$, а отже і суміжний із ним $\angle BCK=90^\circ.$ За теоремою Піфагора для трикутника $\Delta CBK{:}$

\begin{gather*} BK^2=BC^2+KC^2;\\[7pt] KC^2=BK^2-BC^2;\\[7pt] KC=\sqrt{BK^2-BC^2};\\[7pt] KC=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\ \text{см};\\[7pt] KD=KC+CD=9+5=14\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3. Висота трапеції – це відстань між її основами $DC$ та $MN.$

$DCMN$ – трапеція $\Rightarrow\ CD\!\parallel\!MN.$ За умовою $K$, $C$, $D$ лежать на одній прямій, яка перпендикулярна до прямої $AN.$ Оскільки $DC$ лежить на цій прямій, то основи трапеції перпендикулярні до прямої $AN\ (DC\!\perp\!DN$, $MN\!\perp\!DN).$

$ABCD$ – прямокутник $\Rightarrow\ BC\!\parallel\!AD$, $AB\!\parallel\!CD$, $AB=CD=5$ см, $BC=AD=12$ см. Усі кути $90^\circ.$

$BKMC$ – паралелограм $\Rightarrow BK\!\parallel\!MC$, $BC\!\parallel\!KM$, $BK=MC=15$ см, $BC=KM=12$ см.

Розгляньмо чотирикутник $DKMN{:}$ $CK\!\parallel\!MN$, $KM\!\parallel\!DN$, $KC\!\perp\!DN.$

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а один кут прямий, – прямокутник. Тобто $DKMN$ – прямокутник.

\begin{gather*} DN=KM=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37844

Завдання 109 з 128

Які твердження правильні?

I. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Алише І та ІІ

Блише I

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Це одна з основних властивостей паралелограма. У довільному паралелограмі $ABCD$ проведімо діагональ $AC.$ За ознакою рівності трикутників за трьома сторонами: $AB=CD$, $BC=AD$ як протилежні сторони паралелограма, $AC$ – спільна, $\Delta ABC=\Delta CDA.$ Твердження правильне.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

Ця властивість притаманна лише ромбу (а також квадрату як окремому виду ромба). У довільному паралелограмі діагоналі не ділять кути навпіл. Твердження неправильне.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Трикутники можуть бути прямокутними або тупокутними. Ця властивість не є загальною для паралелограмів. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38048

Завдання 110 з 128

У рівнобічній трапеції $ABCD$ проведено висоту $CK$ так, що $AK=16$ см, $KD=9$ см (див. рисунок). Діагональ $AC$ перпендикулярна до бічної сторони $CD.$ Обчисліть площу цієї трапеції.

А$384$ см$^2$

Б$288$ см$^2$

В$240$ см$^2$

Г$144$ см$^2$

Д$192$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота $CK$ ділить основу $AD$ на два відрізки: $AK=16$ см і $KD=9$ см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD$ $(\angle ACD=90^\circ$ за умовою). Відрізок $CK$ – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи $AD.$

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38058

Завдання 111 з 128

У паралелограмі $ABCD\ \angle A=30^\circ$, бічна сторона $AB=12$ см. Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см$^2$) паралелограма.

А$54$

Б$54\sqrt{3}$

В$108$

Г$108\sqrt{3}$

Д$216$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо прямокутний трикутник $ABH\ (\angle H=90^\circ).$

За умовою, $\angle A=30^\circ$, а гіпотенуза $AB=12$ см. Катет, що лежить навпроти кута $30^\circ$, дорівнює половині гіпотенузи.

\begin{gather*} BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до неї:

\begin{gather*} AD=3\cdot BH=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площу паралелограма обчислімо як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\begin{gather*} S=AD\cdot BH=18\cdot 6=108\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38151

Завдання 112 з 128

У прямокутній трапеції $ABCD$ бічні сторони $AB$ i $CD$ дорівнюють $12$ см і $20$ см відповідно, а $BC:AD=3:5$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$96$ см$^2$

Б$384$ см$^2$

В$768$ см$^2$

Г$192$ см$^2$

Д$364$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутного трикутника, трапеції, уміння обчислювати площу трапеції.

Проведімо висоту $CH$ з вершини $C$ на основу $AD\ (CH\!\perp\!AD).$

Оскільки трапеція прямокутна $(\angle A=90^\circ)$, чотирикутник $ABCH$ є прямокутником. Звідси маємо: $CH=AB=12$ см (висота трапеції) і $AH=BC.$

Розгляньмо $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CH^2+HD^2;\\[7pt] 20^2=12^2+HD^2;\\[7pt] 400=144+HD^2;\\[7pt] HD^2=400-144=256;\\[7pt] HD=16\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою $BC:AD=3:5.$ Нехай $BC=3x$, тоді $AD=5x.$

Оскільки $AD=AH+HD$, а $AH=BC=3x$, підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 5x=3x+16;\\[7pt] 2x=16;\\[7pt] x=8\ \text{см}. \end{gather*}

Тепер визначмо довжини основ:

менша основа $BC=3\cdot 8=24$ см;

більша основа $AD=5\cdot 8=40$ см.

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота.

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH;\\[6pt] S=\frac{24+40}{2}\cdot 12=\frac{64}{2}\cdot 12=32\cdot 12=384\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38217

Завдання 113 з 128

У ромб, менша діагональ якого $30$ см, вписано коло радіуса $12$ см (див. рисунок). До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1висота ромба

2проєкція меншої діагоналі на сторону ромба

3сторона ромба

Значення величини

А$18$ см

Б$20$ см

В$24$ см

Г$25$ см

Д$30$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Висота ромба.

Висота ромба $h$ дорівнює діаметру вписаного кола $(h=2r){:}$

\begin{gather*} h=2\cdot 12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

2. Проєкція меншої діагоналі на сторону ромба.

Проєкцією меншої діагоналі $BD$ на сторону ромба $AD$ є відрізок $KD$ (оскільки $B$ проєктується в точку $K$, а вершина $D$ лежить на цій прямій). Розгляньмо прямокутний трикутник $BKD\ (\angle BKD=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=BK^2+KD^2;\\[7pt] KD^2=BD^2-BK^2;\\[7pt] KD^2=30^2-24^2=900-576=324;\\[7pt] KD=\sqrt{324}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

3. Сторона ромба.

Розгляньмо прямокутні трикутники $\Delta AOD\ (\angle AOD=90^\circ)$ та $\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ){:}$ $\angle AOD=\angle BKD=90^\circ.$

Гострий кут $\angle ODA$ (або $\angle BDK$) – спільний.

Звідси: $\Delta AOD\sim \Delta BKD$ за двома гострими кутами (ознака подібності прямокутних трикутників).

Оскільки трикутники подібні, відношення їхніх відповідних сторін (навпроти рівних кутів) є рівними. Запишімо пропорцію відношення гіпотенуз до прилеглих катетів для цих трикутників:

\begin{gather*} \frac{AD}{BD}=\frac{OD}{KD}. \end{gather*}

Підставмо всі відомі значення, які отримали на попередніх кроках $(BD=30$ см, $OD=15$ см, $KD=18$ см$){:}$

\begin{gather*} \frac{AD}{30}=\frac{15}{18};\\[6pt] AD=\frac{15\cdot 30}{18}=5\cdot 5=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38220

Завдання 114 з 128

На рисунку зображено ромб $ABCD$ та коло, побудоване на його меншій діагоналі $BD$ так, як на діаметрі. Точка $K$ – точка перетину цього кола з діагоналлю $AC$, $AK=5$ см, $KC=35$ см. До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1діаметр заданого кола

2довжина сторони ромба $ABCD$

3висота ромба $ABCD$

Значення величини

А$15$ см

Б$20$ см

В$24$ см

Г$25$ см

Д$30$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

1. Діаметр заданого кола $BD.$

Точка $O$ – точка перетину діагоналей ромба $ABCD.$ За властивістю ромба, діагоналі $AC$ і $BD$ перпендикулярні $(AC\!⊥\!BD)$, а точка $O$ є їхньою серединою $(AO=OC$, $BO=OD).$ Оскільки коло побудоване на $BD$ як на діаметрі, його центром є саме точка $O$, а радіус кола дорівнює $R=BO=OD.$ Точка $K$ лежить на колі та на діагоналі $AC.$ Оскільки $O$ – центр кола, то відрізок $OK$ – це також радіус кола $(OK=R).$

\begin{gather*} AC=AK+KC=5+35=40\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $O$ – середина $AC{:}$

\begin{gather*} AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо радіус кола $(R = OK)$. З малюнка видно, що точка $K$ лежить між $A$ та $O.$ Тому:

\begin{gather*} OK=AO-OK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Тобто радіус кола $R=15$ см, звідки:

\begin{gather*} BD=2R=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина сторони ромба $ABCD\ (AB).$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Висота ромба $ABCD\ (BH).$

Площу ромба можна обчислити двома способами: через діагоналі та через сторону і висоту.

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \text{та}\ S=ah.\\[6pt] S=\frac 12AC\cdot BD=AB\cdot BH;\\[6pt] \frac 12\cdot 40\cdot 30=25\cdot BH;\\[6pt] 600=25\cdot BH;\\[6pt] BH=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38267

Завдання 115 з 128

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й коло із центром у точці $O$, побудоване на діагоналі ромба $BD$ як на діаметрі. Точки $K$ й $N$ є точками перетину кола з діагоналлю $AC$ й стороною $CD$ відповідно. $AK=5$ см, $AO=20$ см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BO$

2$AB$

3$BN$

Довжина відрізка

А$15$ см

Б$20$ см

В$24$ см

Г$25$ см

Д$30$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. $BO.$

За умовою $AK=5$ см. Точка $K$ лежить на відрізку $AO$, тому:

\begin{gather*} OK=AO-AK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Точка $K$ лежить на колі, а $O$ – його центр, тому $OK$ – це радіус кола $(R=15\ \text{см}).$ Оскільки $BD$ – діаметр кола, то відрізок $BO$ також є радіусом цього кола:

\begin{gather*} BO=R=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. $AB.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ)$, $AO=20$ см, $BO=15$ см. За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи $AB$ (сторону ромба):

\begin{gather*} AB^2=AO^2+BO^2;\\[7pt] AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. $BN.$

Точка $N$ лежить на колі, а $BD$ – діаметр. Кут $\angle BND$ вписаний і спирається на діаметр, тому $\angle BND=90^\circ.$ Отже $BN\!\perp\!CD$, тобто $BN$ – висота ромба, опущена на сторону $CD.$ Обчислімо висоту $BN$ через площу ромба.

Площа ромба через діагоналі:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BD=\frac 12\cdot (2\cdot 20)\cdot (2\cdot 15)=\frac 12\cdot 40\cdot 30=600\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площа ромба через сторону й висоту $(CD=AB=25\ \text{см}){:}$

\begin{gather*} S=CD\cdot BN;\\[7pt] 600=25\cdot BN;\\[6pt] BN=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38383

Завдання 116 з 128

На рисунку зображено чотирикутник, у якому два кути – прямі, третій кут дорівнює $100^\circ.$ Визначте градусну міру четвертого кута цього чотирикутника.

А$100^\circ$

Б$90^\circ$

В$80^\circ$

Г$20^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників.

Сума всіх внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює $360^\circ.$ У заданому чотирикутнику два прямі кути. Прямий кут дорівнює $90^\circ.$ Третій кут за умовою дорівнює $100^\circ.$ Позначмо четвертий кут як $x.$ Отже,

\begin{gather*} 90^\circ+90^\circ+100^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] 280^\circ+x=360^\circ;\\[7pt] x=360^\circ-280^\circ;\\[7pt] x=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38398

Завдання 117 з 128

Точки $K$ і $M$ є серединами сторін $BC$ і $CD$ ромба $ABCD$ (див. рисунок). Довжина перпендикуляра, проведеного від точки $C$ до прямої $KM$, дорівнює $6.$ Визначте площу ромба $ABCD$, якщо $KM=m.$

А$36m$

Б$12m$

В$48m$

Г$24m$

Д$6m$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та трикутника, уміння визначати площу ромба.

Оскільки точки $K$ і $M$ – середини сторін $BC$ і $CD$, відрізок $KM$ є середньою лінією трикутника $BCD.$ За властивістю середньої лінії: $KM\!\parallel\!BD$ та $KM=\dfrac 12 BD.$ Довжина $KM=m$, тому діагональ ромба $BD=2m.$

Нехай $O$ – точка перетину діагоналей ромба. Діагоналі ромба перпендикулярні $(AC\!\perp\!BD)$, тому висота трикутника $BCD$, проведена з вершини $C$, лежить на прямій $AC$ (відрізок $CO$). Якщо $KM\!\parallel\!BD$ і ділить сторони навпіл, то пряма $KM$ також ділить висоту $CO$ навпіл. Отже, відстань від точки $C$ до лінії $KM$ (яка дорівнює $6$) – це половина відрізка $CO.$

\begin{gather*} CO=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Площа ромба складається з площ двох рівних трикутників $(BCD$ і $ABD){:}$

\begin{gather*} S_{ABCD}=2\cdot S_{BCD}=2\cdot \left(\frac 12\cdot BD\cdot CO\right)=BD\cdot CO;\\[7pt] S_{ABCD}=2m\cdot 12=24m. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38401

Завдання 118 з 128

У паралелограмі $ABCD$ на сторону $AD$ проведено висоту $BK$ (див. рисунок). $BK=6$ см, $AK=8$ см, $KD=4$ см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2Середня лінія трапеції $KBCD$

3Відстань від точки $B$ до сторони $CD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$7{,}2$ см

В$8$ см

Г$10$ см

Д$12$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції і прямокутних трикутників.

1. $AB.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2=8^2+6^2=64+36=100;\\[7pt] AB=\sqrt{100}=10\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Середня лінія трапеції $KBCD.$

Основи трапеції $KBCD$ – це паралельні сторони $BC$ і $KD\ (BC=12$ см, $KD=4$ см$).$ Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{BC+KD}{2}=\frac{12+4}{2}=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

3. Відстань від точки $B$ до сторони $CD.$

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного на цю пряму (тобто інша висота $(BH)$ паралелограма, проведена до сторони $CD$).

Площу паралелограма $ABCD$ можна визначити двома способами $(S=a\cdot h){:}$

Через основу $AD$ й висоту $BK{:}$

\begin{gather*} S=AD\cdot BK=12\cdot 6=72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Через основу $CD$ й висоту $BH$ (шукана відстань):

\begin{gather*} S=CD\cdot BH. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони рівні, то $CD=AB=10$ см. Підставмо значення у формулу площі:

\begin{gather*} 72=10\cdot BH;\\[7pt] BH=72:10=7{,}2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38405

Завдання 119 з 128

У ромбі $ABCD$ з вершини тупого кута проведено висоту $BM$, яка ділить сторону $AD$ навпіл (див. рисунок). Які твердження правильні?

I. $BM\!\perp\!BC.$

II. Трикутник $ABD$ рівносторонній.

III. $\angle BAD$ удвічі менший за $\angle ADC.$

Алише І

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІI та ІІІ

ДI, II та ІII

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, рівностороннього трикутника.

І. $BM\!\perp\!BC.$

Протилежні сторони ромба паралельні $(BC\!\parallel\!AD).$ Висота $BM\!\perp\!AD$, тому вона перпендикулярна і до паралельної сторони $BC.$ Твердження правильне.

ІI. Трикутник $ABD$ є рівностороннім.

За умовою $BM$ – висота та медіана $(AM=MD)$ трикутника $ABD.$ Отже, $\Delta ABD$ рівнобедрений $(AB=BD).$ У ромба всі сторони рівні, тому $AB=AD.$ Маємо $AB=AD=BD$, тобто $\Delta ABD$ – рівносторонній. Твердження правильне.

ІII. $\angle BAD$ удвічі менший за $\angle ADC.$

Оскільки $\Delta ABD$ рівносторонній, його кут $\angle BAD=60^\circ.$
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює $180^\circ$, тому $\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$
Отже, $\angle BAD=60^\circ$ удвічі менший за $\angle ADC=120^\circ.$ Твердження правильне.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38600

Завдання 120 з 128

Точка $O$ – середина діагоналі $AC$ ромба $ABCD$ (див. рисунок). $AK$ – висота ромба, $AK=12$ см, $BK = 5$ см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

Відрізок

1Сторона ромба

2Радіус кола, уписаного в ромб

3$OK$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$12$ см

В$2\sqrt{13}$ см

Г$13$ см

Д$4\sqrt{13}$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба $(AB).$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2;\\[7pt] AB^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] AB=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Радіус кола, вписаного в ромб $(r).$

Висота ромба $h=AK=12$ см. Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині його висоти:

\begin{gather*} r=\frac h2=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. $OK.$

Оскільки $ABCD$ – ромб, то центр його симетрії (точка перетину діагоналей) – це точка $O.$ Відрізок $OK$ є медіаною, проведеною з прямого кута $\angle AKC$ прямокутного трикутника $\Delta AKC$ до гіпотенузи $AC.$

Властивість: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи, тобто $OK=AO=OC.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ знайдімо відрізок $KC.$ Усі сторони ромба рівні $13$ см, тому $BC=13$ см.

\begin{gather*} KC=BC-BK=13-5=8\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника $\Delta AKC$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2;\\[7pt] AC^2=12^2+8^2=144+64=208;\\[7pt] AC=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $OK=\dfrac{AC}{2}$,

\begin{gather*} OK=\frac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38609

Завдання 121 з 128

Які твердження правильні?

I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло.

II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло.

III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

Алише І

Блише ІІ

Влише ІІІ

Глише ІI i ІІІ

ДI, II та ІII

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I. Існує прямокутна трапеція, навколо якої можна описати коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^\circ.$ У прямокутній трапеції два кути при меншій бічній стороні – прямі $(90^\circ\ \text{і}\ 90^\circ).$ Отже, кути при більшій бічній стороні – гострий і тупий, але їхня сума також має бути $180^\circ$, тобто трапеція має бути рівнобічною (а не прямокутною). Твердження неправильне.

II. Існує прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні $(a+b=c+d).$ Для прямокутної трапеції це цілком можливо (наприклад, якщо основи дорівнюють $3$ і $6$, а бічні сторони – $4$ й $5{:}\ (3+6=4+5=9$). Твердження правильне.

III. Існує прямокутна трапеція, висота якої вдвічі менша за більшу бічну сторону.

Якщо гострий кут прямокутної трапеції дорівнює $30^\circ$, то у прямокутному трикутнику, утвореному висотою і більшою бічною стороною, висота (катет проти кута $30^\circ$) удвічі менша за більшу бічну сторону (гіпотенузу). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38651

Завдання 122 з 128

У паралелограмі $ABCD$ з гострим кутом $\angle A=30^\circ$ проведено висоту $BK$ (див. рисунок). Довжина відрізка $MN$, що з’єднує середини висоти $BK$ й сторони $CD$, дорівнює $24$ см. Визначте площу паралелограма $ABCD$, якщо $KD=18$ см.

А$60\sqrt{3}$ см$^2$

Б$120\sqrt{3}$ см$^2$

В$63\sqrt{3}$ см$^2$

Г$360\sqrt{3}$ см$^2$

Д$240\sqrt{3}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Розгляньмо чотирикутник $KBCD.$ У ньому $BC\!\parallel\!KD$, тобто це трапеція з основами $BC$ та $KD.$ Відрізок $MN$ з'єднує середини її бічних сторін $BK$ та $CD$, тому $MN$ – середня лінія трапеції $KBCD.$ За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} MN=\frac{BC+KD}{2}. \end{gather*}

Протилежні сторони паралелограма рівні $(BC=AD)$, тому

\begin{gather*} 24=\frac{AD+18}{2};\\[6pt] AD+18=48;\\[7pt] AD=30\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину відрізка $AK{:}$

\begin{gather*} AK=AD-KD=30-18=12\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ){:}$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ A=\frac{BK}{AK};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{BK}{12};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BK}{12};\\[6pt] BK=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За формулою площі паралелограма $S=a\cdot h_a$ обчислімо площу $ABCD{:}$

\begin{gather*} S=AD\cdot BK=30\cdot 4\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38654

Завдання 123 з 128

У рівнобічній трапеції $ABCD\ (AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ$, $BO=a$, $BC$ втричі менша за $AD.$ Яка площа цієї трапеції?

А$3a^2$

Б$a^2\sqrt{2}$

В$4a^2$

Г$2a^2$

Д$a^2\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Проведімо висоту трапеції $BH\!\perp\!AD.$

У прямокутному трикутнику $BHO\ \angle BOH=45^\circ$, отже, трикутник $BHO$ – рівнобедрений $(BH=HO).$

\begin{gather*} \sin 45^\circ=\frac{BH}{BO};\\[6pt] BH=BO\cdot \sin 45^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} BH=HO=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Оскільки $ABCD$ – рівнобічна трапеція, проєкція бічної сторони

\begin{gather*} AH=\frac{AD-BC}{2}. \end{gather*}

За умовою $AD=3BC.$

Позначмо $BC=x$, тоді $AD=3x.$

\begin{gather*} AH=\frac{3x-x}{2}=x=BC. \end{gather*}

Оскільки $AO=AH+HO$, маємо

\begin{gather*} AO=x+\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{gather*}

Також

\begin{gather*} AO=\frac{AD}{2}=\frac{3x}{2}=1{,}5x. \end{gather*}

Прирівняймо вирази для $AO{:}$

\begin{gather*} 1{,}5x=x+\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 1{,}5x-x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] 0{,}5x=\frac{a\sqrt{2}}{2};\\[6pt] x=a\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, основи трапеції дорівнюють:

\begin{gather*} BC=x=a\sqrt{2};\\[7pt] AD=3x=3a\sqrt{2}. \end{gather*}

Площу трапеції обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \end{gather*}

де $a$, $b$ – основи, $h$ – висота.

\begin{gather*} S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH;\\[6pt] S=\frac{a\sqrt{2}+3a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{4a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{4a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}{4}=a^2\cdot 2=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 808. Завдання: 38742

Завдання 124 з 128

Які з наведених тверджень правильні?

I. Будь-який ромб є паралелограмом.

II. Будь-яка висота ромба, проведена з його вершини, проходить через точку перетину діагоналей ромба.

III. Діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

Алише І

Блише ІІ

Влише І та ІІ

Глише І та ІІІ

ДI, II та ІII

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

I. Будь-який ромб є паралелограмом.

За означенням ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Твердження правильне.

II. Будь-яка висота ромба, проведена з його вершини, проходить через точку перетину діагоналей ромба.

Висота, опущена з вершини ромба на протилежну сторону, у загальному випадку не проходить через точку перетину діагоналей. Через цю точку проходить лише та висота, що сполучає протилежні сторони й ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Твердження неправильне.

III. Діагональ ромба ділить його на два рівні трикутники.

Діагональ ромба ділить його на два трикутники зі спільною стороною (діагоналлю) і двома парами рівних сторін (оскільки всі сторони ромба рівні). Ці трикутники рівні за трьома сторонами (третя ознака рівності трикутників). Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 808. Завдання: 38745

Завдання 125 з 128

Сторона $CD$ паралелограма $ABCD$ утворює з прямою $AD$ кут, градусна міра якого дорівнює $55^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $MAB.$

А$35^\circ$

Б$125^\circ$

В$145^\circ$

Г$55^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів і паралелограма.

Оскільки $ABCD$ – паралелограм, то протилежні сторони $AB$ і $CD$ паралельні $(AB\!\parallel\!CD).$ Унаслідок перетинання цих паралельних прямих січною $MD$ утворюються рівні відповідні кути:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle NDC=55^\circ. \end{gather*}

Кути $\angle MAB$ та $\angle DAB$ суміжні, тому їхня сума дорівнює $180^\circ{:}$

\begin{gather*} \angle MAB=180^\circ-\angle DAB=180^\circ-55^\circ=125^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38826

Завдання 126 з 128

Периметр ромба дорівнює $80$ см, а його висота – $12$ см. Визначте довжину (см) меншої діагоналі ромба.

А$8\sqrt{5}$

Б$4\sqrt{10}$

В$20$

Г$16$

Д$6\sqrt{10}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника.

У ромба всі сторони рівні: $AB=BC=CD=AD.$

\begin{gather*} AB=\frac P4=\frac{80}{4}=20\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику $ABH\ (\angle AHB=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AH^2+BH^2;\\[7pt] BH^2=AB^2-AH^2=20^2-12^2=400-144=256;\\[7pt] BH=\sqrt{256}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину відрізка $HC{:}$

\begin{gather*} HC=BC-BH=20-16=4\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо довжину меншої діагоналі $AC$ в прямокутному трикутнику $AHC\ (\angle AHC=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AH^2+HC^2=12^2+4^2=144+16=160;\\[7pt] AC=\sqrt{160}=\sqrt{16\cdot 10}=4\sqrt{10}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38829

Завдання 127 з 128

Які з наведених тверджень правильні?

I. Центр кола, вписаного в трапецію, розташований на середній лінії трапеції.

II. Центр кола, вписаного в трапецію, збігається з точкою перетину її діагоналей.

III. Центр кола, описаного навколо трапеції, обов’язково розташований на її більшій основі.

Алише І

Блише ІІ

Влише ІII

Глише І та ІІ

Длише І та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I. Центр кола, вписаного в трапецію, лежить на середній лінії трапеції.

Центр вписаного кола рівновіддалений від паралельних основ трапеції на відстань радіуса $r.$ Оскільки висота трапеції $h=2r$, середня лінія віддалена від обох основ на відстань $\dfrac h2=r.$ Отже, центр вписаного кола завжди лежить на середній лінії.

Твердження правильне.

II. Центр кола, вписаного в трапецію, збігається з точкою перетину її діагоналей.

Центр будь-якого кола, вписаного в многокутник, є точкою перетину бісектрис його внутрішніх кутів (оскільки ця точка має бути рівновіддаленою від усіх сторін многокутника).

Центр вписаного кола – це точка перетину бісектрис внутрішніх кутів трапеції. У довільній трапеції діагоналі не ділять кути навпіл (не є бісектрисами), тому точка перетину діагоналей не збігається з центром уписаного кола.

Твердження неправильне.

III. Центр кола, описаного навколо трапеції, обов’язково розташований на її більшій основі.

Центр описаного кола – це точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трапеції (описати коло можна тільки навколо рівнобічної трапеції). Тобто центр описаного кола може бути розташований усередині трапеції, поза нею або на більшій основі (лише в окремому випадку, коли діагональ перпендикулярна до бічної сторони).

Твердження неправильне.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38833

Завдання 128 з 128

Діагоналі $AC$ і $BD$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). З точки $O$ на сторону $AD$ опущено перпендикуляр $OK=15$ см. $BC=50$ см, $KD=17$ см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

Відрізок

1Висота, проведена до $AD$

2Проєкція $AB$ на $AD$

3$CD$

Довжина відрізка

А$14$ см

Б$16$ см

В$24$ см

Г$30$ см

Д$34$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, прямокутних трикутників.

1. Висота, проведена до $AD.$

Проведімо з вершини $B$ висоту $BH\!\perp\!AD.$

Розгляньмо $\Delta BHD.$ Оскільки $BH\!\perp\!AD$ і $OK\!\perp\!AD$, відрізки $BH$ й $OK$ паралельні. Оскільки $O$ – середина $BD$, то за означенням $OK$ є середньою лінією $\Delta BHD.$

За властивістю середньої лінії трикутника, вона паралельна основі й дорівнює її половині $(OK=\dfrac 12BH).$

Висота паралелограма

\begin{gather*} BH=2\cdot OK=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Проєкція $AB$ на $AD.$

Оскільки $OK$ – середня лінія $\Delta BHD$, точка $K$ ділить основу $HD$ навпіл ($KD=KH=17$ см). Тоді $HD=2\cdot KD=34$ см. Проєкцією відрізка $AB$ на пряму $AD$ є відрізок $AH{:}$

\begin{gather*} AH=AD-HD=50-34=16\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $CD.$

За властивістю паралелограма $CD=AB.$

З прямокутного трикутника $ABH\ (\angle AHB=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{16^2+30^2}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34\ \text{см}. \end{gather*}

Тобто $CD=34$ см.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 809. Завдання: 38842

Новини

Сертифікати про отримання гранту надійдуть вступникам з 15 вересня
Перелік вишів, у яких можна отримати грант на навчання
Базовий розмір грантів для бакалаврів зріс до 18,5 та 27 тисяч грн

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Геометрія – Паралелограм. Ромб. Трапеція