Геометрія – Паралелограм. Ромб. Трапеція

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа \(AD{:}\) оскільки \(BC\ ||\ AD\), то внутрішні різносторонні кути рівні: \(\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.\) \(\Delta ABC\) — рівнобедрений \((AB=BC=6)\), тому \(\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.\)

Отже, у трапеції

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож \(\angle D=60^\circ.\)

Розгляньмо \(\Delta ACD{:}\)

У прямокутному \(\Delta ACD\) катет \(CD=6\) і лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому гіпотенуза

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту \(CH.\) У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ){:}\)

Отже, 2 – B.

3. Діагональ \(AC{:}\) у прямокутному \(\Delta ACD\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює \(60^\circ\), то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники \(AOD\) та \(BOC\), утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки \(AC=BD\), діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: \(AO=OD\) та \(BO=OC\)). Отже, \(BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.\)

У прямокутному трикутнику \(BOC\) за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – А.

2. За умовою, \(KM\) – середня лінія трикутника \(AOD\), \(KM=12\) см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

Отже, 2 – Д.

3. Висота \(h\) трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників \(AOD\) та \(BOC\)).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота \(\Delta BOC{:}\)

Висота \(\Delta AOD{:}\)

Висота трапеції:

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника \(ACD\), задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

Визначмо площу круга радіуса \(2\sqrt{3}{:}\)

Обчислімо площу половини півкруга радіуса \(2\sqrt{3}\), для цього поділімо обчислену площу круга на \(4{:}\)

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника \(ACD{:}\)

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба \(DCKL\) дорівнює довжині сторони трикутника \(ACD.\) Висота ромба \(DCKL\) дорівнює довжині висоти трикутника \(ACD.\) Обчислімо площу ромба \(DCKL\) через висоту:

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати складники та площу трапеції, використовуючи властивості подібних трикутників.

Проведімо висоту \(h_2\) трикутника \(AOD\), розмір якої треба визначити, висоту \(h_1\) трикутника \(BOC\), висоту \(h\) трапеції. Довжина останньої дорівнює сумі довжин висот трикутників:

За умовою завдання, \(ABCD\) – трапеція, тож її основи \(AD\) і \(BC\) паралельні. Трикутники \(BCO\) і \(DAO\) подібні за двома кутами: \(\angle AOD=\angle COB\) подібні як вертикальні, \(\angle OBC=\angle ODA\) подібні як внутрішні різносторонні при двох паралельних прямих \(AD\), \(BC\) і січній \(BD.\)

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює їхньому коефіцієнту подібності \(k{:}\)

Відповідні сторони подібних трикутників відносяться одна до одної за обчисленим коефіцієнтом подібності: \begin{gather*} \frac{BC}{AD}=\frac 27. \end{gather*}

Довжина сторони \(AD\) відома за умовою завдання й дорівнює \(28\), підставмо її в знаменник правої частини:

За умовою завдання площа трапеції \(S_{ABCD}=405\) см\(^2.\) Запишімо формулу для обчислення площі трапеції:

Визначмо довжину середньої лінії трапеції:

З площі трапеції обчислімо її висоту:

Висоти трикутників \(BCO\) і \(DAO\) пропорційні за коефіцієнтом подібності \(k.\) Нехай коефіцієнтом відношення буде \(x\) тоді \(h_1=2x\), \(h_2=7x.\) Сума довжин висот трикутників дорівнює довжині висоти трапеції, яку вже обчислено:

Висота трикутника \(DAO\) дорівнює \(7x\), тож маємо помножити \(7\) на щойно обчислене значення \(x{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони \(AB.\) У прямокутному трикутнику \(ABD\) за означенням тангенса:

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони \(AD.\) У прямокутному трикутнику \(ABD\) за означенням синуса:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі \(AC.\) Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника \(ABC.\)

У паралелограма сума сусідніх кутів становить \(180^\circ\), тому

За теоремою косинусів:

Оскільки \(\cos 120^\circ=-\frac 12\),

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники \(\Delta AOK\) та \(\Delta COB{:}\)
\(\angle KAO=\angle BCO\) як внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ AD\) та січній \(AC\);
\(\angle BOC=\angle KOA\) як вертикальні кути.

Отже, \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOA\) за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа \(BC=3\), нижня основа \(AD=6\), висота трапеції \(BH=6.\)

Обчислімо площу трапеції за формулою: \begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому \(BC=AD.\) Тобто достатньо визначити довжину сторони \(AD\) в трикутнику \(ABD.\)

За теоремою синусів у \(\Delta ABD{:}\)

Оскільки \(BC=AD\), то \(BC=\sqrt{6}\) см.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб, у якого всі кути дорівнюють \(90^\circ\), є квадратом. Оскільки сума його протилежних кутів \(180^\circ\), то навколо нього можна описати коло. Твердження правильне.

II. Вписане коло дотикається сторін ромба, але не обов'язково в їхніх серединах. Точка дотику збігається із серединою сторони лише якщо цей ромб – квадрат. Твердження неправильне.

III. Висота ромба \(BH\) удвічі більша за радіус \(OK\) вписаного в нього кола. Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

\(AN=8\), \(\Delta ABC=\Delta CMN\), \(AC=CN=\frac 12AN=4\) см, \(AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}\) см.

1. Відстань від \(B\) до \(BC\) – це довжина висоти \(BK\ \Delta ABC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника: \(BK\) – висота та медіана. \(KC=\frac 12 AC=2\) см.

За теоремою Піфагора в \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}\)

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо \(MP\ \perp\ CN\) у \(\Delta CMN.\)

\(KBMP\) – прямокутник.

\(KC=CP\) в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. \(ABMN\) – рівнобічна трапеція, а \(DE\) – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, середньої лінії трапеції, рівностороннього трикутника.

\(ABCD\) – ромб, \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CD=DK=CK=8.\) \(MN\) – середня лінія.

1. Висота \(CH\) трикутника \(CDK\) – це висота ромба \(ABCD.\)

У \(\Delta CHK\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Правильна відповідь – Г.

2. \(\Delta DCK\) – рівносторонній, \(CK=CD=DK=8\), \(\angle C=\angle D=\angle K=60^\circ.\)

\(BC\ ||\ DK\), \(CD\) – січна. \(\angle KDC=\angle DCB=60^\circ\) як внутрішні різносторонні.

У ромбі \(ABCD\) гострий кут \(C\) дорівнює \(60^\circ.\) \(\Delta CBD\) – рівносторонній, тому \(BC=CD=BD=8.\) Менша діагональ ромба \(BD=8.\)

Правильна відповідь – Б.

3.\(BC=8\), \(AK=AD+DK=8+8=16.\)

Середнія лінія

Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

За умовою, довжина сторони \((a)\) є цілим числом (наприклад \(1\), \(2\), \(3\), \(4\ \text{...}\)). Тому, периметр \((P)\) буде завжди добутком цілого числа на \(4\), що дає числа, які кратні \(4{:}\)

З запропонованих чисел лише \(56\) – кратне \(4.\)

Відповідь: В.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), то

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Д.

3.

Нехай \(BC=x.\)

Оскільки \(AB=BC\), то \(AB=x.\)

Проведімо висоту з точки \(B\) на основу \(AD.\) Нехай це буде \(BK\). У прямокутній трапеції висота \(BK=CD=24\) см. Відрізок \(AK=AD-KD.\)

Оскільки \(BCDK\) – прямокутник, то \(KD=BC=x.\) Отже, \(AK=32-x.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) за теоремою Піфагора:

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

У \(\Delta ABC\ KO\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, \(BC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ OM\) – середня лінія, тому

Побудуймо \(CH\ \perp\ AD.\)

У \(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\)

Площа трапеції

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

\(ABCD\) – ромб, тому \(AB=BC=CD=DA.\)

Отже, \(\Delta ADC\) – рівнобедрений з основою \(AC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника:

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, \(AC\) – бісектриса кута \(A{:}\) $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює \(180^\circ.\) Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

\(AC=8\) см, \(BD=6\) см, \(\cos \angle AOD=-\frac 14.\)

За властивістю паралелограма

У \(\Delta AOD\) за теоремою косинусів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

\(BC=2x\), \(AD=5x=b\), \(x=\frac b5.\)

Побудуймо висоти \(BH\) i \(CK.\) \(HBCK\) – прямокутник, тому

Точка \(O\) – середина \(AD\), а тому \(HO=OK=x.\)

У \(\Delta BHO\ (\angle H=90^\circ)\), \(O=45^\circ.\) Отже, \(\Delta BHO\) – рівнобедрений. \(HO=BH=x.\)

Площу трапеції визначмо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота

Якщо $$ x=\frac b5, $$ то

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, зокрема прямокутника.

I. Периметром паралелограма називають суму довжин всіх його сторін. $$ P=2(a+b). $$ Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

Отже, твердження правильне.

II. Площу паралелограма визначають за формулою: $$ S=ab\cdot \sin \mathbf{\alpha}. $$ Отже, якщо паралелограми мають рівні сторони, але різні кути між ними, то й площі будуть різні. Тому, твердження про рівність площ паралелограмів із однаковими сторонами в разі різних кутів між ними неправильне.

III. Рівні діагоналі прямокутника не означають рівності сторін. Тільки за умови, що протилежні сторони також рівні, інші сторони прямокутників також будуть рівними між собою.

Отже, твердження неправильне.

Відповідь: А.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де \(a\), \(b\) – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. \(BK\ \perp\ AD.\) Проєкція \(AB\) на пряму \(AD\) – відрізок \(AK.\) \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, тому \(AB=CD.\)

Рівні похилі \(BA\) i \(CD\) мають рівні проєкції \(AK=HD.\)

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції \(ABCD\), це коло описане навколо \(\Delta ACD.\)

За наслідком з теореми синусів:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб – паралелограм, тому всі властивості паралелограма є властивостями ромба.

Отже, у будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба не дорівнює сумі його діагоналей. Якби це твердження було правильним, то в \(\Delta ABC\) сума довжин двох сторін \((AB+BC)\) дорівнювала б довжині третьої сторони \(AC.\) А це суперечить нерівності трикутника.

III. Твердження правильне. Висота ромба \(BH\) удвічі більша за радіус \(OK\) вписаного кола.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трапеції та квадрата, розв’язування трикутників.

\(NP\ ||\ BC\)

1 – В. Точка \(M\) – середина \(AK.\) За теоремою Фалеса: \(NM\ ||\ BC\) і \(AN=NB.\)

У \(\Delta ABK\ NM\) – середня лінія. \(BK=2NM=12\) см.

\(BC=BK+KC=12+4=16\) см. \(AB=BC=16\) см.

2 – A.

У трапеції \(AKCD\ MP\) – середня лінія.

За властивістю середньої лінії: $$ MP=\frac{KC+AD}{2}=\frac{4+16}{2}=10. $$

3 – Г. \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\), \(AB=16\), \(BK=12.\)

За теоремою Піфагора:

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції та трикутника.

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то воно буде дотикатись до всіх її сторін, а отже, до основ. \(OE=OF=r.\) Центр кола точка \(O\) – лежить на середній лінії \(MN.\) Отже, твердження правильне.

II, III твердження не є правильними, бо точка перетину діагоналей не належить середній лінії, та центр описаного кола не обов'язково лежить на більшій основі.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралельних прямих та паралелограмів, умінь розв’язувати планіметричні задачі.

\(ABCD\) – паралелограм. \(AB\ ||\ CD\), \(AC\) – січна, \(\angle BAC=\angle DCA=43^\circ\) як внутрішні різносторонні.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку властивостей трапеції та трикутника, їх властивостей.

1. \(AD=b\), точка \(O\) – середина \(AD\), тому \(AO=OD.\) Проведемо перпендикуляр \(OH\ \perp BC.\)

2.  Трапеція \(ABCD\) – рівнобічна, тому \(BH=HC.\)

3. \(\angle AOB=45^\circ\), \(\angle AOH=90^\circ.\) Отже, \(\angle BOH=45^\circ\) а \(\Delta BHO\) – прямокутний рівнобедрений. \(BH=HO=\frac b5.\)

4. Площу трапеції знаходимо за формулою: $$ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, $$ де \(a\), \(b\) – основи, \(h\) – висота.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)

1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)

2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості трапеції, прямокутного трикутника.

\(AK:KD=3:2.\) За властивістю паралелограма \(BC=AD.\) $$ KD=\frac 25AD=\frac 25\cdot 20=8\ \text{см}. $$ \(BKDC\) – рівнобічна трапеція.

\(\angle AKB=\angle KBM=\mathbf{\alpha}\) (внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ KD\) і січною \(BK\)). \(\angle KBC=\angle DCP=\mathbf{\alpha}\) як кути при основі рівнобедреної трапеції.

У \(\Delta DPC\ (\angle P=90^\circ)\ PC=6\ \text{см}, \angle C=\mathbf{\alpha}.\) $$ CD=\frac{PC}{\cos\mathbf{\alpha}}=\frac{6}{\cos\mathbf{\alpha}}. $$

Площу паралелограма знаходимо за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot b\sin\mathbf{\alpha},\\[6pt] S=CD\cdot BC\sin C=\frac{6}{\cos\mathbf{\alpha}}\cdot 20\cdot\sin\mathbf{\alpha}=\\[6pt] =120\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}=120\ \operatorname{tg}\mathbf{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора, описані навколо кола чотирикутники.

Якщо у чотирикутник можна вписати коло, то сума довжин протилежних сторін рівна.

1 – В. Середня лінія трапеції дорівнює \begin{gather*} \frac{BC+AD}{2}=\frac{50}{2}=25\ \text{см}. \end{gather*}

2 – Г. За умовою \begin{gather*} AB-BC=14\ \text{см}, BC=AD-14,\\[7pt] BC+AD=50,\ \ AD-14+AD=50,\\[7pt] 2AD=64,\ \ AD=32\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. \(BC=50-32=18\ \text{см}.\) \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD.\)

за теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] BK^2=25^2-7^2=625-49=576,\\[7pt] BK=24\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання про паралелограм, ромб, квадрат та їх властивості.

I. Твердження неправильне. Сума двох сусідніх сторін паралелограма не може дорівнювати його діагоналі, тому що за нерівністю трикутника \(AB+AD\gt BD.\)

II. Твердження правильне. Існує паралелограм, в якому один з кутів вдвічі більше за інший. Наприклад, з кутами \(60^\circ\) i \(120^\circ.\)

III. Твердження правильне. Існує паралелограм – ромб, у якого діагоналі перпендикулярні.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата та трапеції, площ чотирикутників.

1 – Г. \begin{gather*} S_{ABCD}=a^2=AB^2=36\ \text{см}^2,\\[7pt] AB=6\ \text{см} - \text{сторона квадрата.} \end{gather*}

2 – Д. \begin{gather*} AM=AB+BM,\\[7pt] BM=15-6=9\ \text{см}. \end{gather*}

\(BMNC\) – прямокутна трапеція. Отже, висота трапеції – бічна сторона \(MB=9\ \text{см}.\)

3 – A. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot MB,\\[6pt] \frac{MN+6}{2}\cdot 9=36,\ \ (MN+6)\cdot 9=72,\\[6pt] MN+6=8, MN=2\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми синусів, властивостей паралельних прямих.

\(AB || CD,\ BD\) січна. \(\angle CBD=\angle BDA=45^\circ\) як внутрішні різності.

За теоремою синусів у \(\Delta ABD\):

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.

За умовою \(AD=3BK,\) де \(BK\) – висота паралелограма.

У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за властивістю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ,\) \(AB=2BK,\) \(BK=6\ \text{см}.\) $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$

Площа паралелограма \(S=ah_a,\) де \(a=AD, h_a=BK.\) $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I.   Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II.  Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники \(\Delta ABC\ne \Delta ACD.\)

III. \(AC=BD\) (властивість рівнобічної трапеції). \(\Delta ABC=\Delta DCB\) (І ознака).

Відповідь: А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл (властивість ромба).

IІ. Неправильне твердження.

IІІ. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні (це властивість ромба, а квадрат є ромбом із прямими кутами).

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(MB\) – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$ MN=\frac{AD+BC}{2}. $$

2. Отже, \begin{gather*} AD=2MN-BC=\\[7pt] =2\cdot 13-9=26-9=17\ (\text{см}). \end{gather*}

3. Проведемо \(CK\perp AD.\) Отримали \begin{gather*} BC=AK=9\ \text{см},\\[7pt] KD=AD-AK=17-9=8\ \text{см}. \end{gather*}

4. \(\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ\) – прямокутний рівнобедрений \((\angle D=45^\circ).\) Отже, \begin{gather*} KD=CK=8\ \text{см}. \end{gather*}

5. \(ABCD\) – прямокутна трапеція, тому $$ AB=CK=8\ \text{см}. $$

Відповідь: 8.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трапеції, властивостей паралельних прямих.

I. \(\angle BAD+\angle ABC=180^\circ\) правильне твердження. За властивістю трапеції сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює \(180^\circ.\)

II. \(\angle BCA=\angle CAD\) правильне твердження. \(BC || AD,\ CA\) – січна. \(\angle BCA\) та \(\angle CAD\) – внутрішні різносторонні.

III. \(AC=BD\) неправильне твердження. Діагоналі довільної трапеції не рівні.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних кутів та паралелограма.

\(\angle ABM+\angle ABC=180^\circ\) за властивістю суміжних кутів.

За властивістю паралелограма $$ \angle B=\angle D=155^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.

2.

У \(\triangle ABK (\angle K=90^\circ )\) катет \(BK=4\) менше гіпотенузи вдвічі \(AB=8\), тому \(\angle A=30^\circ\ \left(\sin 30^\circ=\frac 12=\frac{BK}{AB}\right)\). Правильна відповідь - Б.

3.

За формулою \(S=ah_a\), де \(a=8,\ \ h_a=2\). Площа паралелограма \(S=8\cdot 2=16.\) Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).

Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).

1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.

2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A

Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак ромба.

І. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. Ця властивість у будь-якому ромбі не виконується. Отже, твердження неправильне.

ІІ. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (властивість ромба). Правильне твердження.

ІІІ. У будь-якому ромбі всі сторони рівні (означення ромба). Правильне твердження.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми кутів чотирикутника.

Сума кутів будь-якого чотирикутника 360°. Сума трьох кутів – 280°, тому четвертий кут: $$ 360^\circ-280^\circ=80^\circ $$

Якщо гострі кути паралелограма \(\angle A=\angle C=80^\circ\), то \(\angle B=\angle D=180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).

Сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони паралелограма, дорівнює 180° (як внутрішні односторонні при паралельних прямих і січної).

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, \(PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.\) \(PL=6\ \text{см}\).

2. \(\triangle APL\sim \triangle LEB\) (за гострим кутом). \(\angle LAP=\angle BLE\) - відповідні при \(AP\ ||\ LE\) та січної \(AB\). \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей та ознак паралелограма.

З наведених тверджень привильними є твердження II i III.

Протилежні кути паралелограма рівні (властивість).

Відстані від точки перетину діагоналей до протилежних сторін рівні. $$ \triangle BEO=\triangle DKO $$ за гіпотенузою та гострим кутом.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.

І спосіб:
\(\angle ADB=\angle CBD=35^\circ\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(BD\). $$ \triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ, $$ отже $$ \angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

ІІ спосіб:

За властивістю трапеції

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.

\(BO:OK=2:3\), \(P_{ABCM}=84\), \(BC=12.\)

1. \(AB\ ||\ CM\) за умовою \(BC\ ||\ AM\) за властивістю трапеції. \(ABCM\) – паралелограм.

\(P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84\), \(AB=30.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOM\) (за \(2\) кутами). \(\angle BOC=\angle MOK\) – вертикальні. \(\angle OBC=\angle OKM\) – внутрішні різносторонні.

Отже, 2 – B.

3. \(AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.\)

Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1.

\(\angle A=90^\circ\), \(AC\) бісектриса, \(\angle BAC=45^\circ.\)

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений \((\angle B=90^\circ)\), \(AB=BC=6\) см.
Отже, 1 – A.

2. \(CH\perp AD\), \(HD\) – проекція \(CD\) на \(AD.\)

У \(\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)\), \(CH=6\) см, \(HD=8\) см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. \(ABCH\) – квадрат.

\(BC=AH=6\) см, \(AD=AH+HD=14\) см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

2. За формулою \(S=ah\), де \(a\) – сторона паралелограма, \(h\) – висота, проведена до сторони \(a\), знаходимо площу

Відповідь: 1. \(20.\)
                   2. \(480.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)

1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)

За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I – неправильне твердження. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні (основи), а дві інші – ні (бічні).

IІ – правильне твердження. Основи трапеції – паралельні відрізки, бічна сторона – січна. Кути, прилеглі до бічної сторони – внутрішні односторонні кути, і за властивістю паралельних прямих їх сума дорівнює \(180^\circ.\)

III – неправильне твердження. Наведемо контрприклад. У прямокутній трапеції сума протилежних кутів не дорівнює \(180^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

\(ABCD\) – ромб, \(BD=2\) м, \(\angle D=60^\circ.\)

\(\Delta BMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(BD=2\) м, \(\angle MDB=30^\circ\) (діагональ ромба \(BD\) – бісектриса
кута \(D\)).

\(MB=\frac 12BD=\frac 12\cdot 2=1\) м.

За властивістю катета, протилеглого до кута \(30^\circ.\)

Відповідь, найближча до точної \(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7\ \textit{м}^2.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, суміжних кутів.

За властивістю суміжних кутів $$ \angle ABM+\angle CBA=180^\circ. $$

За властивістю паралелограма \(\angle B=\angle D=155^\circ\) як протилежні.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про середню лінію трапеції, вміння застосовувати властивості трапеції до розв'язування планіметричних задач.

\(BC=7\) см, \(AD=25\) см, \(BD\ \perp\ AB.\)

1. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

Отже, 1 – Г.

2. \(BK\ \perp\ AD\), \(AK\) – проекція \(AB\) на пряму \(AD.\) Проведемо перпендикуляр з вершини \(C\) на пряму \(AD.\) \(CP\ \perp\ AD\) \(BCPK\) – прямокутник, \(BC=KP=7\) см.

Отже, 2 – А.

3. \(KD=25-9=16\) см.

За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи:

Отже, 3 – Б.

4. У \(\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач; знання теореми Піфагора, формули площі трикутника.

\(OK=3\) см, \(S_{AOD}=15\) см\(^2.\)

1. \(\Delta AOD\) \begin{gather*} S_{AOD}=\frac 12AD\cdot OK,\\[6pt] 15=\frac 12\cdot AD\cdot 3,\\[6pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(BE\ \perp\ AD\) висота ромба \(BO=OD\), \(KD=EK\) (за теоремою Фалеса).