Паралелограм. Ромб. Трапеція – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Завдання 1 з 115

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й коло із центром у точці $O$, побудоване на діагоналі ромба $BD$ як на діаметрі. Точки $K$ й $N$ є точками перетину кола з діагоналлю $AC$ й стороною $CD$ відповідно. $AK=5$ см, $AO=20$ см. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BO$

2$AB$

3$BN$

Довжина відрізка

А$15$ см

Б$20$ см

В$24$ см

Г$25$ см

Д$30$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. $BO.$

За умовою $AK=5$ см. Точка $K$ лежить на відрізку $AO$, тому:

\begin{gather*} OK=AO-AK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Точка $K$ лежить на колі, а $O$ – його центр, тому $OK$ – це радіус кола $(R=15\ \text{см}).$ Оскільки $BD$ – діаметр кола, то відрізок $BO$ також є радіусом цього кола:

\begin{gather*} BO=R=15\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. $AB.$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ)$, $AO=20$ см, $BO=15$ см. За теоремою Піфагора обчислімо довжину гіпотенузи $AB$ (сторону ромба):

\begin{gather*} AB^2=AO^2+BO^2;\\[7pt] AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. $BN.$

Точка $N$ лежить на колі, а $BD$ – діаметр. Кут $\angle BND$ вписаний і спирається на діаметр, тому $\angle BND=90^\circ.$ Отже $BN\!\perp\!CD$, тобто $BN$ – висота ромба, опущена на сторону $CD.$ Обчислімо висоту $BN$ через площу ромба.

Площа ромба через діагоналі:

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BD=\frac 12\cdot (2\cdot 20)\cdot (2\cdot 15)=\frac 12\cdot 40\cdot 30=600\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площа ромба через сторону й висоту $(CD=AB=25\ \text{см}){:}$

\begin{gather*} S=CD\cdot BN;\\[7pt] 600=25\cdot BN;\\[6pt] BN=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 2 з 115

На рисунку зображено ромб $ABCD$ та коло, побудоване на його меншій діагоналі $BD$ так, як на діаметрі. Точка $K$ – точка перетину цього кола з діагоналлю $AC$, $AK=5$ см, $KC=35$ см. До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1діаметр заданого кола

2довжина сторони ромба $ABCD$

3висота ромба $ABCD$

Значення величини

А$15$ см

Б$20$ см

В$24$ см

Г$25$ см

Д$30$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

1. Діаметр заданого кола $BD.$

Точка $O$ – точка перетину діагоналей ромба $ABCD.$ За властивістю ромба, діагоналі $AC$ і $BD$ перпендикулярні $(AC\!⊥\!BD)$, а точка $O$ є їхньою серединою $(AO=OC$, $BO=OD).$ Оскільки коло побудоване на $BD$ як на діаметрі, його центром є саме точка $O$, а радіус кола дорівнює $R=BO=OD.$ Точка $K$ лежить на колі та на діагоналі $AC.$ Оскільки $O$ – центр кола, то відрізок $OK$ – це також радіус кола $(OK=R).$

\begin{gather*} AC=AK+KC=5+35=40\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки $O$ – середина $AC{:}$

\begin{gather*} AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо радіус кола $(R = OK)$. З малюнка видно, що точка $K$ лежить між $A$ та $O.$ Тому:

\begin{gather*} OK=AO-OK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Тобто радіус кола $R=15$ см, звідки:

\begin{gather*} BD=2R=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина сторони ромба $ABCD\ (AB).$

Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Висота ромба $ABCD\ (BH).$

Площу ромба можна обчислити двома способами: через діагоналі та через сторону і висоту.

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \text{та}\ S=ah.\\[6pt] S=\frac 12AC\cdot BD=AB\cdot BH;\\[6pt] \frac 12\cdot 40\cdot 30=25\cdot BH;\\[6pt] 600=25\cdot BH;\\[6pt] BH=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 3 з 115

У ромб, менша діагональ якого $30$ см, вписано коло радіуса $12$ см (див. рисунок). До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1висота ромба

2проєкція меншої діагоналі на сторону ромба

3сторона ромба

Значення величини

А$18$ см

Б$20$ см

В$24$ см

Г$25$ см

Д$30$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Висота ромба.

Висота ромба $h$ дорівнює діаметру вписаного кола $(h=2r){:}$

\begin{gather*} h=2\cdot 12=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

2. Проєкція меншої діагоналі на сторону ромба.

Проєкцією меншої діагоналі $BD$ на сторону ромба $AD$ є відрізок $KD$ (оскільки $B$ проєктується в точку $K$, а вершина $D$ лежить на цій прямій). Розгляньмо прямокутний трикутник $BKD\ (\angle BKD=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BD^2=BK^2+KD^2;\\[7pt] KD^2=BD^2-BK^2;\\[7pt] KD^2=30^2-24^2=900-576=324;\\[7pt] KD=\sqrt{324}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

3. Сторона ромба.

Розгляньмо прямокутні трикутники $\Delta AOD\ (\angle AOD=90^\circ)$ та $\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ){:}$ $\angle AOD=\angle BKD=90^\circ.$

Гострий кут $\angle ODA$ (або $\angle BDK$) – спільний.

Звідси: $\Delta AOD\sim \Delta BKD$ за двома гострими кутами (ознака подібності прямокутних трикутників).

Оскільки трикутники подібні, відношення їхніх відповідних сторін (навпроти рівних кутів) є рівними. Запишімо пропорцію відношення гіпотенуз до прилеглих катетів для цих трикутників:

\begin{gather*} \frac{AD}{BD}=\frac{OD}{KD}. \end{gather*}

Підставмо всі відомі значення, які отримали на попередніх кроках $(BD=30$ см, $OD=15$ см, $KD=18$ см$){:}$

\begin{gather*} \frac{AD}{30}=\frac{15}{18};\\[6pt] AD=\frac{15\cdot 30}{18}=5\cdot 5=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 4 з 115

У прямокутній трапеції $ABCD$ бічні сторони $AB$ i $CD$ дорівнюють $12$ см і $20$ см відповідно, а $BC:AD=3:5$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$96$ см$^2$

Б$384$ см$^2$

В$768$ см$^2$

Г$192$ см$^2$

Д$364$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 5 з 115

У паралелограмі $ABCD\ \angle A=30^\circ$, бічна сторона $AB=12$ см. Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см$^2$) паралелограма.

А$54$

Б$54\sqrt{3}$

В$108$

Г$108\sqrt{3}$

Д$216$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 6 з 115

У рівнобічній трапеції $ABCD$ проведено висоту $CK$ так, що $AK=16$ см, $KD=9$ см (див. рисунок). Діагональ $AC$ перпендикулярна до бічної сторони $CD.$ Обчисліть площу цієї трапеції.

А$384$ см$^2$

Б$288$ см$^2$

В$240$ см$^2$

Г$144$ см$^2$

Д$192$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 7 з 115

Які твердження правильні?

I. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Алише І та ІІ

Блише I

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 8 з 115

Прямокутник $ABCD$, паралелограм $BKMC$ та трапеція $DCMN$ лежать в одній площині, точки $K$, $C$ і $D$ належать одній прямій (див. рисунок). $AB=5$ см, $AD=12$ см, $BK=15$ см. До кожної величини (1–3) доберіть її значення (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі прямокутника $ABCD$

2відстань від точки $K$ до прямої $AN$

3довжина висоти трапеції $DCMN$

Значення величини

А$17$ см

Б$14$ см

В$13$ см

Г$12$ см

Д$5$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутників, паралелограмів, трапеції, прямокутних трикутників.

1. Довжина діагоналі прямокутника $ABCD.$

Діагональ $BD$ розбиває прямокутник $ABCD$ на два рівні прямокутні трикутники. За теоремою Піфагора для $\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}$

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2;\\[7pt] BD=\sqrt{AB^2+AD^2};\\[7pt] BD=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – B.

2. Відстань від точки $K$ до прямої $AN.$ Це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Оскільки точки $K$, $C$ та $D$ лежать на одній прямій (за умовою), а пряма $CD$ перпендикулярна до $AN$ (бо це сторона прямокутника), то шукана відстань – довжина відрізка $KD.$

\begin{gather*} KD=KC+CD. \end{gather*}

У прямокутнику $ABCD$:
$AB=CD=5$ см і $AD=BC=12$ см.

Оскільки $ABCD$ – прямокутник, кут $\angle BCD=90^\circ$, а отже і суміжний із ним $\angle BCK=90^\circ.$ За теоремою Піфагора для трикутника $\Delta CBK{:}$

\begin{gather*} BK^2=BC^2+KC^2;\\[7pt] KC^2=BK^2-BC^2;\\[7pt] KC=\sqrt{BK^2-BC^2};\\[7pt] KC=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\ \text{см};\\[7pt] KD=KC+CD=9+5=14\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3. Висота трапеції – це відстань між її основами $DC$ та $MN.$

$DCMN$ – трапеція $\Rightarrow\ CD\!\parallel\!MN.$ За умовою $K$, $C$, $D$ лежать на одній прямій, яка перпендикулярна до прямої $AN.$ Оскільки $DC$ лежить на цій прямій, то основи трапеції перпендикулярні до прямої $AN\ (DC\!\perp\!DN$, $MN\!\perp\!DN).$

$ABCD$ – прямокутник $\Rightarrow\ BC\!\parallel\!AD$, $AB\!\parallel\!CD$, $AB=CD=5$ см, $BC=AD=12$ см. Усі кути $90^\circ.$

$BKMC$ – паралелограм $\Rightarrow BK\!\parallel\!MC$, $BC\!\parallel\!KM$, $BK=MC=15$ см, $BC=KM=12$ см.

Розгляньмо чотирикутник $DKMN{:}$ $CK\!\parallel\!MN$, $KM\!\parallel\!DN$, $KC\!\perp\!DN.$

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, а один кут прямий, – прямокутник. Тобто $DKMN$ – прямокутник.

\begin{gather*} DN=KM=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 9 з 115

На рисунку зображено ромб, сторона якого дорівнює $a$, а кут між стороною і меншою діагоналлю – $\beta.$ Визначте радіус кола, уписаного в цей ромб.

А$a\sin^2 \beta$

Б$a\cos^2 \beta$

В$\frac{a\sin 2\beta}{2}$

Г$a\cos \beta$

Д$a\sin \beta$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 10 з 115

Обчисліть периметр рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють $18$ см і $7$ см, а бічна сторона – $11$ см.

А$37$ см

Б$42$ см

В$47$ см

Г$52$ см

Д$57$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 11 з 115

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD$, у якої $AB=BC$, $AC=80$ см, $CD=48$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $O$ – середина діагоналі $AC$ трапеції $ABCD.$

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина відрізка

А$64$ см

Б$40$ см

В$54$ см

Г$50$ см

Д$32$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 12 з 115

Сторона $CD$ паралелограма $ABCD$ утворює з прямою $AD$ кут, градусна міра якого дорівнює $55^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть градусну міру кута $MAB.$

А$125^\circ$

Б$55^\circ$

В$115^\circ$

Г$145^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 13 з 115

У паралелограмі $ABCD$ бісектриса кута $A=60^\circ$ перетинає сторону $BC$ в точці $K$, $BK=8$ см, $KC=6$ см (див. рисунок). Обчисліть площу паралелограма $ABCD.$

А$56\sqrt{3}$ см$^2$

Б$28$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$28\sqrt{3}$ см$^2$

Д$56$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 14 з 115

Довжини сторін трапеції $ABCD\ (AD\ ||\ BC)$ задовольняють співвідношення $AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.$ Точки $K$ i $M$ – середини сторін $AB$ i $CD$ відповідно. Обчисліть периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр трапеції $ABCD$ дорівнює $80$ см.

А$75$ см

Б$70$ см

В$40$ см

Г$60$ см

Д$55$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 15 з 115

Визначте сторону ромба, діагоналі якого дорівнюють $12\sqrt{5}$ i $6\sqrt{5}.$

А$6\sqrt{15}$

Б$15$

В$9\sqrt{5}$

Г$30$

Д$3\sqrt{15}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 16 з 115

У паралелограмі $ABCD$ на середині сторони $BC$ вибрано точку $K$ так, що $AK\!\perp\!KD$, $KP$ – висота паралелограма (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д), якщо $AP=18$ см, $PD=8$ см.

Відрізок

1$KC$

2середня лінія трапеції $KCDP$

3$KP$

Довжина відрізка

А$10{,}5$ см

Б$11$ см

В$12$ см

Г$12{,}5$ см

Д$13$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 17 з 115

Обчисліть довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють $7$ м і $12$ м.

А$9{,}5$ м

Б$8{,}5$ м

В$5$ м

Г$19$ м

Д$6$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 18 з 115

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$32{,}5$

Б$63$

В$29{,}5$

Г$27$

Д$31{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 19 з 115

Які з наведених тверджень правильні?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише IІІ

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 20 з 115

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цього паралелограма.

А$10{,}5$

Б$1{,}5\sqrt{85}$

В$21$

Г$18$

Д$3\sqrt{85}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 21 з 115

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точку $O$ так, що $BO\ ||\ CD$ (див. рисунок). $CO$ – висота трапеції, $BC=6$ см, $CD=10$ см. До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$OD$

2$CO$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. $BC\ ||\ AD$ (за означенням трапеції), а за умовою $BO\ ||\ CD.$ Чотирикутник $BODC$ – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

\begin{gather*} OD=BC=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$ ($\angle COD=90^\circ$, оскільки $CO$ – висота).

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CO^2+OD^2=CD^2;\\[7pt] CO^2+6^2=10^2;\\[7pt] CO^2=100-36=64;\\[7pt] CO=\sqrt{64}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин $B$ і $C$, відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту $BK$ з точки $B$, то $AK=OD=6$ см.

Також $KO=BC=6$ см. Отже, довжина основи

\begin{gather*} AD=AK+KO+OD=6\ \text{см} + 6\ \text{см} + 6\ \text{см} = 18\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} L=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6\ \text{см}+18\ \text{см}}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 22 з 115

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $AB=BC=CD=6$ см, діагональ $AC$ утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1основа $AD$

2висота трапеції $ABCD$

3діагональ $AC$

Довжина відрізка

А$6\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$6\ \text{см}$

В$3\sqrt{3}\ \text{см}$

Г$12\ \text{см}$

Д$3\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. Основа $AD{:}$ оскільки $BC\ ||\ AD$, то внутрішні різносторонні кути рівні: $\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$ $\Delta ABC$ — рівнобедрений $(AB=BC=6)$, тому $\angle BAC=\angle BCA=30^\circ.$

Отже, у трапеції

\begin{gather*} \angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, тож $\angle D=60^\circ.$

Розгляньмо $\Delta ACD{:}$

\begin{gather*} \angle CAD=30^\circ;\\[7pt] \angle D=60^\circ \Rightarrow \angle ACD=90^\circ. \end{gather*}

У прямокутному $\Delta ACD$ катет $CD=6$ і лежить навпроти кута $30^\circ$, тому гіпотенуза

\begin{gather*} AD=2\cdot CD=2\cdot 6\ \text{см}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Висота трапеції:

Проведімо висоту $CH.$ У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ$, $\angle D=60^\circ){:}$

\begin{gather*} CH=CD\cdot \sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. Діагональ $AC{:}$ у прямокутному $\Delta ACD$

\begin{gather*} AC=AD\cdot \cos 30^\circ=12\ \text{см}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 23 з 115

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, у якого менша діагональ дорівнює стороні.

II. Висота будь-якого ромба більша за його сторону.

III. Діагональ будь-якого ромба ділить ромб на два рівні трикутники.

Алише I

Блише IІІ

Влише II та ІІІ

Глише I та III

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 24 з 115

У рівнобічній трапеції $ABCD$ діагоналі $AC$ i $BD$ взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці $O$, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $BO=6\sqrt{2}$ см, $KM=12$ см (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$BC$

2$AD$

3висота трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$12$ см

Б$15$ см

В$18$ см

Г$21$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники $AOD$ та $BOC$, утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки $AC=BD$, діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: $AO=OD$ та $BO=OC$). Отже, $BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.$

У прямокутному трикутнику $BOC$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BC^2=BO^2+OC^2;\\[7pt] BC^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2+36\cdot 2=72+72=144;\\[7pt] BC=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. За умовою, $KM$ – середня лінія трикутника $AOD$, $KM=12$ см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

\begin{gather*} AD=2\cdot KM=2\cdot 12\ \text{см}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Висота $h$ трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників $AOD$ та $BOC$).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота $\Delta BOC{:}$

\begin{gather*} h_1=\frac{BC}{2}=\frac{12\ \text{см}}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Висота $\Delta AOD{:}$

\begin{gather*} h_2=\frac{AD}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції:

\begin{gather*} h=h_1+h_2=6\ \text{см}+12\ \text{см}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 25 з 115

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ перпендикулярна до сторони $AB$ (див. рисунок). $\angle A=60^\circ$, $BD=12$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$

2Довжина сторони $AD$

3Довжина діагоналі $AC$

Закінчення речення

Адорівнює $4\sqrt{3}$ см.

Бдорівнює $8\sqrt{3}$ см.

Вдорівнює $2\sqrt{21}$ см.

Гдорівнює $4\sqrt{21}$ см.

Ддорівнює $24$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони $AB.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням тангенса:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\frac{BD}{AB};\\[6pt] AB=\frac{BD}{\mathrm{tg}\ 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони $AD.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням синуса:

\begin{gather*} \sin 60^\circ=\frac{BD}{AD};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{AD};\\[6pt] AD=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі $AC.$ Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника $ABC.$

У паралелограма сума сусідніх кутів становить $180^\circ$, тому

\begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ;\\[7pt] AB=4\sqrt{3};\\[7pt] BC=AD=8\sqrt{3}. \end{gather*}

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\cos 120^\circ=-\frac 12$,

\begin{gather*} AC^2=(4\sqrt{3})^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] AC^2=48+192+4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3};\\[6pt] AC^2=240+96=336;\\[7pt] AC=\sqrt{336}=\sqrt{16\cdot 21}=4\sqrt{21}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 26 з 115

У паралелограмі $ABCD$ на стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ і відрізок $BK$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$16$ см

В$8$ см

Г$15$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 27 з 115

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ (див. рисунок). Обчисліть площу цієї трапеції.

А$27$

Б$45$

В$24$

Г$25$

Д$54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 28 з 115

У паралелограмі $ABCD$ діагональ $BD$ утворює зі сторонами $AB$ i $AD$ кути $60^\circ$ i $45^\circ$ відповідно (див. рисунок). Обчисліть довжину сторони $BC$, якщо $AB=2$ см.

А$2\sqrt{2}$ см

Б$\sqrt{6}$ см

В$3$ см

Г$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см

Д$\sqrt{2}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 29 з 115

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, навколо якого можна описати коло.

II. Середини сторін будь-якого ромба лежать на вписаному в нього колі.

III. Радіус кола, вписаного в ромб, удвічі менший за його висоту.

Алише I

Блише I та II

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 30 з 115

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ $(AB=BC)$ і $CMN$ $(CM=MN)$, що лежать в одній площині. $AN=8$ см, $AB=2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

1Відстань від $B$ до сторони $AC$

2$BM$

3Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$

А$4$ см

Б$6$ см

В$7$ см

Г$8$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 31 з 115

На рисунку зображено ромб $ABCD$ й рівносторонній трикутник $DCK$ зі стороною $8.$ Точка $D$ належить відрізку $AK$, точка $M$ i $N$ є серединами сторін $AB$ i $CK$ відповідно. Доберіть до відрізка (1–3) його довжину (А – Д).

1висота ромба $ABCD$

2менша діагональ ромба $ABCD$

3$MN$

А$8\sqrt{3}$

Б$8$

В$12$

Г$4\sqrt{3}$

Д$4$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 32 з 115

Довжина сторони ромба $ABCD$ – ціле число. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А$38$

Б$42$

В$56$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 33 з 115

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 34 з 115

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ $(AB=CD)$, точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції, діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO=5$ см, $OM=7$ см, $\angle CAD=30^\circ.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$144$ см$^2$

Б$144\sqrt{3}$ см$^2$

В$288$ см$^2$

Г$48\sqrt{3}$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 35 з 115

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC.$ $\angle CAD=23^\circ.$ Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

А$67^\circ$

Б$136^\circ$

В$134^\circ$

Г$124^\circ$

Д$144^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 36 з 115

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O.$ Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=–\frac{1}{4}.$

А$\sqrt{31}$ см

Б$2\sqrt{7}$ см

В$\sqrt{22}$ см

Г$5$ см

Д$\sqrt{19}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 37 з 115

У рівнобічній трапеції $ABCD$ $(AB=CD)$ на більшій основі $AD$ вибрано точку $O$ так, що $AO=OD$, $\angle AOB=45^\circ.$ $AD:BC=5:2$, $AD=b.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$\frac{7b^2}{25}$

Б$\frac{7b^2\sqrt{2}}{50}$

В$\frac{21b^2}{100}$

Г$\frac{7b^2}{50}$

Д$\frac{7b^2}{45}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 38 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівні периметри.

II. Якщо паралелограми мають рівні сторони, то вони мають рівну площу.

III. Якщо прямокутники мають рівні діагоналі, то вони мають рівні сторони.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише I та IIІ

Длише ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 39 з 115

Діагональ $AC$ рівнобічної трапеції $ABCD$ утворює зі стороною $CD$ кут $120^\circ.$ Довжини основ трапеції дорівнюють $12$ см і $30$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина проєкції сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює

А$9$ см

Б$20\sqrt{3}$ см

В$21$ см

Г$10\sqrt{3}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 40 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-якому ромбі діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

II. Периметр ромба дорівнює сумі його діагоналей.

III. Висота ромба вдвічі більша за радіус уписаного в нього кола.

Алише I

Блише III

Влише I та II

Глише I та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 41 з 115

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ На стороні $C$ вибрано точку $K$ так, що $KC=4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $AK.$ Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$, перетинає сторони $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM=6$ см. Узгодьте відрізок (1-3) та його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MP$

3$AK$

Довжина відрізка (см)

А$10$

Б$12$

В$16$

Г$20$

Д$24$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 42 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

II. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції.

Алише І та ІІ

Блише І

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 43 з 115

У паралелограмі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $\angle CAD=18^\circ$, $\angle ACD=43^\circ.$

А$61^\circ$

Б$25^\circ$

В$129^\circ$

Г$51^\circ$

Д$29^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 44 з 115

У рівнобічній трапеції $ABCD$ точка $O$ є серединою основи $AD$, $\angle AOB=45^\circ$, $AD:BC=5:2$ (див. рисунок). Визначте площу трапеції $ABCD$, якщо $AD=b.$

А$\frac{7}{50}b^2$

Б$\frac{7}{25}b^2$

В$\frac{7\sqrt{2}}{50}b^2$

Г$\frac{b^2}{14}$

Д$\frac{4b^2}{25}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 45 з 115

Трапеція $AKCD$ складається з квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $24\ \text{см},$ середня лінія трапеції $AKCD$ дорівнює $10\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина відрізка $BK$ дорівнює

2Довжина відрізка $KC$ дорівнює

3Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC,$ дорівнює

Закінчення речення

А$8\ \text{см}.$

Б$7\ \text{см}.$

В$6\ \text{см}.$

Г$10\ \text{см}.$

Д$12\ \text{см}.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 46 з 115

На стороні $AD$ паралелограма $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $AK:KD=3:2,$ $BK=CD$ (див. рисунок). Визначте площу паралелограма $ABCD,$ якщо $\angle AKB=\mathbf{\alpha},$ $BC=20.$

А$\frac{120}{\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}}$

Б$120\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}$

В$160\sin\mathbf{\alpha}$

Г$60\cos\mathbf{\alpha}$

Д$\frac{60}{\operatorname{tg}\mathbf{\alpha}}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 47 з 115

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює $100\ \text{см}.$ Різниця основ трапеції дорівнює $14\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина більшої основи трапеції дорівнює

3Довжина висоти трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$18\ \text{см}$

Б$24\ \text{см}$

В$25\ \text{см}$

Г$32\ \text{см}$

Д$36\ \text{см}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 48 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін.

II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.

III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

Алише ІІ

Блише І та ІІІ

Влише ІІ та ІІІ

Глише І та ІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 49 з 115

Квадрат $ABCD$ та прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2,$ $AM=15\ \text{см}.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною ( А– Д).

Відрізок

1сторона квадрата $ABCD$

2висота трапеції $BMNC$

3менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка, см

А$2$

Б$3$

В$4$

Г$6$

Д$9$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 50 з 115

У паралелограмі $ABCD: AB=\sqrt{6}\ \text{см},$ $\angle BAD=30^\circ,$ $\angle CBD=45^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі $BD.$

А$2\sqrt{3}\ \text{см}$

Б$3\ \text{см}$

В$\sqrt{2}\ \text{см}$

Г$2\ \text{см}$

Д$\sqrt{3}\ \text{см}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 51 з 115

У паралелограмі $ABCD\ \angle A=30^\circ,$ бічна сторона $AB = 12\ \text{см.}$ Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу $(\text{см}^2)$ цього паралелограма.

А$54$

Б$54\sqrt{3}$

В$108$

Г$108\sqrt{3}$

Д$216$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 52 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише III

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише II та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 53 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точка перетину ділить навпіл.

III. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні.

Алише I

БІ, II та ІІІ

Влише III

Глише I та II

Длише I та IIІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 54 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 55 з 115

Які з наведених тверджень щодо довільної трапеції $ABCD\ (BC\ ||\ AD)$ є правильними?

I. $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$

II. $\angle BCA=\angle CAD$

III. $AC=BD$

Алише І

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 56 з 115

Вершина $B$ паралелограма $ABCD$ лежить на прямій $MC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ$.

А$65^\circ$

Б$115^\circ$

В$155^\circ$

Г$165^\circ$

Д$175^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 57 з 115

На рисунках (1-5) наведено інформацію про п'ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на

2Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на

3Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 58 з 115

Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції $ABCD$. Довжина більшої основи $AD$ становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи $BC$ й бічних сторін $AB$ й $CD$ планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін $AB,\ BC$ й $CD$ цієї кишені, якщо вздовж $BC$ вже встановлено 15 стовпчиків?

А39

Б41

В42

Г43

Д45

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 59 з 115

Квадрат $ABCD$ й прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2$, $AM=15\ \text{см}$.

Установіть відповідність між відрізком (1-3) i його довжиною (А – Д).

Відрізок

1сторона квадрата $ABCD$

2висота трапеції $BMNC$

3менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка

А$2$ см

Б$3$ см

В$4$ см

Г$6$ см

Д$9$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 60 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.

II. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

Алише І та ІІ

Блише І і ІІІ

Влише ІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 61 з 115

Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280°. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.

А100°

Б80°

В140°

Г40°

Д120°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 62 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 63 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.

II. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.

III. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.

Алише ІІ

Блише І і ІІІ

ВІ, ІІ, ІІІ

Глише І і ІІ

Длише ІІ і ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 64 з 115

На рисунку зображено трапецію $ABCD$. Визначте градусну міру кута $BCD$, якщо $\angle ADB=35^\circ, \angle BDC = 20^\circ$.

А125°

Б165°

В155°

Г145°

Д140°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 65 з 115

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точки $K$ та $M$ так, що $BK\ ||\ CD$, $MC\ || AB$ (див. рисунок). Відрізки $BK$ та $CM$ перетинаються в точці $O$, $BO:OK=2:3.$ Периметр чотирикутника $ABCM$ дорівнює $84$, $BC=12.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MK$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$21$

Б$30$

В$18$

Г$27$

Д$54$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 66 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.

II. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.

III. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

Алише І та ІІI

Блише І

Влише ІIІ

ГI, II та III

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 67 з 115

Бічні сторони $AB$ та $CD$ прямокутної трапеції $ABCD$ дорівнюють $6$ см i $10$ см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною
(А – Д).

Відрізок

1основа $BC$

2проекція сторони $CD$ на пряму $AD$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$10\sqrt{2}$ см

Г$10$ см

Д$14$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 68 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.

III. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

Алише І

БI, II та III

Влише ІIІ

Глише І та ІІ

Длише І та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 69 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 70 з 115

Довжина сторони ромба $ABCD$ дорівнює $8$, $\angle B=60^\circ.$ Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі $AC$

2довжина висоти ромба $ABCD$

3відстань від точки $A$ до центра кола, яке вписане в ромб

Значення величини

А$4$

Б$4\sqrt{3}$

В$8$

Г$8\sqrt{3}$

Д$8\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 71 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.

II. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює $180^\circ.$

III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює $180^\circ.$

Алише І

Блише ІI

Влише І i ІІ

Глише ІI i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 72 з 115

На рисунку зображено поверхню повітряного змія, що складається з двох рівних прямокутних трикутників $AMB$ й $CNB$ та ромба $ABCD.$ Точки $A$ i $C$ належать відрізкам $DM$ i $DN$ відповідно. Гострий кут ромба дорівнює $60^\circ$, $BD=2$ м. Визначте площу поверхні (чотирикутника $MBND$) цього змія, якщо всі його елементи лежать в одній площині.
Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А$1\mathord{,}5$ м$^2$

Б$1\mathord{,}7$ м$^2$

В$2\mathord{,}6$ м$^2$

Г$3\mathord{,}4$ м$^2$

Д$3\mathord{,}9$ м$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 73 з 115

Які з наведених тверджень є правильними?

І. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні.

ІІ. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін.

ІІІ. Довжина сторони будь-якого квадрата вдвічі менша за його периметр.

Алише І

Блише І та IІІ

Влише І та ІІ

Глише ІІ та ІІI

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 74 з 115

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, точка $B$ лежить на прямій $MC.$
Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ.$

А$115^\circ$

Б$65^\circ$

В$175^\circ$

Г$165^\circ$

Д$155^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 75 з 115

Основи $BC$ й $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють $7$ см i $25$ см відповідно. Діагональ трапеції $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Середня лінія трапеції дорівнює

2Проекція сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Висота трапеції дорівнює

4Сторона $AB$ трапеції дорівнює

Закінчення речення

А$9$ см.

Б$12$ см.

В$15$ см.

Г$16$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 76 з 115

На рисунку зображено ромб $ABCD$, діагоналі якого перетинаються в точці $O.$ Із цієї точки до сторони $AD$ проведено перпендикуляр $OK$ довжиною $3$ см. Площа трикутника $AOD$ дорівнює $15$ см$^2.$

1. Визначте довжину сторони ромба $ABCD$ (у см).

2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	10			0.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 77 з 115

Прямокутну трапецію $ABCD\ (AD\ ||\ BC$, $AD\gt BC)$ з більшою бічною стороною $CD=10$ описано навколо кола радіуса $4.$ Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Величина

1довжина сторони $AB$

2довжина проекції сторони $CD$ на пряму $AD$

3довжина основи $AD$

4довжина середньої лінії трапеції $ABCD$

Числове значення величини

А$6$

Б$8$

В$9$

Г$12$

Д$18$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 78 з 115

На рисунку зображено паралелограм $ABCD.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ.$

II. $AB=CD.$

III. $AC\ \perp\ BD.$

Алише І

Блише ІI i ІІI

Влише І i ІІ

Глише І i ІІI

Длише ІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 79 з 115

Установіть відповідність між чотирикутником (1–4) та довжиною його висоти (А – Д).

Чотирикутник

1ромб, гострий кут якого дорівнює $60^\circ$, а менша діагональ – $8\sqrt{3}$ см

2ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$, а периметр – $80$ см

3прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють $13$ см і $7$ см, а більша бічна сторона – $10$ см

4трапеція, середня лінія якої дорівнює $6$ см, а площа – $84$ см

Довжина висоти

А$7$ см.

Б$8$ см.

В$10$ см.

Г$12$ см.

Д$14$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 80 з 115

У паралелограмі $ABCD$ нa стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ i відрізок $BK$ перетинаються в точці $O.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$18$ см

В$16$ см

Г$15$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 81 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 82 з 115

Довжина сторони ромба дорівнює $12$ см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює $120^\circ.$

А$6\sqrt{3}$ см

Б$8\sqrt{3}$ см

В$12$ см

Г$12\sqrt{3}$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 83 з 115

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM.$ Точки $K$ i $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює $18$ см$^2.$

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			72

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата $KBCM\ 18$ см$^2$, то

$$ BC=CM=KM=BK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{см}. $$

$KM$ з'єднує середини діагоналей $AC$ та $BD$, належить середній лінії $LN.$

$\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD$, $KM$ – середня лінія $KM=\frac 12AE$, $AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Фалеса $MK\ ||\ AD$, оскільки середина $AC$, тому точка $M$ – середина $CE.$ $CE=2CM=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AE^2+CE^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=144\ \textit{см}^2,\\[7pt] AC=12\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Оскільки $LK$ – середня лінія $\Delta BAC$, $MN$ – середня лінія $\Delta BCD$, то

\begin{gather*} LK=MN=\frac 12BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \textit{см},\\[6pt] LN=LK+KM+MN=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \textit{см},\\[6pt] S_{ABCD}=LN\cdot CE=6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $12.$
2. $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 84 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 85 з 115

На рисунку зображено ромб $ABCD$ та коло, побудоване на мешій діагоналі $BD$ як на діаметрі. Довжина кола дорівнює $12\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.$ Це коло ділить діагональ $AC$ на три відрізки $AK$, $KM$ та $MC$, довжини яких відносяться як $1 : 6 : 1.$

1. Обчисліть довжину діагоналі $BD.$

2. Обчисліть площу ромба $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			96

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 86 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Координати та вектори на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Теорема косинусів.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

Нагадаємо, що скалярним добутком векторів $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ називають число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними: $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \varphi, $$ де $\varphi$ – кут між векторами $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$.

Довжину вектора $\overrightarrow{a}(a_x; a_y)$ обчислюють за формулою $$ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. $$

На рисунку $ABCD$ – паралелограм, $\overrightarrow{AB}(6; -8)$, $\cos A=0\mathord{,}44.$

За умовою $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=88, $$ тобто $$ |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos A=88. $$ Оскільки вектор $\overrightarrow{AB}(6; -8)$ відомий, то його довжина

\begin{gather*} |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10. \end{gather*}

Визначаємо довжину вектора $\overrightarrow{AD}\mathord{:}$

\begin{gather*} 10\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot 0\mathord{,}44=88,\\[6pt] |\overrightarrow{AD}|=\frac{88}{4\mathord{,}4}=20. \end{gather*}

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ є стороною трикутника $ABD.$ У цьому трикутнику відомі довжини сторін $AB$ та $AD$, що дорівнюють довжинам векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{AD}$ відповідно, та косинус кута між ними. За теоремою косинусів

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos A=10^2+20^2-2\cdot 10\cdot 20\cdot 0\mathord{,}44=324, $$

Звідки отримуємо $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Отже, довжина діагоналі $BD$ дорівнює $18.$

Знаючи довжини сторін $AB$ та $AD$ і косинус кута між ними, довжину діагоналі $BD$ можна визначати ще так. Опустимо з вершини $B$ на сторону $AD$ перпендикуляр $BK$.

Прямокутні трикутники $AKB$ та $BKD$ мають спільний катет, тоді виконується рівність

$$ AB^2-AK^2=BD^2-KD^2. $$

З прямокутного трикутника $AKB$ визначаємо

$$ AK=AB\cos A=10\cdot 0\mathord{,}44=4\mathord{,}4. $$

Тоді

$$ KD=20-4\mathord{,}4=15\mathord{,}6. $$

Отже, $$ 10^2-4\mathord{,}4^2=BD^2-15\mathord{,}6^2 $$ звідки отримуємо

$$ BD^2=100+15\mathord{,}6^2-4\mathord{,}4^2=100+(15\mathord{,}6-4\mathord{,}4)(15\mathord{,}6+4\mathord{,}4)=100+11\mathord{,}2\cdot 20=324, $$

тоді $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Відповідь: $18.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 87 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжину середньої лінії прямокутної трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення прямокутної трапеції, її властивості, означення та властивість середньої лінії трапеції, бісектриси кута трапеції. Також потрібно знати тригонометричні співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Нехай $ABCD$ задана прямокутна трапеція (див. рисунок), $LN$ – її середня лінія: $$ LN = \frac{AD + BC}{2}. $$ У прямокутному трикутнику $BAD$ відомі гіпотенуза $BD = 20\sqrt{3}$ см та $\angle BDA = 30^\circ.$ Тоді $$ \frac{AD}{BD} = \cos 30^\circ, $$ звідки отримуємо:

$$ AD = BD \cos 30^\circ = 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\ \text{см}. $$

Основа $BC$ трапеції є стороною трикутника $BCD$. Оскільки $BC\ ||\ AD$, то $\angle CBD = \angle ADB = 30^\circ$ (як внутрішні різносторонні), а оскільки $BD$ є бісектрисою кута $ADC$, то $\angle BDC = 30^\circ$. Отже, трикутник $BCD$ є рівнобедреним ($BC = DC$). Висота $CO$ цього трикутника є його медіаною і ділить сторону $BD$ навпіл: $BO = OD$. Знаючи катет $BO = 10\sqrt{3}$ см та прилеглий до нього кут $\angle OBC = 30^\circ$, визначаємо сторону $BC\mathord{:}$ $$ \frac{BO}{BC} = \cos 30^\circ, $$ тоді $$ BC = \frac{BO}{\cos 30^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20\ \text{см}. $$

Отже,

$$ LN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{30 + 20}{2} = 25\ \text{см}. $$

Відповідь: $25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 88 з 115

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1–4) та радіусом кола (А – Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

Геометрична фігура

1

2

3

4

Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру

А$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Б$1$

В$\frac 12$

Г$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Д$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні $2 : 1$, рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює $\frac{1}{3}$ його висоти. За умовою висота дорівнює $\sqrt{2}$, тому радіус вписаного кола дорівнює $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус $r$ кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти $h$ цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус $r$ кола, вписаного в квадрат зі стороною $a$, дорівнює половині його сторони: $r = \frac{a}{2}$. Якщо діагональ квадрата дорівнює $\sqrt{2}$, то $a = 1$. Тоді $r = \frac{1}{2}$. Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює $a$, то радіус вписаного кола $r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$. Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність $2a = 2\sqrt{2}$. Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 89 з 115

Довжина сторони $AB$ паралелограма $ABCD$ дорівнює $10$ см, а його периметр – $60$ см. Визначте довжину сторони $BC$.

А$50$ см

Б$40$ см

В$25$ см

Г$20$ см

Д$6$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 90 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція та її властивості. Середня лінія трапеції та її властивості. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трапеції: середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Bміння визначати висоту трапеції як відповідний катет прямокутного трикутника.

1. Згідно з умовою $MN$ – середня лінія, $AD$ і $BC$ – основи трапеції $ABCD.$ Отже, $$ MN = \frac{AD + BC}{2}, $$ звідки одержимо

$$ AD = 2MN - BC = 2 \cdot 13 - 9 = 17 \text{ см}. $$

2. Опустимо з точки $C$ на основу $AD$ перпендикуляр $CK$ і розглянемо прямокутний трикутник $CKD$ (див. рисунок).

У цьому трикутнику $\angle K = 90^\circ$, $\angle D = 45^\circ$. Тоді $$ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ. $$ Отже, трикутник $CKD$ є прямокутним і рівнобедреним, у якому $KC = KD.$ Оскільки

$$ KD = AD - AK = AD-BC=17 - 9 = 8 \text{ см} $$

і $KC = AB$, то $AB = KD = 8$ см.

Зазначимо, що якщо провести відрізок $BP$ паралельно стороні $CD$ (точка $P$ належить основі $AD$), то утвориться прямокутний рівнобедрений трикутник $BAP$, у якому $$ AB = AP = AD-BC = 8 \text{ см}. $$

Відповідь: 1. $17.$
2. $8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 91 з 115

З вершини тупого кута $B$ паралелограма $ABCD$ опущено перпендикуляр $BO$ на сторону $AD.$ Коло з центром у точці $A$ проходить через вершину $B$ та перетинає сторону $AD$ в точці $K.$ Відомо, що $AK=6$ см, $KD=4$ см, $AO=5$ см.

1. Визначте периметр паралелограма $ABCD$ (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	32			6

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 92 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 93 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 94 з 115

Гострий кут паралелограма дорівнює $60^\circ$, а його сторони – $3$ см і $4$ см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

А$\sqrt{37}$ см

Б$\sqrt{31}$ см

В$5$ см

Г$\sqrt{19}$ см

Д$\sqrt{13}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 95 з 115

На стороні $AD$ паралелограма $ABCD$ як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони $BC$ в точці $M.$ Довжина дуги $MD$ дорівнює $6{,}5\pi$ см.

1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього півкола.

2. Обчисліть площу паралелограма $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	13			338

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 96 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Ромб та його властивості. Площа ромба. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжину висоти та площу ромба. Для розв’язання завдання потрібно знати означення ромба та його властивості, формулу його площі та вміти використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутного трикутника.

Нехай $ABCD$ – заданий ромб, $DK$ – висота ромба (див. рисунок).

Оскільки точка $K$ лежить на стороні ромба, то її довжина дорівнює сумі довжин відрізків $BK$ та $KC{:}$

$$ BC = BK + KC = 4 + 6 = 10\ \text{см}. $$

1. У прямокутному трикутнику $DKC$ катет $KC = 6$ см, гіпотенуза $DC = 10$ см. За теоремою Піфагора визначаємо довжину перпендикуляра $DK{:}$

$$ DK = \sqrt{DC^2 - KC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\ \text{см}. $$

2. Площу ромба можна обчислити за формулою $$ S = a \cdot h, $$ де $a$ – сторона ромба, $h$ – висота ромба. Обчислимо площу ромба $ABCD{:}$

$$ S_{ABCD} = BC \cdot DK = 10 \cdot 8 = 80\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $8.$
2. $80.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 97 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб та його властивості. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, вписане в ромб. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків, які є складовими рівностороннього та прямокутного трикутників.

З умови випливає, що сторона ромба дорівнює $48 : 4 = 12\ \text{см}.$

1. Проведемо діагональ $BD$ і розглянемо трикутник $ABD$ (див. рисунок).

Оскільки $AB = AD$ і $\angle A = 60^\circ$, то цей трикутник є рівностороннім. Тоді $$ BD = AB = AD = 12\ \text{см}. $$ Проведемо радіуси $OK$ та $OM$ і розглянемо трикутники $OKB$ та $OMD$. Оскільки $OK\ \perp\ AB$ і $OM\ \perp\ AD$ (дотична до кола перпендикулярна до радіуса, який сполучає центр кола з точкою дотику), $OK = OM$ (як радіуси вписаного кола). $\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ$, то ці прямокутні трикутники рівні (за стороною та двома кутами). Тому $$ OB = OD = \frac{1}{2}BD = 6\ \text{см}. $$

2. Доведемо спочатку, що трикутник $AKM$ є рівностороннім. З рівності трикутників $OKB$ та $OMD$ випливає, що $KB = MD.$ Оскільки $AB = AD$ i $AK+KB=AB$, $AM+MD=AD$, то $AK=AM$. Оскільки $\angle A = 60^\circ$, то трикутник $AKM$ є рівностороннім. У прямокутному трикутнику $OKB$ $\angle KBO = 60^\circ$, тоді $\angle KOB = 30^\circ.$ Отже, катет $KB$ удвічі менший за гіпотенузу $OB\mathord{:}$ $$ KB = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\ \text{см}. $$ Тоді

$$ KM = AK=AB - KB = 12 - 3 = 9\ \text{см}. $$

Відповідь: 1. $6.$
2. $9.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 98 з 115

На рисунку зображено паралелограм $ABCD.$

Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$

II. $\angle B+\angle D=180^\circ.$

III. $\angle B-\angle A\gt 0^\circ.$

Алише І

Блише І i II

Влише ІI

Глише І i ІІI

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 99 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу трапеції.

Щоб розв’язати це завдання потрібно знати саме означення рівнобічної трапеції, її властивості, означення та властивості середньої лінії трапеції та трикутника, бісектриси кута трапеції, а також формули площі трапеції.

Нехай $ABCD$ – задана рівнобічна трапеція, $LN$ – її середня лінія, $LO=13$ см, $NO=23$ см, $\angle BAC=\angle CAD$ (див. рисунок). Оскільки $LO$ і $NO$ – середні лінії в трикутниках $BAC$ і $CAD$ відповідно, то $$ BC=13\cdot 2=26\ \text{см} $$ і $$ AD=23\cdot 2=46\ \text{см}. $$ Оскільки $\angle BCA=\angle CAD$ як внутрішні різносторонні, то трикутник $BAC$ рівнобедрений і $$ AB=BC=26\ \text{см}. $$

Опустимо з вершин $B$ і $C$ на сторону $AD$ перпендикуляри $BK$ і $CM$ відповідно (див. рисунок). З прямокутного трикутника $CMD$ за теоремою Піфагора знаходимо висоту:

$$ CM=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \text{см}. $$

Площа трапеції дорівнює добутку півсумі її основ на висоту, врахуємо, що за властивістю середньої лінії трапеції

\begin{gather*} LN=\frac{BC+AD}{2}{:}\\[6pt] S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CM=LN\cdot CM=(13+23)\cdot 24=864\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $864.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 100 з 115

Бісектриса гострого кута $A$ паралелограма $ABCD$ ділить сторону $BD$ на відрізки $BM=3$ см і $MC=5$ см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма $ABCD$.

А$18$ см

Б$20$ см

В$22$ см

Г$24$ см

Д$26$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 101 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 102 з 115

Діагоналі трапеції $ABCD\ (AD||BC)$ перетинаються в точці $O$. Знайдіть довжину основи $BC$ трапеції, якщо $AD=24$ см, $AO=9$ см, $OC=6$ см.

А$6$ см

Б$9$ см

В$12$ см

Г$16$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 103 з 115

На рисунку зображено рівнобедрену трапецію $ABCD$, у якій $AD = 8$ см, $BC = 4$ см, $AC = 10$ см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1–4) та довжиною проекції (А – Д).

Проекція відрізка на пряму

1проекція відрізка $BC$ на пряму $AD$

2проекція відрізка $CD$ на пряму $AD$

3проекція відрізка $AC$ на пряму $AD$

4проекція відрізка $AD$ на пряму $AC$

Довжина проекції

А$2$ см

Б$4$ см

В$4{,}8$ см

Г$5{,}6$ см

Д$6$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 104 з 115

Господарю потрібно зорати город, що має форму прямокутної трапеції. Розміри городу вказано на рисунку. Оранка трактором ділянки площею $100$ м$^2$ коштує $8$ грн. Скільки грошей (у грн) повинен заплатити господар трактористу за оранку всього городу?

А$144$ грн

Б$450$ грн

В$576$ грн

Г$288$ грн

Д$360$ грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 105 з 115

Укажіть хибне твердження.

АЯкщо в чотирикутнику кожна сторона дорівнює протилежній стороні, то такий чотирикутник – паралелограм.

БЯкщо всі кути чотирикутника рівні, то такий чотирикутник – прямокутник.

ВДіагоналі прямокутника рівні.

ГДіагоналі прямокутника є бісектрисами його кутів.

ДДіагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 106 з 115

Які твердження є правильними?

I. Протилежні кути ромба рівні.

II. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

III. У будь-який ромб можна вписати коло.

Алише I та II

Блише I та ІІІ

Влише II та ІІІ

Глише IІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 107 з 115

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 108 з 115

На рисунку зображено рівносторонній трикутник $ABC$, $KM$ – його середня лінія. Периметр трикутника $KBM$ дорівнює $12$ см. Визначте периметр чотирикутника $AKMC.$

А$32$ см

Б$28$ см

В$24$ см

Г$20$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 109 з 115

На папері у клітинку зображено паралелограм $ABCD$, вершини якого збігаються з вершинами клітинок (див. рисунок). Знайдіть площу паралелограма $ABCD$, якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною завдовжки $1$ см.

А$9$ см$^2$

Б$12$ см$^2$

В$15$ см$^2$

Г$18$ см$^2$

Д$24$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 110 з 115

На рисунку зображено ромб $ABCD$. Знайдіть градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle CAD=25^\circ$.

А$155^\circ$

Б$130^\circ$

В$120^\circ$

Г$100^\circ$

Д$50^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 111 з 115

Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює $150^\circ$. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.

А$75^\circ$

Б$95^\circ$

В$105^\circ$

Г$115^\circ$

Д$120^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 112 з 115

Обчисліть площу чотирикутника $ABCD$ (див. рисунок), сторони $AB$ i $CD$ якого паралельні вісі $Oy$.

А$10$

Б$5$

В$3$

Г$6$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 113 з 115

На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює $96$ см$^2$. У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.

А$24$ см$^2$

Б$32$ см$^2$

В$48$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 114 з 115

Укажіть хибне твердження.

АПротилежні сторони паралелограма рівні.

БСума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^\circ$.

ВДіагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

ГПлоща паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними.

ДПлоща паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Завдання 115 з 115

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, площа якого дорівнює $60$ см$^2.$ Точка $M$ належить стороні $BC.$ Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А$45$ см$^2$

Б$40$ см$^2$

В$35$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$20$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Геометрія – Паралелограм. Ромб. Трапеція