Розділ: Числа і вирази
Тема: Дійсні числа
Кількість завдань: 86
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних та степеневих виразів.
1. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}^0=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^0=1\in (0; 1].\)
Отже, правильна відповідь – B.
2. \((\sqrt{5}-1)\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{5-1}{2}=2\in (1; 2].\)
Отже, правильна відповідь – Г.
3.
\begin{gather*} \log_{\frac 15}(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\varphi}-1)=\log_{\frac 15}\left(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-1\right)=\\[6pt] =\log_{\frac 15}(\sqrt{5}+1-1)=\log_{\frac 15}\sqrt{5}=\log_{5^{-1}}5^{\frac 12}=\\[6pt] =-1\cdot \frac 12\cdot \log_55=-\frac 12\cdot 1=-0\mathord{,}5\in (-1; 0]. \end{gather*}Отже, правильна відповідь – Б.
При спрощенні виразу застосовували формули:
\begin{gather*} \log_ab^n=n\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab,\\[6pt] \log_aa=1. \end{gather*}Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.
Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.
\begin{gather*} \frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=\frac{20\cdot 20^6\cdot 0\mathord{,}1^6}{(2^2)^5}=\frac{20\cdot (20\cdot 0\mathord{,}1)^6}{2^{10}}=\\[6pt] =\frac{2\cdot 2\cdot 5\cdot 2^6}{2^{10}}=\frac{5}{2^2}=\frac 54=1\mathord{,}25. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2},\\[6pt] 2a=(b+c)\cdot d,\\[7pt] 2a=bd+cd,\\[7pt] cd=2a-bd,\\[6pt] c=\frac{2a-bd}{d}=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.
Завдання скеровано на перевірку знання означення модуля числа та його властивостей.
\begin{gather*} 2-|x|=0\mathord{,}1\\[7pt] |x|=2-0\mathord{,}1\\[7pt] |x|=1\mathord{,}9\\[7pt] x=1\mathord{,}9\ \ \text{або}\ \ x=-1\mathord{,}9. \end{gather*}З наведених чисел – це \(-1\mathord{,}9.\)
Відповідь: В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.
1. \(\sin \left(-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}=-\frac 12.\)
\(y=\sin x\) – непарна, тому \(\sin(x)=-\sin x.\)
Отже, правильна відповідь – Г.
2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}-|\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+2|=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}-(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+2)=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}-2=-2.\)
Отже, правильна відповідь – Б.
3. \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac 12.\)
Отже, правильна відповідь – A.
Відповідь: 1Г, 2Б, 3A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.
Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.
$$ 0\mathord{,}6x^3\cdot 5x^4=0\mathord{,}6\cdot 5\cdot x^{3+4}=3x^7. $$Використали властивість степеня з натуральним показником. При множенні степенів з однаковими основами показники додаються, а основа залишається без змін: $$ a^n\cdot a^m=a^{n+m}, $$ (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Якщо $$ m=n-1, $$ то
Отже, правильна відповідь – B.
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей дійсних чисел.
1. Дільником числа \(8\) є числа, на які \(8\) ділиться без остачі. Серед наведених чисел – це \(8.\) Отже, правильна відповіль – A.
2. Просте число – це число, яке має тільки два дільники – \(1\) та саме число. Серед наведених – це \(17.\) Отже, правильна відповідь – B.
3. Квадратом натурального числа є число \(16=4^2.\) Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: 1А, 2В, 3Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля, виконувати тотожні перетворення ірраціональних, тригонометричних виразів, розрізняти види чисел та числових проміжків.
Знайдемо значення виразу
1. \(|-1,6|+2=1,6+2=3,6\in [3;\ +\infty)\) Д.
2. \begin{gather*} \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}\\[7pt] \sqrt{4}\lt \sqrt{8}\lt\sqrt{9}\\[7pt] 2\lt\sqrt{8}\lt 3. \end{gather*} Отже, \(\sqrt{8}\in [2;\ 3)\) – Г.
3. \(2\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}=2\cdot \frac 12=1\in [1;\ 2)\) – B.
Відповідь: 1Д 2Г 3В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.
Запишемо подвійною нерівністю: \begin{gather*} \sqrt{8}\lt x\lt \sqrt{81}\\[7pt] \sqrt{8}\lt \sqrt{9}=3,\ \ \sqrt{81}=9\\[7pt] 3\le x\lt 9 \end{gather*} \(x=3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) – шість цілих чисел.
Відповідь: B.
Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє знання правил округлення цілих чисел.
В числі \(1265\): цифра "\(2\)", позначає сотні, а наступна цифра "\(6\)" – позначає десятки.
Округлення до сотень означає, що ми дивимося на число, яке позначає десятки, щоб вирішити – збільшувати сотні чи залишити як є. Оскільки \(6 \gt 5 \rightarrow\) округлюємо вгору. Отже, \(1265 \approx 1300\) км.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними.
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами та порівнювати їх.
Оцінимо вираз. \begin{gather*} \sqrt{25}\lt \sqrt{27}\lt \sqrt{36},\\[7pt] 5\lt\sqrt{27}\lt 6,\\[7pt] 4\lt \sqrt{27}-1\lt 5,\\[6pt] 2\lt \frac{\sqrt{27}-1}{2}\lt 2\mathord{,}5. \end{gather*} Отже, значення виразу належить проміжку \([2; 3).\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел.
1. \(\frac 35\) правильний дріб. Отже, 1 – Б.
2. \(\frac 65=1\frac 15=1\mathord{,}2\in (1; 1\mathord{,}5).\)
Отже, 2 – Д.
3. \(\frac 85=1\frac 35=1\mathord{,}6=7^{\log_7 1\mathord{,}6}.\)
Отже, 3 – Г.
4. \(\sqrt[3]{\frac 18}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac 12+\frac 53=\frac{13}{6}.\)
Отже, 4 – A.
Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє знання означення кореня \(n\text{-го}\) степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.
\begin{gather*} \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}=|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}+2|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2=4,\\[7pt] \sqrt{3}-2\lt 0,\ \text{тому} |\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3},\\[7pt] \sqrt{3}+2\gt 0,\ \text{тому} |\sqrt{3}+2|=\sqrt{3}+2. \end{gather*}
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.
$$ 3(a-1)=3(0\mathord{,}7-1)=2\mathord{,}1-3=-0\mathord{,}9. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні вирази.
Це завдання перевіряє знання означення та властивості кореня n-го степеня, степеня з натуральним показником, основної логарифмічної тотожності.
1. $$ (3a^3)^2=3^2\cdot (a^3)^2=9a^6. $$ Отже, 1 – A.
2. $$ \sqrt[3]{27a^6}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{a^6}=3a^2. $$ Отже, 2 – Д.
3. $$ \frac{27a^6}{9a^3}=3a^3. $$ Отже, 3 – Г.
4. $$ 3^{2+\log_3a^3}=3^2\cdot 3^{\log_3a^3}=9\cdot \left(3^{\log_3a}\right)^3=9\cdot a^3. $$ Отже, 4 – Б.
Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.
ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє вміння використовувати ознаки подільності до розв'язування задач.
Якщо цукерки можна поділити між двома або трьома дітьми, то їх кількість визначається числом, кратним \(6\).
Якщо цукерки не можна поділити порівну між чотирма дітьми, то їх кількість не є кратною \(4.\)
З наведених чисел кратні \(6\) – це \(36\), \(42\) та \(48.\) З них тільки \(42\) не є кратним \(4.\) Отже, відповідь \(42.\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.
Якщо \(\frac ab=\frac 27\), то число \(\frac ba\), яке є взаємно оберненим до числа \(\frac ab\), дорівнює \(\frac 72.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.
1. \(a^0=1\), отже, правильна відповідь – Б.
2. \(a^2=(-3)^2=9\gt 1\), отже, правильна відповідь – A.
3. \(\frac{|a|}{a}\) при \(a\lt 0\ |a|=-a\).
\(\frac{-a}{a}=-1\), отже, правильна відповідь – Г.
4. \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}\lt \sqrt[3]{-1}\), отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.
1. \(32+18=50\) є числом, що ділиться націло на \(10.\)
Отже, правильна відповідь – Б.
2. \(32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9\) є квадратом натурального числа.
Отже, правильна відповідь – A.
3. \(32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}\) є раціональним числом, яке не є цілим.
Отже, правильна відповідь – Г.
4. \(32-18=14\) є дільником числа \(84\ (84:14=6).\)
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня \(n\text{-го}\) степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$
При \(a\ge 0\ |a^3|=a^3\), тому \(a^4\cdot a^3=a^7.\)
Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:
Відповідь: Г.
ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.
Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.
Якщо ця цифра \(5\) або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.
\(2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінної.
1. \(\frac 73a=\frac 73\cdot 15=\frac{7\cdot 15}{3}=35\)
ділиться націло на \(5.\) Отже, 1 – Д.
2. \(2a-1=2\cdot 15-1=29\)
є простим числом. Отже, 2 – Б.
3. \(a^2+12a+36=(a+6)^2=(15+6)^2=21^2\)
ділиться націло на \(3.\) Отже, 3 – Г.
4. \(a^2+13^2=15^2+13^2=225+169=394\)
є парним числом. Отже, 4 – В.
Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.
За властивістю модуля дійсного числа
\begin{gather*} |a|= \left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}Спрощуємо вираз:
\begin{gather*} |a-1|+|-7|=-(a-1)+7=-a+1+7=-a+8,\\[7pt] a-1\lt 0\ \text{при}\ a\lt 1. \end{gather*}Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел.
Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.
З двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник.
Отже, \(\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}.\)
З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого більший чисельник.
Отже, \(\frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.\)
Маємо \(\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.\)
Відповідь: Б.
