Дійсні числа – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Числа і вирази
Тема: Дійсні числа
Кількість завдань: 102

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 102

Обчисліть $\dfrac{2^6\cdot 5^6}{10^4}.$

А$10^{1{,}5}$

Б$10^{2}$

В$10^{8}$

Г$10^{9}$

Д$10^{10}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степенів з раціональними показниками, знання властивостей степенів.

$$ \frac{2^6 \cdot 5^6}{10^4} = \frac{(2 \cdot 5)^6}{10^4} = \frac{10^6}{10^4} = 10^{6-4} = 10^2. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4304

Завдання 2 з 102

Остача від ділення натурального числа $k$ на $5$ дорівнює $2.$ Укажіть остачу від ділення на $5$ числа $k+21.$

А$0$

Б$1$

В$2$

Г$3$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння знаходити неповну частку та остачу від ділення одного натурального числа на інше.

Нехай $k = 5p + 2.$ Число

\begin{gather*}k + 21 = 5p + 2 + 21 = 5p + 23 = 5(p + 4) + 3. \end{gather*}

Отже, остача від ділення на $5$ становить $3.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5317

Завдання 3 з 102

Запишіть числа $\sqrt[\scriptstyle 3]{2}$, $1$, $\sqrt[\scriptstyle 5]{3}$ в порядку зростання.

А$1$, $\sqrt[\scriptstyle 3]{2}$, $\sqrt[\scriptstyle 5]{3}$

Б$1$, $\sqrt[\scriptstyle 5]{3}$, $\sqrt[\scriptstyle 3]{2}$

В$\sqrt[\scriptstyle 3]{2}$, $\sqrt[\scriptstyle 5]{3}$, $1$

Г$\sqrt[\scriptstyle 5]{3}$, $1$, $\sqrt[\scriptstyle 3]{2}$

Д$\sqrt[\scriptstyle 3]{2}$, $1$, $\sqrt[\scriptstyle 5]{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння порівнювати, виконувати тотожні перетворення степеневих виразів; знання властивостей кореня $n\text{-го}$ степеня.

Запишемо всі числа у вигляді кореня $15$ степеня.

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 3]{2} = \sqrt[\scriptstyle 15]{2^5} = \sqrt[\scriptstyle 15]{32}\ ,\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 5]{3} = \sqrt[\scriptstyle 15]{3^3} = \sqrt[\scriptstyle 15]{27}\ ,\\[7pt] 1 = \sqrt[\scriptstyle 15]{1}. \end{gather*}

Отже, в порядку зростання дані числа запишемо

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 15]{1}\ ,\ \sqrt[\scriptstyle 15]{27}\ ,\ \sqrt[\scriptstyle 15]{32}\ ,\\[7pt] \text{або}\ 1,\ \sqrt[\scriptstyle 5]{3},\ \sqrt[\scriptstyle 3]{2}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6081

Завдання 4 з 102

Запишіть числа $2^{15}$, $4^{10}$, $10^{5}$ у порядку зростання.

А$2^{15}$, $4^{10}$, $10^{5}$

Б$2^{15}$, $10^{5}$, $4^{10}$

В$10^{5}$, $2^{15}$, $4^{10}$

Г$10^{5}$, $4^{10}$, $2^{15}$

Д$4^{10}$, $2^{15}$, $10^{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

Запишiмо числа з однаковим показником:

\begin{gather*} 2^{15} = (2^3)^5 = 8^5;\\[7pt] 4^{10} = (4^2)^5 = 16^5;\\[7pt] 10^5. \end{gather*}

Отже, у порядку зростання

\begin{gather*} 8^5;\ 10^5;\ 16^5. \end{gather*}

Або

\begin{gather*} 2^{15};\ 10^5;\ 4^{10}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6107

Завдання 5 з 102

Учитель роздав учням певного класу $72$ зошити. Кожен учень отримав однакову кількість зошитів. Якому з поданих нижче чисел може дорівнювати кількість учнів у цьому класі?

А$7$

Б$9$

В$10$

Г$11$

Д$14$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності на $2$, $3$, $5$, $9$, $10.$

Кожен учень отримав однакову кількість зошитів, тому кількість учнів – дільник $72.$

Отже, з даних чисел відповідає умові число $9.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6123

Завдання 6 з 102

Обчисліть $\dfrac{5}{9}\cdot0{,}3$.

А$\dfrac{1}{6}$

Б$\dfrac{5}{3}$

В$\dfrac{1}{8}$

Г$\dfrac{8}{19}$

Д$\dfrac{1}{30}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 59 \cdot 0{,}3 = \frac{5\cdot 3}{9\cdot 10}=\frac 16. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6158

Завдання 7 з 102

Якому з наведених проміжків належить число $\sqrt[\scriptstyle4]{30}$?

А$(1;2)$

Б$(2;3)$

В$(3;4)$

Г$(4;5)$

Д$(5;6)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати раціональні та ірраціональні числа.

Знайдемо, між якими цілими числами лежить число $\sqrt[\scriptstyle 4]{30}{:}$

\begin{gather*} 2^4 = 16;\\[7pt] 3^4 = 81. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{16}\lt \sqrt[\scriptstyle 4]{30}\lt \sqrt[\scriptstyle 4]{81};\\[7pt] 2\lt \sqrt[\scriptstyle 4]{30}\lt 3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6175

Завдання 8 з 102

Установіть відповідність між числом (1– 4) та множиною, до якої воно належить (А – Д).

Число

1$-8$

2$23$

3$\sqrt{16}$

4$1{,}7$

Множина

Амножина парних натуральних чисел

Бмножина цілих чисел, що не є натуральними числами

Вмножина раціональних чисел, що не є цілими числами

Гмножина ірраціональних чисел

Дмножина простих чисел

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання про дійсні числа.

1. $-8 \in Z$ множина цілих чисел, що не є натуральними числами. Отже, 1 – Б.

2. $23$ – просте число (має тільки два дільника – $1$ та $23$). Отже, 2 – Д.

3. $\sqrt{16} = 4$ парне натуральне число. Отже, 3 – А.

4. $1{,}7 \in Q$ раціональне число, що не є цілим. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6182

Завдання 9 з 102

Укажіть множину всіх значень $a$, при яких виконується рівність $|a^3-a^2|=a^3-a^2.$

А$[1; +\infty)$

Б$\{0\}\cup [1; +\infty)$

В$(-\infty; -1] \cup \{0\}$

Г$[0; 1]$

Д$(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання модуля числа.

За означенням модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] a^3 - a^2 \ge 0,\\[7pt] a^2(a - 1) \ge 0. \end{gather*}

Розв’яжемо методом інтервалів:
$a = 0$, $a = 1$ – нулі функції.

\begin{gather*} a \in \{0\} \cup [1; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6195

Завдання 10 з 102

Обчисліть $1001^2-999^2$.

А$2$

Б$4$

В$2000$

Г$3980$

Д$4000$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} 1001^{2} - 999^{2} = (1001 - 999)(1001 + 999) = 2 \cdot 2000 = 4000. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6211

Завдання 11 з 102

Обчисліть $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{8}$.

А$\dfrac{3}{4}$

Б$\dfrac{2}{5}$

В$\dfrac{11}{27}$

Г$\dfrac{3}{5}$

Д$\dfrac{5}{8}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 13 + \frac 23 \cdot \frac 58 = \frac 13 + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac 13 + \frac{5}{12} = \frac{4 + 5}{12} = \frac{9}{12} = \frac 34. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6214

Завдання 12 з 102

Серед чисел $a=\sqrt5-2$, $b=2\sqrt3-3\sqrt2$, $c=\sqrt[\scriptstyle3]3-\sqrt[\scriptstyle3]2$ укажіть усі додатні.

А$a$

Б$c$

В$a;b$

Г$a;c$

Д$a;b;c$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння порівнювати раціональні та ірраціональні числа.

Дано числа $a = \sqrt{5} - 2$, $b = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$, $c = \sqrt[\scriptstyle 3]{3} - \sqrt[\scriptstyle 3]{2}.$

$a = \sqrt{5} - \sqrt{4} \gt 0$, $\sqrt{5}\gt \sqrt{4}.$

$b = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} = \sqrt{12} - \sqrt{18}\lt 0$, $\sqrt{12}\lt \sqrt{18}.$

$c = \sqrt[\scriptstyle 3]{3} - \sqrt[\scriptstyle 3]{2}.$

З них додатні $a$ та $c.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6221

Завдання 13 з 102

Установіть відповідність між числом (1–4) та множиною, до якої воно належить (А – Д).

Число

1$3{,}4$

2$\sqrt8$

3$\dfrac{10}{2}$

4$-13$

Множина

Амножина натуральних чисел

Бмножина складених чисел

Вмножина цілих чисел, що не є натуральними числами

Гмножина дробових чисел

Дмножина ірраціональних чисел

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання про дійсні числа.

1. $3{,}4$ – множина дробових чисел. Отже, 1 – Г.

2. $\sqrt{8}$ – множина ірраціональних чисел. Отже, 2 – Д.

3. $\dfrac{10}{2} = 5$ – множина натуральних чисел. Отже, 3 – A.

4. $-13$ – множина цілих чисел, що не є натуральними числами. Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6236

Завдання 14 з 102

Укажіть запис числа $0{,}351$ у стандартному вигляді.

А$3{,}51\cdot 10^{-1}$

Б$3{,}51\cdot 10^{1}$

В$3{,}51\cdot 10^{-2}$

Г$3{,}51\cdot 10^{2}$

Д$3{,}51\cdot 10^{-3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє уміння записувати число в стандартному вигляді.

Число називається записаним у стандартному вигляді, якщо має вигляд $a\cdot 10^n$, де $1\le a\le 10$, $n\in Z.$

$$ 0{,}351=3{,}51\cdot 10^{-1}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6247

Завдання 15 з 102

$|2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|=$

А$4$

Б$2\sqrt{5}$

В$4+2\sqrt{5}$

Г$4-2\sqrt{5}$

Д$2\sqrt{5}-4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Спростимо вираз: \begin{gather*} |2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|,\\[7pt] 2\lt \sqrt{5}, \end{gather*} тому $$ 2-\sqrt{5}\lt 0, $$ а отже $$ |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+\sqrt{5}\gt 0, $$ звідси $$ |2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}. $$

$$ |2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+2+\sqrt{5}=2\sqrt{5}. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6262

Завдання 16 з 102

Обчисліть значення виразу $$ \left(\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100}\right)\cdot \left(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}\right). $$

Впишіть відповідь:

-7

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня $n$-го степеня, властивостей коренів, формули скороченого множення.

$$ (\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100})(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100}). $$

Використаємо формулу "різниці квадратів":

\begin{gather*} (a-b)(a+b)=a^2-b^2,\\[7pt] (\sqrt[6]{27}-\sqrt[4]{100})(\sqrt[6]{27}+\sqrt[4]{100})=(\sqrt[6]{27})^2-(\sqrt[4]{100})^2=\\[7pt] =\sqrt[3]{27}-\sqrt{100}=3-10=-7. \end{gather*}

Відповідь: $-7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6275

Завдання 17 з 102

Розташуйте в порядку зростання числа $\dfrac 19$; $0{,}1$; $0{,}11.$

А$\dfrac 19$; $0{,}1$; $0{,}11$

Б$0{,}1$; $0{,}11$; $\dfrac 19$

В$0{,}11$; $\dfrac 19$; $0{,}1$

Г$0{,}1$; $\dfrac 19$; $0{,}11$

Д$\dfrac 19$; $0{,}11$; $0{,}1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння порівнювати звичайні дроби.

\begin{gather*} \frac{1}{9};\ \ 0{,}1 = \frac{1}{10};\ \ 0{,}11 = \frac{11}{100}. \end{gather*}

Запишемо дроби з однаковим чисельником

\begin{gather*} \frac{1}{9} = \frac{11}{99};\ \ \frac{1}{10} = \frac{11}{110};\ \ \frac{11}{100}. \end{gather*}

Використаємо правило: з двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого знаменник менше.

Отже, в порядку зростання буде:

\begin{gather*} \frac{11}{110} = 0{,}1;\ \ \frac{11}{100} = 0{,}11;\ \ \frac{11}{99} = \frac{1}{9}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6281

Завдання 18 з 102

$(0{,}3)^2\cdot10^4=$

А$600$

Б$900$

В$6000$

Г$9000$

Д$3^6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів, уміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

\begin{gather*} (0{,}3)^2 \cdot 10^4 = \left(\frac{3}{10}\right)^2 \cdot 10^4 = \frac{9 \cdot 10^4}{10^2} = 9 \cdot 10^2 = 9 \cdot 100 = 900. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6314

Завдання 19 з 102

Спростіть вираз $\dfrac{2\sqrt2+1}{\sqrt2+1}$.

А$2$

Б$\sqrt2+1$

В$3+\sqrt2$

Г$3+2\sqrt2$

Д$3-\sqrt2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{2\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2})^3 + 1^3}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(2 - \sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} + 1} = 3 - \sqrt{2}. \end{gather*}

Використали формулу «сума кубів».

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6330

Завдання 20 з 102

Яку з наведених цифр потрібно поставити замість зірочки в записі числа $257\ast$, щоб отримане число ділилося націло на $3$?

А$2$

Б$3$

В$6$

Г$7$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання ознаки подільності на $3.$

На $3$ ділиться число, сума цифр якого ділиться на три.

Отже,

\begin{gather*} 2 + 5 + 7 + * = 14 + * \end{gather*}

повинно ділитися на три.

З наведених цифр потрібно поставити $7{:}$

\begin{gather*} 14 + 7 = 21 : 3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6346

Завдання 21 з 102

Обчисліть $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}+0{,}5$.

А$\dfrac{2}{3}$

Б$\dfrac{19}{6}$

В$\dfrac{9}{5}$

Г$\dfrac{3}{8}$

Д$\dfrac{1}{4}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \dfrac{\dfrac 23}{4} + 0,5 = \frac{2}{3} : 4 + \frac{1}{2} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6348

Завдання 22 з 102

Яке з наведених чисел є ірраціональним числом?

А$\sqrt{0{,}64}$

Б$\sqrt{20}$

В$\pi^0$

Г$\sqrt[\scriptstyle 3]8$

Д$2{,}7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

$\sqrt{0{,}64} = 0{,}8.$

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ – ірраціональне число.

$\pi^0 = 1.$

$\sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2.$

$2{,}7.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6352

Завдання 23 з 102

Обчисліть $\dfrac{3^5\cdot5^4}{15^3}$.

А$9$

Б$15$

В$45$

Г$75$

Д$225$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

\begin{gather*} \frac{3^5 \cdot 5^4}{15^3} = \frac{3^5 \cdot 5^4}{(3 \cdot 5)^3} = \frac{3^5 \cdot 5^4}{3^3 \cdot 5^3} = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6354

Завдання 24 з 102

Установіть відповідність між числовими виразами (1–4) та їхніми значеннями (А – Д).

Числовий вираз

1$(\sqrt3+\sqrt2)^2-2\sqrt6$

2$(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)$

3$(3\sqrt3-\sqrt{12})^2$

4$\sqrt2(\sqrt{50}-\sqrt8)$

Значення виразу

А$15$

Б$6$

В$5$

Г$3$

Д$1$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

1. $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{6} + 2 - 2\sqrt{6} = 5.$ Отже, 1 – B.

2. $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1.$ Отже, 2 – Д.

3. $(3\sqrt{3} - \sqrt{12})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 = 9 \cdot 3-6\cdot \sqrt{36}+12=27-36+12=3.$ Отже, 3 – Г.

4. $\sqrt{2}(\sqrt{50}-\sqrt{8})=\sqrt{100}-\sqrt{16}=10-4=6.$ Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6372

Завдання 25 з 102

Яке з наведених чисел є раціональним числом?

А$\sqrt[\scriptstyle 3]9$

Б$\sqrt{10}$

В$\pi$

Г$\sqrt{3{,}6}$

Д$\sqrt{0{,}64}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання означення та властивості дійсних чисел.

$\sqrt[\scriptstyle 3]{9}$, $\sqrt{10}$, $\pi$, $\sqrt{3{,}6}$ – ірраціональні.

$\sqrt{0{,}64} = 0{,}8 = \dfrac 45$ – раціональне $\left(\dfrac mn,\ n \ne 0,\; n, m \in Z\right).$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6388

Завдання 26 з 102

Обчисліть $\sqrt[\scriptstyle4]{16\cdot81}$.

А$6$

Б$12$

В$18$

Г$36$

Д$72$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей коренів, вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{16 \cdot 81} = \sqrt[\scriptstyle 4]{2^{4} \cdot 3^{4}} = \sqrt[\scriptstyle 4]{2^{4}} \cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{3^{4}} = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6392

Завдання 27 з 102

Установіть відповідність між числовими виразами (1–4) та їхніми значеннями (А – Д).

1$2003^2-1997^2$

2$186^2-186\cdot132+66^2$

3$98^2+98\cdot104+52^2$

4$47^3-47^2\cdot51+17^2\cdot141-17^3$

А$64\,000$

Б$27\,000$

В$24\,000$

Г$22\,500$

Д$14\,400$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати арифметичні дії з натуральними числами.

1. $2003^2-1997^2=(2003-1997)(2003+1997)=6\cdot 4000=24000.$ Отже, 1 – B.

2. $186^2-186\cdot 132+66^2=186^2-2\cdot 186\cdot 66+66^2=(186-66)^2=$
$=120^2=14400.$ Отже, 2 – Д.

3. $98^2+98\cdot 104+52^2=98^2+2\cdot 98\cdot 52+52^2=(98+52)^2=150^2=22500.$ Отже, 3 – Г.

4. $47^3-47^2\cdot 51+17^2\cdot 141-17^3=47^3-3\cdot 47^2\cdot 17+3\cdot 47\cdot 17^2-17^3=$
$=(47-17)^3=30^3=27000.$ Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6406

Завдання 28 з 102

Обчисліть $\dfrac13\cdot5{,}8+\dfrac13\cdot8{,}3$.

А$3{,}7$

Б$4{,}07$

В$4{,}7$

Г$4{,}9$

Д$47$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 13\cdot 5{,}8 + \frac 13\cdot 8{,}3 = \frac 13(5{,}8 + 8{,}3) = \frac 13\cdot 14{,}1 = 4{,}7. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6435

Завдання 29 з 102

Якщо $a\lt -7$, то $$ \left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|= $$

А$7-a$

Б$a+7$

В$a-7$

Г$0$

Д$-7-a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Формули скороченого множення. Модуль числа.

Це завдання перевіряє вміння спрощувати вираз, що містить під знаком модуля раціональний дріб.

Для розв’язання цього завдання потрібно знати формули скороченого множення: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ та означення модуля. Модулем (абсолютною величиною) числа $a$ називається саме число $a$, якщо воно невід’ємне, та протилежне число $-a$, якщо $a$ – від’ємне, тобто

$$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Спочатку спростимо заданий вираз:

$$ \left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=\left|\frac{(a-7)(a+7)}{a+7}\right|=|a-7|. $$

За означенням,

$$ |a-7|=\left\{\begin{array}{l} a-7,\ \text{якщо}\ a\ge 7, \\ -a+7,\ \text{якщо}\ a\lt 7. \end{array}\right. $$

Оскільки за умовою $a\lt -7$, то

$$ |a-7|=-(a-7)=-a+7=7-a. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6886

Завдання 30 з 102

$\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[\scriptstyle 3]{(-3)^3}=$

А$-23$

Б$-5$

В$-1$

Г$1$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази із коренями.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення числових виразів із коренями.

За означенням арифметичного квадратного кореня $\sqrt{a^2}=|a|$, оскільки арифметичний квадратний корінь завжди є числом невід’ємним. Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку, тому $$ \sqrt{(-2)^2}=|-2|=2. $$ За означенням, $\sqrt[\scriptstyle 3]{a^3}=a$, оскільки корінь кубічний існує з будь-якого числа. Тоді

$$ \sqrt{(-2)^2}+\sqrt[\scriptstyle 3]{(-3)^3}=|-2|+(-3)=2-3=-1. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7173

Завдання 31 з 102

Обчисліть $\dfrac{\sqrt[\scriptstyle 3]{128}}{\sqrt[\scriptstyle 3]2}$.

А$64$

Б$18$

В$8$

Г$4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів, що містять знак кореня.

\begin{gather*} \frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{128}}{\sqrt[\scriptstyle 3]{2}} = \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{128}{2}} = \sqrt[\scriptstyle 3]{64} = 4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7482

Завдання 32 з 102

Укажіть правильну нерівність.

А$\dfrac{3}{8} \gt \dfrac{5}{8}$

Б$\dfrac{7}{2} \lt \dfrac{7}{3}$

В$\dfrac{8}{9} \gt \dfrac{9}{8}$

Г$\dfrac{5}{6} \gt \dfrac{4}{5}$

Д$\dfrac{19}{21} \lt \dfrac{6}{7}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати звичайні дроби, знання основної властивості дробу.

З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більший.

Отже,

\begin{gather*} \frac 38\gt \frac 58;\\[6pt] \frac{19}{21}\lt \frac 67 = \frac{18}{21} \end{gather*}

неправильні нерівності.

З двох дробів з однаковими чисельниками більше той, у якого знаменник менший.

Отже,

\begin{gather*} \frac 72\lt \frac 73 \end{gather*}

неправильна нерівність.

$\dfrac{8}{9}\gt \dfrac 98$ також неправильна, тому що правильний дріб менше неправильного.

Отже, $\dfrac 56\gt \dfrac 45$ правильна, бо

\begin{gather*} \frac 56 = \frac{25}{30};\\[6pt] \frac 45 = \frac{24}{30};\\[6pt] 25\gt 24. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7495

Завдання 33 з 102

Установіть відповідність між твердженням про дріб (1–4) та дробом (А – Д), для якого це твердження є правильним.

Твердження про дріб

1є скоротним

2є неправильним

3менший за $0{,}5$

4є оберненим до дробу $1\frac 25$

Дріб

А$\frac{5}{7}$

Б$\frac{13}{27}$

В$\frac{41}{10}$

Г$\frac{7}{10}$

Д$\frac{34}{51}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє знання означень оберненого дробу до даного, неправильного дробу, скороченого дробу.

Розглянемо кожен із дробів (А – Д).

А. Дріб $\frac{5}{7}$ є оберненим до дробу $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$, оскільки $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = 1.$ Отже, 4 – А.

Б. Дріб $\frac{13}{27}$ менший за $0{,}5$, оскільки $\frac{13}{27} = \frac{26}{54} \lt \frac{27}{54}=\frac{1}{2}.$ Отже, 3 – Б.

В. Дріб $\frac{41}{10}$ більший за $1$, тому цей дріб є неправильним. Отже, 2 – В.

Г. Дріб $\frac{7}{10}$ не задовольняє жодне з тверджень (1–4).

Д. Чисельник і знаменник дробу $\frac{34}{51}$ діляться на $17$, тому цей дріб скоротний. Отже, 1 – Д.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б, 4 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7643

Завдання 34 з 102

Установіть відповідність між запитаннями (1–4) та правильною відповіддю на нього (А – Д).

Запитання

1Яке число є квадратом натурального числа?

2Яке число є простим?

3Яке число є дільником $8$?

4Яке число кратне $7$?

Відповідь на запитання

А$8$

Б$16$

В$17$

Г$27$

Д$56$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Подільність чисел.

Це завдання перевіряє вміння знаходити дільники чисел, знання означень простого числа і числа, кратного іншому числу.

1. Серед наведених чисел квадратом натурального числа є число $16 =4^{2}$, отже, 1 – Б.

2. Натуральне число, більше за одиницю, називається простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю та саме число. Іншими словами, просте число ділиться націло лише на $1$ та на себе. Усі парні натуральні числа більше $2$ не є простими, оскільки, крім $1$ та самого числа, вони обов’язково мають дільник $2.$ Отже, парні числа $8$, $16$ та $56$ не є простими. Число $27$ також не є простим, воно ділиться націло на $1$, $3$, $9$ і $27.$ Залишається число $17.$ Воно має лише два дільники: $1$ та $17$, тобто є простим. Отже, 2 В.

3. Число $a$ називається дільником числа $c$, якщо $c$ ділиться на $a$ націло. Серед наведених чисел на $8$ націло ділиться тільки число $8.$ Зауважимо також, що дільник числа не може бути більшим за саме число. Отже, 3 – А.

4. Число $c$ називають кратним числу $a$, якщо $c$ ділиться націло на $a.$ Серед наведених чисел на $7$ націло ділиться тільки число $56$, отже 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8189

Завдання 35 з 102

$3\frac{5}{12}+\frac 78=$

А$3\frac{12}{20}$

Б$\frac{17}{8}$

В$\frac{22}{20}$

Г$3\frac{7}{24}$

Д$4\frac{7}{24}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії з дробами.

Це завдання перевіряє вміння виконувати додавання двох дробів із різними знаменниками.

Щоб додати два дроби із різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника. Знайдемо спільний знаменник дробів $\frac{5}{12}$ i $\frac 78$, він є найменшим спільним кратним знаменників цих дробів: НСК $(8; 12)=24$ – це найменше число, що кратне числам $8$ і $12.$ Тоді

\begin{gather*} \frac{5}{12}=\frac{5\cdot 2}{12\cdot 2}=\frac{10}{24},\\[6pt] \frac 78=\frac{7\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{21}{24},\\[6pt] 3\frac{5}{12}+\frac 78=3\frac{10}{24}+\frac{21}{24}=3+\frac{10+21}{24}=3+\frac{31}{24}=3+1\frac{7}{24}=4\frac{7}{24}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9232

Завдання 36 з 102

Установіть відповідність між числовим виразом (1–4) та його значенням (А – Д), якщо $a=\frac{25}{4}.$

Вираз

1$\frac{2a}{3}$

2$\frac 1a$

3$|9-2a|$

4$a^{\frac 12}$

Значення виразу

А$\frac{4}{25}$

Б$2\frac{1}{2}$

В$-3\frac{1}{2}$

Г$3\frac{1}{2}$

Д$4\frac{1}{6}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні числа та дії з ними. Означення степеня з раціональним показником. Модуль дійсного числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, записаними у вигляді звичайних дробів, знаходити значення степеневого виразу, виразу, що містить знак модуля.

Для розв'язання завдання потрібно знати правила дій із звичайними дробами, означення степеня з раціональним показником та правила дій зі степенями, а саме:

\begin{gather*} x^{-p}=\frac{1}{x^p},\\[6pt] \left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p},\\[6pt] (a^p)^q=a^{pq},\\[7pt] a^{\frac pq}=\sqrt[q]{a^p} \end{gather*}

то значення модуля дійсного числа.

Нагадаємо, що за означенням модулем числа $x$ називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до $x$ число, якщо воно є від'ємним, тобто

$$ |x|=\left\{\begin{array}{l} x,\ \text{якщо}\ x\ge 0, \\ -x,\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{array}\right. $$

Обчислимо значення виразів (1 – 4).

\begin{gather*} \frac{2a}{3}=\frac 23\cdot \frac{25}{4}=\frac 13\cdot \frac{25}{2}=\frac{25}{6}=\frac{24+1}{6}=4+\frac 16=4\frac 16. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. $$ \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. $$ Отже, 2 – A.

\begin{gather*} |9-2a|=\left|9-2\cdot \frac{25}{4}\right|=\left|9-\frac{25}{2}\right|=\left|9-12-\frac 12\right|=\left|-3-\frac 12\right|=\left|-3\frac 12\right|=3\frac 12. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

\begin{gather*} a^{\frac 12}=\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac 12}=\left(\left(\frac 52\right)^2\right)^{\frac 12}=\left(\frac 52\right)^{2\cdot \frac 12}=\left(\frac 52\right)^1=\frac 52=2\frac 12. \end{gather*}

Або

$$ \left(\frac{25}{4}\right)^{\frac 12}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac 52=2\frac 12. $$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9448

Завдання 37 з 102

Число $a$ в $5$ разів більше за додатне число $b.$ Тоді $a=$

А$b-5$

Б$\frac 5b$

В$b+5$

Г$5b$

Д$\frac b5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, знаходити відношення чисел.

Число $a$ в $5$ разів більше, ніж додатне число $b.$ Тоді $$ a=5b. $$ Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10832

Завдання 38 з 102

Якщо $a\lt 2$, то $1+|a-2|=$

А$-a-3$

Б$-a-1$

В$a-1$

Г$a+3$

Д$3-a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання властивостей модуля дійсного числа.

За властивістю модуля:

$$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

$a-2\lt 0$ при $a\lt 2$, тому розкривши модуль, отримаємо

\begin{gather*} 1+(-a+2)=1-a+2=3-a. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12082

Завдання 39 з 102

Нехай $m$ i $n$ – довільні дійсні числа, $a$ – довільне додатне число, $a\ne 1.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $(a^m)^n=a^4$, то

2Якщо $a^m\cdot a^n=a^4$, то

3Якщо $\sqrt[8]{a^m}=\sqrt{a^n}$, то

4Якщо $\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^4}$, то

Закінчення речення

А$m+n=4.$

Б$m-n=4.$

В$mn=4.$

Г$m=4n.$

Д$m=8n.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії над ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня n-го степеня та його властивостей; означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками, їхні властивості.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. $(a^m)^n=a^4$, то $a^{mn}=a^4$, $mn=4.$ Отже, 1 – B.

2. $a^m\cdot a^n=a^4$, то $a^{m+n}=a^4$, $m+n=4.$ Отже, 2 – A.

3. $\sqrt[8]{a^m}=\sqrt{a^n}$, то $a^{\frac m8}=a^{\frac n2}$, $\frac m8=\frac n2$, $2m=8n$, $m=4n.$ Отже, 3 – Г.

4. $\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^4}$, то $a^{n-m}=a^{-4}$, $n-m=-4$, $m-n=4.$ Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – А, 3 – Г, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12086

Завдання 40 з 102

Розташуйте в порядку зростання числа $\frac{5}{17}$; $\frac{5}{18}$; $\frac{6}{17}.$

А$\frac{5}{17}$; $\frac{5}{18}$; $\frac{6}{17}.$

Б$\frac{5}{18}$; $\frac{5}{17}$; $\frac{6}{17}.$

В$\frac{6}{17}$; $\frac{5}{17}$; $\frac{5}{18}.$

Г$\frac{5}{18}$; $\frac{6}{17}$; $\frac{5}{17}.$

Д$\frac{5}{17}$; $\frac{6}{17}$; $\frac{5}{18}.$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

З двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого менший знаменник.

Отже, $\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}.$

З двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого більший чисельник.

Отже, $\frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.$

Маємо $\frac{5}{18}\lt \frac{5}{17}\lt \frac{6}{17}.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12507

Завдання 41 з 102

Якщо $a\lt 1$, то $|a-1|+|-7|=$

А$a-8$

Б$a+6$

В$-a+6$

Г$-a-6$

Д$-a+8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За властивістю модуля дійсного числа

\begin{gather*} |a|= \left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Спрощуємо вираз:

\begin{gather*} |a-1|+|-7|=-(a-1)+7=-a+1+7=-a+8,\\[7pt] a-1\lt 0\ \text{при}\ a\lt 1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12518

Завдання 42 з 102

Установіть відповідність між виразом (1–4) та твердженням про його значення (А – Д) при $a=15.$

Вираз

1$\frac 73a$

2$2a-1$

3$a^2+12a+36$

4$a^2-13^2$

Твердження про значення виразу

Аменше за $20$

Бє простим числом

Вє парним

Гділиться націло на $3$

Дділиться націло на $5$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінної.

1. $\frac 73a=\frac 73\cdot 15=\frac{7\cdot 15}{3}=35$

ділиться націло на $5.$ Отже, 1 – Д.

2. $2a-1=2\cdot 15-1=29$

є простим числом. Отже, 2 – Б.

3. $a^2+12a+36=(a+6)^2=(15+6)^2=21^2$

ділиться націло на $3.$ Отже, 3 – Г.

4. $a^2+13^2=15^2+13^2=225+169=394$

є парним числом. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12523

Завдання 43 з 102

Запишіть число $\frac 83$ у вигляді десяткового дробу, округливши його до десятих.

А$2\mathord{,}6$

Б$2\mathord{,}66$

В$2\mathord{,}67$

Г$2\mathord{,}7$

Д$8\mathord{,}3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей дій з дійсними числами, уміння округлювати десяткові дроби.

Для того, щоб округлити дріб до десятих, необхідно знати цифру, яка стоїть у розряді сотих.

Якщо ця цифра $5$ або більше, то цифра, яка стоїть в розряді десятих, збільшується на один.

$2\mathord{,}66\approx 2\mathord{,}7.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14235

Завдання 44 з 102

Спростіть вираз $a^4\cdot \sqrt{a^6}$, де $a\ge 0.$

А$a^{12}$

Б$a^{10}$

В$a^{8}$

Г$a^{7}$

Д$a^{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості, властивості та означення кореня $n\text{-го}$ степеня. $$ a^4\cdot \sqrt{a^6}=a^4\cdot \sqrt{(a^3)^2}=a^4\cdot |a^3|. $$

При $a\ge 0\ |a^3|=a^3$, тому $a^4\cdot a^3=a^7.$

Використали властивість степеня з натуральним показником: $$ a^{mn}=(a^m)^n, $$ та властивість кореня $n\text{-го}$ степеня:

$$ \sqrt[n]{a^n}=\left[\begin{array}{l} |a|,\ \text{якщо}\ n - \text{парне}\ a\in R\\ a,\ \text{якщо}\ n - \text{непарне}\ a\in R, \end{array}\right. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14239

Завдання 45 з 102

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Сума чисел $32$ і $18$

2Добуток чисел $32$ і $18$

3Частка чисел $32$ і $18$

4Різниця чисел $32$ і $18$

Закінчення речення

Ає квадратом натурального числа.

Бє числом, що ділиться націло на $10.$

Вє найменшим спільним кратним чисел $32$ і $18.$

Гє раціональним числом, яке не є цілим.

Дє дільником числа $84.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.

1. $32+18=50$ є числом, що ділиться націло на $10.$

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9$ є квадратом натурального числа.

Отже, правильна відповідь – A.

3. $32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}$ є раціональним числом, яке не є цілим.

Отже, правильна відповідь – Г.

4. $32-18=14$ є дільником числа $84\ (84:14=6).$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14256

Завдання 46 з 102

Знайдіть натуральне, одноцифрове число $N$, якщо відомо, що сума $510+N$ ділиться на $9$ без остачі.

А$1$

Б$3$

В$5$

Г$6$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознаки подільності на $9.$

Число $510 + N$ ділиться на $9$ без остачі, якщо сума цифр ділиться на $9$ без остачі.

Отже, $N = 3.$

\begin{gather*} 510 + N = 510 + 3 = 513;\\[7pt] 5 + 1 + 3 = 9. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14306

Завдання 47 з 102

Визначте кількість усіх дробів із знаменником $28$, які більші за $\dfrac{4}{7}$, але менші від $\dfrac{3}{4}$.

Ашість

Бчотири

Втри

Гдва

Додин

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, порівнювати числа, зводити до спільного знаменника звичайні дроби.

\begin{gather*} \frac 47\lt x\lt \frac 34;\\[6pt] \frac{16}{28}\lt x\lt \frac{21}{28};\\[6pt] x = \frac{17}{28};\ \frac{18}{28};\ \frac{19}{28};\ \frac{20}{28}. \end{gather*}

Отже, кількість таких дробів – $4.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14307

Завдання 48 з 102

Укажіть правильну нерівність, якщо $a=5\sqrt2$, $b=7$, $c=\sqrt{51}$.

А$b \lt a \lt c$

Б$a \lt b \lt c$

В$c \lt a \lt b$

Г$a \lt c \lt b$

Д$b \lt c \lt a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів з коренями, порівнювати ірраціональні числа.

Для того, щоб порівняти числа, внесемо множник під знак кореня:

\begin{gather*} a = 5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50};\\[7pt] b = 7 = \sqrt{49};\\[7pt] c = \sqrt{51}. \end{gather*}

Отже, $\sqrt{49}\lt \sqrt{50}\lt \sqrt{51}$. Тому $b\lt a\lt c.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14312

Завдання 49 з 102

Розташуйте у порядку спадання числа $\sqrt{5}$; $2^{\log_2 5}$; $\dfrac{5}{2}$.

А$2^{\log_2 5}$; $\dfrac{5}{2}$; $\sqrt{5}$

Б$\dfrac{5}{2}$; $\sqrt{5}$; $2^{\log_2 5}$

В$\dfrac{5}{2}$; $2^{\log_2 5}$; $\sqrt{5}$

Г$\sqrt{5}$; $\dfrac{5}{2}$; $2^{\log_2 5}$

Д$2^{\log_2 5}$; $\sqrt{5}$; $\dfrac{5}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\textstyle \frac 12};\\[6pt] 2^{\textstyle \log_2 5}=5;\\[6pt] \frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Запишемо у порядку спадання:

\begin{gather*} 5;\ \ 2{,}5;\ \ 5^{\textstyle \frac 12}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14523

Завдання 50 з 102

Обчисліть $(\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}+\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})(\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}-\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})$.

Впишіть відповідь:

-5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} (\sqrt[\scriptstyle 6]{27}+\sqrt[\scriptstyle 4]{64})(\sqrt[\scriptstyle 6]{27}-\sqrt[\scriptstyle 4]{64})=(\sqrt[\scriptstyle 6]{27})^2-(\sqrt[\scriptstyle 4]{64})^2=\\[7pt] =\sqrt[\scriptstyle 6]{3^6}-\sqrt[\scriptstyle 4]{2^{12}}=3-2^3=3-8=-5. \end{gather*}

Відповідь: $-5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14543

Завдання 51 з 102

До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $a=-3.$

Початок речення

1Значення виразу $a^0$

2Значення виразу $a^2$

3Значення виразу $\frac{|a|}{a}$

4Значення виразу $\sqrt[3]{a}$

Закінчення речення

Абільше за $1.$

Бдорівнює $1.$

Вдорівнює $0.$

Гдорівнює $-1.$

Д менше за $-1.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня з цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. $a^0=1$, отже, правильна відповідь – Б.

2. $a^2=(-3)^2=9\gt 1$, отже, правильна відповідь – A.

3. $\frac{|a|}{a}$ при $a\lt 0\ |a|=-a$.

$\frac{-a}{a}=-1$, отже, правильна відповідь – Г.

4. $\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}\lt \sqrt[3]{-1}$, отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14617

Завдання 52 з 102

Якщо $\frac ab=\frac 27$, то $\frac ba=$

А$-\frac 72$

Б$\frac 72$

В$\frac 27$

Г$-\frac 27$

Д$\frac 57$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

Якщо $\frac ab=\frac 27$, то число $\frac ba$, яке є взаємно оберненим до числа $\frac ab$, дорівнює $\frac 72.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15235

Завдання 53 з 102

Цукерки, що лежать у коробці, можна порівну поділити між двома або трьома дітьми, але не можна поділити порівну між чотирма дітьми. Якому з наведених значень може дорівнювати кількість цукерок у цій коробці?

А$36$

Б$40$

В$42$

Г$48$

Д$50$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння використовувати ознаки подільності до розв'язування задач.

Якщо цукерки можна поділити між двома або трьома дітьми, то їх кількість визначається числом, кратним $6$.

Якщо цукерки не можна поділити порівну між чотирма дітьми, то їх кількість не є кратною $4.$

З наведених чисел кратні $6$ – це $36$, $42$ та $48.$ З них тільки $42$ не є кратним $4.$ Отже, відповідь $42.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15237

Завдання 54 з 102

Нехай $a$ – довільне додатне число. Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А – Д).

Вираз

1$(3a^3)^2$

2$\sqrt[3]{27a^6}$

3$\frac{27a^6}{9a^3}$

4$3^{2+\log_3a^3}$

Тотожно рівний вираз

А$9a^6$

Б$9a^3$

В$9a^5$

Г$3a^3$

Д$3a^2$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості кореня n-го степеня, степеня з натуральним показником, основної логарифмічної тотожності.

1. $$ (3a^3)^2=3^2\cdot (a^3)^2=9a^6. $$ Отже, 1 – A.

2. $$ \sqrt[3]{27a^6}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{a^6}=3a^2. $$ Отже, 2 – Д.

3. $$ \frac{27a^6}{9a^3}=3a^3. $$ Отже, 3 – Г.

4. $$ 3^{2+\log_3a^3}=3^2\cdot 3^{\log_3a^3}=9\cdot \left(3^{\log_3a}\right)^3=9\cdot a^3. $$ Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15256

Завдання 55 з 102

Обчисліть значення виразу $3(a-1)$, якщо $a=0\mathord{,}7.$

А$-0\mathord{,}9$

Б$1\mathord{,}1$

В$5\mathord{,}1$

Г$-0\mathord{,}6$

Д$2\mathord{,}7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

$$ 3(a-1)=3(0\mathord{,}7-1)=2\mathord{,}1-3=-0\mathord{,}9. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16598

Завдання 56 з 102

Спростіть вираз $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}.$

А$2\sqrt{3}$

Б$-4$

В$-2\sqrt{3}+4$

Г$4$

Д$2\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення кореня $n\text{-го}$ степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

\begin{gather*} \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}=|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}+2|=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+2=4,\\[7pt] \sqrt{3}-2\lt 0,\ \text{тому} |\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3},\\[7pt] \sqrt{3}+2\gt 0,\ \text{тому} |\sqrt{3}+2|=\sqrt{3}+2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16614

Завдання 57 з 102

Установіть відповідність між твердженням про дріб (1–4) та дробом, для якого це твердження є правильним (А – Д).

Твердження про дріб

1є правильним

2належить проміжку $(1; 1\mathord{,}5)$

3дорівнює значенню виразу $7^{\log_7 1\mathord{,}6}$

4є сумою чисел $\sqrt[3]{\frac18}$ та $\sqrt{\frac{25}{9}}$

Дріб

А$\frac{13}{6}$

Б$\frac{3}{5}$

В$\frac{13}{5}$

Г$\frac{8}{5}$

Д$\frac{6}{5}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння розрізняти види чисел.

1. $\frac 35$ правильний дріб. Отже, 1 – Б.

2. $\frac 65=1\frac 15=1\mathord{,}2\in (1; 1\mathord{,}5).$
Отже, 2 – Д.

3. $\frac 85=1\frac 35=1\mathord{,}6=7^{\log_7 1\mathord{,}6}.$
Отже, 3 – Г.

4. $\sqrt[3]{\frac 18}+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac 12+\frac 53=\frac{13}{6}.$
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17082

Завдання 58 з 102

Спростіть вираз $2a-(3b-2a).$

А$-3b$

Б$4a-3b$

В$-6ab-4a$

Г$-6ab+4a$

Д$-6ab-4a^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

$$ 2a-(3b-2a)=2a-3b+2a=4a-3b. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17642

Завдання 59 з 102

Якому проміжку належить значення виразу $\frac{-1+\sqrt{27}}{2}$?

А$(-\infty; 0)$

Б$[0; 1)$

В$[1; 2)$

Г$[2; 3)$

Д$[3; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами та порівнювати їх.

Оцінимо вираз. \begin{gather*} \sqrt{25}\lt \sqrt{27}\lt \sqrt{36},\\[7pt] 5\lt\sqrt{27}\lt 6,\\[7pt] 4\lt \sqrt{27}-1\lt 5,\\[6pt] 2\lt \frac{\sqrt{27}-1}{2}\lt 2\mathord{,}5. \end{gather*} Отже, значення виразу належить проміжку $[2; 3).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17656

Завдання 60 з 102

Відстань між Києвом та Стокгольмом дорівнює $1265$ км. Округліть її до сотень кілометрів.

А$1000$ км

Б$1200$ км

В$1260$ км

Г$1270$ км

Д$1300$ км

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання правил округлення цілих чисел.

В числі $1265$: цифра "$2$", позначає сотні, а наступна цифра "$6$" – позначає десятки.

Округлення до сотень означає, що ми дивимося на число, яке позначає десятки, щоб вирішити – збільшувати сотні чи залишити як є. Оскільки $6 \gt 5 \rightarrow$ округлюємо вгору. Отже, $1265 \approx 1300$ км.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19486

Завдання 61 з 102

Скільки всього цілих чисел містить інтервал $(\sqrt{8}; \sqrt{81})$?

А$8$

Б$7$

В$6$

Г$5$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишемо подвійною нерівністю: \begin{gather*} \sqrt{8}\lt x\lt \sqrt{81}\\[7pt] \sqrt{8}\lt \sqrt{9}=3,\ \ \sqrt{81}=9\\[7pt] 3\le x\lt 9 \end{gather*} $x=3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ – шість цілих чисел.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19961

Завдання 62 з 102

$$\frac{15^3}{3^2}=$$

А5

Б15

В125

Г375

Д675

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником.

Спростимо вираз:

$$ \frac{15^3}{3^2}=\frac{(5\cdot 3)^3}{3^2}=\frac{5^3\cdot 3^3}{3^2}=5^3\cdot 3=125\cdot 3=375. $$

Використали властивості степенів: $$ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \text{та}\ a^m:a^n=a^{m-n} $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22908

Завдання 63 з 102

Установіть відповідність між виразом (1–3) та проміжком (А – Д), якому належить його значення.

Вираз

1$|-1,6|+2$

2$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$

3$2\cos\frac{\mathbf{\pi}}{3}$

Проміжок

А$(-\infty;\ 0)$

Б$[0;\ 1)$

В$[1;\ 2)$

Г$[2;\ 3)$

Д$[3;\ +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля, виконувати тотожні перетворення ірраціональних, тригонометричних виразів, розрізняти види чисел та числових проміжків.

Знайдемо значення виразу

1. $|-1,6|+2=1,6+2=3,6\in [3;\ +\infty)$ Д.

2. \begin{gather*} \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}\\[7pt] \sqrt{4}\lt \sqrt{8}\lt\sqrt{9}\\[7pt] 2\lt\sqrt{8}\lt 3. \end{gather*} Отже, $\sqrt{8}\in [2;\ 3)$ – Г.

3. $2\cos\frac{\mathbf{\pi}}{3}=2\cdot \frac 12=1\in [1;\ 2)$ – B.

Відповідь: 1Д 2Г 3В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26009

Завдання 64 з 102

Доберіть до запитання (1–3) правильну відповідь на нього (А – Д).

Запитання

1Яке число є дільником 8?

2Яке число є простим?

3Яке число є квадратом натурального числа?

Відповідь на запитання

А8

Б16

В17

Г27

Д56

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей дійсних чисел.

1. Дільником числа $8$ є числа, на які $8$ ділиться без остачі. Серед наведених чисел – це $8.$ Отже, правильна відповіль – A.

2. Просте число – це число, яке має тільки два дільники – $1$ та саме число. Серед наведених – це $17.$ Отже, правильна відповідь – B.

3. Квадратом натурального числа є число $16=4^2.$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1А, 2В, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26200

Завдання 65 з 102

$0\mathord{,}6x^3\cdot 5x^4=$

А$30x^7$

Б$3x^7$

В$30x^{12}$

Г$3x^{12}$

Д$0\mathord{,}3x^{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

$$ 0\mathord{,}6x^3\cdot 5x^4=0\mathord{,}6\cdot 5\cdot x^{3+4}=3x^7. $$

Використали властивість степеня з натуральним показником. При множенні степенів з однаковими основами показники додаються, а основа залишається без змін: $$ a^n\cdot a^m=a^{n+m}, $$ (де $a$ – будь-яке число, $n$ i $m$ – натуральні числа).

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34375

Завдання 66 з 102

Доберіть до числового виразу (1-3) його значення (А – Д).

Числовий вираз

1$\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)$

2$\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|$

3$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

Значення виразу

А$\frac 12$

Б$-2$

В$2$

Г$-\frac 12$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. $\sin \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}=-\frac 12.$

$y=\sin x$ – непарна, тому

$\sin(x)=-\sin x.$

Отже, правильна відповідь – Г.

2. $\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}-(\mathbf{\pi}+2)=\mathbf{\pi}-\mathbf{\pi}-2=-2.$

Отже, правильна відповідь – Б.

3. $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac 12.$

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34389

Завдання 67 з 102

Якщо $a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}$, то $c=$

А$\frac{2a-b}{d}$

Б$\frac{ad}{2}-b$

В$\frac{2a}{d}+b$

Г$\frac{2a+b}{d}$

Д$\frac{2a}{d}-b$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a=\frac{(b+c)\cdot d}{2},\\[6pt] 2a=(b+c)\cdot d,\\[7pt] 2a=bd+cd,\\[7pt] cd=2a-bd,\\[6pt] c=\frac{2a-bd}{d}=\frac{2a}{d}-b. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34403

Завдання 68 з 102

$\frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=$

А$2\mathord{,}5$

Б$1\mathord{,}25$

В$8$

Г$\frac{1}{256}$

Д$0\mathord{,}000025$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{20^7\cdot 0\mathord{,}1^6}{4^5}=\frac{20\cdot 20^6\cdot 0\mathord{,}1^6}{(2^2)^5}=\frac{20\cdot (20\cdot 0\mathord{,}1)^6}{2^{10}}=\\[6pt] =\frac{2\cdot 2\cdot 5\cdot 2^6}{2^{10}}=\frac{5}{2^2}=\frac 54=1\mathord{,}25. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34407

Завдання 69 з 102

Узгодьте вираз (1-3) та проміжок (А – Д), якому належить його значення, де $\mathbf{\varphi}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ – відома математична величина, яку називають золотим числом.

Вираз

1$\mathbf{\varphi}^0$

2$(\sqrt{5}-1)\cdot \mathbf{\varphi}$

3$\log_{\frac 15}(2\mathbf{\varphi}-1)$

Проміжок

А$(-\infty; -1]$

Б$(-1; 0]$

В$(0; 1]$

Г$(1; 2]$

Д$(2; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. $\mathbf{\varphi}^0=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^0=1\in (0; 1].$

Отже, правильна відповідь – B.

2. $(\sqrt{5}-1)\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{5-1}{2}=2\in (1; 2].$

Отже, правильна відповідь – Г.

\begin{gather*} \log_{\frac 15}(2\mathbf{\varphi}-1)=\log_{\frac 15}\left(2\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}-1\right)=\\[6pt] =\log_{\frac 15}(\sqrt{5}+1-1)=\log_{\frac 15}\sqrt{5}=\log_{5^{-1}}5^{\frac 12}=\\[6pt] =-1\cdot \frac 12\cdot \log_55=-\frac 12\cdot 1=-0\mathord{,}5\in (-1; 0]. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

При спрощенні виразу застосовували формули:

\begin{gather*} \log_ab^n=n\cdot \log_ab,\\[6pt] \log_{a^k}b=\frac 1k\log_ab,\\[6pt] \log_aa=1. \end{gather*}

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34411

Завдання 70 з 102

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д).

1$\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)$

2$\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|$

3$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

А$-\frac 12$

Б$\frac 12$

В$2$

Г$-2$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. $\sin\left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}=-\frac 12.$

Функція $y=\sin x$ – непарна, тому $\sin (-x)=-\sin (x).$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $\mathbf{\pi}-|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}-(\mathbf{\pi}+2)=\mathbf{\pi}-\mathbf{\pi}-2=-2.$

За властивістю модуля числа: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$ $\mathbf{\pi}+2\gt 0$, тому $|\mathbf{\pi}+2|=\mathbf{\pi}+2.$

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{2})^2}=\frac 12.$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35314

Завдання 71 з 102

$|2\sqrt{2}-3|=$

А$3-2\sqrt{2}$

Б$2\sqrt{2}-3$

В$2\sqrt{2}+3$

Г$-2\sqrt{2}-3$

Д$\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] 2\sqrt{2}\lt 3,\ \text{бо}\ \sqrt{2}\approx 1\mathord{,}41\\[7pt] 2\cdot 1\mathord{,}41 \lt 2\cdot 1\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, $|2\sqrt{2}-3|=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35321

Завдання 72 з 102

Узгодьте вираз (1–3) і твердження про його значення (А – Д), яке є правильним для цього виразу, де $e\approx 2\mathord{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

1$\ln \frac 1e$

2$e+1$

3$(e-1)^2-e^2+2e$

Ає натуральним числом

Бє від’ємним цілим числом

Вє від’ємним нецілим числом

Гдорівнює $0$

Дє ірраціональним числом

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. $\ln\frac 1e=\ln e^{-1}=-1\cdot \ln e=-1$ є від'ємним цілим числом.

Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $e+1\approx 2\mathord{,}7+1\approx 3\mathord{,}7$ є ірраціональним числом. Отже, правильна відповідь – Д.

3. $(e-1)^2-e^2+2e=e^2-2e+1-e^2+2e=1$ є натуральним числом. Отже, правильна відповідь – А.

Вираз $(e-1)^2$ спростили за формулою квадрата різниці: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35336

Завдання 73 з 102

$\frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=$

А$4$

Б$3$

В$2$

Г$2\sqrt{2}$

Д$\sqrt{\frac 73}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей коренів, уміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{\sqrt{12}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2. \end{gather*}

Використали властивість кореня: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},$ де $a$, $b\gt 0.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35349

Завдання 74 з 102

Узгодьте вираз (1–3) із значенням $m$ (А – Д), за якого значення цього виразу дорівнює $1.$

1$\frac m4$

2$4^6:4^{-m}$

3$\log_{16}2+\log_{16}m$

А$\frac 14$

Б$6$

В$4$

Г$-6$

Д$8$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення їх.

1. $\frac{m}{4}=1$, $m=4.$

Отже, правильна відповідь – B.

\begin{gather*} 4^6:4^{-m}=4^{6-(-m)}=4^{6\ +\ m}=1,\\[7pt] 4^0=1,\ \text{тому}\ 4^{6\ +\ m}=4^0,\\[7pt] 6+m=0,\\[7pt] m=-6. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

3. $\log_{16}2+\log_{16}m=\log_{16}(2m)=1.$

За властивістю логарифмів: $$ \log_ab+\log_ac=\log_a(bc). $$

За означенням логарифма:

\begin{gather*} \log_{16}(2m)=1,\\[7pt] 2m=16^1,\\[7pt] 2m=16,\\[7pt] m=8. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35359

Завдання 75 з 102

$ \left|\frac{2\mathord{,}5^2-7\mathord{,}5^2}{3\mathord{,}5+6\mathord{,}5}\right|= $

А$-5$

Б$-1$

В$0\mathord{,}5$

Г$1$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з раціональними числами, використовувати властивості модуля.

Спростімо вираз

\begin{gather*} 2\mathord{,}5^2-7\mathord{,}5^2=(2\mathord{,}5-7\mathord{,}5)(2\mathord{,}5+7\mathord{,}5)=-5\cdot 10=-50 \end{gather*}

за формулою різниці квадратів $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Підставимо в умову:

$$ \left|\frac{-50}{3\mathord{,}5+6\mathord{,}5}\right|=\left|\frac{-50}{10}\right|=|-5|=5. $$

За властивістю модуля числа:

$$ |a|=\left[\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35371

Завдання 76 з 102

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1$\cos\frac{\pi}{2}$

2$|\pi -5|$

3$2^{\pi}$

Проміжок

А$(-\infty; 0]$

Б$(0; 2)$

В$[2; 4)$

Г$[4; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. $\cos \frac{\pi}{2}=0.$

Число $0$ належить проміжку $(-\infty; 0].$ Отже, правильна відповідь – А.

2. $\pi\approx 3{,}14$

\begin{gather*} \pi-5\lt 0;\\[7pt] |\pi-5|=-(\pi-5)=-\pi+5=\\[7pt] =5-\pi\approx 5-3{,}14\approx 1{,}86. \end{gather*}

Число $1{,}86$ належить проміжку $(0; 2).$ Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки $\pi\gt 3$, то

\begin{gather*} 2^{\pi}\gt 2^3;\\[7pt] 2^{\pi}\gt 8. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36400

Завдання 77 з 102

Скільки всього цілих чисел містить інтервал $(-2{,}07; 15{,}9)$?

А$19$

Б$15$

В$13$

Г$17$

Д$18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишімо подвійною нерівністю: \begin{gather*} -2{,}07\lt x\lt 15{,}9. \end{gather*}

Першим цілим числом, яке більше за $-2{,}07$, є $-2.$ Останнім цілим числом, яке менше за $15{,}9$, є $15.$

Кількість цілих чисел:

від $1$ до $15$ – це п`ятнадцять чисел;
число $0$ – це ще одне число;
числа $-1$ та $-2$ – це ще два числа.

Всього: $15 + 1 + 2 = 18.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36902

Завдання 78 з 102

Обчисліть $\left|2\cdot \left(-\frac 56\right)\right|.$

А$-\frac 53$

Б$\frac{12}{5}$

В$\frac 12$

Г$\frac 53$

Д$-\frac 12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left |2\cdot\left(-\frac 56\right)\right |=\left |\frac 21\cdot \left(-\frac 56\right)\right |=\left |-\frac{2\cdot 5}{1\cdot 6}\right |=\left |-\frac{10}{6}\right |=\left |-\frac 53\right |=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36907

Завдання 79 з 102

$\dfrac{2^5\cdot 5^7}{10^8}=$

А$10^4$

Б$\frac{1}{25}$

В$\frac{1}{40}$

Г$\frac 18$

Д$\frac 58$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

\begin{gather*} \frac{2^5\cdot 5^7}{10^8}=\frac{2^5\cdot 5^7}{(2\cdot 5)^8}=\frac{2^5\cdot 5^7}{2^8\cdot 5^8}=\frac{1}{2^3\cdot 5}=\frac{1}{8\cdot 5}=\frac{1}{40}. \end{gather*}

Використали властивість степеня з натуральним показником.

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[6pt] \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 737. Завдання: 37167

Завдання 80 з 102

$\sqrt{1\frac{11}{25}}=$

А$1\frac{\sqrt{11}}{5}$

Б$\frac{11}{25}$

В$1\frac 15$

Г$2\frac 15$

Д$\frac 56$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Перетворімо мішане число у неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac{11}{25}=\frac{1\cdot 25+11}{25}=\frac{36}{25};\\[6pt] \sqrt{1\frac{11}{25}}=\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac 65=1\frac 15. \end{gather*}

Застосували властивість арифметичного квадратного кореня

\begin{gather*} \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\gt 0. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37353

Завдання 81 з 102

$|2-\sqrt{7}|=$

А$2+\sqrt{7}$

Б$\sqrt{3}$

В$2-\sqrt{7}$

Г$\sqrt{7}-2$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \sqrt{7}\approx 2{,}6;\\[7pt] 2-\sqrt{7}\lt 0;\\[7pt] |2-\sqrt{7}|=-(2-\sqrt{7})=-2+\sqrt{7}=\sqrt{7}-2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37358

Завдання 82 з 102

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо $a=-0{,}5.$

Вираз

1$|a|$

2$a^3$

3$\frac{1}{a}$

Проміжок

А$(-\infty; -2)$

Б$[-2; -1)$

В$[-1; 0)$

Г$[0; 1)$

Д$[1; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

1. За означенням модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |a|=|-0{,}5|=0{,}5. \end{gather*}

Число $0{,}5$ належить проміжку $[0; 1).$ Отже, правильна відповідь – Г.

2. $a^3=(-0{,}5)^3=-0{,}125.$

Число $-0{,}125$ належить проміжку $[-1; 0).$ Отже, правильна відповідь – В.

3. $\dfrac 1a=\dfrac{1}{-0{,}5}=-\dfrac{1}{\frac{5}{10}}=-\dfrac{10}{5}=-2.$

Число $-2$ належить проміжку $[-2; -1).$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37369

Завдання 83 з 102

$3\cdot \left(-\dfrac{1}{15}\right)=$

А$\dfrac{2}{15}$

Б$\dfrac{1}{5}$

В$-5$

Г$\dfrac{44}{15}$

Д$-\dfrac{1}{5} $

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

\begin{gather*} 3\cdot \left(-\frac{1}{15}\right)=-\frac{3\cdot 1}{15}=-\frac{3\cdot 1}{3\cdot 5}=-\frac 15. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37504

Завдання 84 з 102

$2\cdot \left(-\dfrac 13\right)=$

А$-\dfrac 16$

Б$\dfrac 23$

В$1\dfrac 23$

Г$-6$

Д$-\dfrac 23$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

\begin{gather*} 2\cdot \left(-\frac 13\right)=-\frac{2\cdot 1}{3}=-\frac 23. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37681

Завдання 85 з 102

$|2-5\cdot 3|=$

А$9$

Б$-13$

В$-9$

Г$17$

Д$13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |2-5\cdot 3|=|2-15|=|-13|=13. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38044

Завдання 86 з 102

$\left(\dfrac 17\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{7}\right)^3=$

А$\dfrac{1}{49}$

Б$1$

В$\dfrac{1}{7}$

Г$49$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня з натуральним показником.

Для розв'язання використаймо властивості:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (\sqrt[\scriptstyle n]{x})^n=x.\\[6pt] \left(\frac 17\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{7}\right)^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[\scriptstyle 3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38053

Завдання 87 з 102

$\sqrt{(-1-\sqrt{6})^2}=$

А$1-\sqrt{6}$

Б$1+\sqrt{6}$

В$-1-\sqrt{6}$

Г$-\sqrt{7}$

Д$\sqrt{6}-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення кореня $n\text{-го}$ степеня, властивості коренів, уміння використовувати властивості модуля в розв'язуванні задач.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|.\\[7pt] \sqrt{(-1-\sqrt{6})^2}=|-1-\sqrt{6}|. \end{gather*}

Оскільки обидва доданки $-1$ та $-6$ від'ємні, їхня сума теж від'ємне число:

\begin{gather*} -1-\sqrt{6}\lt 0. \end{gather*}

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |-1-\sqrt{6}|=-(-1-\sqrt{6})=1+\sqrt{6}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 748. Завдання: 38203

Завдання 88 з 102

$\sqrt{20}\cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{25}=$

А$10$

Б$100$

В$5$

Г$25$

Д$50$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє знання властивостей коренів і вміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Оскільки $25=5^2$, $\sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt[\scriptstyle 4]{5^2}=\sqrt{5}.$

\begin{gather*} \sqrt{20}\cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt{20}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{20\cdot 5}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Застосували властивості коренів:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle nk]{a^{mk}}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38252

Завдання 89 з 102

$3:0{,}3=$

А$2{,}7$

Б$0{,}1$

В$\frac 19$

Г$10$

Д$0{,}9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} 3:0{,}3=3:\frac{3}{10}=3\cdot \frac{10}{3}=10. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38368

Завдання 90 з 102

$(x-3)^2=$

А$x^2-9$

Б$x^2+6x-9$

В$x^2-3x+9$

Г$x^2+3x-9$

Д$x^2-6x+9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] (x-3)^2=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2-6x+9. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38390

Завдання 91 з 102

Якщо $a\lt -2$, то $1-|a-2|=$

А$-a-3$

Б$a-1$

В$a+3$

Г$-a+3$

Д$-a-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з модулем дійсного числа й використовувати його властивості.

За властивістю модуля дійсного числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{при}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{при}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

$a-2\lt 0$ при $a\lt -2.$

Отже, $|a-2|=-(a-2).$

Спростімо вираз:

\begin{gather*} 1-|a-2|=1+(a-2)=1+a-2=a-1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 805. Завдання: 38397

Завдання 92 з 102

Спростіть вираз $a-(12a+5a).$

А$-18a$

Б$-16a$

В$a-17a^2$

Г$-17a$

Д$-6a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a-(12a+5a)=a-17a=-16a. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 806. Завдання: 38596

Завдання 93 з 102

$|1-0{,}5^{-3}|=$

А$1{,}125$

Б$1{,}5$

В$0{,}875$

Г$0{,}125$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N;\\[6pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[6pt] 0{,}5^{-3}=\left(\frac{5}{10}\right)^{-3}=\left(\frac 12\right)^{-3}=\left(2^{-1}\right)^{-3}=2^3=8. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

\begin{gather*} |1-0{,}5^{-3}|=|1-8|=|-7|=7. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 807. Завдання: 38650

Завдання 94 з 102

Доберіть до виразу (1–3) точку (А – Д) на координатній прямій (див. рисунок), координатою якої є значення виразу, де $e\approx 2{,}7$ – основа натурального логарифма (число Ейлера).

Вираз

1$e\cdot \dfrac{1}{2e}$

2$\ln 2e-\ln 2$

3$|1-e|-e$

Точка

А$K$

Б$L$

В$M$

Г$N$

Д$P$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення й обчислювати значення виразів, а також визначати місце чисел на координатній прямій.

1. $e\cdot \dfrac{1}{2e}=\dfrac e1\cdot \dfrac{1}{2e}=\dfrac 12=0{,}5.$

Числу $0{,}5$ на прямій відповідає точка $N.$ Отже, 1 – Г.

2. $\ln 2e-\ln 2=\ln\dfrac{2e}{2}=\ln e=1.$

Натуральний логарифм $\ln e$ – це логарифм за основою $e$ від числа $e.$ Застосували формули:

\begin{gather*} \log_a \frac bc=\log_a b-\log_a c;\\[6pt] \log_a a=1;\\[7pt] \ln e=1. \end{gather*}

Числу $1$ на прямій відповідає точка $P.$ Отже, 2 – Д.

3. За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки $a\approx 2{,}7\gt 1$, то $1-e\lt 0.$

\begin{gather*} |1-e|=-(1-e)=e-1. \end{gather*}

Підставмо у вираз:

\begin{gather*} |1-e|-e=e-1-e=-1. \end{gather*}

Числу $-1$ на прямій відповідає точка $K.$ Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 808. Завдання: 38750

Завдання 95 з 102

$|2{,}1\cdot 10^3-50|=$

А$2050$

Б$1995$

В$160$

Г$2150$

Д$20950$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

\begin{gather*} 2{,}1\cdot 10^3=2{,}1\cdot 1000=2100;\\[7pt] |2{,}1\cdot 10^3-50|=|2100-50|=|2050|=2050. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 810. Завдання: 38882

Завдання 96 з 102

$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=$

А$\sqrt{5}-2$

Б$1$

В$2-\sqrt{5}$

Г$3$

Д$9-4\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

За властивістю арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|. \end{gather*}

За формулою:

\begin{gather*} \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|. \end{gather*}

Оскільки $2=\sqrt{4}$, а $\sqrt{4}\lt \sqrt{5}$, то різниця $2-\sqrt{5}\lt 0$ (від'ємна).

За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розкриймо модуль для від'ємного виразу $(|a|=-a){:}$

\begin{gather*} |2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 811. Завдання: 38929

Завдання 97 з 102

Скільки всього цілих чисел є розв’язками нерівності $-4\lt x \le 2{,}2$?

А$5$

Б$6$

В$7$

Г$8$

Д$9$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння визначати цілі числа, що належать заданому числовому проміжку, з урахуванням строгості знаків нерівності.

Нерівність задає числовий проміжок $(-4; 2{,}2].$

Випишімо всі цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2. \end{gather*}

Усього таких чисел шість.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 811. Завдання: 38931

Завдання 98 з 102

$|2-80\cdot 0{,}1|=$

А$1{,}2$

Б$-6$

В$6$

Г$7{,}8$

Д$-7{,}8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

\begin{gather*} |2-80\cdot 0{,}1|=|2-8|=|-6|=6. \end{gather*}

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 811. Завдання: 38933

Завдання 99 з 102

Округліть до сотих число $1{,}31499.$

А$1{,}315$

Б$1{,}32$

В$1{,}314$

Г$1{,}3$

Д$1{,}31$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу.Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання властивостей дій із дійсними числами й уміння округлювати десяткові дроби.

Щоб округлити десятковий дріб до сотих, треба залишити дві цифри після коми, а всі наступні цифри відкинути. Якщо перша відкинута цифра дорівнює $5$, $6$, $7$, $8$ або $9$, то до попередньої цифри додають $1$, а якщо $0$, $1$, $2$, $3$ або $4$ – залишають без змін.

Для округлення числа $1{,}31499$ до сотих визначмо цифру в розряді сотих – це $1.$

Наступна за нею цифра в розряді тисячних – $4.$ Оскільки $4\lt 5$, цифру сотих залишаємо без змін, а всі наступні цифри відкидаємо:

\begin{gather*} 1{,}3\underline{1}499\approx 1{,}31. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 835. Завдання: 38951

Завдання 100 з 102

$|5^{-1}-3|=$

А$8$

Б$2{,}8$

В$2{,}5$

Г$-2{,}8$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Для розв'язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N.\\[6pt] 5^{-1}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Підставмо обчислене значення у вираз під знаком модуля:

\begin{gather*} |5^{-1}-3|=|0{,}2-3|=|-2{,}8|=2{,}8. \end{gather*}

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 846. Завдання: 39247

Завдання 101 з 102

Увідповідніть числовий вираз (1–3) і проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Числовий вираз

1$\dfrac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}$

2$\log_8 200$

3$8\cos 120^\circ$

Проміжок

А$(-\infty; -5]$

Б$(-5; 0]$

В$(0; 3]$

Г$(3; 6]$

Д$(6; +\infty)$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. За властивістю кореня $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac ab},$ де $a\ge 0$ i $b\gt 0{:}$

\begin{gather*} \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Число $5$ належить проміжку $(3; 6].$ Отже, правильна відповідь – Г.

2. $\log_8 200.$

Оцінімо значення логарифма через степені основи $8{:}$

\begin{gather*} 8^2=64\ \text{та}\ 8^3=512. \end{gather*}

Запишімо подвійну нерівність

\begin{gather*} 64\lt 200\lt 512. \end{gather*}

Основа логарифма $8\gt 1$, тому логарифмічна функція $y=\log_8 x$ зростає, а знаки нерівності не змінюються:

\begin{gather*} \log_8 64\lt \log_8 200\lt \log_8 512. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_8 8^2\lt \log_8 200\lt \log_8 8^3;\\[7pt] 2\lt \log_8 200\lt 3. \end{gather*}

Значення перебуває в межах від $2$ до $3$, тобто належить проміжку $(0; 3].$ Отже, правильна відповідь – В.

3. $8\cdot \cos 120^\circ.$

Застосуймо формулу зведення

\begin{gather*} \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos \alpha.\\[6pt] \cos 120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12;\\[6pt] 8\cdot \left(-\frac 12\right)=-4. \end{gather*}

Число $-4$ належить проміжку $(-5; 0].$ Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 846. Завдання: 39251

Завдання 102 з 102

$5\dfrac 13: 1\dfrac 35=$

А$\dfrac{3}{10}$

Б$\dfrac{128}{15}$

В$\dfrac{5}{3}$

Г$\dfrac{15}{128}$

Д$\dfrac{10}{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Перетворімо мішані числа в неправильні дроби:

\begin{gather*} 5\frac 13=\frac{5\cdot 3+1}{3}=\frac{16}{3};\\[6pt] 1\frac 35=\frac{1\cdot 5+3}{5}=\frac 85;\\[6pt] 5\frac 13:1\frac 35=\frac{16}{3}:\frac 85=\frac{16}{3}\cdot \frac 58=\frac{16\cdot 5}{3\cdot 8}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 1}=\frac{10}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 847. Завдання: 39341

Новини

Яку професію обрати у веброзробці: frontend, backend, UX/UI чи QA
Кошти, сплачені студентами за навчання, компенсують з грантів
Уряд спрямує 320 млн грн на оплату навчання дітей ветеранів

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Алгебра і початки аналізу – Дійсні числа