Алгебра і початки аналізу – Ймовірність випадкової події. Вибіркові характеристики

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність події.

Для обчислення ймовірності випадкової події використаймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де: \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A\) (видаленню цифри, більшої за \(5\)).

Задано шестицифрове число \(125079.\) Загалом у цьому числі \(6\) цифр, з яких дві (\(7\) і \(9\)) більші від \(5\). Оскільки програма видаляє цифру навмання, усього існує \(6\) варіантів видалення, отже \(n=6.\) Кількість цифр у числі, які більші від \(5\), становить \(k=2.\)

\begin{gather*} P(A)=\frac 26=13. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми відображення статистичних даних.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості кленів до кількості ялин: \(3:1.\)

Це означає, що на \(3\) клени припадає \(1\) ялина.

Усього частин:

\begin{gather*} 3\ \text{(клени)} + 1\ \text{(ялина)} = 4\ \text{(частини)}. \end{gather*}

Частка ялин:

\begin{gather*} \frac 14\ \text{від усього кола}. \end{gather*}

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ :4=90^\circ\ \text{(прямий кут)}. \end{gather*}

Частка кленів:

\begin{gather*} \frac 34\ \text{від усього кола (решта}\ 270^\circ\text{)}. \end{gather*}

Отже, вибираємо діаграму, де світло-сірий сектор (ялини) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, яку відображено на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(500 : 2 = 250.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять другу половину, тобто \(250\) занять.

Сектор Teams візуально менший за чверть від усього круга: \(500:4=125.\) Отже, кількість занять у Teams менша за \(125.\)

А менша від \(150\)». – Правильно, оскільки цей сектор менший навіть за \(125.\)

Б становить половину від загальної кількості». – Неправильно (половину становлять заняття в Zoom).

В становить третину від загальної кількості». – Неправильно (третина – це приблизно \(167\) занять).

Г більша за кількість занять у Google Meet». – Неправильно (темно-сірий сектор менший за світло-сірий).

Д належить проміжку \([250; 400]\)». – Неправильно (у цьому проміжку – кількість занять у Zoom або сума кількостей занять на інших платформах: Teams + Google Meet).

Отже, лише твердження «менша від \(150\)» задовольняє умову.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 40\lt\ \text{кількість глядачів}\ \lt 48. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(40\), але нижчим за позначку \(48.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55\gt 48\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (\(35\lt 40\) – не підходить).

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (\(20\lt 40\) – не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (Число \(45\) більше за \(40\) і менше за \(48\) \((40\lt 45\lt 48).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(40\) до \(48\), – фіолетова.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічні, табличні, текстові та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший на діаграмі) займає половину круга. Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(600:2=300\). Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять іншу половину – \(300\) занять.

З діаграми видно, що сектор Google Meet (світло-сірий) більший за сектор Teams, але він обов'язково менший за половину круга \((300)\) і більший за чверть круга \((150).\)

Запишімо це у вигляді нерівності для кількості занять у Google Meet \((x){:}\)

\begin{gather*} 150\lt x\lt 300. \end{gather*}

Отже, лише число \(200\) задовольняє умову, оскільки \(150\lt 200\lt 300.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять.

Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(900 : 2 = 450.\)

Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить \(450\) занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom \((450).\) Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet \(\approx 300\) занять;
Teams \(\approx 150\) занять.

Оскільки сектор Teams менший за сектор Google Meet, його значення має бути меншим за половину від \(450\) (тобто меншим за \(225\)). Серед варіантів відповіді лише \(150\) задовольняє ці умови.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Щоб глядачів було більше, стовпчик має бути вищим за жовтий.

Біла зала: висота \(55\ (55\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Блакитна зала: висота \(40\ (40\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Зелена зала: висота \(20\ (20\lt 35)\) – глядачів було менше, ніж у жовтій.

Фіолетова зала: висота \(45\ (45\gt 35)\) – глядачів було більше, ніж у жовтій.

Правильний варіант:  біла, блакитна та фіолетова зали.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(50\) мм у \(5\), \(6\), \(7\) та \(12\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Продовжмо верхню межу стовпчика «Зелена зала» горизонтальною лінією (пунктирною) до вертикальної осі (шкали) кількості глядачів. Пунктир перетинає вертикальну вісь на позначці \(20.\)

Число \(20\) входить у проміжок \([15; 25)\), оскільки \(15\lt 20\lt 25.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Треба брати до уваги лише вищі за \(8\) балів оцінки, тобто \(9\) і \(10.\) За діаграмою оцінку \(9\) поставили \(75\) опитуваних, а оцінку \(10\) – \(25\) опитуваних.

Обчислімо суму: \(75 + 25 = 100.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Треба знайти залу, яку відвідало найбільше глядачів, тобто відшукати найвищий стовпчик на графіку.

А Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\)
Б Блакитна зала: стовпчик сягає позначки \(40.\)
В Жовта зала: стовпчик сягає позначки \(35.\)
Г Зелена зала: стовпчик сягає позначки \(20.\)
Д Фіолетова зала: стовпчик сягає позначки \(45.\)

Отже, найбільше глядачів відвідало білу залу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Отже, кількість опадів перевищувала \(60\) мм у \(5\), \(6\) та \(7\text{-му}\) місяцях.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Форми наведення статистичної інформації: графічна, таблична та текстова.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший відтінок сірого) – половина круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом – друга половина круга.

Оскільки сектор Zoom – половина круга, то він відображає \(50\ \%\) від усієї кількості занять.

Щоб обчислити кількість занять у Zoom, треба загальну кількість занять поділити на \(2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Аналізуючи результати опитування на поданій діаграмі бачимо, що: поп-музику вподобало — \(30\) учнів, а класичну — \(15\) учнів.

Обчислімо різницю:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(900 : 2 = 450.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить \(450\) занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom \((450).\) Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet \(\approx 300\) занять.

Teams \(\approx 150\) занять.

Перевіряємо твердження про Google Meet:

А належить проміжку \([500; 700].\) \(300\) не належить заданому проміжку - твердження неправильне.

Б менша за \(400.\ 300 \lt 400\) - твердження правильне.

В менша, ніж кількість занять у Teams. \(300\lt 150\) - нерівність не виконується, тому твердження неправильне.

Г становить половину від загальної кількості. \(300\ne 450\) - твердження неправильне.

Д удвічі менша за кількість занять у Zoom. \(450 : 2 = 225 \ne 300\) - твердження неправильне.

Отже, лише твердження «менше від \(400\)» задовольняє умову.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній та текстовій формах.

Згідно з діаграмою стовпчик «біла» досягає позначки \(55\) на вертикальній осі «Кількість глядачів», стовпчик «зелена» – позначки \(20.\)

Обчислімо суму:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

Аналізуючи графік бачимо, що через \(20\) хв після початку заряджання рівень заряду акумулятора становитиме \(30\ \%.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(20\), але нижчим за позначку \(38.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 38\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик на позначці \(40.\) (\(40 \gt 38\) – не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) Число \(35\) більше за \(20\) і менше за \(38\) \((20\lt 35\lt 38).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 38\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(20\) до \(38\), – жовта.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу.  Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості столів до кількості стільців: \(1:3.\)

Це означає, що на \(1\) стіл припадає \(3\) стільці.

Усього частин:

Частка столів: \(\frac 14\) від усього кола.

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ : 4=90^\circ\ (\text{прямий кут}). \end{gather*}

Частка стільців: \(\frac 34\) від усього кола (решта \(270^\circ\)).

Отже, вибираємо діаграму, де темний сектор (столи) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл \(900\) занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину.

Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

Необхідно знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності: \begin{gather*} 35\lt\ \text{кількість глядачів}\lt 43. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(35\), але нижчим за позначку \(43.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 43\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) Число \(40\) більше за \(35\) і менше за \(43\) \((35 \lt 40 \lt 43).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (А глядачів має бути більше, тому не підходить).

Зелена зала: стовпчик на позначці \(20.\) (\(20 \lt 35\) – не підходить).

\(Фіолетова зала\): стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 43\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(35\) до \(43\), – блакитна.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній, текстовій формі.

За діаграмою влітку на плетіння однієї сітки використовують \(50\) зелених стрічок, а восени – \(20.\) Обчислімо різницю: $$ 50-20=30\ \text{стрічок}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

\begin{gather*} 18-12=6\ \text{год}. \end{gather*} Отже, густина пилу перевищувала рівень \(25\) мкг/м\(^3\) протягом \(6\) годин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість глядачів, які протягом доби відвідали \(5\) зал кінотеатру.

Біла зала – \(55\),
синя зала – \(40\),
жовта зала – \(35\),
зелена зала – \(20\),
чорна зала – \(45.\)

Знаходимо різницю між кількістю глядачів, які відвідали білу й зелену зали:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

На діаграмі наведено інформацію про кількість проданих планшетів:
січень – \(250\);
лютий – \(100\);
березень – \(200\);
квітень – \(100\);
травень – \(150\).

Місяць, у якому продано планшетів на \(100\) більше, ніж у попередньому, – березень.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, всього в літаку \(6n\) місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)

За означенням імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

Відповідь: \(30.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

На діаграмі відображено відповіді учнів про те скільки вони витрачають годин на підготовку до контрольної роботи.

Не менш як дві години витратили:
\(2\) години – \(5\) учнів;
\(2\mathord{,}5\) години – \(4\) учні;
\(3\) години – \(2\) учні;
\(3\mathord{,}5\) та \(4\) години – по \(1\) учню.

Всього таких учнів – \(13.\)

Імовірність події \(A\) того, що навмання вибраний учень із цієї групи витратив не менш як дві години, визначмо за формулою: $$ P(A)=\frac kn, $$ де \(k\) – кількість сприятливих подій \((k=13)\), а \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій \((n=20).\)

Отже, $$ P(A)=\frac{13}{20}=0\mathord{,}65. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}65.\)

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані в графічній і текстовій формі.

М'яч перебував на висоті не менше ніж \(3\) м з \(1\) с до \(5\) с. Тобто протягом \(4\) с.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.

У салоні \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано \(6\) крісел. Отже, всього в салоні \(6n\) місць.

У перших трьох рядах розташовано \(18\) місць.

Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце, $$ P=\frac{18}{6n}=\frac 3n. $$

За умовою ця імовірність дорівнює \(\frac{1}{14}.\)

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку розуміння графічної форми подання статистичної інформації.

Якщо учні готувались до контрольної роботи не менш як \(2\) години, то це \(2\) години, \(2\mathord{,}5\) години, \(3\) години, \(3\mathord{,}5\) години, \(4\) години.

Кількість учнів: $$ 4+5+2+1+1=13. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.

Всього у салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць в кожному. Отже, всього у літаку \(6n\) місць.

Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)

За означенням імовірність це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

Відповідь: \(30.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку розуміння графічної форми подання статистичної інформації.

Температура не перевищувала потрібного значення \(10^\circ\mathrm{C}\) з \(00\mathord{:}00\) до \(7\mathord{:}00\) години та ще з \(22\mathord{:}00\) до \(24\mathord{:}00.\) Разом це становить \(9\) годин.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

Усього в літаку \(20\) рядів по \(6\) в кожному. Отже, в літаку \(120\) місць. Біля проходу є по \(2\) місця у кожному ряду. Усього таких місць \(40.\)

Імовірність того, що пасажиру дістанеться місце біля проходу, знаходиться за формулою $$ P(A)=\frac mn,\ \ P(A)=\frac{40}{120}=\frac 13. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Проміжок, упродовж якого густина пилу зменшувалася, відповідає проміжку спадання функції.

Із графіка видно, що функція спадає в інтервалах від \(\text{00:00}\) до \(\text{4:00}\) та від \(\text{15:00}\) до \(\text{24:00}.\)

Серед наведених варіантів лише на проміжку \([20; 24]\) функція спадає на всій його довжині.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити середнє арифметичне декількох значень.

Знайдемо середнє арифметичне десяти значень:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.

На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів.

Оцінку, вищу за \(8\) балів, поставили \(75\) та \(25\) опитуваних, які визначили якість на \(9\) та \(10\) балів.

Отже, правильна відповідь Б – \(75+25=100\ \text{опитуваних}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом.

Столи і стільці було придбано у співвідношенні \(1:3\) відповідно. Отже, столи становлять \(\frac 14\) всіх меблів, а стільці – решту, \(\frac 34\).

Правильно відображено розподіл на рисунку Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Нехай Михайлу треба отримати \(x\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)

Середнє арифметичне значень:

Отже, Михайлу треба отримати \(12\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)

Відповідь: 12.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.

На графіках відображено залежність температури повітря від часу. Правильно відображено цю залженість на графіку Д.

Табличні дані показують п’ять фіксацій температури впродовж певного часу. Температура кожної фіксації почергово збільшувалася і зменшувалася, що графічно правильно відображено на графіку Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.

На рисунку видно, що найбільша відстань між точками, тобто найбільша різниця між найвищою та найнижчою температурою була у четвер. Отже, привальна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

У кошику лежать 4 зелених і 5 жовтих яблук.

Імовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору $$ P(A)=\frac 59, $$ \(A\) – вийняли жовте яблуко.

За формулою $$ P(A)=\frac mn, $$ де \(m=5\) – кількість жовтих яблук, \(n=9\) – кількість усіх яблук.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події.

Нехай імовірність того, що переможе Антон буде \(p\). Тоді ймовірність перемоги Миколи – \(p\), а Наталі – \(2p\).

Оскільки сума ймовірностей дорівнює 1, то \begin{gather*} p+p+2p=1,\\[7pt] 4p=1,\\[6pt] p=\frac 14 = 0,25 \end{gather*}

Відповідь: 0,25.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати інформацію, подану у графічній формі.

Кількість відвідувачів у червні становила \(\frac 14\) від сумарної кількості всіх відвідувачів.

На діаграмі Г правильно зображено розподіл відвідувачів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, вміння аналізувати графічну форму подання статистичних даних.

Робіт з оцінкою Д - 4, всього робіт - 32.

Отже, ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою Д $$ P=\frac{4}{32}=\frac 18=0,125 $$ Відповідь, яку округлили до сотих, становить $$ 0,125\approx 0,13 $$

Відповідь: 0,13.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знайдемо середнє значення за формулою:

Відповідь: \(9\mathord{,}8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки аналізу.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірності випадкових подій, користуючись її означенням.

Монет номіналом менше \(50\) копійок – \(17\) (\(5\) монет номіналом \(10\) копійок, \(12\) монет – по
\(25\) копійок). Усього монет – \(20.\)

Отже, ймовірність того, що номінал навмання взятої монети менше \(50\) копійок становить: $$ P=\frac{17}{20}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Середню температуру знаходимо як середнє арифметичне значень

Відповідь: \(15\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знаходимо середнє арифметичне за формулою:

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.

Ймовірність випадкової події знаходимо за формулою: $$ P=\frac mn, $$ де \(m\) – кількість сприятливих результатів події, \(n\) – кількість можливих результатів.

Отже, \(n=12\) – всього видів морозива, \(m=8\) – видів фруктового. $$ P=\frac{8}{12}=\frac 23. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У шухляді олівці та ручки.

Нехай ручок було \(x\) штук, тоді олівців: \(x-12\) шт. Всього ручок та олівців було $$ x+x-12=2x-12. $$

Відомо, що ймовірність вибрати навмання одну ручку \(P(A)=\frac 58.\) Тобто відношення кількості ручок до кількості всіх елементів дорівнює \(\frac 58.\)

\begin{gather*} \frac{x}{2x-12}=\frac 58,\ \ 5(2x-12)=x\cdot 8,\\[6pt] 10x-60=8x,\ \ 2x=60,\ \ x=30. \end{gather*}

Олівців лежить у шухляді \(30-12=18\) шт.

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів.

У січні – \(270\),
лютому – \(160\),
березні – \(260\),
квітні – \(230\),
травні – \(280\),
червні – \(320.\)

Правильна відповідь – B (у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому).

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

Кількість відвідувачів менше ніж \(170\) була на І та ІІ сеансі. Отже, кількість відвідувачів не менше ніж \(170\) осіб було на ІІІ, IV, V, VI сеансах.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

Кількість працівників знаходимо з діаграми:

\(36+40+24+16+4=120\) працівників.

Отже, відповідь – B.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано. Загальна кількість проданих столів становила \(156\), секторів на діаграмі – \(12\), тому кожному сектору відповідає $$ 156:12=13\ \text{(столів).} $$

Журнальні столи становлять \(\frac{3}{12}\), а письмові – \(\frac{5}{12}\) від загальної кількості.

Журнальних столів менше на $$ \frac{5}{12}-\frac{3}{12}=\frac{2}{12}. $$

Отже, їх менше на $$ 2\cdot 13=26\ \text{(столів).} $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Для того, щоб знайти скільки часу на день у середньому учень користується Інтернетом, необхідно знайти середнє арифметичне значень

Відповідь: A.

ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імоверностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Знайдемо, який середній час витратив учень на дорогу до школи:

Середній час, який учень витратив на дорогу до дому:

На дорогу до дому учень витратив на \(5\) хв. більше.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Цукерки
з чорного шоколаду – \(44\);
з білого шоколаду – \(36.\)
Усього \(80\) цукерок.

\(A\) – ймовірність того, що навмання взята цукерка буде з білого шоколаду.

Відповідь: \(0{,}45.\)

ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.

Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.

У ряду \(124\), \(140\), \(140\), \(\underline{163}\), \(168\), \(170\), \(195\) посередині стоїть число \(163.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Нехай \(P_1\) – ймовірність того, що спортсмен влучить у мішень, а \(P_2\) – ймовірність того, що не влучить.

За умовою \(P_1=7P_2\) та \(P_1+P_2=1.\)

Розв'яжемо систему рівнянь:

Розв'яжемо рівняння

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірносі та елементи статистики. Ймовірність випадкової події.

Це завдання перевіряє знання означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірності випадкових подій, розв'язувати нерівності першого степеня, раціональні.

Цукерок з молочного шоколаду – \(3\), з чорного шоколаду – \(m.\)

Ймовірність навмання витягнути цукерку з молочного шоколаду $$ P=\frac{3}{3+m}. $$

Якщо ймовірність менше \(0\mathord{,}25\), то

Оскільки знаменник дробу набуває тільки додатні значення, то

\(m\) – кількість цукерок, тому набуває цілі, додатні значення. \(m=10.\)

Відповідь: \(10.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє знання графічної, табличної, текстової та інших форм подання статистичної інформації.

На діаграмі бачимо, що в Анголі добували \(9\) млн карат. Більше ніж у двічі добували у ДРК \(29\) млн карат та у Ботсвані – \(34\) млн карат.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм.

Щоб відповідсти на запитання, потрібно визначити на осі "роки" рік, в якому точка, що йому відповідає, віддалена від точки, що відповідає попередньому року, по вертикалі на найбільшу відстань.

З діаграми видно, що найбільші по вертикалі відстані спостерігаються між точками, що відповідають \(2006\) р. \((5\mathord{,}8\) млн. км\(^2)\) i \(2007\) р. \((4\mathord{,}3\) млн. км\(^2)\) та точками, що відповідають \(2012\) р. \((3\mathord{,}4\) млн. км\(^2)\) і \(2013\) р. \((5\mathord{,}1\) млн. км\(^2).\)

Знайдемо різниці між річними мінімумами: $$ 5\mathord{,}8-4\mathord{,}3=1\mathord{,}5 $$ (зменшення у \(2007\) р. порівняно з \(2006\) р.) та $$ 5\mathord{,}1-4\mathord{,}3=1\mathord{,}8 $$ (збільшення у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р.)

Оскільки \(1\mathord{,}8\gt 1\mathord{,}5\), то величина річного мінімуму площі поверхні льоду найбільше змінилася у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р. Отже, правильна відповідь \(2013\) р.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у числі \(8\) цифр, серед них дві цифри \(5.\) Тоді імовірність того, що комп'ютерна програма навмання видалить цифру \(5\), за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості цифр \(5\) у числі до загальної кількості цифр у цьому числі:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Всього у кубика \(6\) граней. Нехай \(x\) граней кубика пофарбували в синій колір. Тоді ймовірність того, що при підкиданні кубика випаде синя грань, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості синіх граней \(x\) до загальної кількості граней \(6.\) Отже, $$ \frac{x}{6} = \frac{1}{3}. $$ Розв’язавши це рівняння, отримаємо $$ x = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 $$ кількість синіх граней.

Кількість граней, пофарбованих у жовтий колір, дорівнює $$ 6 - 2 = 4. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Імовірність того, що навмання вибраний білет буде виграшним, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості виграшних білетів \(x\) до загальної кількості білетів \(300.\) За умовою, $$ \frac{x}{300} = 0{,}2, $$ отже розв’язавши рівняння, отримаємо $$ x = 300 \cdot 0{,}2 = 60, $$ тому виграшних білетів \(60.\) Кількість всіх лотерейних білетів без виграшу дорівнює $$ 300 - 60 = 240. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану, середнє значення і розмах) за наданою таблицею частот.

Визначимо об’єм ряду даних \((n)\) – кількість усіх його елементів: елемент \(5\) зустрічається тричі, елемент \(7\) – \(4\) рази, елемент \(9\) – двічі, елемент \(10\) – один раз, елемент \(12\) – \(5\) разів, елемент \(15\) – тричі, елемент \(16\) – один раз, елемент \(18\) – один раз, тому

1. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=18-5=13. $$ Отже, 1 – Д.

2. Модою \((M_o)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. З таблиці видно, що найчастіше зустрічається у ряді даних елемент \(12\), тому мода \(M_o=12.\) Отже, 2 – Г.

3. Медіаною \((M_e)\) упорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(10\text{-го}\) і \(11\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ M_e=\frac{10+12}{2}=11. $$ Отже, 3 – Б.

4. Середнім значенням ряду даних \(\overline{x}\) називається середнє арифметичне всіх його елементів:

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події. Ймовірність суми подій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події, використовуючи класичне означення ймовірності та формулу ймовірності суми несумісних подій.

Оскільки майстер обслуговує в певний момент часу лише один верстат, то ймовірності того, що в цей момент часу він обслуговує I, II або III верстат, дорівнюють \(0{,}2\), \(0{,}3\) і \(0{,}5\) відповідно.

Оскільки події \(A =\) «майстер обслуговує I верстат» і \(B =\) «майстер обслуговує III верстат» несумісні (тобто поява однієї з цих подій виключає появу другої), то ймовірність суми цих подій \(A + B =\) «майстер обслуговує I верстат або III верстат» дорівнює сумі ймовірностей подій \(A\) і \(B\), тобто

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану і розмах) за полігоном частот, зображеним на рисунку.

Визначимо характеристики ряду даних:

1. З діаграми видно, що елемент \(6\) зустрічається у ряді даних тричі, \(12\) – \(5\) разів, \(18\) – \(1\) раз, \(24\) – тричі, \(30\) – двічі і \(36\) – \(4\) рази. Тому кількість елементів цього ряду даних:

Отже, 1 – Б.

2. Розмахом \((R)\) ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=36-6=30. $$ Отже, 2 – Г.

3. Модою \((Mo)\) називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. Найбільшу частоту, що дорівнює \(5\), має елемент \(12\), тому мода \(Mo=12.\) Отже, 3 – А.

4. Медіаною \((Me)\) впорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне \(9\text{-го}\) і \(10\text{-го}\) елементів ряду даних: $$ Me=\frac{18+24}{2}=21. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – A, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Імовірність того, що перший білет буде виграшний

Усього білетів – \(300\), виграшних – \(10.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння знаходити моду випадкової величини.

Мода вибірки – значення випадкової величини, що трапляється найчастіше в сукупності значень.

Отже, мода даної вибірки – \(9.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

На полиці \(16\) книг. Історичних романів – \(6\), детективів \(16 - 6 = 10\) книг.

Імовірність того, що перша книга буде детективом:

Відповідь: A.