Розділ: Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика
Тема: Ймовірність випадкової події. Вибіркові характеристики
Кількість завдань: 62
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.
Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.
У салоні \(n\) рядів, у кожному з яких розташовано \(6\) крісел. Отже, всього в салоні \(6n\) місць.
У перших трьох рядах розташовано \(18\) місць.
Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце, $$ P=\frac{18}{6n}=\frac 3n. $$
За умовою ця імовірність дорівнює \(\frac{1}{14}.\)
\begin{gather*} \frac 3n=\frac{1}{14},\\[6pt] n=42. \end{gather*}Відповідь: \(42.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку розуміння графічної форми подання статистичної інформації.
Якщо учні готувались до контрольної роботи не менш як \(2\) години, то це \(2\) години, \(2\mathord{,}5\) години, \(3\) години, \(3\mathord{,}5\) години, \(4\) години.
Кількість учнів: $$ 4+5+2+1+1=13. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ймовірність випадкової події.
Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкових подій, знання класичного означення ймовірної події.
Всього у салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць в кожному. Отже, всього у літаку \(6n\) місць.
Місць біля проходу в першому або останньому ряду \(4.\) Імовірність того, що пасажиру дістанеться таке місце – \(\frac{1}{45}.\)
За означенням імовірність це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(4\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому
\begin{gather*} \frac{1}{45}=\frac{4}{6n},\\[6pt] 6n=4\cdot 45,\\[7pt] n=30. \end{gather*}Відповідь: \(30.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку розуміння графічної форми подання статистичної інформації.
Температура не перевищувала потрібного значення \(10^\circ\mathrm{C}\) з \(00\mathord{:}00\) до \(7\mathord{:}00\) години та ще з \(22\mathord{:}00\) до \(24\mathord{:}00.\) Разом це становить \(9\) годин.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.
Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати ймовірність випадкової події.
Усього в літаку \(20\) рядів по \(6\) в кожному. Отже, в літаку \(120\) місць. Біля проходу є по \(2\) місця у кожному ряду. Усього таких місць \(40.\)
Імовірність того, що пасажиру дістанеться місце біля проходу, знаходиться за формулою $$ P(A)=\frac mn,\ \ P(A)=\frac{40}{120}=\frac 13. $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити середнє арифметичне, розв’язувати лінійну нерівність.
\(4\) чорних ручки по \(27\ \text{грн},\) \(6\) червоних ручки по \(15\ \text{грн},\) \(n\) синіх ручок по \(10\ \text{грн}.\) Середня ціна однієї ручки \begin{gather*} \frac{4\cdot 27+6\cdot 15+n\cdot 10}{4+6+n}\lt 13,\\[6pt] \frac{108+90+10n}{10+n}\lt 13, \end{gather*} \(n\) – число додатне, тому можна помножити нерівність на \((10+n).\) \begin{gather*} 198+10n\lt 13(10+n),\\[7pt] 198+10n\lt 130+13n,\\[7pt] 3n\gt 68,\ \ n\gt\frac{68}{3},\ \ n\gt 22\frac 23. \end{gather*} Найменше можливе \(n=23.\)
Відповідь: 23.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
Проміжок, упродовж якого густина пилу зменшувалася, відповідає проміжку спадання функції.
Із графіка видно, що функція спадає в інтервалах від \(\text{00:00}\) до \(\text{4:00}\) та від \(\text{15:00}\) до \(\text{24:00}.\)
Серед наведених варіантів лише на проміжку \([20; 24]\) функція спадає на всій його довжині.
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити середнє арифметичне декількох значень.
Знайдемо середнє арифметичне десяти значень:
\begin{gather*} \frac{2\cdot 1+3\cdot 3+4\cdot 4+x\cdot 1}{10}=3,5\\[6pt] 2+9+16+x=35\\[7pt] x=35-27\\[7pt] x=8 \end{gather*}Отже, правильна відповідь – Г.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.
На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів.
Оцінку, вищу за \(8\) балів, поставили \(75\) та \(25\) опитуваних, які визначили якість на \(9\) та \(10\) балів.
Отже, правильна відповідь Б – \(75+25=100\ \text{опитуваних}.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом.
Столи і стільці було придбано у співвідношенні \(1:3\) відповідно. Отже, столи становлять \(\frac 14\) всіх меблів, а стільці – решту, \(\frac 34\).
Правильно відображено розподіл на рисунку Г.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Нехай Михайлу треба отримати \(x\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)
Середнє арифметичне значень:
\begin{gather*} \frac{8+7+9+8+10\cdot x}{x+4}=9,5\\[6pt] 32+10x=9,5(x+4)\\[6pt] 32+10x=9,5x+38\\[7pt] 0,5x=6\\[7pt] x=12. \end{gather*}Отже, Михайлу треба отримати \(12\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)
Відповідь: 12.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.
На графіках відображено залежність температури повітря від часу. Правильно відображено цю залженість на графіку Д.
Табличні дані показують п’ять фіксацій температури впродовж певного часу. Температура кожної фіксації почергово збільшувалася і зменшувалася, що графічно правильно відображено на графіку Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.
На рисунку видно, що найбільша відстань між точками, тобто найбільша різниця між найвищою та найнижчою температурою була у четвер. Отже, привальна відповідь – Г.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.
У кошику лежать 4 зелених і 5 жовтих яблук.
Імовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору $$ P(A)=\frac 59, $$ \(A\) – вийняли жовте яблуко.
За формулою $$ P(A)=\frac mn, $$ де \(m=5\) – кількість жовтих яблук, \(n=9\) – кількість усіх яблук.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події.
Нехай імовірність того, що переможе Антон буде \(p\). Тоді ймовірність перемоги Миколи – \(p\), а Наталі – \(2p\).
Оскільки сума ймовірностей дорівнює 1, то \begin{gather*} p+p+2p=1,\\[7pt] 4p=1,\\[6pt] p=\frac 14 = 0,25 \end{gather*}
Відповідь: 0,25.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати інформацію, подану у графічній формі.
Кількість відвідувачів у червні становила \(\frac 14\) від сумарної кількості всіх відвідувачів.
На діаграмі Г правильно зображено розподіл відвідувачів.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.
Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, вміння аналізувати графічну форму подання статистичних даних.
Робіт з оцінкою Д - 4, всього робіт - 32.
Отже, ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою Д $$ P=\frac{4}{32}=\frac 18=0,125 $$ Відповідь, яку округлили до сотих, становить $$ 0,125\approx 0,13 $$
Відповідь: 0,13.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Знайдемо середнє значення за формулою:
\begin{gather*} \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ \text{...}\ +x_n}{n},\\[6pt] \overline{x}=\frac{8\cdot 9+10\cdot 4+12\cdot 7}{9+4+7}=\frac{72+40+84}{20}=9\mathord{,}8. \end{gather*}Відповідь: \(9\mathord{,}8.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки аналізу.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірності випадкових подій, користуючись її означенням.
Монет номіналом менше \(50\) копійок – \(17\) (\(5\) монет номіналом \(10\) копійок, \(12\) монет – по
\(25\) копійок). Усього монет – \(20.\)
Отже, ймовірність того, що номінал навмання взятої монети менше \(50\) копійок становить: $$ P=\frac{17}{20}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Середню температуру знаходимо як середнє арифметичне значень
Відповідь: \(15\mathord{,}5.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Знаходимо середнє арифметичне за формулою:
Відповідь: \(15.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей.
Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події.
Ймовірність випадкової події знаходимо за формулою: $$ P=\frac mn, $$ де \(m\) – кількість сприятливих результатів події, \(n\) – кількість можливих результатів.
Отже, \(n=12\) – всього видів морозива, \(m=8\) – видів фруктового. $$ P=\frac{8}{12}=\frac 23. $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.
У шухляді олівці та ручки.
Нехай ручок було \(x\) штук, тоді олівців: \(x-12\) шт. Всього ручок та олівців було $$ x+x-12=2x-12. $$
Відомо, що ймовірність вибрати навмання одну ручку \(P(A)=\frac 58.\) Тобто відношення кількості ручок до кількості всіх елементів дорівнює \(\frac 58.\)
\begin{gather*} \frac{x}{2x-12}=\frac 58,\ \ 5(2x-12)=x\cdot 8,\\[6pt] 10x-60=8x,\ \ 2x=60,\ \ x=30. \end{gather*}
Олівців лежить у шухляді \(30-12=18\) шт.
Відповідь: \(18.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.
Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.
На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів.
У січні – \(270\),
лютому – \(160\),
березні – \(260\),
квітні – \(230\),
травні – \(280\),
червні – \(320.\)
Правильна відповідь – B (у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому).
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.
Кількість відвідувачів менше ніж \(170\) була на І та ІІ сеансі. Отже, кількість відвідувачів не менше ніж \(170\) осіб було на ІІІ, IV, V, VI сеансах.
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.
Кількість працівників знаходимо з діаграми:
\(36+40+24+16+4=120\) працівників.
Отже, відповідь – B.
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.
Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.
На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано. Загальна кількість проданих столів становила \(156\), секторів на діаграмі – \(12\), тому кожному сектору відповідає $$ 156:12=13\ \text{(столів).} $$
Журнальні столи становлять \(\frac{3}{12}\), а письмові – \(\frac{5}{12}\) від загальної кількості.
Журнальних столів менше на $$ \frac{5}{12}-\frac{3}{12}=\frac{2}{12}. $$
Отже, їх менше на $$ 2\cdot 13=26\ \text{(столів).} $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Елементи статистики. Вибіркові характеристики.
Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Для того, щоб знайти скільки часу на день у середньому учень користується Інтернетом, необхідно знайти середнє арифметичне значень
Відповідь: A.
ТЕМА: Елементи комбінаторики, початки теорії імоверностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.
Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Знайдемо, який середній час витратив учень на дорогу до школи:
Середній час, який учень витратив на дорогу до дому:
На дорогу до дому учень витратив на \(5\) хв. більше.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.
Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.
У ряду \(124\), \(140\), \(140\), \(\underline{163}\), \(168\), \(170\), \(195\) посередині стоїть число \(163.\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.
Нехай \(P_1\) – ймовірність того, що спортсмен влучить у мішень, а \(P_2\) – ймовірність того, що не влучить.
За умовою \(P_1=7P_2\) та \(P_1+P_2=1.\)
Розв'яжемо систему рівнянь:
\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} P_1=7P_2,\\ P_1+P_2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} P_1=7(1-P_1),\\ P_2=1-P_1. \end{array}\right. \end{gather*}Розв'яжемо рівняння
\begin{gather*} P_1=7(1-P_1),\\[7pt] P_1=7-7P_1,\\[7pt] 8P_1=7,\\[6pt] P_1=\frac 78=0\mathord{,}875. \end{gather*}Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)
