Розділ: Планіметрія
Тема: Коло та круг. Многокутники
Кількість завдань: 64
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.
I. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки.
II. \(AB\perp CD.\) \(\Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK,\) проведена до основи, є медіаною. \(K\) – середина хорди \(CD.\)
III. Діаметри кола проходять через центр кола, а отже, мають завжди спільну точку – центр кола.
Правильні твердження лише І та ІІ, тому відповідь Г.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.
Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Найбільша за довжиною хорда – діаметр кола.
Отже, \(AB=32,\) тому що радіус кола дорівнює \(16\ (d=2R).\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.
Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.
\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)
1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.
Площа круга \(S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\ \ R^2=400,\\[7pt] R=20\ \text{см},\ AD=R=20\ \text{см}. \end{gather*}
2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).
У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}
Відповідь: 1. 20. 2. 240.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.
\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)
1.
2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора
Відповідь: 1. 4. 2. 152.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.
\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.
1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.
За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}
2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.
\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=26^2-10^2,\\[7pt] AD=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \textit{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(10+24)=68\ \textit{см}. \end{gather*}Відповідь: 1. \(26.\)
2. \(68.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.
Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.
1. \(O_2C=20\) см, \(O_2K\perp CD\), \(O_2K=12\) см.
За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}
2. \(S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K\),
\begin{gather*} O_1K=O_1O_2+O_2K=O_1M+MO_2+O_2K=16+20+12=48\ \textit{см},\\[6pt] S_{DO_1C}=\frac 12\cdot 32\cdot 48=16\cdot 48=768\ \textit{см}^2. \end{gather*}Відповідь: 1. \(16.\)
2. \(768.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Завдання перевіряє вміння знаходити довжину кола та його дуги.
Довжина кола \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R\), \(R=27\) м. Отже, довжина всього кола $$ C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 27=54\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \textit{м}. $$
Оскільки до каркаса прикрілено \(18\) кабінок, то довжина дуги \(AB\) дорівнює
$$ l_{AB}=\frac{54\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{18}=3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\approx 3\cdot 3\mathord{,}14=9\mathord{,}42\ \textit{м}. $$Найближча до точної відповідь Б.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.
Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.
Об'єм конуса знаходимо за формулою:
\(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)
\(\frac 13\cdot 100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot H=800\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(H=24\) см.
У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
\(AB^2=AO^2+OB^2=24^2+10^2=576+100=676.\)
\(AB=26\) см – твірна конуса.
Відповідь: \(26.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання властивостей ромба.
\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)
1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.
2. \(\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.\) Отже, 2 – Б.
3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)
За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.
Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.
Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.
У \(\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC\) як радіуси.
\(BC=6\) м. За теоремою Піфагора
Ширина смуги
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння знаходити довжину дуги кола.
1. За властивістю вписаного кута \(\angle ACB=\frac 12\angle AOB.\)
\(\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 15^\circ=30^\circ.\) Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(30^\circ.\)
2. \(l_{AB}=8\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см. За формулою довжини дуги $$ l=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R}{180^\circ}\cdot n^\circ, $$ де \(R\) – радіус кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).
Відповідь: 1. \(30.\)
2. \(48.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.
1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.
2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:
Отже, 2 – A.
3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.
Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.
Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}
Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)
\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)
\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)
Відповідь: \(19.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.
\(OK=4\), \(CD=10.\)
1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.
2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)
\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.
3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.
4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Це завдання перевіряє знання кола та його елементів.
\begin{gather*} OA=12\ \textit{см},\\[7pt] O_1A=8\ \textit{см},\\[7pt] OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \textit{см}. \end{gather*}
Відповідь: Г.
