Геометрія – Коло та круг. Многокутники

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник, дотичних до кола та їхніх властивостей.

\(\Delta ABC\) – прямокутний, \(\angle C = 90^\circ.\) \(AK = 4{,}5\) см, \(MB = 6\) см.
Точка \(O\) – центр вписаного кола. \(OK\), \(OM\), \(OE\) – радіуси вписаного кола. За властивістю радіуса кола, проведеного в точку дотику \(OK\!\perp\!AC\), \(OE\!\perp\!AB\), \(OM\!\perp\!CB.\)
\(KOMC\) – квадрат. За властивістю дотичних до кола \begin{gather*} AK = AE = 4{,}5\ \text{см},\\[7pt] MB = BE = 6\ \text{см}. \end{gather*} Отже,

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи:

Відповідь: \(5{,}25.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин.

За умовою \(OA=12\) см, \(O_1A=8\) см. Отже,

\begin{gather*} OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули довжини кола та його частин.

Повний кут складає \(360^\circ\). Центральний кут \(\angle BOA = 90^\circ\) та складає \(\dfrac{1}{4}\) від повного кута.

Отже, дуга \(AB = \dfrac{1}{4}C = \dfrac{1}{4}\cdot 64 = 16\) см.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Суму внутрішніх кутів знаходимо за формулою:

де \(n\) – кількість кутів правильного многокутника. Кожний з десяти кутів дорівнює:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутник.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кута.

За властивістю вписаного та центрального кута: \(\angle MON = 2\angle MDN\).

\(\angle O = 60^\circ.\) Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Площі фігур.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Довжина \(BC\) – шість радіусів кіл. Площа круга

Площа \(3\) кругів – \(3\pi R^2\) (за умовою). \(R^2 = 1\), \(R = 1.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, зовнішнього кута трикутника.

Дотична \(AB\) до кола перпендикулярна радіусу \(OB\), проведеному в точку дотику \(\angle OBA = 90^\circ.\)

\(\angle COB\) – зовнішній кут \(\Delta OAB.\)

Отже,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі круга.

Площу зафарбованої фігури знайдемо як різницю площ більшого круга та меншого

Відповідь: \(192.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, зовнішнього кута трикутника.

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений \(BO = OC\) як радіуси. \(\angle C = \angle B = 35^\circ.\)

\(\angle ABO = 90^\circ\) (радіус \(BO\) перпендикулярний дотичної \(AB\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі круга.

Кола з центрами в точках \(O\) та \(O_1\) мають внутрішній дотик. Нехай \(R\) – радіус великого кола, \(r\) – радіус маленького кола.

Відстань між центрами кіл знаходимо різницею

Відповідь: \(13{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та круга, їхніх елементів; формули для обчислення відстані між двома точками, рівняння кола.

Коло задано рівнянням \(x^2+y^2=9\). Точки, які належать кругу, обмеженого цим колом, розташовані на відстані, не більшій, ніж радіус від центра кола. \((0; 0)\) – центр кола, \(R=3.\)

Отже, умова виконується, якщо координати точки \((x_0, y_0)\) задовольняють умові $$ x_0^2+y_0^2\le 9. $$

А) \((\sqrt{2})^2+5^2\gt 9.\)

Б) \(1^2+3^2\gt 9.\)

В) \(4^2+5^2\gt 9.\)

Г) \(3^2+2^2\gt 9.\)

Д) \(2^2+(\sqrt{3})^2\le 9,\ 7\le 9.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, кола, круга та їхніх елементів; вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

\(\Delta ABO\) – рівнобедрений, \(OA = OB\) як радіуси. Медіана \(ON\) є висотою (за властивістю рівнобедреного трикутника). \(AB = 12\) м, \(AN = NB = 6\) м.

Нехай \(OA = OB = OM = x\) м (радіуси кола). \begin{gather*} MN + NO = MO,\\[7pt] NO = MO - MN = (x - 3)\ \text{м}. \end{gather*}

У \(\Delta ONB\) (\(\angle N = 90^\circ\)) за теоремою Піфагора: $$ OB^2 = ON^2 + NB^2. $$

Складемо рівняння: \begin{gather*} 6^2 + (x - 3)^2 = x^2,\\[7pt] 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2,\\[7pt] 6x = 45,\\[7pt] x = 45 : 6,\\[7pt] x = 7{,}5. \end{gather*}

\(OB = 7{,}5\) м.

Відповідь: \(7{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі сектора.

\(\alpha+\beta= 360^\circ\), \(\alpha=120^\circ\), \(\beta=240^\circ.\) Отже, \(\beta=2\alpha.\)

Сектор з центральним кутом \(\beta=240^\circ\) має площу:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, вписане у правильні многокутники, у трикутники.

За формулою для радіуса вписаного кола для правильних многокутників \begin{gather*} r_n = \frac{a_n}{2\mathrm{tg}\left(180/n\right)} \end{gather*} знайдемо

1. \begin{gather*} r_3 = \frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{tg}(180/3)} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1{,}5\ \text{см}. \end{gather*} Отже, 1 – Б.

2. \begin{gather*} r_4 = \frac{2}{2\mathrm{tg}45^\circ} = 1\ \text{см}. \end{gather*} Отже, 2 – А.

3. \begin{gather*} r = \frac{a + b - c}{2} \end{gather*} – формула для прямокутного трикутника.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кола та його частин до розв’язування задач практичного змісту.

Радіус великого кола \(R = 2\) м. Тоді радіус малого кола (з якого зроблені півкола всередині) \(r = 1\) м.

Для виготовлення емблеми необхідно гнучкого матеріалу довжиною

Для придбання матеріалу вартістю \(100\) грн за \(1\) м необхідно

Найменша сума грошей з наведених \(2310\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та описаних чотирикутників.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо сума протилежних сторін рівна.

Отже, для чотирикутника \(ABCD\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та його частин.

Довжина кола

де \(R = 10\) см.

Довжина більшої дуги становить \(\dfrac 35\) від довжини кола.

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання формули суми внутрішніх кутів многокутника, суми кутів трикутника.

Сума внутрішніх кутів \(n\)-кутника знаходимо за формулою: \(180^\circ (n - 2).\)

Кожний кут правильного п’ятикутника дорівнює:

\(\angle FAB = 108^\circ.\)

\(\angle KAB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ\) (суміжний з \(\angle FAB\)).

\(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(\angle A = \angle B = 72^\circ.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та його частин.

Довжина кола \(C = 16\pi\) см,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та центральних кутів.

Вписаний кут \(BAD\), який спирається на діаметр \(BD\) – прямий. \(\angle BAD = 90^\circ.\)

\(\Delta ABD\), \(\angle B = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ.\)

Вписані кути \(\angle ABD = \angle ACD = 55^\circ\), бо спираються на ту саму дугу.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої.

Знайдемо довжини елементів (1 – 4).

1. У прямокутному трикутнику \(CDF\) (\(\angle D=90^\circ\)) відомі катет та гіпотенуза: \(CD=1\) см, \(CF=\sqrt{5}\) см. Довжину катета \(FD\) обчислимо за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – Г.

2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює половині довжини діагоналі цього квадрата. Оскільки діагональ квадрата зі стороною \(1\) дорівнює \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), то радіус описаного кола дорівнює $$ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$ Отже, 2 – Б.

3. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BC\) дорівнює довжині перпендикуляра \(h\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BC\) (див. рисунок). Оскільки прямі \(AF\) і \(BC\) паралельні, то відстань від точки \(F\) та від будь-якої іншої точки прямої \(AF\) до прямої \(BC\) рівні. Оскільки \(CD\ \perp\ BC\), то \(h=CD=1.\) Отже, 3 – А.

4. Відстань від точки \(F\) до прямої \(BD\) дорівнює довжині перпендикуляра \(FL\), опущеного з точки \(F\) на пряму \(BD\) (див. рисунок). \(\angle ABD=\angle ADB=45^\circ\) як кути між діагоналлю квадрата і його стороною. \(\angle FDL=\angle ADB=45^\circ\) як вертикальні. Оскільки \(\angle DLF=90^\circ\), то \(\angle DFL=45^\circ.\) Таким чином прямокутний трикутник \(DLF\) рівнобедрений з гіпотенузою \(FD=2.\) Катет такого трикутника дорівнює $$ \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Ромб та його властивості. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, вписане в ромб. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків, які є складовими рівностороннього та прямокутного трикутників.

З умови випливає, що сторона ромба дорівнює \(48 : 4 = 12\ \text{см}.\)

1. Проведемо діагональ \(BD\) і розглянемо трикутник \(ABD\) (див. рисунок).

Оскільки \(AB = AD\) і \(\angle A = 60^\circ\), то цей трикутник є рівностороннім. Тоді $$ BD = AB = AD = 12\ \text{см}. $$ Проведемо радіуси \(OK\) та \(OM\) і розглянемо трикутники \(OKB\) та \(OMD\). Оскільки \(OK\ \perp\ AB\) і \(OM\ \perp\ AD\) (дотична до кола перпендикулярна до радіуса, який сполучає центр кола з точкою дотику), \(OK = OM\) (як радіуси вписаного кола). \(\angle ABD = \angle ADB = 60^\circ\), то ці прямокутні трикутники рівні (за стороною та двома кутами). Тому $$ OB = OD = \frac{1}{2}BD = 6\ \text{см}. $$

2. Доведемо спочатку, що трикутник \(AKM\) є рівностороннім. З рівності трикутників \(OKB\) та \(OMD\) випливає, що \(KB = MD.\) Оскільки \(AB = AD\) i \(AK+KB=AB\), \(AM+MD=AD\), то \(AK=AM\). Оскільки \(\angle A = 60^\circ\), то трикутник \(AKM\) є рівностороннім. У прямокутному трикутнику \(OKB\) \(\angle KBO = 60^\circ\), тоді \(\angle KOB = 30^\circ.\) Отже, катет \(KB\) удвічі менший за гіпотенузу \(OB\mathord{:}\) $$ KB = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\ \text{см}. $$ Тоді

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(9.\)

22

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Прямокутник та його властивості. Середня лінія трапеції. Коло, описане навколо чотирикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків геометричних фігур. Щоб розв’язати завдання, потрібно знати означення й властивості квадрата, прямокутника, прямокутного рівнобедреного трикутника, теорему про середню лінію трапеції, означення бісектриси кута, теорему Піфагора.

Оскільки точка \(O\) належить відрізку \(LN\), то $$ LN=LO+ON=8+2=10. $$ За умовою \(LN\ ||\ CD\), тому \(\angle BLN=\angle LCD=90^\circ\), отже, чотирикутник \(DCLN\) – прямокутник. Тоді $$ CD=LN=10. $$ Оскільки \(ABCD\) – квадрат, то $$ BC=CD=10. $$

1. За умовою \(KM\ ||\ AD\), тому \(\angle KMD=\angle MDA=90^\circ\), отже, чотирикутник \(KMDA\) – прямокутник. Тоді $$ KM=AD=10. $$ Оскільки точка \(O\) належить відрізку \(KM\), то $$ OK=KM-OM=10-6=4. $$ Отже, 1 – А.

2. За теоремою Піфагора, діагональ прямокутника \(OLCM\) дорівнює

Оскільки радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині його діагоналі, то радіус кола, описаного навколо прямокутника \(OLCM\), дорівнює $$ 10:2=5. $$ Отже, 2 – Б.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі її основ. У трапеції \(OBCM\) основи \(BC\) і \(OM\) дорівнюють відповідно \(10\) і \(6\), отже, довжина середньої лінії трапеції дорівнює $$ \frac{BC+OM}{2}=\frac{10+6}{2}=8. $$ Отже, 3 – Г.

4. Оскільки \(OP\) – бісектриса кута \(NOM\), то вона ділить цей кут навпіл, тому $$ \angle NOP=\angle POM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ. $$ Оскільки \(\angle ONP=90^\circ\), то

Тоді трикутник \(NOP\) є рівнобедреним і $$ NP=ON=2. $$ Довжина відрізка \(AP\) дорівнює $$ AN+NP=OK+NP=4+2=6. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутник. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння визначати відстань між центрами заданих кіл, використовуючи подібність відповідних трикутників.

Нехай точка \(O\) – центр більшого кола, а точки \(O_1\) і \(O_2\) – центри двох рівних менших кіл (див. рисунок).

Центри кіл, що мають внутрішній дотик, та точка їх дотику лежать на одній прямій, тоді

Рівнобедрені трикутники \(AOB\) (\(AO=BO\)) і \(O_1OO_2\) (\(OO_1=OO_2\)), що мають спільний \(\angle O\), є подібними. Тому маємо

звідки \(O_1O_2=7{,}5\) см.

Відповідь: \(7{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм. Коло.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та паралелограма, формули довжини дуги і вміння обчислювати площу паралелограма.

1. Нехай \(ABCD\) заданий паралелограм, \(O\) – центр півкола радіуса \(r\), що дотикається до сторони \(BC\) в точці \(M\) (див. рисунок). Оскільки півколо дотикається до сторони \(BC\) в точці \(M\), то \(OM\ \perp\ BC\) – як радіус, проведений в точку дотику. За означенням паралелограма \(AD\ ||\ BC\), отже, \(OM\ \perp\ AD.\) Тоді дуга \(MD\) – четверта частина кола радіуса \(r\), її довжина дорівнює $$ \frac{2\pi r}{4}=\frac{\ }{2}\ \text{см}. $$ За умовою довжина дуги \(MD\) дорівнює \(6{,}5\pi\) см.

Отже, $$ \frac{\pi r}{2}=6{,}5\pi, $$ звідки \(r=13\) см.

2. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї:

Відповідь: 1. \(13.\)
                   2. \(338.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості ромба до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Фалеса.

\(ABCD\) – ромб, \(OK\) – радіус вписаного кола.

1. \(S_{кр}=\pi r^2=2{,}25\pi\ \text{см}^2.\) \(\ r^2=2{,}25;\ \ r=1{,}5\ \text{см}.\)

2.

\(AO=OC.\) За теоремою Фалеса \(KC=KE.\) Отже, в \(\Delta AEC\) \(OK\) – середня лінія, $$ OK=\frac{1}{2}AE. $$

\(AE=2\cdot OK=2\cdot 1{,}5=3\) см – висота ромба.
\(S_{p}=BC\cdot AE=BC\cdot 3=10{,}8;\) \(\ BC=3{,}6\) см.

Відповідь: 1. \(1{,}5.\)
                   2. \(3{,}6.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Площа круга та його частин.

Це завдання перевіряє знання формул площі круга і сектора.

Обчислимо площі геометричних фігур (1 – 4).

1. Площу круга радіуса \(4\) см, зображеного на рисунку 1, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S =\pi R^{2},\\[7pt] S = \pi\cdot 4^{2} = 16\pi\ \text{см}^{2}. \end{gather*} Отже, 1 – Б.

2. Площу півкруга радіуса \(6\) см, зображеного на рисунку 2, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S = \frac{\pi R^{2}}{2} = \frac{\pi\cdot 6^{2}}{2} = 18\pi\ \text{см}^{2}. \end{gather*} Отже, 2 – В.

3. Площу сектора радіуса \(12\) см, зображеного на рисунку 3, обчислюємо за формулою \begin{gather*} S = \frac{R^{2}\alpha}{2}, \end{gather*} де \(\alpha\) – центральний кут сектора, $$ \alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6}. $$ Тоді $$ S = \frac{12^{2}\pi}{12} = 12\pi\ \text{см}^{2}. $$ Отже, 3 – А.

4. Площу кільця, обмеженого колами радіусів \(r = 4\) см і \(R = 6\) см, зображеного на рисунку 4, обчислюємо за формулою $$ S = \pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2} - r^{2}), $$ де \(R\) і \(r\) – відповідно радіуси більшого та меншого кіл. Тоді $$ S = \pi (6^{2} - 4^{2}) = 20\pi\ \text{см}^{2}. $$ Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Довжина кола.

Це завдання перевіряє знання формули довжини кола.

Довжина кола \(l\) радіуса \(r\) обчислюється за формулою $$ l = 2\pi r. $$ Оскільки довжина меншого кола дорівнює \(10\pi\) см, то $$ 10\pi= 2\pi r, $$ звідси знаходимо \(r = 5\) см – радіус меншого кола.

Оскільки за умовою задачі радіус більшого кола \(R\) втричі перевищує радіус меншого кола, то $$ R = 3 \cdot 5 = 15\ \text{см}. $$

Точка зовнішнього дотику двох кіл належить відрізку \(O_{1}O_{2}\), тому

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник, ромб, квадрат, правильний шестикутник та їхні властивості. Коло, вписане в трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник. Формули для обчислення радіуса вписаного кола.

Це завдання перевіряє вміння визначати радіуси кіл, вписаних в рівносторонній трикутник, ромб, квадрат та правильний шестикутник, за заданими довжинами відповідних відрізків.

Визначимо радіус кола, вписаного у кожну з фігур, зображених на рис. 1–4.

Рис. 1. Центр кола, вписаного у будь-який трикутник знаходиться у точці перетину його бісектрис. У рівносторонньому трикутнику бісектриси одночасно є його висотами та медіанами, які діляться точкою перетину на відрізки у відношенні \(2 : 1\), рахуючи від вершини трикутника. Отже, радіус кола, вписаного у рівносторонній трикутник, дорівнює \(\frac{1}{3}\) його висоти. За умовою висота дорівнює \(\sqrt{2}\), тому радіус вписаного кола дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Отже, 1 – Д.

Рис. 2. Радіус \(r\) кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти \(h\) цього ромба (див. рисунок 2) і дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Отже, 2 – Г.

Рис. 3. Радіус \(r\) кола, вписаного в квадрат зі стороною \(a\), дорівнює половині його сторони: \(r = \frac{a}{2}\). Якщо діагональ квадрата дорівнює \(\sqrt{2}\), то \(a = 1\). Тоді \(r = \frac{1}{2}\). Отже, 3 – В.

Рис. 4. У правильному шестикутнику три його діагоналі, що сполучають протилежні вершини, ділять шестикутник на шість рівних рівносторонніх трикутників. Тоді радіус вписаного у шестикутник кола дорівнює висоті рівностороннього трикутника. Якщо сторона шестикутника дорівнює \(a\), то радіус вписаного кола \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). Оскільки діагональ правильного шестикутника, яка з'єднує протилежні його вершини удвічі більша за сторону цього шестикутника, то виконується рівність \(2a = 2\sqrt{2}\). Отже, сторона шестикутника дорівнює \begin{gather*} a = \frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\ \text{а}\\[6pt] r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{gather*} Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Описане коло, дотична до кола та її властивості. Трикутники (рівносторонній та прямокутний трикутники). Тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжини відрізків, використовуючи властивості дотичної до кола, елементів кола, вписаних у коло кутів та співвідношень у прямокутному трикутнику.

Обчислимо довжини відрізків (1 – 4).

1. Оскільки діаметр кола вдвічі більший за його радіус, то згідно умови $$ BK=2\cdot 6=12. $$ Отже, 1 – B.

2. Розглянемо трикутник \(ABO.\) Оскільки пряма \(AB\) є дотичною до кола, то \(\angle ABO=90^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(ABO\) катет \(BO=6\), а гіпотенуза \(AO=2AB.\) За теоремою Піфагора отримаємо

Такий же результат отримаємо, якщо скористаємось тим фактом, що у прямокутному трикутнику \(ABO\ \angle AOB=30^\circ\) (оскільки вказано, що гіпотенуза вдвічі більша за протилежний до цього кута катет). Тоді

Отже, 2 – Б.

Отже, 3 – A.

4. Розглянмо вписаний у коло трикутник \(BCK.\) Оскільки вписаний кут \(BCK\) спирається на діаметр кола, то \(\angle BCK=90^\circ\), тобто трикутник \(BCK\) є прямокутним. У цьому трикутнику \(BK=12\), \(\angle CBK=60^\circ\), тоді

Або за теоремою Піфагора отримуємо:

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, уміння застосовувати властивості ромба, використовувати формули площ геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина кола $$ C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=12\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}. $$ Отже,

2. Нехай $$ AK=MC=x, $$ тоді $$ KM=6x=2R=12. $$ Отже, \(x=2.\)

Площу ромба знайдемо за формулою: $$ S=\frac 12d_1d_2, $$ де \(d_1\), \(d_2\) – довжини діагоналей.

Відповідь: 1. \(12.\)
                   2. \(96.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту; уміння застосовувати теорему Піфагора до розв'язування прямокутного трикутника, властивості прямокутника.

Розглянемо випадок, коли вантажівка дотикається аркового проїзду. При цьому \(ON=OC=2\) м (радіус аркового проїзду).

Оскільки \(MN=2\mathord{,}4\) м, а \(MF=FN=1\mathord{,}2\) м. \(FN=OE=1\mathord{,}2\) м. Значення \(NE\) знайдемо за теоремою Піфагора з \(\Delta NEO\ (\angle E=90^\circ).\)

Висота \(h\) вантажівки складається з суми

При значенні \(3\mathord{,}6\) м вантажівка дотикається арки, тому максимально можливе значення – \(3\mathord{,}5\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо \(S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}\), то \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl\), \(S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2\), \(\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2\), \(l=3r.\) Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то \(AO=OB=r\), \(\Delta AOB\) – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора \(AB^2=OB^2+AO^2\), \(l^2=r^2+r^2\), \(l=r\sqrt{2}.\) Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то \(l=2r.\) \(OB\) – проекція твірної \(AB\) на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює \(5\mathbf{\pi}r^2\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

26

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їхні вимірювання. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, формул для обчислення площі кругового сектора, прямокутника.

1. Площу кругового сектора знаходимо за формулою $$ S_\text{сек}=\frac{\mathbf{\pi}R^2}{360^\circ}\cdot \mathbf{\alpha}, $$ де \(\mathbf{\alpha}\) – центральний кут.

2. Нехай \(a\) – спільна дотична до секторів. За властивістю дотичної до кола \(AO\ \perp\ a\), \(CO\ \perp\ a\), тому точка \(O\) лежить на прямій \(AC.\)

У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, тому \(AB=8\) см.

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, центральних та вписаних кутів, видів трикутників та їхніх основних властивостей.

1. За властивістю дотичної до кола \(OC\ \perp\ MP\), тому \(\angle OCM=90^\circ.\)

Отже, 1 – В.

2. \(\angle BAC=80^\circ\), \(AK\) – діаметр, тому \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(\angle BAK=\angle KAC=40^\circ.\)

\(\Delta AOC\) рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси) \(\angle A=\angle C=40^\circ.\)

Отже, 2 – A.

3. Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}\) дорівнює градусній мірі центрального кута \(\angle AOB.\)

\(\Delta AOB=\Delta AOC\) (за трьома сторонами).

У \(\Delta AOB\ \angle A=\angle B=40^\circ\), \(\angle O=180^\circ-80^\circ=100^\circ.\)

Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}=100^\circ.\)

Отже, 3 – Г.

4. За властивістю вписаного кута: \(\angle CAK=\frac 12\) дуги \(KC\), дуга \(KC=2\angle CAK=2\cdot 40^\circ=80^\circ.\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – A, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

\(BM\) – медіана, точка \(K\) – середина медіани.

1. Відстань від точки \(K\) до \(AC\) – це \(KF=5\) см, \(KF\ \perp\ AC.\)

Відповідно, \(KE\ \perp\ BC,\) \(KE=6\) см.

\(KE\ \perp \ BC\), \(AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.\)

За теоремою Фалеса, точка \(E\) – середина \(BC\), тому \(KE\) – середня лінія \(\Delta MBC.\)

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки \(BM\) – медіана, то \(AC=2MC=24\) см.

Отже, довжина катета \(AC=24\) см.

2. Аналогічно, \(KF\) – середня лінія \(\Delta CMB\), тому \(BC=2KF=10\) см.

За теоремою Піфагора, у \(\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)\)

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. \(24\) см.
                   2. \(13\) см.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо \(K_1E\ ||\ AB\) дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола \(KK_1\ \perp\ K_1E.\)

\(\angle CPK=\angle PKP_1=\mathbf{\beta}\) як внутрішні різносторонні при \(KK_1\ ||\ CE\) та січної \(KP.\)

У \(\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)\), \(KP=0\mathord{,}9\) м, \(\angle K=\mathbf{\beta}.\)

Серед наведених відстаней найменша \(0\mathord{,}7\) м.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Чотирикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання дотичної до кола та її властивості, формули довжини кола; уміння застосовувати ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1.Довжина кола знаходиться за формулою \(C=2\mathbf{\pi}R.\)

\(O_1O_2=2R=8.\)

2. У прямокутник \(ABCD\) вписано два кола, тому \(BC=4R=16.\)

\(OO_1=2R=8.\)

\(O_1K\ \perp\ BC\) (за властивістю дотичної)

\(O_1K=4.\)

\(O_2L\ \perp\ BC\) \(O_1K=O_2L=R\), тому \(O_1O_2\ ||\ BC\), отже \(BO_1O_2C\) – трапеція.

Відповідь: 1. \(8.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

Центр кола \((2; 0)\) та радіус \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}.\)

За наслідком з теореми синусів

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

\(AB\) становить \(\frac 16\) довжини кола, тому центральний кут \(AOB\) також становить \(\frac 16\) від повного кута \(360^\circ.\)

$$ \angle AOB=\frac 16\cdot 360^\circ=60^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння класифікувати трикутники за сторонами та кутами, знання теореми про суму кутів трикутника, кола, описаного навколо трикутника.

Якщо \(\angle B\) – тупий, а сума кутів трикутника \(180^\circ\), то \(\angle B\gt 90^\circ\), \(\angle A+\angle C\lt 90^\circ.\)

За нерівністю трикутника \(AC\lt AB+BC.\) Отже, твердження ІІ неправильне.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника \(ABC\) лежить поза його межами.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про центральні та вписані кути, прямокутник, формули для обчислення площі трикутників.

1. \(\angle AMD\) – вписаний, який спирається на діаметр. \(\angle AMD=90^\circ.\) \(ME\ \perp\ AD.\)

За властивістю висоти до гіпотенузи:

\(ME^2=AE\cdot ED.\)

Нехай \(BK=MC=x\ \textit{см}\), \(KM=3x\ \textit{см}\), \(ME=AB=4\ \textit{см}\), \(AE=BM=4x\ \textit{см}\), \(DE=MC=x\ \textit{см}.\)

\(16=4x\cdot x\), \(x=2\ \textit{см}.\)

\(AD=5x=5\cdot 2=10\ \textit{см}\) – діаметр.

\(R=5\ \textit{см}.\)

2. \(OF\ \perp\ KM\), \(\Delta OFM\ (\angle F=90^\circ)\), \(OM=R=5\ \textit{см}\), \(OF=AB=4\ \textit{см}\), \(FM=3\ \textit{см}\) (єгипетський).

\(S_{OKM}=\frac 12KM\cdot OF=FM\cdot OF=3\cdot 4=12\ \textit{см}^2.\)

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання кола та його елементів.

\begin{gather*} OA=12\ \textit{см},\\[7pt] O_1A=8\ \textit{см},\\[7pt] OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання про трапецію та її властивості; середню лінію трапеції, вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники, теореми Піфагора.

\(OK=4\), \(CD=10.\)

1. Висота трапеції – діаметр кола \(AB=8.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(CE\ \perp\ AD\), \(ED\) – проекція сторони \(CD\) на \(AD.\)

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора $$ ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$ Отже, 2 – A.

3. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола $$ AB+CD=BC+AD=18. $$ Нехай \(BC=AE=x\), тоді \begin{gather*} BC+AD=x+x+6=18,\\[7pt] 2x=12,\ \ x=6,\\[7pt] AD=AE+ED=6+6=12. \end{gather*} Отже, 3 – Г.

4. Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{18}{2}=9. $$ Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.

Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}

Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)

\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)

\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)

Відповідь: \(19.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання про вписані в коло та описані навколо кола многокутники.

У будь-який трикутник можна вписати коло. Отже, I твердження правильне.

У чотирикутник можно вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні. Отже, в прямокутник не можна вписати коло, але у ромб – так.

Отже, ІІ твердження – неправильне, ІІІ – правильне.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, прямокутного та рівнобедреного трикутників, теореми Піфагора.

1. За умовою завдання у прямокутник \(ABCD\) (\(AD=BC=12\) см) вписано рівнобедрений трикутник \(AKD.\) Якщо трикутник рівнобедрений, то $$ BK=KC=\frac 12BC=\frac 12\cdot 12=6\ \textit{см}. $$ \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ)\) – єгипетський, \(AB=8\) см. Отже, 1 – Б.

2. Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить на перетині діагоналей. Радіус кола – половина діагоналі \(BD.\) У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – A.

3. \(ABKD\) – трапеція. Довжина середньої лінії $$ \frac{AD+BK}{2}=\frac{12+6}{2}=9\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння знаходити довжину дуги кола.

1. За властивістю вписаного кута \(\angle ACB=\frac 12\angle AOB.\)
\(\angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 15^\circ=30^\circ.\) Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(30^\circ.\)

2. \(l_{AB}=8\mathbf{\pi}\) см. За формулою довжини дуги $$l=\frac{\mathbf{\pi}R}{180^\circ}\cdot n^\circ,$$ де \(R\) – радіус кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Відповідь: 1. \(30.\)
                   2. \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У \(\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC\) як радіуси.
\(BC=6\) м. За теоремою Піфагора

Ширина смуги

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)

1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)

За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – \(S_\text{основи}=\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=100\), \(R=10\) см. \(OB=10\) см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

\(V=\frac 13S_\text{основи}H,\) де \(S_\text{основи}=100\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(H=AO.\)

\(\frac 13\cdot 100\mathbf{\pi}\cdot H=800\mathbf{\pi}\), \(H=24\) см.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=26\) см – твірна конуса.

Відповідь: \(26.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжину кола та його дуги.

Довжина кола \(C=2\mathbf{\pi}R\), \(R=27\) м. Отже, довжина всього кола $$ C=2\mathbf{\pi}\cdot 27=54\mathbf{\pi}\ \textit{м}. $$

Оскільки до каркаса прикрілено \(18\) кабінок, то довжина дуги \(AB\) дорівнює

Найближча до точної відповідь Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. \(O_2C=20\) см, \(O_2K\perp CD\), \(O_2K=12\) см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K\),

Відповідь: 1. \(16.\)
                   2. \(768.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(BK=8\) см, \(KM=10\) см – діаметр.

1. \(BK=MD=8\) см, \(KM=10\) см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. \(P_{ABCD}=2(AB+BC)\), \(AB=KM=10\) см.

\(\Delta ABD (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. \(26.\)
                   2. \(68.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

\(P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.\)

1.

2. \(2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)\) - за теоремою Піфагора

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

\(\angle KAD=90^\circ,\ S_{\text{сектора}}=100\mathbf{\pi}\ \text{см}^2,\) \(BM=16\ \text{см}.\)

1. Площа сектора \(KAD\) становить \(\frac 14\) площі круга.

Площа круга \(S=\mathbf{\pi}R^2\). Отже, \(S_{\text{сектора}}=\frac 14\mathbf{\pi}R^2=100\mathbf{\pi}.\)

2. \(AM=AD=20\ \text{см}\) (як радіуси)
\(BM=16\ \text{см}\) (за умовою).

У \(\triangle ABM\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \begin{gather*} AM^2=AB^2+BM^2;\\[7pt] AB^2=20^2-16^2=(20-16)(20+16)=\\[7pt] =4\cdot 36\\[7pt] AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 20. 2. 240.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Найбільша за довжиною хорда – діаметр кола.

Отже, \(AB=32,\) тому що радіус кола дорівнює \(16\ (d=2R).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I.   Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки.

II.  \(AB\perp CD.\) \(\Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK,\) проведена до основи, є медіаною. \(K\) – середина хорди \(CD.\)

III. Діаметри кола проходять через центр кола, а отже, мають завжди спільну точку – центр кола.

Правильні твердження лише І та ІІ, тому відповідь Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола та його елементів.

\(OA=12\ \text{см},\ O_1A=8\ \text{см}.\) $$ OO_1=OA-O_1A=12-8=4\ (\text{см}). $$

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Геометричні величини та вимірювання їх.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити величини кутів, розв’язувати планіметричні задачі.

Повний кут має градусну міру \(360^\circ.\) Радіуси \(OA\), \(OB\), \(OC\) поділяють кут на \(3\) рівних частини.

Отже, \(\angle AOB=360^\circ :3=120^\circ.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості кола для розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

Градусна міра повного кута дорівнює \(360^\circ.\) Якщо поділити його на \(12\) рівних частин, то кожна з них дорівнюватиме \(30^\circ.\)

Кут між хвилинною і годинниковою стрілками на циферблаті містить \(5\) таких кутів $$30^\circ\cdot 5=150^\circ.$$

Відповідь: Б.