Розділ: Планіметрія
Тема: Координати та вектори на площині. Геометричні переміщення
Кількість завдань: 38
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні перетворення.
Завдання перевіряє знання геометричних перетворень на площині: симетрії відносно прямої та точки.
1 – Б. симетрія відносно осі \(x.\)
2 – Г. симетрія відносно осі \(y.\)
3 – Д. симетрія відносно точки \(O.\)
Відповідь: 1Б, 2Г, 3Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.
Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)
Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.
\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BK=\frac 12\cdot 10\cdot 15=75. \end{gather*}Відповідь: \(75.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.
Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.
Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$
Запишемо в стандартному вигляді:
\begin{gather*} (x^2-4x+4)-4+(y^2+12y+36)-36=9,\\[7pt] (x-2)^2+(y+6)^2=49. \end{gather*}Точка \(O(2; -6)\) – центр кола, \(R=7.\)
Нехай точка \(A(x_\text{A}; y_\text{A})\), \(\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)\), \(\overrightarrow{OA}(-1; 2).\)
Отже,
\begin{gather*} x_\text{A}-2=-1,\ \ x_\text{A}=1,\\[7pt] y_\text{A}+6=2,\ \ y_\text{A}=-4,\\[7pt] A(1; -4). \end{gather*}Точка \(O\) середина відрізка \(AC.\)
За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки \(C:\)
\begin{gather*} x_0=\frac{x_\text{A}+x_\text{C}}{2},\ \ x_\text{C}=2x_0-x_A=2\cdot 2-1=3,\\[7pt] y_0=\frac{y_\text{A}+y_\text{C}}{2},\ \ y_\text{C}=2y_0-y_\text{A}=2\cdot (-6)+4=-8,\\[7pt] x_\text{C}\cdot y_\text{C}=3\cdot (-8)=-24. \end{gather*}Відповідь: \(-24.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.
Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.
Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)
Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)
Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$
Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)
Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.
Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)
\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)
Відповідь: \(17.\)
