Геометрія – Координати та вектори на площині. Геометричні переміщення

ТЕМА: Координати і вектори на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання рівняння кола, властивостей прямокутної системи координат на площині, уміння застосовувати координати для розв’язання планіметричних задач.

За умовою:

Рівняння кола: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.\)

Дано коло із центром у точці \((11+3a; -2)\) i радіусом \(7.\)

Унаслідок зміни параметра \(a\) коло переміщується вздовж прямої \(y=-2.\)

Для того, щоб коло дотикалося до осі \(Oy\), центр кола повинен бути в точці \((7; -2)\) або \((-7; -2).\)

Щоб коло перетинало двічі вісь ординат, абсциса \(a\) центра кола повинна бути цілим числом – розв'язком нерівності:

Найменше ціле значення \(a=-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Координати і вектори в просторі. Геометричні переміщення.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати координати середини відрізка, знання основних видів геометричних переміщень, зокрема симетрії відносно точки.

Точка \(C\) симетрична точці \(A\) відносно точки \(B\), якщо точки лежать на одній прямій і \(AB=BC.\)

Скористаймося формулою визначення координат середини відрізка:

де кінці відрізка мають координати: \((x_1; y_1; z_1)\), \((x_2; y_2; z_2).\)

\(A(5; -4; 0)\), \(B(7; 2; -2)\), \(C(x_2; y_2; z_2).\)

Отже, правильна відповідь – \(C(9; 8; -4).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні перетворення.

Завдання перевіряє знання геометричних перетворень на площині: симетрії відносно прямої та точки.

1 – Б. симетрія відносно осі \(x.\)

2 – Г. симетрія відносно осі \(y.\)

3 – Д. симетрія відносно точки \(O.\)

Відповідь: 1Б, 2Г, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)

Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.

Відповідь: \(75.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.

Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$

Запишемо в стандартному вигляді:

Точка \(O(2; -6)\) – центр кола, \(R=7.\)

Нехай точка \(A(x_\text{A}; y_\text{A})\), \(\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)\), \(\overrightarrow{OA}(-1; 2).\)

Отже,

Точка \(O\) середина відрізка \(AC.\)

За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки \(C:\)

Відповідь: \(-24.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)

Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)

Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)

\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

Запишемо рівняння кола у вигляді:

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус.
\((x^2-8x+16)+y^2-16+7=0\),
\((x-4)^2+y^2=9\), \(O(4; 0)\) – центр кола.

За формулою знаходження координат середини відрізка знаходимо координати точки \(D:\)

Знайдемо координати векторів \(\overline{AB}\) та \(\overline{AD}:\)

\(\overline{AB}(0-(-4); 3-(-3))\), \(\overline{AB}(4; 6)\), \(\overline{AD}(12; 0).\)

Знайдемо довжини векторів:

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, прямокутну систему координат; уміння застосовувати координати до розв'язування планіметричних задач.

Рівняння кола зведемо до стандартного вигляду: \begin{gather*} (x+3)^2+y^2-4y=21,\\[7pt] (x+3)^2+y^2-4y+4=25,\\[7pt] (x+3)^2+(y-2)^2=25. \end{gather*}

Коло з центром у точці \(A(-3; 2)\) та радіусом \(5.\ 3AC=BC.\)

\(AC\ ||\ Oy\), тому \(x_c=-3\).
\(AC=5\), \(y_c=7.\) Отже, \(C(-3; 7).\)

\(\Delta ACB,\) \(\angle C=90^\circ\), \(BC\ ||\ Ox\), \(BC=3AC=15.\)
Отже, \(x_\text{в}=12\), \(y_\text{в}=7.\)
\(B(12; 7)\), \(12+7=19.\)

Відповідь: \(19.\)

ТЕМА: Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток, координати вектора.

Коло із центром в точці \(O\) задано рівнянням \(x^2+y^2=80.\)

\(M(x_0; y_0)\) лежить на колі, тому \(x_0^2+y_0^2=80.\)

\(O(0; 0)\), \(M(x_0; y_0)\) отже, \(\overline{OM}(x_0; y_0).\)

За умовою \(\overline{a}\ \perp\ \overline{OM}\), тому \(\overline{a}\cdot \overline{OM}=0\), \(\overline{a}(-2; 1)\), \(-2x_0+1\cdot y_0=0.\)

Складемо систему рівнянь:

За умовою \(x_0\lt 0\), а отже, \(x_0=-4.\)

Відповідь: \(-4.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

Центр кола \((2; 0)\) та радіус \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}.\)

За наслідком з теореми синусів

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття колінеарних векторів, координат вектора, уміння застосовувати вектори до розв'язування планіметричних задач.

За умовою задачі, \(\overrightarrow{AB}\ ||\ \overrightarrow{a}.\)

Нехай абсциса точки \(B\) буде \(x\), тоді точка \(B(x; 3).\) Ордината дорівнює \(3\) тому, що точка \(B\) лежить на прямій \(y=3.\)

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, тому

Відповідь: \(-5\mathord{,}2.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, формули площі трапеції.

Позначимо задані точки на координатній площині.

Задано трапеція \(ABCD.\) Точки \(B\) та \(C\) мають однакову ординату, тому пряма \(BC\) паралельна осі \(Ox.\)

\(BC\ ||\ AD\), тому точка \(D\) має з точкою \(A\) однакову ординату \(y=3.\) Площа трапеції \(42\), тому $$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h, $$ де \(h\) – висота трапеції, складемо рівняння.

звідси \(AD=22.\)

Так як точка \(A\) має абсцису \(-1\), то точка \(D\) буде мати абсцису \(21.\)

Відповідь: \(21.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) Вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів, знання правил додавання векторів, множення вектора на число.

Умова перпендикулярності векторів – їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Відповідь: \(-0\mathord{,}6.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, знаходити скалярний добуток векторів, застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

\(\overrightarrow{AB}\ \perp \overrightarrow{a}\), \(\ \overrightarrow{a}(4;3).\) Точка \(A(-2; 0)\), а точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x\), тому \(B(x; 2x).\)

Координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x+2; 2x).\) Координати \(\overrightarrow{a}\) та \(\overrightarrow{AB}\) взаємно перпендикулярні, тому скалярний добуток їх дорівнює нулю.

Відповідь: \(-0\mathord{,}8.\)