Розділ: Стереометрія
Тема: Координати та вектори у просторі
Кількість завдань: 28
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.
Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.
\begin{gather*} \overline{a}(2;\ 1;\ -5),\ \overline{b}(-7;\ 0;\ 3),\ \overline{c}=\overline{b}-\overline{a}\\[7pt] \overline{c}\left(-7-2;\ 0-1;\ 3-(-5)\right),\ \overline{c}(-9;\ -1;\ 8). \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.
Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.
Застосуємо правильно додавання векторів:
\begin{gather*} \overrightarrow{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overrightarrow{b}(b_1;\ b_2;\ b_3)\\[7pt] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}(a_1+b_1;\ a_2+b_2;\ a_3+b_3)=\\[7pt] =\overrightarrow{c}\left(2+(-7);\ -2+(-3);\ 3+4\right)=\overrightarrow{c}(-5;\ -5;\ 7). \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.
Перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.
1. Точка на осі \(y\) має нульові координати \(x\) та \(z.\) Довжина відрізка \(BC\) – \(8\) одиниць, звідси серединою відрізка є точка з координатами \((0;\ 4;\ 0).\) Отже, 1 – Г.
2. Точки, що належить відрізку \(DD_1\) мають координати \(x=4;\ y=8\) (як у точки \(D_1).\) Точка, що належить відрізку \(DD_1\) і віддалена від точки \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4;\ 8;\ 4).\) Отже, 2 – Д.
3. Точка \(C_1\) лежить в площині \(yz,\) тому має \(x=0.\) Координати \(y\) та \(z\) співпадають з координатами точки \(D_1.\) Отже, координати точки \(C_1(0;\ 8;\ 12).\) Отже, 3 – A.
Відповідь: 1Г, 2Д, 3А.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.
1. \begin{gather*} \overline{a}(2;\ -9;\ 3)\\[7pt] \overline{b}=-2\overline{a}(-4;\ 18;\ -6) \end{gather*} Сума координат \(-4+18+(-6)=8\).
2.
$$ \overline{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overline{b}(b_1;\ b_2;\ b_3) $$ За формулою \(\overline{a}\cdot \overline{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) знаходимо скалярний добуток векторів:
Відповідь: 1. 8. 2. –188.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.
1. \begin{gather*} A(x;\ y;\ z)\ \ \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ 0-z)\\[7pt] \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ -z)\\[7pt] \overline{AB}(-3;\ 8;\ 1)\\[7pt] 7-x=-3,\ x=10,\\[7pt] -2-y=8,\ y=-10,\\[7pt] -z=1,\ z=-1. \end{gather*} ордината \(\text{т.}\ A\ =\ -10\).
2.
За формулою скалярного добутку:
Відповідь: 1. –10. 2. –111.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та модуль вектора.
1. Нехай \(\text{т.}\ B(x;\ y;\ z).\ \overline{AB}(x-3;\ y+7;\ z-11)\). Отже, \begin{gather*} x-3=9,\ x=12,\\[7pt] y+7=12,\ y=5,\\[7pt] z-11=-8,\ z=3. \end{gather*} ордината \(\text{т.}\ B\ y_B=5\).
2.
Відповідь: 1. 5. 2. 51.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Вектори і координати у просторі.
Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, його довжину, координати середини відрізка.
1. Точка \(C\) є серединою відрізка \(AB.\) \begin{gather*} x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+17}{2}=5,\\[6pt] y_C=\frac{4+(-4)}{2}=0,\\[6pt] z_C=\frac{-3+3}{2}=0.\\[6pt] C(5; 0; 0). \end{gather*}
2. \(\overline{AC}(5-(-7); 0-4; 0-(-3))\),\(\ \ \overline{AC}(12; -4; 3).\)
$$ |\overline{AC}|=\sqrt{12^2+(-4)^2+3^2}=\sqrt{144+16+9}=\sqrt{169}=13. $$
Відповідь: 1. \(5.\)
2. \(13.\)
