Геометрія – Координати та вектори у просторі

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками у просторі та властивостей сфери.

Сфера – це множина точок, віддалених від центра на однакову відстань – радіус \((R).\)

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

\(R=OA.\)

За формулою відстані між двома точками \(M_1\ (x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2\ (x_2; y_2; z_2)\) простору:

Підставмо координати точок \(O\ (-2; -4; 3)\) та \(A\ (3; -1; 2){:}\)

Отже, радіус сфери \(R=\sqrt{35}.\)

Щоб обчислити діаметр (\(D\)), треба помножити радіус на \(2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) та \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати по осях \(x\) та \(z\) дорівнюють нулю:

Координати векторa \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають бути нулями.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 4; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: B.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань \(d\) від точки з координатами \((x; y; z)\) до початку координат \((0; 0; 0)\) обчислюють за формулою:

A \((0; 4; 0){:}\)

Б \((0; 3; -4){:}\)

B \((-5; 0; 0){:}\)

Г \((1; 3; 0){:}\)

Д \((3; 0; -3){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) є додатною: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка \(N\) належить осі \(Oz\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку \(O(0; 0; 0).\) Тобто координати точки \(N\ x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною: \(N(0; 0; z_N).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Довжину діагоналі \(OK\) можна визначити за формулою відстані між двома точками:

де \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) – координати кінців відрізку.

Відповідь: A.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань між точками з координатами \((x_1; y_1; z_1)\) i \((x_2; y_2; z_2)\) можна визначити за формулою

Відстань між точками \((0; 0; 0)\) i \((0; -6; 8)\mathord{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(K(x_1; y_1; z_1)\), \(L(x_2; y_2; z_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за \(13\) см, але менше за \(26\) см.

З наведених значень – це \(17\) см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення координат середини відрізка.

Точка \(C\) симетрична точці \(A\) відносно точки \(B.\) Точка \(B\) – середина відрізка \(AC.\)

\(A(5; -4; 0)\), \(B(7; 2; -2).\) Нехай точка \(C(x_C; y_C; z_C).\)

За формулою координати середини відрізка:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

\(\overrightarrow{AB}(-3; 8; 1),\ B(7; -2; 0), O(0; 0; 0).\)

Нехай \(A(x; y; z).\ \overline{AB}(7-x; -2-y; 0-z).\)

Отже,

Відповідь: -111.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Застосуємо правильно додавання векторів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

1. Точка на осі \(y\) має нульові координати \(x\) та \(z.\) Довжина відрізка \(BC\) – \(8\) одиниць, звідси серединою відрізка є точка з координатами \((0;\ 4;\ 0).\) Отже, 1 – Г.

2. Точки, що належить відрізку \(DD_1\) мають координати \(x=4;\ y=8\) (як у точки \(D_1).\) Точка, що належить відрізку \(DD_1\) і віддалена від точки \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4;\ 8;\ 4).\) Отже, 2 – Д.

3. Точка \(C_1\) лежить в площині \(yz,\) тому має \(x=0.\) Координати \(y\) та \(z\) співпадають з координатами точки \(D_1.\) Отже, координати точки \(C_1(0;\ 8;\ 12).\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} \overline{a}(2;\ -9;\ 3)\\[7pt] \overline{b}=-2\overline{a}(-4;\ 18;\ -6) \end{gather*} Сума координат \(-4+18+(-6)=8\).

2.

$$ \overline{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overline{b}(b_1;\ b_2;\ b_3) $$ За формулою \(\overline{a}\cdot \overline{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) знаходимо скалярний добуток векторів:

Відповідь: 1. 8. 2. –188.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} A(x;\ y;\ z)\ \ \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ 0-z)\\[7pt] \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ -z)\\[7pt] \overline{AB}(-3;\ 8;\ 1)\\[7pt] 7-x=-3,\ x=10,\\[7pt] -2-y=8,\ y=-10,\\[7pt] -z=1,\ z=-1. \end{gather*} ордината \(\text{т.}\ A\ =\ -10\).

2.

За формулою скалярного добутку:

Відповідь: 1. –10. 2. –111.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та модуль вектора.

1. Нехай \(\text{т.}\ B(x;\ y;\ z).\ \overline{AB}(x-3;\ y+7;\ z-11)\). Отже, \begin{gather*} x-3=9,\ x=12,\\[7pt] y+7=12,\ y=5,\\[7pt] z-11=-8,\ z=3. \end{gather*} ордината \(\text{т.}\ B\ y_B=5\).

2.

Відповідь: 1. 5. 2. 51.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Вектори і координати у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора, його довжину, координати середини відрізка.

1. Точка \(C\) є серединою відрізка \(AB.\) \begin{gather*} x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-7+17}{2}=5,\\[6pt] y_C=\frac{4+(-4)}{2}=0,\\[6pt] z_C=\frac{-3+3}{2}=0.\\[6pt] C(5; 0; 0). \end{gather*}

Відповідь: 1. \(5.\)
                   2. \(13.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення відстані між двома точками та формули середини відрізка.

Точка \(M\) – середина відрізка \(AB.\) Знаходимо координати точки \(M\) за формулою середини відрізка:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань між двома точками в просторі, знання рівняння сфери.

Рівняння сфери $$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. $$ Центр сфери \((0; 0; 0).\)

Точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, тому радіус сфери \(R=5.\) Рівняння даної сфери $$ x^2+y^2+z^2=25. $$

Координати точки \(N(0; 0; 5)\) задовольняють даному рівнянню.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка, яка лежить у площині \(yz\), має нульову координату \(x.\) Отже, з наведених точок тільки одна \((0; 1; 1)\) лежить у площині \(yz.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(M\) належить осі \(z\) прямокутної системи координат в просторі і розташована вище за початок координат – точку \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною.

Серед наведених цій умові задовільняє лише відповідь В.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє розуміння декартової системи координат у просторі, а також вміння визначати координати точки, вектора за заданими його початковою та кінцевою точками, середини відрізка.

У прямокутному паралелепіпеді \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) вершина \(B\) розміщена у початку координат, тому \(B(0; 0; 0)\). Оскільки паралелепіпед розміщений так, що його ребра \(BA\), \(BC\) та \(BB_{1}\) належать осям \(x\), \(y\) та \(z\) відповідно, то грані паралелепіпеда, отже, і площини, що містять ці грані, перпендикулярні до відповідних осей координат. За координатами вершини \(D_{1}(4; 8; 12)\) можна визначити координати всіх інших вершин паралелепіпеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).

Оскільки точка \(A\) є перетином площини, яка проходить через точку \(D_{1}(4; 8; 12)\) перпендикулярно до осі \(x\), то координата \(x\) точки \(A\) збігається з координатою \(x\) точки \(D_{1}\), тобто дорівнює \(4.\) А оскільки точка \(A\) лежить на осі \(x\), то її координати \(y\) і \(z\) дорівнюють \(0.\) Тому \(A(4; 0; 0)\). Аналогічно встановлюємо, що \(C (0; 8; 0)\).

1. Нагадаємо, що координати точки \(M (x_{M}; y_{M}; z_{M})\), яка є серединою відрізка \(BC\), кінцеві точки якого \(B(x_{B}; y_{B}; z_{B})\) та \(C(x_{C}; y_{C}; z_{C})\), визначають за формулами \begin{gather*} x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2},\\[6pt] y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2},\\[6pt] z_{M}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}. \end{gather*} Координати середини відрізка \(BC\mathord{:}\)

Отже, 1 – Г.

2. Щоб знайти координати вектора \(\overrightarrow{BA}\) потрібно від координат його кінцевої точки \(A\) відняти відповідні координати його початкової точки \(B\): \(\overrightarrow{BA}(x_{A}-x_{B}; y_{A}-y_{B}; z_{A}-z_{B}).\) Отримуємо: \(\overrightarrow{BA}(4-0; 0-0; 0-0)=(4; 0; 0).\) Отже, 2 – Б.

Зазначимо, що якщо початок вектора збігається з початком координат, то його координати збігаються з координатами кінцевої точки.

3. Оскільки ребро \(DD_{1}\) паралельне осі \(z\), то координати будь-якої точки, яка належить цьому ребру, мають вигляд \(D_{1}(4; 8; z)\), де \(z\in[0; 12].\) Точка, яка лежить на ребрі \(DD_{1}\) і віддалена від вершини \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4; 8; 4)\). Отже, 3 – Д.

4. Точку \(C_{1}\) можна розглядати як проєкцію точки \(D_{1}\) на координатну площину \(yz\), рівняння якої \(x=0\). Отже, \(C_{1}(0; 8; 12)\). Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, формули координат середини відрізка, вміння встановлювати належність точки координатній осі чи площині.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо твердження, які є правильними для наведених точок.

1. Точка \((4; 0; 0)\), у якої координати \(y\) та \(z\) дорівнюють \(0\), лежить на осі \(x.\) Отже, початку речення 1 відповідає закінчення речення Д. Зазначимо, що якщо точка у просторі лежить на одній з осей координат, то обов’язково дві її координати дорівнюють нулю. Наприклад, точка \((0; -2; 0)\) лежить на осі \(y\), а точка \((0; 0; 3)\) – на осі \(z.\) Якщо й третя координата дорівнює нулю, то точка \((0; 0; 0)\) є початком координат і належить одночасно координатним осям \(x\), \(y\) і \(z.\) Зауважимо також, що якщо точка лежить, наприклад, на осі \(x\), то вона також лежить у координатних площинах \(xy\) та \(xz\), оскільки вісь \(x\) є перетином цих площин.

2. Якщо лише одна з трьох координат точки, заданої у просторі, дорівнює нулю, то така точка лежить у певній координатній площині i водночас не належить жодній з осей координат, що лежать у цій площині. Зокрема, якщо координати \(y\) та \(z\) відмінні від нуля, то точка \((0; y; z)\) лежить у площині \(yz.\) Отже, точка \((0; -3; 5)\) лежить у площині \(yz.\) Таким чином, початку речення 2 відповідає закінчення речення Б.

3. Щоб знайти координати точки, що є серединною відрізка, потрібно обчислити півсуму відповідних координат точок, які є кінцями цього відрізка. Так, серединою відрізка \(OC\), де \(O(0; 0; 0)\), \(C(-2; 6; 0)\), є точка \(M(x_{m}, y_{m}, z_{m})\), у якої \begin{gather*} x_{m} = \frac{0 + (-2)}{2}=-1,\\[6pt] y_{m} = \frac{0 + 6}{2}=3,\\[6pt] z_{m} = \frac{0 + 0}{2}=0. \end{gather*} Отже, точка \((-1; 3; 0)\) є серединою відрізка \(OC\), тож початку речення 3 відповідає закінчення речення В.

4. Залишилося підібрати варіант відповіді для початку речення 4. Помічаємо, що координати точки \((2; -6; 0)\) протилежні відповідним координатам точки \(C(-2; 6; 0).\) Це означає, що ці точки симетричні відносно початку координат, тобто точки \(O(0; 0; 0).\) Отже, початку речення 4 відповідає закінчення речення Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь та на площину, формули координат вектора та середини відрізка.

Розглянемо початки речень (1–4) та знайдемо координати точок, для яких отримані твердження є правильними.

1. Знаходимо координати \((x_{0}; y_{0}; z_{0})\) середини відрізка \(AB\):

Отже, 1 – А.

2. Знаходимо координати вектора \(\overrightarrow{AB}(x_{0}; y_{0}; z_{0})\):

Отже, 2 – Г.

3. Проєкцію точки \(B(-4; 2; 6)\) на площину \(xz\) є точка, ордината якої дорівнює \(0\), а абсциса й апліката збігаються з абсцисою та аплікатою точки \(B.\) Отже, 3 – В. Зазначимо, що лише точка у варіанті В належить площині \(xz.\)

4. Проєкцією точки \(B(-4; 2; 6)\) на вісь \(y\) є точка, у якої абсциса та апліката дорівнюють \(0\), а ордината збігається з ординатою точки \(B.\) Отже, 4 – Б. Завуважимо, що лише точка у варіанті Б належить осі \(y.\)

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання формул координат вектора у просторі.

Щоб знайти координати вектора \(\overrightarrow{KM}\), треба від координат точки \(M\) (кінця цього вектора) відняти відповідні координати точки \(K\) (початку вектора \(\overrightarrow{KM}\)).

Знаходимо координати вектора \(\overrightarrow{KM}(x_0; y_0; z_0){:}\)

Отже, координати вектора \(\overrightarrow{KM} (0; -1; 1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Система координат у просторі. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора, зображеного на рисунку.

Нехай точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) та \(B(x_2; y_2; z_2)\) є відповідно початком та кінцем вектора \(\overrightarrow{AB}.\) Тоді вектор \(\overrightarrow{AB}\) має координати \((x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\) З рисунка видно, що вектор \(\overrightarrow{OA}\) лежить на осі аплікат, його початком є точка \(O(0; 0; 0)\), а кінцем – точка \(A(0; 0; 3).\) Отже, вектор \(\overrightarrow{OA}\) має координати \((0-0; 0-0; 3-0)=(0; 0; 3).\)

Зауважимо, що коли точка \(O\) є початком координат, то координати вектора \(\overrightarrow{OA}\) збігаються з координатами точки \(A.\) Отже, правильна відповідь В.

Також важливо пам’ятати, що якщо вектор паралельний одній з осей координат, то у нього відмінна від нуля лише одна координата, наприклад, якщо у просторі вектор \(\overrightarrow{a}\) паралельний осі ординат, то він має координати \((0; y; 0)\), де \(y\ne 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

1. \(K(0; 0; 12)\) збігається з \(B_1.\) Отже, 1 – Д.

2. \(M(1; 8; 0)\) належить ребру \(CD.\) Отже, 2 – Б.

3. \(P(4; 4; 4)\) належить грані \(AA_1D_1D.\) Отже, 3 – А.

4. \(Q(0; 4; 6)\) належить діагоналі \(BC_1,\ CC_1.\)

\(OQ = \dfrac{1}{2}CC_1 = 6.\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.