Лінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи рівнянь – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Лінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи рівнянь
Кількість завдань: 112

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{x}{2x+y}=\dfrac 15,\\ 4x+2=y. \end{cases}$

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$-8$

Б$12$

В$6$

Г$8$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь підставленням, застосовувати основну властивість пропорції.

ОДЗ:

\begin{gather*} 2x+y\ne 0;\\[7pt] 2x\ne y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd \Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] 5\cdot x=1\cdot (2x+y);\\[7pt] 5x=2x+y;\\[7pt] 5x-2x=y;\\[7pt] 3x=y.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3x=y,\\ 4x+2=y. \end{array}\right. \end{gather*}

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють $y.$ Прирівняймо їхні ліві частини:

\begin{gather*} 3x=4x+2;\\[7pt] 3x-4x=2;\\[7pt] -x=2;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Підставмо значення $x=-2.$ у перше рівняння:

\begin{gather*} y=3\cdot (-2)=-6. \end{gather*}

Отже, $(-2; -6)$ – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо суму:

\begin{gather*} x_0+y_0=-2+(-6)=-8. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38378

Завдання 2 з 112

Розв’яжіть рівняння $\dfrac{2x-7}{3}=\dfrac{5x+4}{2}.$

А$-\dfrac{11}{26}$

Б$-2\dfrac{4}{11}$

В$-1$

Г$\dfrac{2}{11}$

Д$2\dfrac{4}{11}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 2(2x-7)=3(5x+4);\\[7pt] 4x-14=15x+12;\\[7pt] 4x-15x=12+14;\\[7pt] -11x=26;\\[6pt] x=-\frac{26}{11}=-2\frac{4}{11}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 804. Завдання: 38369

Завдання 3 з 112

Визначте найбільше ціле від'ємне значення параметра $a$, за якого рівняння $\left((a-2)x^2+6x\right)^2-4\left((a-2)x^2+6x\right)+4-a^2=0$ має рівно два корені.

Впишіть відповідь:

-2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

\begin{gather*} ((a-2)x^2+6x)^2-4((a-2)x^2+6x)+4-a^2=0. \end{gather*}

Якщо $t=(a-2)x^2+6x,$ рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} t^2-4t+4-a^2=0;\\[7pt] (t^2-4t+4)-a^2=0;\\[7pt] (t^2-2\cdot 2t+2^2)-a^2=0;\\[7pt] (t-2)^2-a^2=0;\\[7pt] (t-2-a)(t-2+a)=0;\\[7pt] t-2-a=0\ \text{та}\ t-2+a=0;\\[7pt] t_1=2+a\ \text{та}\ t_2=2-a. \end{gather*}

Оскільки треба знайти від'ємне значення $a$, то для $a\lt 0$ значення $t_1$ і $t_2$ точно будуть різними $(2+a\ne 2-a$, бо $a\ne 0$).

Повернувшись до заміни, маємо сукупність двох квадратних рівнянь (адже шукаємо від'ємне $a$, коефіцієнт $a-2\ne 0$):

1-е рівняння: $(a-2)x^2+6x-(2+a)=0.$

2-е рівняння: $(a-2)x^2+6x-(2-a)=0.$

Обчислімо дискримінанти рівнянь:

Для першого рівняння:

\begin{gather*} D_1=6^2-4\cdot (a-2)\cdot (-(2+a))=36+4(a^2-4)=4a^2+20. \end{gather*}

Оскільки $4a^2+20\gt 0$ за будь-якого $a$, то перше рівняння завжди має рівно $2$ корені.

Для другого рівняння:

\begin{gather*} D_2=6^2-4\cdot (a-2)\cdot (a-2)=36-4(a-2)^2. \end{gather*}

Щоб уся сукупність мала рівно два корені, друге рівняння не повинно мати розв'язків (випадок збігу коренів $a=0$ не задовольняє умову $a\lt 0$). Отже, дискримінант другого рівняння має бути від'ємним.

Розв'яжімо нерівність $D_2\lt 0{:}$

\begin{gather*} 36-4(a-2)^2\lt 0;\\[7pt] (a-2)^2\gt 9. \end{gather*}

Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} a-2\gt 3,\\ a-2\lt -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} a\gt 5,\\ a\lt -1. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in (-\infty; -1)\cup (5; +\infty). \end{gather*}

Найбільшим цілим від'ємним значенням параметра із цього проміжку є число $-2.$

Відповідь: $-2.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38271

Завдання 4 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{x}{3y}=-2,\\ x+y=15. \end{cases}$

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $y_0=$

А$3$

Б$-3$

В$18$

Г$16$

Д$-18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь.

Спростімо перше рівняння $\dfrac{x}{3y}=\dfrac{-2}{1}$ за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=-2\cdot 3y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо цей вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} -6y+y=15;\\[7pt] -5y=15;\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Отже, $y_0=-3.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 749. Завдання: 38263

Завдання 5 з 112

За якого значення $m$ один із коренів рівняння $x^2-8x+m=0$ на $2$ більший за інший?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє навички розв’язання квадратних рівнянь, аналізування та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-8x+m=0;\\[7pt] x_2=x_1+2. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=8;\\[7pt] x_1\cdot x_2=m. \end{gather*}

Підставмо $x_2=x_1+2$ у рівняння суми:

\begin{gather*} x_1+x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1+2=8. \end{gather*}

Розв’яжімо це рівняння:

\begin{gather*} 2x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1=8-2;\\[7pt] 2x_1=6;\\[7pt] x_1=3. \end{gather*}

Тепер обчислімо другий корінь $x_2{:}$

\begin{gather*} x_2=x_1+2=3+2=5. \end{gather*}

Використаймо рівняння добутку коренів для обчислення $m{:}$

\begin{gather*} m=x_1\cdot x_2=3\cdot 5=15. \end{gather*}

Відповідь: $15.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38159

Завдання 6 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{cases}$ Для розв'язку $(x_0; y_0)$ обчисліть добуток $x_0\cdot y_0.$

А$-3$

Б$-6$

В$4$

Г$6$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right.\\[7pt] 10x-4y+6x+4y=26+6;\\[7pt] 16x=32;\\[7pt] x=\frac{32}{16}=2. \end{gather*}

Підставмо значення $x_0=2$ у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6;\\[7pt] 12+4y=6;\\[7pt] 4y=6-12;\\[7pt] 4y=-6;\\[6pt] y=-\frac 64=-1{,}5. \end{gather*}

Тобто $(2; -1{,}5)$ – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1{,}5)=-3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38152

Завдання 7 з 112

Розв'яжіть рівняння $x^2-12=4x-12.$

А$2-2\sqrt{7}; 2+2\sqrt{7}$

Б$-2; 6$

В$-6; 2$

Г$-4; 0$

Д$0; 4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2-12=4x-12;\\[7pt] x^2-12-4x+12=0;\\[7pt] x^2-4x=0;\\[7pt] x(x-4)=0;\\[7pt] x_1=0\ \text{або}\ x-4=0;\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 747. Завдання: 38143

Завдання 8 з 112

Визначте кількість цілих значень параметра $a$, за яких корені рівняння $2x^2-(4a-3)x-6a=0$ належать проміжку $[-5; 8].$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де $a$, $b$, $c$ – коефіцієнти квадратного рівняння.

$D=b^2-4ac$ – дискримінант.

Якщо $D\gt 0$, то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні $2x^2-(4a-3)x-6a=0$ маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a-3);\\[7pt] c_\text{коеф.}=-6a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a-3))^2-4\cdot 2\cdot (-6a);\\[7pt] D=16a^2-24a+9+48a;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} x_1=\frac{(4a-3)-(4a+3)}{4}=\frac{4a-3-4a-3}{4}=\frac{-6}{4}=-1{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{(4a-3)+(4a+3)}{4}=\frac{8a}{4}=2a. \end{gather*}

$x_1=-1{,}5$ належить проміжку $[-5; 8].$

$x_2=2a$ корінь, що залежить від параметра. За умовою він також має належати проміжку $[-5; 8].$

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -5\le 2a\le 8;\\[6pt] \frac{-5}{2}\le a\le \frac 82;\\[6pt] -2{,}5\le a\le 4. \end{gather*}

Тобто, $a\in [-2{,}5; 4].$

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-2; -1; 0; 1; 2; 3, 4\}. \end{gather*}

Порахуємо їхню кількість: усього $7$ цілих чисел.

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38065

Завдання 9 з 112

Якому проміжку належить корінь рівняння $\dfrac{x}{18-2x}=\dfrac 14$?

А$(-\infty; -3)$

Б$[-3; 0)$

В$[0; 4)$

Г$[4; 8)$

Д$[8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=3$ належить проміжку $[0; 4).$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 746. Завдання: 38056

Завдання 10 з 112

Визначте найбільше ціле значення $a$, за якого корінь рівняння $3x-4a=\dfrac{2ax+3}{5}$ є додатним числом.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3x-4a=\frac{2ax+3}{5}. \end{gather*}

Позбудьмося знаменника, помноживши обидві частини на $5{:}$

\begin{gather*} 5(3x-4a)=2ax+3;\\[7pt] 15x-20a=2ax+3;\\[7pt] 15x-2ax=3+20a;\\[7pt] x(15-2a)=3+20a;\\[6pt] x=\frac{3+20a}{15-2a}. \end{gather*}

Корінь рівняння додатний, якщо

\begin{gather*} \frac{3+20a}{15-2a}\gt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність методом інтервалів:

\begin{gather*} 3+20a=0;\\[7pt] 20a=-3;\\[6pt] a=-\frac{3}{20}=-0{,}15;\\[6pt] 15-2a\ne 0;\\[7pt] -2a\ne -15;\\[7pt] a\ne 7{,}5. \end{gather*}

Отже, $a\in (-0{,}15; 7{,}5).$

Цілі значення $a$ в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}. \end{gather*}

Найбільше ціле значення: $7.$

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37848

Завдання 11 з 112

Позначте корінь рівняння $-8x=-4.$

А$4$

Б$0{,}5$

В$-2$

Г$2$

Д$-0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

$-8x=-4$;

\begin{gather*} x=-4:(-8);\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37829

Завдання 12 з 112

За якого найменшого цілого значення $a$ рівняння $x^2+(9-a)x+20-3a-2a^2=0$ має лише від'ємні корені?

Впишіть відповідь:

-3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

\begin{gather*} x^2+(9-a)x+20-3a-2a^2=0;\\[7pt] x_1\lt 0\ \text{i}\ x_2\lt 0. \end{gather*}

Щоб корені існували, дискримінант $(D)$ має бути невід’ємним:

\begin{gather*} D=(9-a)^2-4\cdot (20-3a-2a^2)=81-18a+a^2-80+12a+8a^2=\\[7pt] =9a^2-6a+1\ (\text{це формула квадрата двочлена});\\[7pt] D=(3a-1)^2. \end{gather*}

Оскільки $(3a-1)^2\ge 0$ для будь-якого значення $a$, то корені існують за будь-якого $a.$

Щоб обидва корені були від’ємними, мають одночасно виконуватися дві умови: $x_1+x_2\lt 0$ i $x_1\cdot x_2\gt 0.$

Проаналізуймо суму коренів цього рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\lt 0,\\ x_1+x_2=-(9-a); \end{array}\right.\\[7pt] -9+a\lt 0;\\[7pt] a\lt 9. \end{gather*}

Проаналізуймо добуток коренів цього рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на $-1$, змінивши знак нерівності:

\begin{gather*} 2a^2+3a-20\lt 0;\\[7pt] 2a^2+3a-20=0;\\[7pt] D=3^2-4\cdot 2\cdot (-20)=9+160=169;\\[7pt] D=\sqrt{169}=13;\\[6pt] a_1=\frac{-3-13}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4;\\[6pt] a_2=\frac{-3+13}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=2{,}5. \end{gather*}

Отже, $a\in (-4; 2{,}5).$

Знайдімо перетин отриманих умов:
1. $a\lt 9.$
2. $a\in (-4; 2{,}5).$

Спільним розв’язком є проміжок $a\in (-4; 2{,}5).$

Цілі значення $a$ в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Найменше ціле значення: $-3.$

Відповідь: $-3.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37761

Завдання 13 з 112

Розв'яжіть рівняння $0{,}02x=-2.$

А$100$

Б$20$

В$1$

Г$-20$

Д$-100$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 0{,}02x=-2.\\[7pt] x=-2:0{,}02;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37741

Завдання 14 з 112

Обчисліть кількість цілих значень $a$, за яких рівняння $x^2-(9-a)x+20-3a-2a^2=0$ має лише додатні корені.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2-(9-a)x+20-3a-2a^2=0;\\[7pt] x_1\gt 0\ \text{i}\ x_2\gt 0. \end{gather*}

Щоб корені існували, дискримінант $(D)$ має бути невід’ємним:

\begin{gather*} D=(9-a)^2-4\cdot (20-3a-2a^2)=81-18a+a^2-80+12a+8a^2=\\[7pt] =9a^2-6a+1\ (\text{це формула квадрата двочлена});\\[7pt] D=(3a-1)^2. \end{gather*}

Оскільки $(3a-1)^2\ge 0$ для будь-якого значення $a$, то корені існують за будь-якого $a.$

Обидва корені додатні, якщо одночасно виконано дві умови: їхня сума та їхній добуток більші за нуль.

У цьому рівнянні:

1) аналізування суми коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\gt 0,\\ x_1+x_2=9-a; \end{array}\right.\\[7pt] 9-a\gt 0;\\[7pt] 9\gt a;\\[7pt] a\lt 9; \end{gather*}

2) аналізування добутку коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на $-1$ (змінивши знак нерівності):

Отже, $a\in (-4; 2{,}5).$

Визначмо перетин отриманих умов:
1) $a\lt 9;$
2) $a\in (-4; 2{,}5).$

Спільний розв’язок – проміжок $a\in (-4; 2{,}5).$

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Усього таких значень шість.

Відповідь: $6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37703

Завдання 15 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{cases}$

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$-5{,}5$

Б$-0{,}5$

В$2{,}5$

Г$-5$

Д$-4{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на $5{:}$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x=y,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $y=10x$ в друге рівняння:

\begin{gather*} 4x-10x=3;\\[7pt] -6x=3;\\[7pt] x=3:(-6);\\[7pt] x=-0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо $y{:}$

\begin{gather*} y=10\cdot (-0{,}5)=-5. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел $(-0{,}5; -5){:}$

\begin{gather*} x_0+y_0=-0{,}5+(-5)=-5{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37693

Завдання 16 з 112

Обчисліть найбільше значення $a$, за якого система \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (x-6)^2+(y+8)^2=a;\\ x^2+y^2=9. \end{array}\right. \end{gather*} має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

169

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ – це рівняння кола з центром в точці $O(x_0; y_0)$ і радіусом $R.$

1) $(x-6)^2+(y+8)^2=a$ коло з центром $O_1(6; -8)$ та радіусом $R=\sqrt{a}.$
2) $x^2+y^2=9$ коло з центром $O_2(0; 0)$ та радіусом $r=3.$

Система має єдиний розв'язок тоді, коли ці два кола дотикаються.

Знайдемо відстань між центрами кіл $O_1O_2$ за формулою відстані між точками:

\begin{gather*} O_1O_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(6-0)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Для дотику відстань між центрами має дорівнювати або сумі, або різниці радіусів:

Зовнішній дотик: $R+r=O_1O_2.$

\begin{gather*} \sqrt{a}+3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=7;\\[7pt] a=49. \end{gather*}

Внутрішній дотик: $|R-r|=O_1O_2.$

\begin{gather*} \sqrt{a}-3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=13;\\[7pt] a=169. \end{gather*}

(Також можливий варіант $3-\sqrt{a}=10$, але тоді $\sqrt{a}=-7$, що неможливо).

Оскільки за умовою потрібне найбільше значення, вибираємо $169.$

Відповідь: $169.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37585

Завдання 17 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} x(y+2)=12,\\ x(2y-1)=12. \end{cases} $

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0=$

А$2{,}4$

Б$12$

В$3$

Г$4$

Д$\dfrac{5}{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють $12.$ Прирівняймо їхні ліві частини:

\begin{gather*} x(y+2)=x(2y-1). \end{gather*}

Оскільки $x\ne 0$, бо $0\cdot (y+2)$ не може дорівнювати $12$, поділімо обидві частини на $x{:}$

\begin{gather*} y+2=2y-1;\\[7pt] 2+1=2y-y;\\[7pt] 2y-y=2+1;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Підставмо значення $y=3$ у перше рівняння:

\begin{gather*} x(3+2)=12;\\[7pt] x\cdot 5=12;\\[7pt] x=12:5;\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Отже, $x_0=2{,}4.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37572

Завдання 18 з 112

Визначте найменше ціле значення $a$, за якого система \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} (x-8)^2+(y-6)^2=16,\\ x^2+y^2=a \end{array}\right. \end{gather*} має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом і рівняння з параметром.

Розв'яжімо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ – рівняння кола із центром у точці $M(x_0; y_0)$ і радіусом $R.$

1) $(x-8)^2+(y-6)^2=16$ коло із центром $(8; 6)$ радіуса $r=4.$
2) $x^2+y^2=a$ коло із центром $(0; 0)$ радіуса $R=\sqrt{a}.$

Система має два розв'язки тоді, коли ці два кола перетинаються у двох точках.

Обчислімо відстань між центрами кіл $O_1O_2$ за формулою відстані між точками:

\begin{gather*} O_1O_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2};\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10. \end{gather*}

Кола перетинаються у двох точках, якщо відстань між центрами $(O_1O_2=10)$ у межах між різницею і сумою їхніх радіусів $(r=4$ та $R=\sqrt{a}).$

Зовнішній дотик: $R+r=O_1O_2.$

\begin{gather*} \sqrt{a}+4=10;\\[7pt] \sqrt{a}=6. \end{gather*}

Внутрішній дотик: $|R-r|=O_1O_2.$

Якщо $R\gt r{:}$

\begin{gather*} \sqrt{a}-4=10;\\[7pt] \sqrt{a}=14. \end{gather*}

Якщо $r\gt R{:}$

\begin{gather*} 4-\sqrt{a}=10 \end{gather*}

(немає розв'язків, бо $\sqrt{a}$ не може бути від'ємним).

Два розв'язки (перетин у двох точках) матимемо тоді, коли радіус $R$ перебуватиме між значеннями, що відповідають дотикам:

\begin{gather*} 6\lt \sqrt{a}\lt 14. \end{gather*}

Піднесімо до квадрата:

\begin{gather*} 36\lt a\lt 196. \end{gather*}

Оскільки $a$ має бути строго більшим за $36$ (якщо $a=36$, буде лише одна точка дотику), то найменше ціле значення $37.$

Відповідь: $37.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37527

Завдання 19 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{1}{3y}=\dfrac 2x,\\ x-y=30. \end{cases}$
Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$35$

Б$-150$

В$150$

Г$36$

Д$42$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підставлення, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=2\cdot 3y;\\[7pt] x=6y. \end{gather*}

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6y-y=30;\\[7pt] 5y=30;\\[7pt] y=6. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=6\cdot 6;\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел $(36; 6).$

\begin{gather*} x_0+y_0=36+6=42. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37513

Завдання 20 з 112

Скільки всього існує цілих значень параметра $a$, за яких графік рівняння $(x-2)^2+(y-2a+3)^2=49$ перетинає вісь $x$ у двох точках?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння та їхні системи з параметрами.

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ – це рівняння кола із центром у точці $M(x_0; y_0)$ і радіусом $R.$

Перепишімо рівняння так:

\begin{gather*} (x-2)^2+(y-(2a-3))^2=7^2. \end{gather*}

Це коло із центром у точці $M\ (2; 2a-3)$ і радіусом $R=7.$

Центр кола може рухатися вгору або вниз залежно від значення $a$ (бо змінюється координата $y_0$), але за віссю $x$ він завжди зафіксований на позначці $2.$

Графік перетинає вісь $x$ у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь $x$ – пряма, $y=0.$ Відстань від центра $O\ (2; y_0)$ до осі $x$ – модуль координати $y_0{:}$

\begin{gather*} |y_0|\lt R;\\[7pt] |2a-3|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a-3\lt 7,\\ 2a-3\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 7+3,\\ 2a\gt -7+3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 10,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 5,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто $a\in (-2; 5).$

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: $\{-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4\}$.

Усього таких значень шість.

Відповідь: $6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37476

Завдання 21 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} xy-2x=3,\\ xy=2x-y+11. \end{cases}$

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$8$

Б$8{,}5$

В$0{,}5$

Г$4$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

З першого рівняння виразімо добуток $xy{:}$

\begin{gather*} xy=2x+3. \end{gather*}

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння:

\begin{gather*} 2x+3=2x-y+11;\\[7pt] 2x-2x+y=11-3;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставмо $y=8$ в перше рівняння:

\begin{gather*} 8x=2x+3;\\[7pt] 8x-2x=3;\\[7pt] 6x=3;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

$(0{,}5; 8)$ – розв'язок системи.

Обчислімо добуток:

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=0{,}5\cdot 8=4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37466

Завдання 22 з 112

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-2)x+4m-3=0$ на $4$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2-(2m-2)x+4m-3=0;\\[7pt] x_1=x_2+4. \end{gather*}

У завданні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=4m-3. \end{gather*}

За теоремою Вієта та умовою завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-2,\\ x_1=x_2+4,\\ x_1\cdot x_2=4m-3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $x_1=x_2+4$ у перше рівняння системи:

\begin{gather*} x_2+4+x_2=2m-2;\\[7pt] 2x_2=2m-2-4;\\[7pt] 2x_2=2m-6;\\[6pt] x_2=\frac{2m-6}{2}=\frac{2(m-3)}{2};\\[6pt] x_2=m-3. \end{gather*}

Тепер визначмо $x_1{:}$

\begin{gather*} x_1=x_2+4=m-3+4=m+1. \end{gather*}

Підставмо ці значення в рівняння $x_1\cdot x_2=4m-3{:}$

\begin{gather*} (m+1)\cdot (m-3)=4m-3;\\[7pt] m^2-3m+1m-3-4m+3=0;\\[7pt] m^2-6m=0;\\[7pt] m(m-6)=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m=0,\\ m=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки за умовою потрібне додатне значення, вибираємо $6.$

Відповідь: $6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 739. Завдання: 37399

Завдання 23 з 112

За якого від’ємного значення параметра $m$ один із коренів рівняння $x^2-(2m-2)x+21=0$ на $4$ більший від іншого?

Впишіть відповідь:

-4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-(2m-2)x+21=0;\\[7pt] x_2=x_1+4;\\[7pt] m\lt 0. \end{gather*}

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=21. \end{gather*}

Підставимо $x_2=x_1+4$ у рiвняння добутку:

\begin{gather*} x_1\cdot (x_1+4)=21;\\[7pt] x_1^2+4x_1-21=0. \end{gather*}

Розв’яжімо, це рівняння

\begin{gather*} D=4^2-4\cdot 1\cdot (-21)=16+84=100;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{100}=10;\\[6pt] x_1=\frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7,\ \text{або}\\[6pt] x_1=\frac{-4+10}{2}=\frac 62=3. \end{gather*}

Для кожного варіанта $x_1$ знайдімо $x_2$ та параметр $m$, використовуючи суму коренів $x_1+x_2=2m-2.$

1. Для $x_1=-7.$

\begin{gather*} x_2=-7+4=-3;\\[7pt] -7+(-3)=2m-2;\\[7pt] 2m-2=-10;\\[7pt] 2m=-10+2;\\[7pt] 2m=-8;\\[7pt] m=-4. \end{gather*}

$-4\lt 0$ підходить.

2. Для $x_1=3.$

\begin{gather*} x_2=3+4=7;\\[7pt] 3+7=2m-2;\\[7pt] 2m-2=10;\\[7pt] 2m=10+2;\\[7pt] 2m=12;\\[7pt] m=6. \end{gather*}

$6\gt 0$ не підходить.

Відповідь: $-4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37375

Завдання 24 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x(4-y)=14,\\ x(4-y)=3x-7. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $y_0=$

А$6$

Б$2$

В$-6$

Г$7$

Д$-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки. Оскільки ліві частини обох рівнянь однакові $(x(4-y))$, ми можемо прирівняти їхні праві частини.

\begin{gather*} 14=3x-7;\\[7pt] 3x-7=14;\\[7pt] 3x=14+7;\\[7pt] 3x=21;\\[7pt] x=7. \end{gather*}

Підставимо значення $x=7$ у перше рівняння:

\begin{gather*} 7\cdot (4-y)=14;\\[7pt] 4-y=14:7;\\[7pt] 4-y=2;\\[7pt] -y=2-4;\\[7pt] -y=-2;\\[7pt] y=2. \end{gather*}

Отже, $y_0=2.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37366

Завдання 25 з 112

Розв'яжіть рівняння $3(4x-2)=0.$

А$2$

Б$-0{,}5$

В$\frac 16$

Г$\frac 14$

Д$0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння

\begin{gather*} 3(4x-2)=0. \end{gather*}

Розділимо обидві частини рівняння на $3{:}$

\begin{gather*} 4x-2=0;\\[7pt] 4x=2;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37356

Завдання 26 з 112

За якого значення $a$ сума коренів рівняння $x^2+(a-2)x+28-4a=0$ на $1$ більша від їхнього добутку?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати їхні властивості та досліджувати рівняння з параметрами.

\begin{gather*} x^2+(a-2)x+28-4a=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У цьому завданні $x_1+x_2=-(a-2)$ та $x_1\cdot x_2=28-4a.$

За умовою:

\begin{gather*} x_1+x_2=x_1\cdot x_2+1;\\[7pt] -(a-2)=28-4a+1;\\[7pt] -a+2=29-4a;\\[7pt] -a+4a=29-2;\\[7pt] 3a=27;\\[7pt] a=27:3;\\[7pt] a=9. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути $D\ge 0.$

\begin{gather*} D=(a-2)^2-4\cdot 1\cdot (28-4a). \end{gather*}

Якщо $a=9$, то

\begin{gather*} D=(9-2)^2-4\cdot 1\cdot (28-4\cdot 9)=7^2-4\cdot 1\cdot (28-36);\\[7pt] D=49-4\cdot (-8)=49+32=81. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, корені існують.

Відповідь: $9.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37119

Завдання 27 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0=$

А$-2$

Б$2$

В$4$

Г$12$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння, їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x}{2y}=-3,\\ x+y=10. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо обидві частини першого рівняння на $2y$, щоб позбутися знаменника:

\begin{gather*} x=-3\cdot 2y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо $x=-6y$ у друге рівняння:

\begin{gather*} -6y+y=10;\\[7pt] -5y=10;\\[7pt] y=-2. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=-6y=-6\cdot (-2)=12. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел $(12; -2).$

$x_0=12.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37107

Завдання 28 з 112

Обчисліть суму всіх цілих значень параметра $a$, за яких один корінь рівняння $2x^2-(4a+9)x+6a+9=0$ належить проміжку $(-8; 0)$, а другий – проміжку $(1; 5).$

Впишіть відповідь:

-14

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

$ax^2+bx+c=0$, де $a$, $b$, $c$ – коефіцієнти квадратного рівняння.

$D=b^2-4ac$ – дискримінант.

Якщо $D\gt 0$, то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні $2x^2-(4a+9)x+6a+9=0$ маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a+9);\\[7pt] c_\text{коеф.}=6a+9. \end{gather*}

Обчислімо дискримінат заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a+9))^2-4\cdot 2\cdot (6a+9);\\[7pt] D=(16a^2+72a+81)-8(6a+9);\\[7pt] D=16a^2+72a+81-48a-72;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} x_1=\frac{(4a+9)-(4a+3)}{4}=\frac{4a+9-4a-3}{4}=\frac 64=1{,}5;\\[6pt] x_2=\frac{(4a+9)+(4a+3)}{4}=\frac{8a+12}{4}=\frac{4(2a+3)}{4}=2a+3. \end{gather*}

За умовою задачі перший корінь належить проміжку $(-8; 0)$, а другий – проміжку $(1; 5).$

$x_1=1{,}5$ належить проміжку $(1; 5).$

Отже, $x_2=2a+3$ має належати проміжку $(-8; 0).$

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -8\lt 2a+3\lt 0;\\[7pt] -8-3\lt 2a\lt 0-3;\\[7pt] -11\lt 2a\lt -3;\\[6pt] \frac{-11}{2}\lt a\lt \frac{-3}{2};\\[6pt] -5{,}5\lt a\lt -1{,}5. \end{gather*}

Тобто $a\in (-5{,}5; -1{,}5).$

Цілі числа, які належать цьому проміжку: $\{-5$, $-4$, $-3$, $-2\}.$

У відповіді запишімо їхню суму:

\begin{gather*} -5+(-4)+(-3)+(-2)=-14. \end{gather*}

Відповідь: $-14.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36923

Завдання 29 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{3}{x+y}=-\frac 12,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$16$

Б$2$

В$-10$

Г$-8$

Д$-16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додаванням отриману систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=12. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6+12;\\[7pt] 3x=6;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо $x=2$ у перше рівняння:

\begin{gather*} 2+y=-6;\\[7pt] y=-8. \end{gather*}

$(2; -8)$ – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-8)=-16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36914

Завдання 30 з 112

За якого значення параметра $a$ сума квадратів коренів рівняння $x^2-8x+4a-1=0$ дорівнює $38$?

Впишіть відповідь:

3.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів $x_1+x_2=-p$, а добуток $x_1\cdot x_2=q.$

У цьому завданні $x_1+x_2=8$ та $x_1\cdot x_2=4a-1.$

Треба визначити $x_1^2+x_2^2.$ Використаймо формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2. \end{gather*}

Звідси:

\begin{gather*} x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \end{gather*}

За умовою сума квадратів дорівнює $38{:}$

\begin{gather*} 8^2-2(4a-1)=38;\\[7pt] 64-8a+2=38;\\[7pt] 66-8a=38;\\[7pt] -8a=38-66;\\[7pt] -8a=-28;\\[6pt] a=\frac{28}{8}=3{,}5. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути $D\ge 0.$

\begin{gather*} D=(-8)^2-4(4a-1)=64-16a+4=68-16a. \end{gather*}

Якщо $a=3{,}5$, то

\begin{gather*} D=68-16\cdot (-3{,}5)=68-56=12. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, корені існують.

Відповідь: $3{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36611

Завдання 31 з 112

Визначте додатне значення параметра $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2-(2m-4)x+16=0$ на $6$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} x^2-(2m-4)x+16=0;\\[7pt] x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6. \end{gather*}

Знайдемо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(2m-4)^2-4\cdot 1\cdot 16=\\[7pt] =4m^2-16m+16-64=4m^2-16m-48\gt 0;\\[7pt] 4(m^2-4m-12)\gt 0;\\[7pt] 4(m-6)(m+2)\gt 0. \end{gather*}

Додатне значення $m$, при якому рівняння має два різних кореня $m\gt 6.$

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array}\right.\\[7pt] 2x_2=2m-10;\\[7pt] x_2=m-5. \end{gather*}

Підставмо значення $x_2$ у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16;\\[7pt] (m+1)(m-5)=16;\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0;\\[7pt] m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ne m\gt 6. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, додатне значення $m=7.$

Відповідь: $7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36406

Завдання 32 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac x4=3y-1,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*} Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ системи обчисліть суму $x_0 + y_0.$

А$1{,}6$

Б$-2$

В$2{,}5$

Г$22$

Д$1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac x4=3y-1,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на $4{:}$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x=12y-4,\\ x-2y=1. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо $x=12y-4$ в друге рівняння:

\begin{gather*} 12y-4-2y=1;\\[7pt] 10y=1+4;\\[7pt] 10y=5;\\[7pt] y=5:10;\\[7pt] y=0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо $x{:}$

\begin{gather*} x=12\cdot 0{,}5-4=6-4=2. \end{gather*}

Отже, розв'язком системи є пара чисел $(2; 0{,}5){:}$

\begin{gather*} x_0+y_0=2+0{,}5=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36396

Завдання 33 з 112

Розв'яжіть рівняння $35-x^2-x(x+9)=0.$ Якому проміжку належить більший корінь цього рівняння?

А$(-\infty; -3]$

Б$(-3; 0]$

В$(0; 3]$

Г$(3; 7]$

Д$(7; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} 35-x^2-x(x+9)=0;\\[7pt] 35-x^2-x^2-9x=0;\\[7pt] -2x^2-9x+35=0;\\[7pt] D=(-9)^2-4\cdot (-2)\cdot 35=81+280=361;\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{361}=19;\\[6pt] x_1=\frac{9+19}{2\cdot (-2)}=\frac{28}{-4}=-7;\\[6pt] x_2=\frac{9-19}{2\cdot (-2)}=\frac{-10}{-4}=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Більший корінь $2{,}5$ належить проміжку $(0; 3].$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36392

Завдання 34 з 112

За якого значення $a$ корені рівняння $x^2+(a-1)^2x+6(a-1)x+a+2=0$ є протилежними числами? Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

-5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, $5$ і $-5$). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння $x^2+px+q=0$ за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

\begin{gather*} x^2+(a-1)^2x+6(a-1)x+a+2=0 \end{gather*}

зведімо подібні доданки:

\begin{gather*} x^2+\left((a-1)^2+6(a-1)\right)x+(a+2)=0. \end{gather*}

Коефіцієнт:

\begin{gather*} p=(a-1)^2+6(a-1). \end{gather*}

Отже, має виконуватися умова:

\begin{gather*} (a-1)^2+6(a-1)=0;\\[7pt] (a-1)(a-1+6)=0;\\[7pt] (a-1)(a+5)=0. \end{gather*}

Отримуємо два значення: $a=1$ та $a=-5.$

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант $D\ge 0.$

Оскільки за $x_1+x_2=0$ рівняння набуває вигляду $x^2+q=0$, то корені існують, якщо $q\le 0.$

Якщо $a=1{:}$ $q=a+2=1+2=3\gt 0.$ Рівняння $x^2+3=0$ не має дійсних коренів, тобто $a=1$ не підходить.

Якщо $a=-5{:}$ $q=a+2=-5+2=-3\lt 0.$ Рівняння $x^2-3=0$ має корені $\sqrt{3}$ та $-\sqrt{3}.$ Тож $a=-5$ підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення $a=-5$, то сума значень дорівнює самому числу $-5.$

Відповідь: $-5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36368

Завдання 35 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-2y=-4. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

А$2$

Б$-10$

В$3$

Г$5$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+2y=8,\\ x-2y=-4, \end{array}\right.\\[7pt] x+2y+x-2y=8+(-4);\\[7pt] 2x=4;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо значення $x=2$ в перше рівняння:

\begin{gather*} 2+2y=8;\\[7pt] 2y=8-2;\\[7pt] 2y=6;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Розв'язком системи є пара чисел $(2; 3){:}$

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot 3=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36355

Завдання 36 з 112

Визначте кількість цілих значень $a$, за яких корені $x_1$ i $x_2$ квадратного рівняння $x^2-4ax+4a^2-25=0$ задовольняють умову $x_1\lt 1\lt x_2.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} x^2-4ax+4a^2-25=0;\\[7pt] x_1\lt 1\lt x_2. \end{gather*}

Визначмо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(4a)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-25)=16a^2-16a^2+100=100;\\[7pt] \sqrt{D}=10;\\[6pt] x_1=\frac{4a-10}{2}=2a-5;\\[6pt] x_2=\frac{4a+10}{2}=2a+5. \end{gather*}

Підставмо вирази для коренів у подвійну нерівність:

\begin{gather*} 2a-5\lt 1\lt 2a+5. \end{gather*}

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2a-5\lt 1\\ 2a+5\gt 1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 1+5,\\ 2a\gt 1-5, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 6,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 3,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, значення $a$ має перебувати в межах $-2\lt a\lt 3.$

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: $-1$, $0$, $1$, $2.$

Усього таких значень чотири.

Відповідь: $4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36346

Завдання 37 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{2x + y}{x}=5,\\ 4x-y=-2. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$-6$

Б$-8$

В$-4$

Г$8$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ: $x\ne 0.$

Розв’яжімо методом підставлення:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{2x+y}{x}=5,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2x+y=5x,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ 4x-y=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ 4x-3x=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=3x,\\ x=-2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=3\cdot (-2),\\ x=-2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=-6,\\ x=-2. \end{array}\right. \end{gather*}

$(-2; -6)$ – розв'язок системи.

Сума $x_0+y_0=-2+(-6)=-(2+6)=-8.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36337

Завдання 38 з 112

Визначте всі значення $a$, за кожного з яких рівняння $$ \frac{x^2-4x+3}{3x-a}=\frac{42+3x-x^2}{3x-a} $$ має один корінь. Якщо таке значення $a$ одне, запишіть його у відповіді. Якщо таких значень $a$ кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

10.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння з параметром.

Область допустимих значень:

\begin{gather*} 3x-a\ne 0,\\[7pt] 3x\ne a,\\[6pt] x\ne \frac a3. \end{gather*}

Прирівняймо чисельники рівних дробів:

\begin{gather*} x^2-4x+3=42+3x-x^2,\\[7pt] x^2-4x+3-42-3x+x^2=0,\\[7pt] 2x^2-7x-39=0,\\[7pt] D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot 2\cdot (-39)=49+312=361,\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+19}{2\cdot 2}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}=6\mathord{,}5\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-19}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3. \end{gather*}

$x_1=6\mathord{,}5$ не буде коренем рівняння за умови:

\begin{gather*} x_1=\frac a3=6\mathord{,}5\\[6pt] a=19\mathord{,}5. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_2=-3.$

$x_2=-3$ не буде коренем рівняння за умови, що

\begin{gather*} x_2=\frac a3=-3,\\[7pt] a=-9. \end{gather*}

Рівняння має один корінь $x_1=6{,}5.$

Отже, рівняння має один корінь за $a=19\mathord{,}5$ або $a=-9.$

У відповіді запишімо їхню суму: $$ 19\mathord{,}5+(-9)=10\mathord{,}5. $$

Відповідь: $10\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35790

Завдання 39 з 112

За якого найбільшого значення $a$ рівняння \begin{gather*} 3^x+(4a^2+10a)\cdot 3^{-x}=4a+5 \end{gather*} не має коренів?

Впишіть відповідь:

-2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай $3^x=t.$ Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: $t\gt 0.$ Рівняння набуває вигляду:

\begin{gather*} t+\frac{4a^2+10a}{t}=4a+5. \end{gather*}

Помножмо все на $t\ (t\ne 0){:}$

\begin{gather*} t^2-(4a+5)t+(4a^2+10a)=0,\\[7pt] D=(4a+5)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2+10a)=16a^2+40a+25-16a^2-40a=25,\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, маємо два корені:

\begin{gather*} t_1=\frac{(4a+5)+5}{2}=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5,\\[6pt] t_2=\frac{(4a+5)-5}{2}=\frac{4a}{2}=2a. \end{gather*}

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб $t_1\le 0$ i $t_2\le 0{:}$

\begin{gather*} 1.\ 2a+5\le 0,\\[7pt] 2a\le -5,\\[7pt] a\le -2{,}5.\\[7pt] 2.\ 2a\le 0,\\[7pt] a\le 0. \end{gather*}

Спільна умова: $a\le -2{,}5.$

Найбільше значення $a$ з проміжку $(-\infty; -2{,}5]$ це $-2{,}5.$

Відповідь: $-2{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35446

Завдання 40 з 112

Визначте кількість цілих значень $a$, що належать проміжку $[–9; 9]$, за кожного з яких корінь рівняння $ax-5=a+2x$ є додатним.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} ax-5=a+2x,\\[7pt] ax-2x=a+5,\\[7pt] x(a-2)=a+5. \end{gather*}

Якщо $a=2$, рівняння не має коренів $(x\cdot 0=7).$

Якщо $a\ne 2$, корінь є. Його визначають так: $$ x=\frac{a+5}{a-2}. $$

Корінь рівняння буде додатним, якщо $$ \frac{a+5}{a-2}\gt 0. $$

Розв'яжімо методом інтервалів:

На проміжку $a\in [-9; 9]$ рівняння має розв'язок, якщо $a\in [-9; -5)\cup (2; 9].$

Цілі значення $a$ із цього проміжку: $-9$, $-8$, $-7$, $-6$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9.$ Тобто цілих значень $a$ $11.$

Відповідь: $11.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35386

Завдання 41 з 112

Яке з наведених рівнянь має два різні дійсні корені?

А$x^2+2x+1=0$

Б$x^2+2x+3=0$

В$x^2+2x=0$

Г$x^2+4=0$

Д$-x^2-2x-1=0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2+2x+1=0,\\[7pt] (x+1)^2=0,\\[7pt] x=-1 \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

\begin{gather*} x^2+2x+3=0,\\[7pt] x^2+2x+1+2=0,\\[7pt] x^2+2x+1=-2,\\[7pt] (x+1)^2=-2,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} x^2+2x=0,\\[7pt] x(x+2)=0,\\[7pt] x=0\ \text{або}\ x=-2 \end{gather*}

Рівняння має два різні дійсні корені.

\begin{gather*} x^2+4=0,\\[7pt] x^2=-4,\\[7pt] x\in \varnothing. \end{gather*}

Рівняння коренів не має.

\begin{gather*} -x^2-2x-1=0,\\[7pt] x^2+2x+1=0,\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Рівняння має один корінь.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35368

Завдання 42 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} x-\frac 3y=3,\\ x+\frac 1y=11. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$5$

Б$-2\mathord{,}5$

В$6\mathord{,}5$

Г$9\mathord{,}5$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні і раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x-\frac 3y=3\ |\cdot (-1),\\ x+\frac 1y=11. \end{array}\right.\\[7pt] + \left\{\begin{array}{l} -x+\frac 3y=-3,\\ \underline{x+\frac 1y=11,} \end{array}\right.\\[6pt] \frac 3y+\frac 1y=8,\\[6pt] \frac 4y=8,\\[6pt] y=\frac 12. \end{gather*}

Підставмо значення $y=0\mathord{,}5$ у перше рівняння:

\begin{gather*} x-\frac{3}{0\mathord{,}5}=3,\\[6pt] x-6=3,\\[7pt] x=9. \end{gather*}

Розв'язком системи є пара чисел $(9; 0\mathord{,}5)\mathord{:}$

$$ x_0+y_0=9+0\mathord{,}5=9\mathord{,}5. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 699. Завдання: 35335

Завдання 43 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 5^x=\sqrt{5},\\ \frac{y+1}{2x+3}=\frac{1-4x}{2}. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв’язку $(x_0; y_0)$ знайдіть суму $x_0+y_0.$

А$-2\mathord{,}5$

Б$-3\mathord{,}5$

В$-7\mathord{,}5$

Г$1\mathord{,}5$

Д$-0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні, показникові та раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та раціональні рівняння та їх системи.

Рівняння $5^x=\sqrt{5}$ містить одну змінну. Розв'яжімо його, зводячи до однакової основи:

\begin{gather*} \sqrt{5}=5^{\frac 12},\\[6pt] \text{тому}\ 5^x=5^{\frac 12},\\[6pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Підставмо значення $x$ у друге рівняння:

\begin{gather*} \frac{y+1}{2\cdot \frac 12+3}=\frac{1-4\cdot \frac 12}{2},\\[6pt] \frac{y+1}{1+3}=\frac{1-2}{2},\\[6pt] \frac{y+1}{4}=\frac{-1}{2}. \end{gather*}

За основною властивістю пропорції: $$ \frac ab=\frac cd \rightarrow a\cdot d=b\cdot c. $$ Тому запишімо:

\begin{gather*} 2(y+1)=4\cdot (-1),\\[7pt] 2y+2=-4,\\[7pt] 2y=-4-2,\\[7pt] 2y=-6,\\[7pt] y=-6:2,\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Маємо розв'язок $(x_0; y_0)$ як $\left(\frac 12; -3\right).$

Підставмо його у вираз:

$$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2\frac 12=-2\mathord{,}5. $$

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35309

Завдання 44 з 112

Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a, \\ x^2-2x+y^2+8y=47. \end{array} \right. $$ має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

-2.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} y+(x-1)^2=5a,\\ x^2-2x+y^2+8y=47, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y=5a,\\ (x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)=64, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} y=-(x-1)^2+5a,\\ (x-1)^2+(y+4)^2=64. \end{array} \right. \end{gather*}

Розв'яжемо систему графічним способом.

$(x-1)^2+(y+4)^2=64$ – рівняння кола з центром $(1; -4)$ і радіусом $8.$

$y=-(x-1)^2+5a$ – квадратична функція з вершиною в точці $(1; 5a)$ з вітками вниз.

Для того, щоб система мала єдиний розв'язок, треба, щоб графіки мали одну спільну точку.

Отже,

\begin{gather*} 5a=-12,\\[7pt] a=-12:5=-2\mathord{,}4. \end{gather*}

Відповідь: $-2\mathord{,}4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34416

Завдання 45 з 112

Визначте найбільше значення $a$, за якого рівняння $$ \frac{3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=0 $$ має корінь.

Впишіть відповідь:

7.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових, раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, раціональні і ірраціональні рівняння й нерівності та їх системи з параметрами.

1. Область допустимих значень

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0,\\ 3-x\ge 0,\\ \sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ne 0, \end{array} \right.\\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0,\\ x\le 3. \end{array} \right.\\[7pt] x\in [0; 3]. \end{gather*}

2. Розв'яжемо рівняння:

\begin{gather*} 3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}=0,\\[7pt] 3^{2a-5x+2}=3\sqrt{3},\\[7pt] 3^{2a-5x+2}=3^{1\mathord{,}5},\\[7pt] 2a-5x+2=1\mathord{,}5,\\[7pt] 5x=2a+0\mathord{,}5,\\[7pt] x=0\mathord{,}4a+0\mathord{,}1. \end{gather*}

Для того, щоб рівняння мало корінь

\begin{gather*} 0\le 0\mathord{,}4a+0\mathord{,}1\le 3,\\[7pt] -0\mathord{,}1\le 0\mathord{,}4a\le 2\mathord{,}9,\\[6pt] -\frac 14\le a\le \frac{29}{4},\\[6pt] -\frac 14\le a\le 7\frac 14. \end{gather*}

Найбільше значення $a=7\frac 14=7\mathord{,}25.$

Відповідь: $7\mathord{,}25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34394

Завдання 46 з 112

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. $$

А$-\frac 29$

Б$-1\frac{7}{19}$

В$-2\frac{4}{11}$

Г$-3\frac 23$

Д$-\frac{2}{19}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні рівняння, знання основної властивості пропорції.

$$ \frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}. $$

Застосуємо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd,\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c,\\[7pt] 2(2x-7)=3(5x+4),\\[7pt] 4x-14=15x+12,\\[7pt] 4x-15x=12+14,\\[7pt] -11x=26,\\[6pt] x=-\frac{26}{11},\\[6pt] x=-2\frac{4}{11}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34383

Завдання 47 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7, \\ 4x+\frac{2y}{3}=6. \end{array} \right. $$ Якщо $(x_0;\ y_0)$ − розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

А$-3,5$

Б$4,5$

В$6$

Г$-4$

Д$10,5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 4x+\frac{2y}{3}=6\ | : 2, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-\frac y3=7,\\ 2x+\frac y3=3. \end{array} \right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння: $$ 4x=10,\ \ x=10:4,\ \ x=2,5. $$ Підставимо значення $x$ у перше рівняння: \begin{gather*} 2\cdot 2,5-\frac y3=7,\ \ 5-\frac y3=7,\\[6pt] -\frac y3=2,\ \ y=-6. \end{gather*} $(2,5; -6)$ – розв'язок системи.

Отже, $x_0+y_0=2,5+(-6)=-3,5.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28386

Завдання 48 з 112

Знайдіть усі значення $a,$ за яких рівняння $\frac{x^2-ax+4}{x-5}=0$ має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.

Впишіть відповідь:

-92.8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

$$\frac{x^2-ax+4}{x-5}=0.$$ ОДЗ:

\begin{gather*} x-5\ne 0,\ \ x\ne 5.\\[7pt] x^2-ax+4=0,\ \ D=(-a)^2-4\cdot 1\cdot 4=a^2-16. \end{gather*}

Рівняння буде мати один корінь за умов:
1) $D=0$ та $x\ne 5;$
2) $D\gt 0,$ але один з коренів дорівнює $5.$

Розглянемо обидва випадки: \begin{gather*} \text{1)}\ \ D=0,\ \ a^2-16=0,\ \ a^2=16,\\[7pt] a=4\ \text{або}\ a=-4\\[6pt] x=\frac a2=\frac 42=2\ \text{або}\ x=-2. \end{gather*} Отже, корінь один. \begin{gather*} \text{2)}\ \ D\gt 0,\ \ a^2-16=0,\\[7pt] a\in (-\infty; -4)\cup (4; +\infty) \end{gather*}

\begin{gather*} x_1=\frac{a+\sqrt{a^2-16}}{2},\\[6pt] x_2=\frac{a-\sqrt{a^2-16}}{2}. \end{gather*}

Нехай $x_1=5,$ тоді

\begin{gather*} \frac{a+\sqrt{a^2-16}}{2}=5;\ \ a+\sqrt{a^2-16}=10,\\[6pt] \sqrt{a^2-16}=10-a,\ \ 10-a\ge 0,\ \ a\le 10,\\[6pt] a^2-16=(10-a)^2,\ \ a^2-16=100-20a+a^2,\\[7pt] 20a=116,\ \ a=5\mathord{,}8. \end{gather*}

Нехай $x_2=5,$ отже

\begin{gather*} \frac{a-\sqrt{a^2-16}}{2}=5;\ \ a-\sqrt{a^2-16}=10,\\[6pt] \sqrt{a^2-16}=a-10,\ \ a-10\ge 0,\ \ a\ge 10,\\[6pt] a^2-16=a^2-20a+100,\ \ 20a=116,\\[7pt] a=5\mathord{,}8 \notin a\ge 10. \end{gather*}

Отже, рівняння має один корінь при $a=4,\ a=-4, a=5\mathord{,}8.$ Добуток усіх значень $a$ дорівнює: $$4\cdot (-4)\cdot 5\mathord{,}8=-92\mathord{,}8.$$

Відповідь: -92,8.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28375

Завдання 49 з 112

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $|3x+2|=2?$

А$\frac 43$

Б$-\frac 43$

В$\frac 32$

Г$-\frac 23$

Д$-\frac 13$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня, використовуючи означення та властивості модуля.

\begin{gather*} |3x+2|=2\\[7pt] 3x+2=2\\[7pt] 3x=0\\[7pt] x=0\\[7pt] \text{або}\\[7pt] 3x+2=-2\\[7pt] 3x=-4\\[6pt] x=-\frac 43. \end{gather*}

З наведених чисел $-\frac 43$ є коренем рівняння.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28358

Завдання 50 з 112

Визначте додатне значення $m,$ за якого один із коренів рівняння $x^2 – (2m – 4)x + 16 = 0$ на $6$ більший від іншого.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

$x^2-(2m-4)x+16=0,\ \ x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6.$

Знайдемо дискримінант рівняння:

\begin{gather*} D=b^2-4ac=(2m-4)^2-4\cdot 1\cdot 16=\\[7pt] =4m^2-16m+16-64=4m^2-16m-48\gt 0\\[7pt] 4(m^2-4m-12)\gt 0,\ \ 4(m-6)(m+2)\gt 0, \end{gather*}

Додатнє значення $m,$ при якому рівняння має два різних кореня $m\gt 6.$

За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array} \right. \\[7pt] 2x_2=2m-10,\ \ x_2=m-5. \end{gather*}

Підставимо значення $x_2$ у друге рівняння:

\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16,\ \ (m+1)(m-5)=16,\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0,\ \ m^2-4m-21=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ \ne\ m\gt 6. \end{array} \right. \end{gather*}

Отже, додатнє значення $m=7.$

Відповідь: 7.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26845

Завдання 51 з 112

Розв’яжіть рівняння $0,01x=-1.$

А-1000

Б-100

В-10

Г-1

Д100

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння $0,01x=-1,$ \begin{gather*} x=-1:0,01;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26825

Завдання 52 з 112

Визначте кількість цілих значень $a,$ за яких корені $x_1$ та $x_2$ квадратного рівняння $x^2 – 4ax + 4a^2 – 25 = 0$ задовольняють умову $x_1 \lt 1 \lt x_2.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Дано рівняння $x^2-4ax+4a^2-25=0.$ Корені квадратного рівняння задовольняють умову $x_1\lt 1\lt x_2.$

\begin{gather*} D=(-4a)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-25)=16a^2-16a^2+100=100\\[6pt] x_1=\frac{4a-10}{2}=2a-5,\\[6pt] x_2=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5. \end{gather*}

Знайдемо $a,$ при яких

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2a-5\lt 1,\\ 2a+5\gt 1, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} 2a\lt 6,\\ 2a\gt -4, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} a\lt 3,\\ a\gt -2. \end{array} \right. \end{gather*}

Цілі значення $a\in (-2;\ 3)$ це $a=-1;\ 0;\ 1;\ 2.$

Таких значень $4.$

Відповідь: 4.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26820

Завдання 53 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0 + y_0 =$

А-150

Б35

В36

Г42

Д150

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних та раціональних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Застосуємо основну властивість пропорції до першого рівняння:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1\cdot x=2\cdot 3y, \\ x-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Методом підстановки маємо:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 6y-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 5y=30, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ y=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6\cdot 6, \\ y=6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=36, \\ y=6. \end{array} \right. \end{gather*}

$(36;\ 6)$ – розв'язок системи, тому $36+6=42$ – правильна відповідь.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26809

Завдання 54 з 112

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac x2 + \frac x3=2?$

А0,4

Б1,2

В2,4

Г5

Д12

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

$$ \frac x2 +\frac x3= 2, $$ зведемо до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac{3x+2x}{6}=2,\\[6pt] \frac{5x}{6}=2,\\[6pt] 5x=12,\\[6pt] x=2,4. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26189

Завдання 55 з 112

Обчисліть добуток коренів рівняння $x^2+6x-55=0.$

А$-55$

Б$55$

В$-6$

Г$6$

Д$-49$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, знання теореми Вієта.

Добуток коренів рівняння за теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} x^2+px+q=0\\[7pt] x_1\cdot x_2=q\\[7pt] x_1\cdot x_2=-55. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26117

Завдання 56 з 112

Розв’яжіть рівняння $2x-3=4.$

А$0{,}5$

Б$3{,}5$

В$\frac 27$

Г$5$

Д$-0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 2x-3=4\\[7pt] 2x=4+3\\[7pt] 2x=7\\[7pt] x=3,5 \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 25997

Завдання 57 з 112

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $\frac{x}{9-x}=\frac 12$?

А$(-\infty; -5]$

Б$(-5; -2]$

В$(-2; 2]$

Г$(2; 5]$

Д$(5; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння $$ \frac{x}{9-x}=\frac 12;\ \ x\ne 9 $$

Використаємо властивість пропорції

\begin{gather*} 2x=1\cdot(9-x)\\[7pt] 2x=9-x\\[7pt] 2x+x=9\\[7pt] 3x=9\\[7pt] x=3 \end{gather*}

належить проміжку $(2;\ 5]$.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24692

Завдання 58 з 112

Обчисліть суму коренів рівняння $x^2+3x-4=0$.

А-4

Б-3

В3

Г4

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння другого степеня, знання теореми Вієта.

І спосіб: заходимо корні рівняння

\begin{gather*} D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot(-4) = 9+16=25\\[6pt] x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1\\[6pt] x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4\\[6pt] x_1+x_2=1+(-4)=-3. \end{gather*}

ІІ спосіб: за теоремою Вієта: $$ x_1+x_2=-b=-3 $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24685

Завдання 59 з 112

Розв'яжіть рівняння $x^4-x^2-20=0$. У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Впишіть відповідь:

-5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння $x^4-x^2-20=0$ – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

\begin{gather*} x^2=t\geq 0\\[7pt] t^2-t-20=0\\[7pt] D=1-4\cdot (-20)=81\\[7pt] t_1=\frac{1+9}{2}=5\\[7pt] t_2=\frac{1-9}{2}=-4\ \text{не задовольняє умові}\ t\geq 0. \end{gather*}

Повернемось до заміни:

\begin{gather*} x^2=5\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x_1=\sqrt{5} & \\ x_2=-\sqrt{5}& \end{array}\right. \end{gather*}

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23687

Завдання 60 з 112

Укажіть корінь рівняння $1-5x=0$.

А$5$

Б$-\frac 15$

В$\frac 15$

Г$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 1-5x=0\\[7pt] -5x=-1\\[6pt] x=\frac{-1}{-5}\\[6pt] x=\frac 15 \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23661

Завдання 61 з 112

Розв’яжіть рівняння $x+4|x|=3$. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

-0.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, використовуючи означення та властивості модуля.

Якщо $x\geq 0$, то $|x|=x$. Отже, $x+4x=3,\ 5x=3,\ x=0,6$.

Якщо $x\lt 0$, то $|x|=-x$. Отже, $x-4x=3,\ -3x=3,\ x=-1$.

У відповідь запишемо їхню суму $0,6+(-1)=-0,4$.

Відповідь: –0,4.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22927

Завдання 62 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} 6(x+5)+10y=3,\\ 2x=y+4. \end{array} \right. $$ Для одержаного розв’язку $(x_0;\ y_0)$ укажіть суму $x_0+y_0$.

А–2,5

Б–3,5

В3,5

Г6,5

Д–1,5

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 6(x+5)+10y=3 & \\ 2x=y+4& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+30+10y=3 & \\ 2x-y=4& \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ 2x-y=4\ \ |\cdot (-3)& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ -6x+3y=-12& \end{array}\right. \\[7pt] 13y=-39,\ \ y=-3. \end{gather*}

Підставимо значення $y=-3$ у друге рівняння: \begin{gather*} 2x-(-3)=4;\ \ 2x+3=4; \\[6pt] 2x=1;\ \ x=\frac 12\\[6pt] x_0=\frac 12;\ \ y_0=-3. \end{gather*}

У відповідь запишемо суму $$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2,5. $$

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22910

Завдання 63 з 112

Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{10}=2,5.$

А0,25

Б4

В12,5

Г25

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22903

Завдання 64 з 112

Розв'яжіть рівняння $x^2=25x.$

А$-5; 5$

Б$0; 25$

В$25$

Г$-5; 0; 5$

Д$-25; 0$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо рівняння:

\begin{gather*} x^2=25x,\\[7pt] x^2-25x=0,\\[7pt] x(x-25)=0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=0,\\ x_2=25. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21213

Завдання 65 з 112

Укажіть число, що є коренем рівняння $\frac{8}{x}=\frac 25.$

А$20$

Б$\frac{16}{5}$

В$10$

Г$80$

Д$\frac{1}{20}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє відношення та пропорції. Перевіряє знання основної властивості пропорції.

Розв'яжемо рівняння, використавши основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac 8x=\frac 25,\\[6pt] 2\cdot x=8\cdot 5,\\[6pt] x=20. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21210

Завдання 66 з 112

Розв'яжіть рівняння $x^2-4x+3=0.$

А$-4; 3$

Б$1; 3$

В$-3; -1$

Г$-2; 3$

Д$-1; 4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\begin{gather*} x^2-4x+3=0,\\[7pt] D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\\[7pt] x_1=\frac{4+2}{2}=3;\ \ x_2=\frac{4-2}{2}=1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19951

Завдання 67 з 112

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac{5x+8}{3}=1$?

А$1$

Б$0$

В$3$

Г$-2$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $3.$

$5x+8=3$, $5x=-5$, $x=-1.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19948

Завдання 68 з 112

Розв'яжіть рівняння $|5-4x|=3.$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля

$$ \left[\begin{array}{l} 5-4x=3,\\ 5-4x=-3, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} -4x=3-5,\\ -4x=-3-5, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} -4x=-2,\\ -4x=-8, \end{array}\right. \ \ \left[\begin{array}{l} x=0\mathord{,}5,\\ x=2. \end{array}\right. $$

У відповідь запишемо суму розв'язків: $0\mathord{,}5+2=2\mathord{,}5.$

Відповідь: $2\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 19002

Завдання 69 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ обчисліть добуток $x_0\cdot y_0.$

А$-3$

Б$-6$

В$4$

Г$6$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему лінійних рівнянь методом додавання: \begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6, \end{array}\right.\\[0pt] \ \ \ \ \ \ \overline{16x=32,}\\[7pt] x=32:16,\ \ x=2. \end{gather*}

Підставимо значення $x=2$ в друге рівняння: \begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6,\\[7pt] 12+4y=6,\\[7pt] 4y=6-12,\\[7pt] 4y=-6,\\[7pt] y=-6: 4,\\[7pt] y=-1\mathord{,}5. \end{gather*}

Розв'язок системи $(2; -1\mathord{,}5).$
Обчислимо добуток $x_0\cdot y_0=2\cdot (-1\mathord{,}5)=-3.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18985

Завдання 70 з 112

Розв'яжіть рівняння $x^2-8x+15=0.$

А$3; 5$

Б$-3; -5$

В$-3; 5$

Г$3; -5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} x^2-8x+15=0,\\[6pt] D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4,\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2\cdot 1}=5,\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2\cdot 1}=3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18978

Завдання 71 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5,\\ x-2y=7. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ системи обчисліть суму $x_0+y_0.$

А$2$

Б$12$

В$3$

Г$5$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

Почленно додамо рівняння: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5\\ x-2y=7\ |\ \cdot (-2) \end{array}\right.\\[7pt] \ +\ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5\\ \underline{-2x+4y=-14} \end{array}\right.\\[7pt] 9y=-9,\ y=-1 \end{gather*} Підставимо $y=-1$ у друге рівняння: \begin{gather*} x-2(-1)=7,\\[7pt] x+2=7,\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Розв'язок системи $(x_0; y_0)$ це $(5; -1).$ Сума $x_0+y_0=5+(-1)=4.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17658

Завдання 72 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2y=5x,\\ x+y=14. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ укажіть добуток $x_0\cdot y_0.$

А$5$

Б$10$

В$20$

Г$40$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь першого степеня.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2y=5x,\\ x+y=14, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x+\frac 52x=14, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ \frac 72x=14, \end{array}\right. \\[7pt] \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x=14:\frac 72, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=\frac 52x,\\ x=4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=10,\\ x=4. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'язок $(4; 10).$ Відповідь: $4\cdot 10=40.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17076

Завдання 73 з 112

Розв'яжіть рівняння $(x+1)(2x-3)=0.$

А$-3; 1$

Б$-1\mathord{,}5; 1$

В$-1; \frac 23$

Г$-1; 3$

Д$-1; 1\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з однією змінною, використовувати методи розв'язування раціональних рівнянь.

Якщо рівняння має вигляд добутку множників, що дорівнює нулю, то принаймні один з множників повинен дорівнювати нулю.

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x+1=0,\\ 2x-3=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ 2x=3, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-1,\\ x=1\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17063

Завдання 74 з 112

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\frac{3x-2}{x+1}=7.$

А$(-\infty; -2)$

Б$(-2; 0]$

В$(0; 2]$

Г$(2; 4]$

Д$(4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння.

\begin{gather*} \frac{3x-2}{x+1}=7,\\[6pt] \frac{3x-2}{x+1}-7=0 \end{gather*}

зводимо до спільного знаменника:

\begin{gather*} \frac{3x-2-7(x+1)}{x+1}=0,\\[6pt] \frac{3x-2-7x-7}{x+1}=0,\\[6pt] \frac{-4x-9}{x+1}=0,\\[6pt] \left\{\begin{array}{l} -4x-9=0,\\ x+1\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=-2\mathord{,}25,\\ x\ne -1. \end{array}\right. \end{gather*}

Корінь рівняння $x=-2\mathord{,}25$ належить проміжку $(-\infty; -2).$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16613

Завдання 75 з 112

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2|x|=2$?

А$x=4$

Б$x=2$

В$x=0$

Г$x=-1$

Д$x=-2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

\begin{gather*} 2|x|=2,\\[7pt] |x|=1,\\[7pt] x=\pm 1. \end{gather*}

Отже, за наведених чисел коренем рівняння є $x=-1.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16602

Завдання 76 з 112

Якому проміжку належить корінь рівняння $2x-3=4?$

А$(-\infty; -2)$

Б$[-2; 0)$

В$[0; 2)$

Г$[2; 4)$

Д$[4; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} 2x-3=4,\\[7pt] 2x=4+3,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x=7:2,\\[7pt] x=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення $x$ належить проміжку $[2; 4).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15239

Завдання 77 з 112

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} xy=-12,\\ x(2y-1)=-18. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0=$

А$-6$

Б$-16$

В$-9$

Г$2$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь першого та другого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв'язування систем рівнянь.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} xy=-12,\\ x(2y-1)=-18, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} xy=-12,\\ 2xy-x=-18. \end{array}\right. \end{gather*}

З першого рівняння добуток $xy=-12.$

Отримаємо:

\begin{gather*} 2\cdot(-12)-x=-18,\\[7pt] -24-x=-18,\\[7pt] x=-24+18,\\[7pt] x=-6. \end{gather*}

Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0=-6.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14609

Завдання 78 з 112

Знайдіть найбільше ціле значення параметра $a$, при якому система рівнянь

$\begin{cases}y-x=a, \\ x^2+y^2=1\end{cases}$ має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, зокрема графічно.

Розв'яжемо графічно:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} y-x=a,\\ x^2+y^2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=x+a,\\ x^2+y^2=1. \end{array}\right. \end{gather*}

$x^2+y^2=1$ – рівняння кола, з центром в точці $(0; 0)$ та радіусом $R=1.$

$y=x+a$ – пряма $y=x$, яка переміщується вздовж осі $Oy$ на $a$ одиниць.

Кількість розв'язків системи – кількість точок перетину графіків.

Найбільше ціле значення параметра $a=1$ при якому система має два розв'язки.

Відповідь: $1.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14552

Завдання 79 з 112

Використовуючи графік рівняння $|y|=1-|x-12|$ (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра $a$, при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння та їхні системи, зокрема графічно.

Система має єдиний розв'язок за умови однієї спільної точки графіка рівняння \begin{gather*} |x-12|+|y|=1 \end{gather*} та кола \begin{gather*} (x-a)^2+y^2=4. \end{gather*}

Центр кола $(a; 0).$ Радіус кола – $2.$

На рисунку зображено можливі чотири варіанти розташування кола відносно графіку рівняння.

$a=9$; $11$; $13$; $15.$

Сума значень параметра $a{:}$

\begin{gather*} 9+11+13+15=48. \end{gather*}

Відповідь: $48.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14336

Завдання 80 з 112

Укажіть корінь рівняння $|x^2-6x|=9$, який належить проміжку $(-2;1]$.

А$3-3\sqrt 2$

Б$3-\sqrt 2$

В$1$

Г$2$

Д$4-2\sqrt 2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь

Продовжити пізніше

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14320

Завдання 81 з 112

Скільки всього розв’язків має система рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4,\\ x^2+y^2=4? \end{array}\right. $$

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь другого степеня.

Розв'яжемо способом додавання

\begin{gather*} + \left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4,\\ \underline{x^2+y^2=4,} \end{array}\right.\\[3pt] 2x^2=0.\ \ \ \ \\[7pt] x^2=0,\\[7pt] x=0. \end{gather*}

Підставимо $x=0$ в перше рівняння

\begin{gather*} 0-y^2=-4,\\[7pt] y^2=4,\\[7pt] y=\pm 2. \end{gather*}

Розв'язок системи рівнянь $(0; 2)$ та $(0; -2).$ Отже рівняння має два розв'язки.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14248

Завдання 82 з 112

Укажіть суму коренів рівняння $|x-1|=6.$

А$-2$

Б$0$

В$2$

Г$7$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивості; вміння розв'язувати рівняння першого ступеня.

За властивістю модуля дійсного числа, рівняння $|x-1|=6$ рівносильне сукупності таких рівнянь:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x-1=6,\\ x-1=-6, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=7,\\ x=-5. \end{array}\right. \end{gather*}

Сума коренів рівняння дорівнює $7+(-5)=2.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14241

Завдання 83 з 112

Розв'яжіть рівняння $x^2-10=5x+14.$

А$-8; 3$

Б$-4; -1$

В$-3; 8$

Г$1; 4$

Д$0; 5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння другого степеня.

\begin{gather*} x^2-10=5x+14,\\[7pt] x^2-5x-24=0,\\[7pt] D=(-5)^2-4\cdot (-24)=25+96=121,\\[6pt] x_1=\frac{5+11}{2}=8,\\[6pt] x_2=\frac{5-11}{2}=-3. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12503

Завдання 84 з 112

Якщо числа $x$ i $y$ задовольняють співвідношення $2y+4=x$, то $y=$

А$2x-8$

Б$8-2x$

В$\frac{x-4}{2}$

Г$\frac{x+4}{2}$

Д$\frac{4-x}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв’язання рівнянь.

Розв’яжемо рівняння першого степеня відносно $y:$

\begin{gather*} 2y+4=x,\\[7pt] 2y=x-4,\\[6pt] y=\frac{x-4}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12065

Завдання 85 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} xy=12,\\ x(y+2)=6. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$

А$-7$

Б$7$

В$-1$

Г$8$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння та системи рівнянь першого та другого степеня.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} xy=12,\\ x(y+2)=6, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} xy=12,\\ xy+2x=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Почленно віднімемо рівняння системи:

\begin{gather*} -\underline{\left\{\begin{array}{l} xy=12,\\ xy+2x=6, \end{array}\right.}\\[7pt] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x=6,\\[7pt] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-3. \end{gather*}

Підставимо значення $x=-3$ в перше рівняння: \begin{gather*} -3\cdot y=12,\\[6pt] y=-\frac{12}{3},\\[6pt] y=-4. \end{gather*}

Розв'язок системи $(-3; -4).$

Отже, правильна відповідь $$ x_0+y_0=-3+(-4)=-7. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10840

Завдання 86 з 112

Розв'яжіть рівняння $4x^2=1.$

А$-2; 2$

Б$2$

В$0\mathord{,}25$

Г$0\mathord{,}5$

Д$-0\mathord{,}5; 0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати неповні квадратні рівняння.

\begin{gather*} 4x^2=1\\[6pt] x^2=\frac 14\\[6pt] x=\pm\sqrt{\frac 14}\\[6pt] x_1=0\mathord{,}5\\[7pt] x_2=-0\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10834

Завдання 87 з 112

Розв'яжіть рівняння $|2x-1|=6.$

А$-3\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$

Б$-2\mathord{,}5;\ 2\mathord{,}5$

В$-3\mathord{,}5;\ 2\mathord{,}5$

Г$-2\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$

Д$3\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Рівняння з модулем.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містить невідоме під знаком модуля (абсолютної величини).

Геометрично модуль числа – це відстань по координатній прямій від нього до початку координат. Тому якщо модуль числа дорівнює $6$, то це число дорівнює $6$ або $-6$. Отже, задане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: $$ \left[\begin{array}{l} 2x-1=6,\\ 2x-1=-6. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо кожне з рівнянь окремо:

\begin{gather*} 2x=6+1,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x_1=3\mathord{,}5;\\[7pt] 2x=-6+1,\\[7pt] 2x=-5,\\[7pt] x_2=-2\mathord{,}5. \end{gather*}

Отже, рівняння має два корені $x_1=3\mathord{,}5$, $x_2=-2\mathord{,}5.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9246

Завдання 88 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2x-3y=14,\\ x+3y=-11. \end{array}\right. $$

Для отриманого розв'язку $(x_0; y_0)$ обчисліть суму $x_0+y_0.$

А$-4$

Б$1$

В$-1$

Г$4$

Д$-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь.

Додамо почленно обидва рівняння системи:

$$ 2x+x+(-3y)+3y=14+(-11). $$

Звівши подібні доданки, отримаємо:

\begin{gather*} 3x=3,\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Пiдставимо отримане значення $x=1$ в будь-яке з рівнянь системи, наприклад, в друге рівняння:

\begin{gather*} 1+3y=-11,\\[7pt] 3y=-12,\\[7pt] y=-4. \end{gather*}

Отже, пара чисел $(1; -4)$ є розв'язком $(x_0; y_0)$ системи рівнянь. Визначимо суму:

$$ x_0+y_0=1+(-4)=-3. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9238

Завдання 89 з 112

Розв'яжіть рівняння $\frac{4}{|x|}=3.$

А$\frac 34$

Б$-\frac 34; \frac 34$

В$\frac 43$

Г$-12; 12$

Д$-\frac 43; \frac 43$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння зі змінною під знаком модуля.

Задане рівняння рівносильне рівнянню $|x|= \frac{4}{3}.$

Геометрично модуль числа – це відстань на координатній прямій від точки, що зображує це число, до початку відліку. На відстані $\frac{4}{3}$ від початку відліку знаходяться два числа: $x_{1} = \frac{4}{3}$ і $x_{2} = -\frac{4}{3}.$ Обидва ці числа і є коренями заданого рівняння.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8184

Завдання 90 з 112

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $0{,}5(x-4)=1{,}5.$

А$(-\infty; -4]$

Б$(-4; 0]$

В$(0; 4]$

Г$(4; 8]$

Д$(8; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння: щоб вказати проміжок, якому належить корінь заданого лінійного рівняння, потрібно спочатку його знайти.

Розділимо обидві частини рівняння на $0{,}5\mathord{:}$ \begin{gather*} 0{,}5(x - 4) = 1{,}5,\\[6pt] x - 4 = \frac{1{,}5}{0{,}5},\\[6pt] x - 4 = 3. \end{gather*}

Перенесемо $-4$ в праву частину рівняння, змінивши знак на протилежний: $$ x = 3 + 4, $$ $x = 7$ – корінь рівняння, він належить проміжку $(4; 8]$.

Зазначимо, що розділити вираз на $0{,}5$ – це рівносильно множенню його на $2$, тому обидві частини заданого рівняння можна спочатку не розділити на $0{,}5$, а помножити на $2\mathord{:}$ $$ 2 \cdot 0{,}5(x - 4) = 2 \cdot 1{,}5, $$ звідки \begin{gather*} x - 4 = 3, \\[7pt] x = 7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8169

Завдання 91 з 112

Розв'яжіть рівняння $$ \frac{|x|}{10}=2. $$

А$-5; 5$

Б$-20; 20$

В$20$

Г$5$

Д$-0{,}2; 0{,}2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Домножимо обидві частини рівняння $\frac{|x|}{10} = 2$ на 10, отримаємо $|x| = 20.$ Модуль числа – це відстань на координатній осі $x$ від цього числа до початку координат, звідси $x = \pm 20.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7637

Завдання 92 з 112

Розв'яжіть систему $$ \left\{\begin{array}{l} 4y=6x,\\ x-y=12. \end{array}\right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0=$

А$-24$

Б$36$

В$4{,}8$

Г$7{,}2$

Д$-36$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

З першого рівняння системи виразимо змінну $y$ через змінну $x{:}$ $$ y=\frac{3x}{2}. $$

Підставимо цей вираз замість змінної $y$ у друге рівняння системи: $$ x-\frac{3x}{2}=12. $$

Розв’яжемо отримане рівняння: \begin{gather*} 2x-3x=24,\\[7pt] -x=24,\\[7pt] x=-24. \end{gather*} Тоді $$ y=\frac{3}{2}\cdot(-24)=-36. $$ Отже, пара $(-24; -36)$ є розв’язком заданої системи. Тому $x_0=-24.$

Зазначимо, що для отримання правильної відповіді не обов’язково систему розв’язувати повністю, достатньо лише виразити з першого (другого) рівняння змінну $y$ через змінну $x$, отриманий вираз підставити замість змінної $y$ у друге (перше) рівняння системи, після чого розв’язати отримане рівняння. Його корінь $x=x_0$ і буде відповіддю до завдання.

Другий спосіб. Спочатку помножимо обидві частини другого рівняння на $4{:}$ $$ 4x-4y=48, $$ після чого додамо рівняння $$ 4y=6x $$ та $$ 4x-4y=48. $$ Одержимо: \begin{gather*} 4x=6x+48,\\[7pt] -2x=48,\\[7pt] x=-24. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7172

Завдання 93 з 112

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2-3x}.$

А$-2$

Б$-0{,}4$

В$2{,}5$

Г$0{,}4$

Д$2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння зі змінною у знаменнику дробу.

При розв’язанні таких рівнянь треба враховувати ОДЗ (область допустимих значень) рівняння: $$ 2x\ne 0{,}2-3x\ne 0. $$ Два дроби з однаковими чисельниками є рівними, якщо рівні їхні знаменники. Отже, початкове рівняння на його ОДЗ еквівалентне рівнянню $$ 2-3x=2x, $$ звідки \begin{gather*} 5x=2,\\[6pt] x=\frac{2}{5}=0{,}4. \end{gather*} Цей корінь задовольняє ОДЗ, отже є коренем початкового рівняння.

Зауважимо, що задане рівняння можна розглядати як пропорцію. Враховуючи, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, отримаємо: $$ 1\cdot (2-3x)=2x\cdot 1, $$ тобто $$ 2-3x=2x. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7171

Завдання 94 з 112

Обчисліть добуток коренів рівняня $x^2+6x-55=0.$

А$-55$

Б$55$

В$-6$

Г$6$

Д$-49$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Квадратні рівняння. Теорема Вієта.

Це завдання перевіряє вміння знаходити добуток коренів квадратного рівняння.

Перший спосіб. За теоремою Вієта, якщо зведене квадратне рівняння $$ x^{2} + px + q = 0 $$ має корені $x_{1}, x_{2}$, то \begin{gather*} x_{1} + x_{2} = -p,\\[7pt] x_{1} \cdot x_{2} = q. \end{gather*} Задане рівняння $$ x^{2} + 6x - 55 = 0 $$ має два корені, оскільки його дискримінант

$$ D = p^{2} - 4q = 6^{2} - 4\cdot(-55) = 36 + 220 = 256 \gt 0. $$

Тоді за теоремою Вієта їх добуток дорівнює $-55.$

Другий спосіб. Можна розв’язувати це завдання, не використовуючи теорему Вієта. Знайдемо корені заданого квадратного рівняння:

\begin{gather*} x_{1} = \frac{-p - \sqrt{D}}{2} = \frac{-6 - 16}{2} = -11,\\[6pt] x_{2} = \frac{-p + \sqrt{D}}{2} = \frac{-6 + 16}{2} = 5. \end{gather*}

Тоді $x_{1}\cdot x_{2} = (-11)\cdot 5 = -55.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7073

Завдання 95 з 112

Укажіть рівняння, коренем якого є число $2.$

А$\frac{1}{x-2}=0$

Б$x^2+4=0$

В$5x+12=2$

Г$\frac{3x-6}{x}=0$

Д$x+2=x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Корінь рівняння.

Це завдання перевіряє знання та розуміння означення кореня рівняння.

Число $a$ є коренем рівняння $f(x)=g(x)$, якщо при його підстановці у рівняння замість змінної $x$ отримаємо числову тотожність: $f(a)=g(a)$, тобто ліва і права частини рівняння набувають однакових значень. Щоб отримати відповідь на запитання завдання, можна розв’язувати окремо кожне з наведених рівнянь, або ж скористатися означенням кореня рівняння. Підставимо число $2$ у кожне з наведених рівнянь.

А. Дріб $\frac{a}{b}$ дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник $a=0$ і знаменник $b\ne 0.$ Чисельник рівняння $\frac{1}{x-2}=0$ дорівнює $1$ незалежно від значення $x.$ Отже, це рівняння коренів не має.

Б. $2^2+4=4+4=8\ne 0.$ Це означає, що число $2$ не є коренем рівняння $x^2+4=0.$ Окрім цього зазначимо, що вираз $x^2+4$ за будь-яких $x$ набуває лише додатних значень, точніше, дорівнює $4$, якщо $x=0$, та більше $4$, якщо $x\ne 0.$

В. $5\cdot 2+12=10+12=22\ne 2$ – число $2$ не є коренем рівняння.

Г. $\frac{3\cdot 2-6}{2}=\frac{6-6}{2}=0=0$ – число $2$ є коренем рівняння.

Д. $2+2=4\ne 2$ – число $2$ не є коренем рівняння.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6875

Завдання 96 з 112

Знайдіть найбільше значення параметра $a$, при якому система

$\begin{cases}x^2+y^2=81, \\ (x+2)^2+y^2=a^2\end{cases}$

має єдиний розв'язок.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

1) $x^2+y^2=81$ коло з центром $(0; 0)$ та радіусом $9.$

2) $(x+2)^2+y^2=a^2$ коло з центром $(-2; 0)$ та радіусом $a.$

Система має єдиний розв'язок за умови внутрішнього або зовнішнього дотику двох кіл.

Найбільше значення параметра $a$, за якого система має єдиний розв'язок $a=11.$

Відповідь: $11.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6474

Завдання 97 з 112

Знайдіть найбільше значення параметра $a$, при якому рівняння $\left|x^2-3|x|-4\right|=a$ має тільки чотири корені. Якщо такого значення $a$ не існує, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

6.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв'язувати рівняння графічним методом, рівнянь з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно.

Побудуємо графік $y=\left|x^2-3|x|-4\right|.$

Використаємо елементарні перетворення графіка $y=x^2-3x-4\Rightarrow y=x^2-3|x|-4$ симетрія відносно осі $Oy\Rightarrow y=\left|x^2-3|x|-4\right|$ симетрія відносно осі $Ox.$

\begin{gather*} x_0=\frac 32=1{,}5;\\[6pt] y_0=1{,}5^2-3\cdot 1{,}5-4=-6{,}25. \end{gather*}

$(1{,}5; -6{,}25)$ – вершина параболи.

Точки перетину з осями:

– з $Ox{:}$

\begin{gather*} y=0;\\[7pt] x^2-3x-4=0;\\[7pt] D=9+16=25;\\[6pt] x_1=\frac{3+5}{2}=4;\\[6pt] x_2=\frac{3-5}{2}=-1. \end{gather*}

– з $Oy{:}$

\begin{gather*} x=0;\\[7pt] y=-4. \end{gather*}

$a=1$ гілки напрямлені вгору.

$y=a$ – пряма, паралельна осі $Ox.$ Кількість розв'язків рівняння $\left|x^2-3|x|-4\right|=a$ – кількість точок перетину графіків.

Найбільше значення $a$, при якому рівняння має чотири корені: $a=6{,}25.$

Відповідь: $6{,}25.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6416

Завдання 98 з 112

Укажіть найменше значення $a$, при якому рівняння $\dfrac{x^2-x+a}{2x+3}=0$ має рівно один корінь.

Впишіть відповідь:

-3.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ 2x+3\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ x\ne -1{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння буде мати один корінь у двох випадках:

1) рівняння $x^2-x+a=0$ має один корінь $(D=0)$ та він не дорівнює $-1{,}5.$

2) рівняння $x^2-x+a=0$ має два корені $(D\gt 0)$, але один з коренів дорівнює $-1{,}5.$

Розглянемо кожний випадок: \begin{gather*} \text{1)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a=0;\\[7pt] a=\frac 14;\\[7pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Отже, при $a=\frac 14$ рівняння має один корінь.

\begin{gather*} \text{2)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a\gt 0;\\[6pt] x_1=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2};\\[6pt] x_2=\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}. \end{gather*}

$x_1\gt 0$, отже, не може дорівнювати $-1{,}5.$

Знайдемо значення $a$, при якому $x_2=-1{,}5.$

\begin{gather*} \frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}=-\frac 32;\\[6pt] 1-\sqrt{1-4a}=-3;\\[6pt] \sqrt{1-4a}=4;\\[7pt] 1-4a=16;\\[7pt] -4a=15;\\[6pt] a=-\frac{15}{4};\\[6pt] a=-3{,}75. \end{gather*}

Отже, при $a=-3{,}75$ рівняння має один корінь.

У відповідь запишем найменше значення $a.$

Відповідь: $-3{,}75.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6380

Завдання 99 з 112

Укажіть суму коренів рівняння $|x-1|=6$.

А$-2$

Б$0$

В$2$

Г$7$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За означенням модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x-1=6,\\ x-1=-6, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x_1=7,\\ x_2=-5. \end{array}\right. \end{gather*}

Cума коренів рівняння:

\begin{gather*} x_1 + x_2 = 7 + (-5) = 2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6359

Завдання 100 з 112

Скільки всього розв’язків має система рівнянь $\begin{cases}x^2-y^2=-5, \\ x^2+y^2=3?\end{cases}$

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв’яжемо методом додавання:

\begin{gather*} +\begin{cases} x^2 - y^2 = -5, \\ \underline{x^2 + y^2 = 3,} \end{cases}\\ 2x^2=-2,\\[7pt] x^2=-1. \end{gather*}

Дане рівняння не має жодного розв’язку.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6324

Завдання 101 з 112

Розв’яжіть рівняння $0{,}5(3x-4)=\dfrac{x+1}{4}$.

А$\dfrac57$

Б$-\dfrac75$

В$\dfrac65$

Г$\dfrac95$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $4.$

\begin{gather*} 4 \cdot 0{,}5(3x - 4) = \frac{(x + 1) \cdot 4}{4};\\[6pt] 2(3x - 4) = x + 1;\\[7pt] 6x - 8 = x + 1;\\[7pt] 5x = 9;\\[6pt] x = \frac{9}{5}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6319

Завдання 102 з 112

При кожному пострілі в мішень спортсмен влучав або в «десятку», або в «дев'ятку», за що йому нараховувалося $10$, або $9$ очок відповідно. За $10$ пострілів він набрав $94$ очки. Скільки разів з цих $10$ пострілів спортсмен влучив у «дев'ятку»?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь та їх систем.

Нехай пострілів у «десятку» було $x$, а у «дев'ятку» – $y.$

Усього пострілів зроблено $10.$ Отже, $x + y = 10.$

Усього спортсмен набрав $94$ очки, отже, $10x + 9y = 94.$

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x + y = 10,\ |\ \cdot (-10)\\ 10x + 9y = 94, \end{array}\right.\\[7pt] \underline{\left\{\begin{array}{l} -10x - 10y = -100, \\ 10x + 9y = 94, \end{array}\right.}\\[7pt] -y=-6,\\[7pt] y=6. \end{gather*}

Отже, у «дев'ятку» спортсмен влучив $6$ разів.

Відповідь: $6.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6305

Завдання 103 з 112

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+1}{6}.$

А$-\dfrac 53$

Б$\dfrac 43$

В$\dfrac 75$

Г$\dfrac 53$

Д$\dfrac 73$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{2x - 3}{3} = \frac{x + 1}{6}. \end{gather*}

Помножимо обидві частини рівняння на $6{:}$ \begin{gather*} 2(2x - 3) = x + 1,\\[7pt] 4x - 6 = x + 1,\\[7pt] 3x = 7,\\[6pt] x = \frac{7}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6286

Завдання 104 з 112

Розв'яжіть рівняня $$ \frac x2+\frac x3=2. $$

А$1{,}2$

Б$5$

В$12$

Г$2{,}4$

Д$0{,}4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє уміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $6{:}$ \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=2\ \big|\cdot 6,\\[6pt] 3x+2x=12,\\[6pt] 5x=12,\\[7pt] x=12:5,\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6249

Завдання 105 з 112

Розв’яжіть систему $\begin{cases}3x-2y=9, \\ x+2y=-5.\end{cases}$

Для одержаного розв’язку $(x_0;y_0)$ обчисліть суму $x_0+y_0$.

А$-2$

Б$-1$

В$1$

Г$2$

Д$-4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Додамо почленно рівняння

\begin{gather*} +\begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ \underline{x + 2y = -5,} \end{cases}\\[7pt] 4x = 4;\\[7pt] x = 1. \end{gather*}

Підставимо значення $x = 1$ у друге рівняння:

\begin{gather*} 1 + 2y = -5;\\[7pt] 2y = -6;\\[7pt] y = -3;\\[7pt] (1; -3). \end{gather*}

У відповідь запишемо

\begin{gather*} x_{0} + y_{0} = 1 + (-3) = -2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6219

Завдання 106 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases}y-x=9,\\ \dfrac{x+8}{2y-5}=2.\end{cases}$
Запишіть у відповідь добуток $x_0\cdot y_0$, якщо пара $(x_0; y_0)$ є розв'язком цієї системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-18

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

ОДЗ: \begin{gather*} 2y - 5 \ne 0,\\[7pt] 2y \ne 5,\\[7pt] y \ne 2{,}5. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ \dfrac{y - 9 + 8}{2y - 5} = 2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ \dfrac{y - 1}{2y - 5} = 2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ 4y - 10 = y - 1, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ 3y = 9, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x = -6,\\ y = 3. \end{array}\right. \end{gather*}

$(-6; 3)$ – розв'язок системи.

Добуток $x_0\cdot y_0 = -6\cdot 3 = -18.$

Відповідь: $-18.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6204

Завдання 107 з 112

Розв’яжіть рівняння $\Bigl||2x-1|-3\Bigr|=5$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Впишіть відповідь:

-15.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |2x-1|-3=5,\\ |2x-1|-3=-5, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} |2x-1|=8,\\ |2x-1|=-2. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння $|2x - 1| = -2$ не має коренів, тому розв’язуємо тільки перше рівняння сукупності:

\begin{gather*} |2x - 1| = 8,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x-1=8,\\ 2x-1=-8, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2x=9,\\ 2x=-7, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=4{,}5,\\ x_2=-3{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповідь запишемо добуток коренів:

\begin{gather*} x_1 \cdot x_2 = 4{,}5 \cdot (-3{,}5) = -15{,}75. \end{gather*}

Відповідь: $-15{,}75.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6190

Завдання 108 з 112

Розв'яжіть рівняння $\dfrac2x=5$.

А$x=0{,}1$

Б$x=10$

В$x=2{,}5$

Г$x=0{,}4$

Д$x=-3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac 2x=5;\\[6pt] x=\frac 25;\\[6pt] x=0{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6122

Завдання 109 з 112

Розв'яжіть систему $\begin{cases}y+x=3, \\ x^2+4=8y.\end{cases}$

Якщо пара $(x_0;y_0)$ є єдиним розв'язком цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь добуток $x_0\cdot y_0$. Якщо пари $(x_1;y_1)$ та $(x_2;y_2)$ є розв'язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків $x_1\cdot y_1$ та $x_2\cdot y_2$.

Впишіть відповідь:

-130

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв'яжемо методом підстановки

\begin{gather*} \begin{cases} y = 3 - x,\\ x^2 + 4 = 8(3 - x), \end{cases}\ \ \begin{cases} y = 3 - x,\\ x^2 + 4 = 24 - 8x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} y = 3 - x,\\ x^2 + 8x - 20 = 0. \end{cases}\\[7pt] x^2 + 8x - 20 = 0.\\[7pt] D = 64 - 4\cdot(-20) = 144;\\[6pt] x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = -10. \end{gather*}

Отримали:

\begin{gather*} x_1 = 2;\\[7pt] y_1 = 3 - 2 = 1;\\[7pt] x_2 = -10;\\[7pt] y_2 = 3 - (-10) = 13. \end{gather*}

Розв'язок системи: $(2; 1)$, $(-10; 13).$

У відповідь запишемо найменший з добутків $x_0\cdot y_0{:}$

\begin{gather*} -10\cdot 13 = -130. \end{gather*}

Відповідь: $-130.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6116

Завдання 110 з 112

Якщо $x+2y-6z=-1$ i $-y+3z=5$, то $x=$

А$9$

Б$11$

В$4$

Г$-9$

Д$-11$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язань.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6z = -1, \\ -y + 3z = 5\ |\ \cdot 2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6z = -1, \\ -2y + 6z = 10. \end{array}\right. \end{gather*}

Складемо рівняння почленно: $x = 9.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5323

Завдання 111 з 112

Розв'яжіть рівняння $2x(x+2)=5(x+2).$

А$-2{,}5; 2$

Б$-2$

В$2{,}5$

Г$-2; 0{,}4$

Д$-2; 2{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною. Методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, розкладати многочлен на множники.

\begin{gather*} 2x(x + 2) = 5(x + 2),\\[7pt] 2x(x + 2) - 5(x + 2) = 0,\\[7pt] (x + 2)(2x - 5) = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x + 2 = 0,\\ 2x - 5 = 0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ 2x = 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ x = 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5321

Завдання 112 з 112

Розв'яжіть систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5,\\ x-2y=7. \end{array}\right. $$ Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ системи знайдіть суму $(x_0+y_0).$

А$-18$

Б$3$

В$4$

Г$8$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння та їхні системи.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x + 5y = 5, \\ x - 2y = 7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2(7 + 2y) + 5y = 5, \\ x = 7 + 2y, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 14 + 4y + 5y = 5, \\ x = 7 + 2y, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 9y = -9, \\ x = 7 + 2y, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y = -1, \\ x = 7 + 2(-1), \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y = -1, \\ x = 5. \end{array}\right. \end{gather*}

Одержали розв’язок $(5; -1)$. Його сума $5 + (-1) = 4.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4309

Новини

167 тисяч вступників отримають шанс навчатися на бюджеті
Новий європейський бакалаврат з комп’ютерних наук
Держзамовлення в університетах формуватимуть за прогнозом ринку праці

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Алгебра і початки аналізу – Лінійні, квадратні, раціональні рівняння та системи рівнянь