Завдання за темою з математики

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 6(x+5)+10y=3 & \\ 2x=y+4& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+30+10y=3 & \\ 2x-y=4& \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ 2x-y=4\ \ |\cdot (-3)& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} 6x+10y=-27 & \\ -6x+3y=-12& \end{array}\right. \\[7pt] 13y=-39,\ \ y=-3. \end{gather*}

Підставимо значення \(y=-3\) у друге рівняння: \begin{gather*} 2x-(-3)=4;\ \ 2x+3=4; \\[6pt] 2x=1;\ \ x=\frac 12\\[6pt] x_0=\frac 12;\ \ y_0=-3. \end{gather*}

У відповідь запишемо суму $$ x_0+y_0=\frac 12+(-3)=-2,5. $$

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, використовуючи означення та властивості модуля.

Якщо \(x\geq 0\), то \(|x|=x\). Отже, \(x+4x=3,\ 5x=3,\ x=0,6\).

Якщо \(x\lt 0\), то \(|x|=-x\). Отже, \(x-4x=3,\ -3x=3,\ x=-1\).

У відповідь запишемо їхню суму \(0,6+(-1)=-0,4\).

Відповідь: –0,4.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Знайдемо множину допустимих значень змінної \(x\):

2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень \(a\): \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} \left[ \begin{array}{l l} x-2=0 & \\ x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0& \end{array}\right. &\\ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) & \end{array}\right. \end{gather*}

1) \(x-2=0,\ \ x=2\ \notin\) ОДЗ.

2) \(x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0\).

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} D=\left(-3(a-1)\right)^2-4(2a^2-3a)=\\[7pt] =9(a^2-2a+1)-8a^2+12a=(a-3)^2\\[6pt] x_1=\frac{3(a-1)+(a-3)}{2}=2a-3;\\[6pt] x_2=\frac{3(a-1)-(a-3)}{2}=a. \end{gather*}

Знайдемо значення переметра \(a\), при яких \(x_1=2a-3\) належить ОДЗ: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} 2a-3\lt -0,5 & \\ -0,5\lt 2a-3\lt 1,5& \end{array}\right. \left[ \begin{array}{l l} a\lt 1,25 & \\ 1,25\lt a\lt 2,25& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ 1,25)\cup (1,25;\ 2,25). \end{gather*} Для кореня \(x_2=a\) \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} a\lt -0,5 & \\ a\in (-0,5;\ 1,5)& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5). \end{gather*}

Відповідь:
якщо

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеню.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 1-5x=0\\[7pt] -5x=-1\\[6pt] x=\frac{-1}{-5}\\[6pt] x=\frac 15 \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння \(x^4-x^2-20=0\) – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

Повернемось до заміни:

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння другого степеня, знання теореми Вієта.

І спосіб: заходимо корні рівняння

ІІ спосіб: за теоремою Вієта: $$ x_1+x_2=-b=-3 $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння $$ \frac{x}{9-x}=\frac 12;\ \ x\ne 9 $$

Використаємо властивість пропорції

належить проміжку \((2;\ 5]\).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжемо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 2x-3=4\\[7pt] 2x=4+3\\[7pt] 2x=7\\[7pt] x=3,5 \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, знання теореми Вієта.

Добуток коренів рівняння за теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} x^2+px+q=0\\[7pt] x_1*x_2=q\\[7pt] x_1*x_2=-55. \end{gather*}

Відповідь: A.