Національний мультитест з математики – Варіант 14

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні кути. Суміжні кути.

Завдання спрямовано на перевірку знань про суміжні та вертикальні кути як основні геометричні фігури на площині.

Суміжними називають два кути, у яких одна сторона спільна, а інші є доповняльними променями. На рис. 1 кути \(AOC\) та \(COB\) суміжні.

Рис. 1

Сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Оскільки в умові міру кута наведено в радіанах, скористаймось еквівалентом: \begin{gather*} \alpha+\beta=\pi. \end{gather*}

Відомо, що кут \begin{gather*} \alpha=\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Щоб визначити міру кута \(\beta\), віднімімо від \(\pi\) відомий кут: \begin{gather*} \beta=\pi-\frac{\pi}{5}. \end{gather*}

Зведімо до спільного знаменника:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання спрямоване на перевірку навичок розв’язання лінійних нерівностей і застосування властивостей числових нерівностей.

\begin{gather*} x\in (-\infty; -3]. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання спрямоване на перевірку знань про піраміду та її елементи.

У піраміді \(SABCD{:}\)

\(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) – бічні ребра;

\(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) – ребра основи.

Отже, \(HD\) є ребром основи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За умовою, точка \((x_0; -2)\) належить графіку функції \(y=f(x)\), отже, за заданого значення аргумента \(x\) значення функції \(f(x_0)=-2.\) На осі ординат \((Oy)\) вибираємо значення \(-2.\) Проводимо пряму, паралельну осі абсцис, від точки із координатою \((0; -2)\) до перетину з графіком. Абсциса точки перетину дорівнює \(-3\), отже, \(x_0=-3.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формули скороченого множення:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Пляшку об'ємом \(750\) мл заповнили на \(\frac 23.\) Щоб обчислити цей об'єм, помножмо загальний об'єм на дріб:

Отже, спочатку в пляшці було \(500\) мл соку.

За умовою, з пляшки відлили \(150\) мл соку:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Помножмо дріб на \(\sqrt{5}\), щоб позбутися ірраціональності в знаменнику:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Точка \(N\) належить осі \(Oz\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище (див. рисунок) за початок координат – точку \(O(0; 0; 0).\) Тобто координати точки \(N\ x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною: \(N(0; 0; z_N).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Ромб, у якого всі кути дорівнюють \(90^\circ\), є квадратом. Оскільки сума його протилежних кутів \(180^\circ\), то навколо нього можна описати коло. Твердження правильне.

II. Вписане коло дотикається сторін ромба, але не обов'язково в їхніх серединах. Точка дотику збігається із серединою сторони лише якщо цей ромб – квадрат. Твердження неправильне.

III. Висота ромба \(BH\) удвічі більша за радіус \(OK\) вписаного в нього кола. Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивості логарифмів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу. \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^1 (2-2^x)\ dx. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Корені рівняння: якщо \(k=1\), \(x=-\pi+4\pi=3\pi.\)

Серед запропонованих варіантів відповіді є цей корінь.

Відповідь: B.

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ: \(x\ne 0.\)

Розв’яжімо методом підставлення:

\((-2; -6)\) – розв'язок системи.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма й теореми синусів.

У паралелограмі протилежні сторони рівні, тому \(BC=AD.\) Тобто достатньо визначити довжину сторони \(AD\) в трикутнику \(ABD.\)

За теоремою синусів у \(\Delta ABD{:}\)

Оскільки \(BC=AD\), то \(BC=\sqrt{6}\) см.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Оскільки \(9=3^2\), то

Отже, \(a=m+2n.\) Правильна відповідь – Д.

2. Скористаймося формулою скороченого множення:

Отже, \(a=2mn.\) Правильна відповідь – Г.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

Отже, \(a=3mn.\) Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік квадратичної функції \(y=x^2-2x+5\) – парабола, вітки якої напрямлені вгору. Найменше значення такої функції у вершині (якщо абсциса вершини входить у заданий відрізок). Визначмо абсцису вершини:

Число \(1\) належить відрізку \([0; 4]\), тому обчислімо значення функції в цій точці:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Лінійна функція \(y=-0{,}5x+5\) спадає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

На проміжку \([0; 4]\) найменше значення функції за \(x=4{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Показникова функція \(y=2^x\) зростає на всій області визначення.

На проміжку \([0; 4]\) найменшого значення функція набуває за \(x=0{:}\) \begin{gather*} y(0)=2^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. За умовою точка \(M\) – середина сторони \(BC.\) Оскільки \(MC=8\) см, то \(BC=2MC=2\cdot 8=16\) см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі \(AC\) або \(BD.\)

Обчислімо довжину діагоналі \(AC\) за теоремою Піфагора з трикутника \(ABC\ (\angle B=90^\circ){:}\)

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки \(D\) до середини \(KM.\)

Розгляньмо трикутник \(ABC.\) Відрізок \(KM\) – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника \(BAC\) з коефіцієнтом подібності \(k=\frac 12.\)

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника \(BKM\) (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника \(BAC\) і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі \(AC=BD\) і перетинаються в точці \(O.\) Відрізок \(BO\) – це медіана трикутника \(BAC.\) Оскільки \(P\) – середина \(KM\), то відрізок \(BP\) – це медіана трикутника \(BKM{:}\)

Отже, відстань від точки \(D\) до середини \(KM{:}\)

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це \(a_1=540\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(10\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=–10\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(24\) місяців – це \(S_{24}.\)

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – \(10200\) грн.

Відповідь: \(10200.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Спочатку визначмо кількість майстрів кожної професії:

• електрики – \(5\) осіб;
• плиточники – \(8\) осіб;
• маляри – \((22 - 5 - 8) = 9\) осіб.

Для формування бригади треба вибрати:

• одного електрика з п'яти. Це \(C_5^1=5\) способів;
• одного плиточника з восьми. Це \(C_8^1=8\) способів;
• двох малярів із дев'яти.

Для визначення кількості малярів використаємо формулу комбінацій:

Оскільки нам потрібно вибрати і електрика, і плиточника, і малярів одночасно, застосуймо правило добутку:

Отже, існує \(1440\) способів сформувати таку бригаду.

Відповідь: \(1440.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ \((AC)\) основи .

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу:

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ \((BD)\) ромба .

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Площа повної поверхні:

Відповідь: \(960.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

Визначмо дискримінант рівняння:

Підставмо вирази для коренів у подвійну нерівність:

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

Отже, значення \(a\) має перебувати в межах \(-2\lt a\lt 3.\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(-1\), \(0\), \(1\), \(2.\)

Усього таких значень чотири.

Відповідь: \(4.\)