Національний мультитест з математики – Варіант 17

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(20\), але нижчим за позначку \(38.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55 \gt 38\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик на позначці \(40.\) (\(40 \gt 38\) – не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) Число \(35\) більше за \(20\) і менше за \(38\) \((20\lt 35\lt 38).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (\(45 \gt 38\) – не підходить).

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(20\) до \(38\), – жовта.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння перетворювати степеневі вирази й обчислювати їхні значення.

Для розв’язання завдання треба знати означення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема конуса.

Конус утворений обертанням рівностороннього (рівнобедреного) трикутника \(APB\) навколо його висоти \(PO\), проведеної до основи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Для розв’язання завдання треба знати визначення степеня із цілим показником і правила дій зі степенями, а саме:

Розв'яжімо показникове рівняння:

Зведімо до однакової основи:

Корінь рівняння \(x=-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точку локального екстремуму функції за її графіком.

На рисунку зображено параболу – графік квадратичної функції. Гілки параболи напрямлені вниз, отже, функція має точку локального максимуму. Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргументу \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Точка максимуму відповідає вершині параболи.

Вершина параболи розташована в найвищій точці графіка. Опустімо перпендикуляр із цієї точки на вісь \(Ox{:}\)

Точка локального екстремуму заданої функції:

Відповідь: B.

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і застосовувати формули зведення.

Використаймо формулу:

Підставмо значення \(\sin \alpha=0{,}8.\)

Отже, \(\sin(180^\circ+\alpha)=-0{,}8.\)

Кут \((180^\circ+\alpha)\) розташований у III чверті тригонометричного кола.

У III чверті синус набуває від’ємного значення, тому поставлено знак мінус.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. \(OA\ \perp\ AB\) – правильно. Радіус кола, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної.

II. \(OB=2OA\) – правильно.

Розгляньмо трикутник \(\Delta OAB\ (\angle A=90^\circ).\)

Сума його гострих кутів дорівнює \(90^\circ\), отже \(\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.\)

Катет \(OA\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи \(OB.\) Тобто \(OB=2OA.\)

III. \(OD=AC\) – правильно.

\(OD\) та \(OC\) – це радіуси кола, тому \(OD=OC.\)

Розгляньмо \(\Delta OAC.\) Він рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси).

Оскільки кут при вершині \(\angle AOC=60^\circ\), то градусна міра кутів при основі також \((180^\circ-60^\circ) : 2 = 60^\circ.\)

Отже, \(\Delta OAC\) – рівносторонній, тому \(AC=OC.\)

Оскільки \(OD=OC\) й \(AC=OC\), то \(OD=AC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

Поділімо обидві частини рівняння на \(\pi{:}\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac 14.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

Підставмо значення:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона \(BC=18\) см, точка \(M\) поділила її у відношенні \(4:5.\) Тому загальна кількість частин дорівнює \(9{:}\)

Отже,

Оскільки \(AM\) – бісектриса прямого кута \(A\), то

У прямокутнику сторони \(BC\) та \(AD\) паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник \(ABM{:}\) у ньому два кути по \(45^\circ{:}\) \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони \(AB\) та \(BM\) рівні:

Обчислімо площу прямокутника:

Відповідь: A.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники за формулою різниці квадратів:

У виразі \(3a+6b=3(a+2b)\) винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

Маємо систему рівнянь:

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

Підставмо значення \(x=2\) у друге рівняння системи й визначмо \(y{:}\)

Тобто \((2; -1)\) – розв'язок системи, а

Відповідь: Б.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань \(d\) від точки з координатами \((x; y; z)\) до початку координат \((0; 0; 0)\) обчислюють за формулою:

A \((0; 4; 0){:}\)

Б \((0; 3; -4){:}\)

B \((-5; 0; 0){:}\)

Г \((1; 3; 0){:}\)

Д \((3; 0; -3){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує \(9\) гривень. На \(61\) гривню можна купити \(6\) наборів. На це буде витрачено \(54\) гривні. На \(7\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(5\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити – \(13.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення (модуль, степінь, логарифм) математичних виразів і визначати положення отриманих чисел на координатній прямій.

1. За властивістю модуля:

Числу \(2\) на прямій відповідає точка \(P.\)

Отже, 1 – Д.

2. \(0{,}5^0=1.\) Числу \(1\) на прямій відповідає точка \(N.\)

Отже, 2 – Г.

3. За властивістю логарифма:

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x-2\)

За \(x=1\) маємо \(y=1-2=-1.\)

Оскільки \(-1\lt 0\), функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. \(y=x^3\)

Обчислімо значення в точці \(x=0.\)

Для \(y=x^3{:}\) \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для \(y=\log_{0{,}5}(x+1){:}\)

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку \((0; 0).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\cos x\)

Функція є парною \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\)

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники \(AOD\) та \(BOC\), утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки \(AC=BD\), діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: \(AO=OD\) та \(BO=OC\)). Отже, \(BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.\)

У прямокутному трикутнику \(BOC\) за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – А.

2. За умовою, \(KM\) – середня лінія трикутника \(AOD\), \(KM=12\) см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

Отже, 2 – Д.

3. Висота \(h\) трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників \(AOD\) та \(BOC\)).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота \(\Delta BOC{:}\)

Висота \(\Delta AOD{:}\)

Висота трапеції:

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

За властивістю логарифма:

Відповідь: \(0{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації.

Софія вибирає набір із \(4\) листівок із \(10.\) Комбінації, де порядок неважливий, обчислюємо за формулою:

Оскільки за умовою всі конверти мають бути одного кольору (або всі жовті, або всі сині), то Софія має лише \(2\) варіанти вибору.

Обчислімо кількість способів:

Отже, у Софії є \(420\) способів зробити такий вибір.

Відповідь: \(420.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

Обчислімо площу основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою \(S=ab\sin \gamma{:}\)

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити \(\frac{V}{\sqrt{3}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1200.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому завданні \(x_1+x_2=8\) та \(x_1\cdot x_2=4a-1.\)

Треба визначити \(x_1^2+x_2^2.\) Використаймо формулу квадрата суми:

Звідси:

За умовою сума квадратів дорівнює \(38{:}\)

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути \(D\ge 0.\)

Якщо \(a=3{,}5\), то

Оскільки \(D\gt 0\), корені існують.

Відповідь: \(3{,}5.\)