Національний мультитест з математики – Варіант 19

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Суміжні кути.

Завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення і властивість суміжних кутів.

Кути \(\alpha\) та \(\beta\) суміжні, оскільки мають спільну сторону, а інші їхні сторони є доповняльними променями. Сума суміжних кутів завжди дорівнює \(180^\circ.\) Тому

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо, скільки дзвінків надійшло за другу годину.

За умовою, це на \(17\) більше, ніж за першу:

Тепер знайдемо загальну кількість дзвінків за дві години:

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

ТЕМА: Показникові рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові рівняння, знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Перетворімо дріб:

Маємо рівняння:

Оскільки основи степенів однакові \((2)\), прирівнюємо показники:

Корінь рівняння \(-3\) належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів.

За умовою:

Відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів цих кіл:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення і властивостей степеня з натуральним показником.

За властивістю степенів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей призми.

Об'єм призми визначаємо за формулою:

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його площа:

За умовою задачі висота \(H=3a.\)

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Завдання перевіряє вміння визначати точки локального екстремуму функції за її графіком.

Точка локального екстремуму (максимуму або мінімуму) – це значення аргумента \(x\), за якого функція досягає свого найбільшого або найменшого значення на певному проміжку.

Визначимо найвищу точку на локальному згині графіка (у місці, де зростання функції змінюється на спадання). Проведімо перпендикуляр із цієї точки до осі .

Отже, \(x_0=-2\) – точка локального максимуму заданої функції.

Важливо: точка \(x=1\) – це точка локального мінімуму, а не максимуму. Точки на кінцях проміжку \(( x=-5\) та \(x=5)\) не вважаємо точками локального екстремуму, оскільки не знаємо, як поводиться функція за межами визначеного проміжку (чи змінюється там зростання на спадання).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута \(180^\circ.\) Його половина – це \(90^\circ.\) У прямокутному трикутнику один кут прямий \((90^\circ)\), а сума двох гострих кутів також дорівнює \(90^\circ.\) Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника \(180^\circ\), то градусна міра кожного кута дорівнює: \(180^\circ : 3 = 60^\circ.\) Сума будь-яких двох кутів: \(60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за \(60^\circ\), то їхня сума більша за \(180^\circ\) (наприклад, \(61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ\)). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює \(180^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння, їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

Помножмо обидві частини першого рівняння на \(2y\), щоб позбутися знаменника:

Підставмо \(x=-6y\) у друге рівняння:

Обчислімо \(x{:}\)

Отже, розв'язком системи є пара чисел \((12; -2).\)

\(x_0=12.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати зображених на рисунку точки, вектора.

Точки \(K\) та \(N\) лежать на осі \(y.\) Це означає, що їхні координати по осях \(x\) та \(z\) дорівнюють нулю:

Координати векторa \(\overrightarrow{KN}\), який з’єднує ці дві точки, обчислімо як різницю координат його кінця \((N)\) і початку \((K){:}\)

У вектора, що лежить на осі \(y\), перша та третя координати мають бути нулями.

Вектор напрямлений від \(K\) до \(N\), тобто в додатному напрямку осі \(y.\) Це означає, що ордината y вектора має бути додатною \((y_N-y_K\gt 0).\)

Серед запропонованих варіантів лише вектор \((0; 4; 0)\) лежить на осі \(Oy\) і має додатний напрямок.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення для розкладання многочленів на множники.

Використаймо формулу скороченого множення різниця квадратів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифмів.

За властивістю логарифмів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Усуньмо ірраціональність у знаменнику дробу:

Маємо:

Якщо \(k=0\), \(x=\pm \frac{\pi}{6}.\)

Оскільки функція косинус парна, то

Отже, \(-\frac{\pi}{6}\) – корінь рівняння.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(|-n|=a\), то...

За означенням модуля:

За умовою \(n\gt 0\), тож \(|-n| =n\), тому \(a=n.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо \((n-2)(n+1)-n^2=a\), то...

Отже, правильна відповідь – А.

3. Якщо \(2^{-\lg n}=2^{\lg a}\), то...

Оскільки основи степенів однакові \((2)\), можна прирівняти показники:

Використаймо властивість логарифма:

Маємо:

Оскільки \(n^{-1}=\frac 1n\), то \(\frac 1n=a.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. \(y=\frac{\pi}{2}.\) Це горизонтальна пряма, що проходить через значення \(y\approx \frac{3{,}14}{2}\approx 1{,}57.\) Оскільки \(1{,}57\gt 1\), пряма \(y=\frac{\pi}{2}\) пройде вище від прямокутника \(ABCD\) й не перетне його в жодній точці.

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(y=\cos x.\) Графік косинуса перетинає бічні сторони прямокутника та дотикається його верхньої межі в одній точці. Отже, графік і прямокутник мають три спільні точки.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=x^2+1.\) Оскільки графіком функції \(y=x^2+1\) є парабола з вершиною в точці \((0; 1)\), вітки якої спрямовані вгору, то вона має лише одну спільну точку з прямою (або межею прямокутника).

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. \(BC\ ||\ AD\) (за означенням трапеції), а за умовою \(BO\ ||\ CD.\) Чотирикутник \(BODC\) – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\) (\(\angle COD=90^\circ\), оскільки \(CO\) – висота).

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин \(B\) і \(C\), відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту \(BK\) з точки \(B\), то \(AK=OD=6\) см.

Також \(KO=BC=6\) см. Отже, довжина основи

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Зауважмо, що \(\ln 2\) – це стале число (константа), оскільки вираз не містить змінної \(x.\)

Отже, функцію \(f(x)\) можна записати у вигляді:

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x=4\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі за допомогою комбінацій (сполук).

Формуючи музичний квартет (групу виконавців), ми зважаємо лише на склад учасників. Оскільки порядок вибору не має значення, використовуємо формулу для обчислення кількості комбінацій із \(n\) елементів по \(k{:}\)

Треба обрати \(4\) учасників із \(6\) можливих (\(3\) дівчини та \(3\) хлопці) без урахування порядку. Отже:

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу \((AC)\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи:

Отже, висота циліндра \(H=CD=12\) см.

2. \(\cos A=\frac{AD}{AC}\);

Об'єм циліндра визначмо за формулою \(V=\pi R^2H{:}\)

Відповідь: \(1296.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати їхні властивості та досліджувати рівняння з параметрами.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому завданні \(x_1+x_2=-(a-2)\) та \(x_1\cdot x_2=28-4a.\)

За умовою:

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути \(D\ge 0.\)

Якщо \(a=9\), то

Оскільки \(D\gt 0\), корені існують.

Відповідь: \(9.\)