Національний мультитест з математики – Варіант 20

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутник навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(900 : 2 = 450.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить \(450\) занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom \((450).\) Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet \(\approx 300\) занять.

Teams \(\approx 150\) занять.

Перевіряємо твердження про Google Meet:

А належить проміжку \([500; 700].\) \(300\) не належить заданому проміжку - твердження неправильне.

Б менша за \(400.\ 300 \lt 400\) - твердження правильне.

В менша, ніж кількість занять у Teams. \(300\lt 150\) - нерівність не виконується, тому твердження неправильне.

Г становить половину від загальної кількості. \(300\ne 450\) - твердження неправильне.

Д удвічі менша за кількість занять у Zoom. \(450 : 2 = 225 \ne 300\) - твердження неправильне.

Отже, лише твердження «менше від \(400\)» задовольняє умову.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

Використаймо властивість степенів:

Тоді

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти iз показники степеня:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

і логарифмічні тотожності:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

І. Хорда — це відрізок, що сполучає дві будь-які точки кола. Хорди можуть перетинатися в будь-якій точці всередині кола.

Тільки якщо обидві хорди є діаметрами, вони обов'язково перетнуться в центрі. Твердження неправильне.

ІI. Паралельність не гарантує рівність довжин.

Паралельні хорди будуть рівними тільки тоді, коли вони розташовані на однаковій відстані від центра. У загальному випадку це не так. Твердження неправильне.

ІII. Якщо довжини хорд рівні, то перпендикуляри, проведені з центра кола до цих хорд (відстані), також будуть рівними.

Це випливає з рівності трикутників, утворених радіусами та хордами. Твердження правильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником, його властивостей.

Використали властивість степеня з натуральним показником.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скероване на вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди від'ємні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), графік обов'язково буде і в тій зоні, де \(x\lt 0\) (це III чверть), і в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це IV чверть).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати системи лінійних нерівностей.

Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:

Розв'язком системи є проміжок \(x\in (-2; 9].\) З наведених чисел, лише число \(6\) належить даному проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Знайдемо час, протягом якого гончар працював безпосередньо руками. Для цього від загального часу уроку віднімемо час, витрачений на теоретичну частину (пояснення).

Щоб знайти загальну кількість виготовлених горняток \((n)\), потрібно час, протягом якого гончар безпосередньо працював (\(48\) хв), поділити на час виготовлення одного горнятка (\(3\) хв).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

за формулою різниці квадратів.

У виразі \(10b+2a=2(5b+a)\) винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: A.

ТЕМА: Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл, зокрема конуса.

Об'єм конуса знаходиться за формулою:

Радіус основи та висота конуса дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти конуса \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Позбудимося ірраціональності в знаменнику дробу:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Таблиця похідних та правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходження похідної частки двох функцій.

Знайдемо похідну функції за правилом диференціювання частки:

Застосували формули для знаходження похідних (\(C\), \(\alpha\) - сталі):

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу паралелограма.

Площа паралелограма обчислюється за формулою: \begin{gather*} S=a\cdot h_a, \end{gather*} де \(a\) — сторона паралелограма, а \(h_a\) — висота, проведена до цієї сторони.

Сторона \((a){:}\ CD = 3.\)

Висота \((h_a){:}\ BH=7\) (висота паралелограма — це перпендикуляр між вертикальними прямими, на яких лежать сторони \(AB\) та \(CD\)).

Підставляємо значення у формулу:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з цілим показником та її властивості, тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. \(\log_{0{,}2} a=\log_{0{,}2} 5=\log_{\frac 15} 5=\log_{5^{-1}} 5=-1\cdot \log_5 5=-1.\)

\(-1\) є цілим від'ємним числом. Отже, 1 – B.

Застосували властивості логарифмів:

2. \(2^{-a}=2^{-5}=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}.\)

\(\frac{1}{32}\) є раціональним числом, що не є цілим. Отже, 2 – Г.

Застосували властивість степенів:

3. \(\dfrac{10}{a}=\dfrac{10}{5}=2.\)

\(2\) є натуральним числом. Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

Побудуймо графіки заданих функцій.

1. \(y=\sqrt{x+3}\) зростає на всій області визначення.

Отже, 1 – Г.

2. \(y=1-x^2.\) Оскільки вітки параболи напрямлені вниз, то вершина — це найвища точка графіка. Функція має точку локального максимуму.

Отже, 2 – A.

3. \(y=2^{-x}\)
\(y=\left(\dfrac 12\right)^x.\)

Показникова функція вигляду \(a^x\) завжди набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\) при будь-яких \(x.\) Вона ніколи не перетинає вісь \(Ox\) і не стає від'ємною. Оскільки основа \(\dfrac 12\lt 1\), функція спадає. Функція набуває лише додатних значень

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутних трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

1. У \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ)\), бо \(ABCD\) — прямокутна трапеція. Відрізок \(OB\) з'єднує вершину прямого кута з серединою гіпотенузи \(AC.\) Отже, \(OB\) — медіана, проведена до гіпотенузи.

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Отже, 1 – Г.

2. У трикутнику \(\Delta ABC\ (AC=15\) см і \(BC=12\) см) за теоремою Піфагора:

Отже, 2 – В.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює: \(L=\dfrac{BC+AD}{2}.\) Проведемо висоту \(CH\) з вершини \(C\) на основу \(AD.\) Оскільки трапеція прямокутна, \(ABCH\) — прямокутник. \(CH=AB=9\) см, \(AH=BC=12\) см. Розглянемо прямокутний трикутник \(\Delta CHD.\) \(CD=15\) см (за умовою) і \(CH=9\) см за теоремою Піфагора:

Знайдемо основу \(AD{:}\)

Обчислімо середню лінію:

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей, правил визначення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

та формулою Ньютона - Лейбніца:

Відповідь: \(-22.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило суми та добутку.

1. “Готовий комплект” (Імпортні).

Магазин пропонує \(8\) видів готових імпортних комплектів (кожен з яких вже містить \(1\) футболку та \(2\) однакові пари шортів). Речі з комплекту не можна купити окремо. Отже маємо \(8\) варіантів вибору.

2. “Збери сам” (Українське виробництво).

Магазин пропонує \(10\) видів футболок і \(15\) видів шортів українського виробництва. Оскільки нам потрібно \(2\) однакові пари шортів, то ми обираємо один вид шортів із \(15\) наявних (і беремо дві штуки цього виду). Тобто маємо \(10\) варіантів вибору футболок і \(15\) варіантів вибору шортів.

Згідно з правилом добутку, кількість способів скласти такий вибір:

3. Тепер необхідно об'єднати результати. Ми можемо купити АБО готовий комплект, АБО скласти його самостійно.

Згідно з правилом суми, додаємо варіанти з першої та другої груп:

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Правило суми: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) — \(m\) способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «\(A\) або \(B\)» можна здійснити \(n + m\) способами.

Відповідь: \(158.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні між собою. Отже, бічна грань — це рівнобедрений прямокутний трикутник. В такому трикутнику гіпотенузою може бути тільки сторона основи піраміди (оскільки бічні ребра мають бути рівними катетами). \(AB=BC=CA=6\) см.

Апофема \((FK)\) — це висота бічної грані піраміди, проведена з її вершини. Висота у прямокутному трикутнику, проведена до гіпотенузи, є медіаною і дорівнює половині гіпотенузи:

За формулою \begin{gather*} S_{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, \(m\) – апофема, знаходимо блощу бічної поверхні:

Апофема \(m=FK=3\) см.

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв'язувати рівняння з параметром.

Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки з \(x\) в один бік, а числа та параметри — в інший.

За умовою корінь рівняння має бути від’ємним числом \((x\lt 0){:}\)

Розв`яжемо нерівність методом інтервалів:

Отже, \(x\lt 0\) при \(a\in (0; 10).\)

Найбільше ціле число \(a\) з інтервалу \((0; 10)\) це \(9.\)

Відповідь: \(9.\)