Національний мультитест з математики – Варіант 23

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Покупець хоче якнайдешевше придбати \(80\) ручок. Має два варіанти:

• \(1\) ручка – \(5\) грн;
• набір із \(3\) ручок – \(10\) грн.

Що вигідніше?

Якщо купити \(3\) ручки окремо:

А набір із \(3\) ручок коштує \(10\) грн, тобто дешевше на \(5\) грн.

Отже, вигідніше максимально купувати наборами, а не по одній ручці.

Обчислімо кількість повних наборів, які можна придбати в межах потрібної кількості ручок:

\begin{gather*} 80:3=26\ (\text{остача}\ 2). \end{gather*}

Отже, покупець може купити \(26\) наборів, а ще \(2\) ручки йому доведеться докупити окремо.

Обчислімо вартість:

\(26\) наборів: \(26\cdot 10=260\) грн.

\(2\) ручки окремо: \(2\cdot 5=10\) грн.

\begin{gather*} 260+10=270\ \text{грн}. \end{gather*}

Чому невигідно купувати всі ручки по \(5\) грн?

Бо вартість покупки буде більшою:

\begin{gather*} 80\cdot 5=400\ \text{грн}. \end{gather*}

А купівля наборами коштуватиме покупцеві \(270\) грн, що значно дешевше.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі.

Треба знайти залу, яку відвідало найбільше глядачів, тобто відшукати найвищий стовпчик на графіку.

А Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\)
Б Блакитна зала: стовпчик сягає позначки \(40.\)
В Жовта зала: стовпчик сягає позначки \(35.\)
Г Зелена зала: стовпчик сягає позначки \(20.\)
Д Фіолетова зала: стовпчик сягає позначки \(45.\)

Отже, найбільше глядачів відвідало білу залу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання формули середньої лінії трапеції.

Середня лінія трапеції – це відрізок, який сполучає середини її бічних сторін.

За властивістю середньої лінії трапеції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Квадратні нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

Для розв’язання квадратної нерівності використаймо ескіз графіка квадратичної функції \(y=ax^2+bx+c.\) Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи – вгору \((a\gt 0)\) чи вниз \((a\lt 0)\), та абсциси точок перетину з віссю \(Ox:\)

Отже, вітки параболи напрямлені вгору.

Розв’яжімо рівняння \(x^2-9=0.\)

Розкладімо на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b);\\[7pt] (x-3)(x+3)=0;\\[7pt] x_1=3\ \text{та}\ x_2=-3.\end{gather*}

Це – нулі функції \(y=x^2-9.\)

Побудуймо ескіз графіка функції.

\begin{gather*} x\in\ (-3; 3). \end{gather*}

З наведених чисел лише число \(2\in (-3; 3).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками у просторі та властивостей сфери.

Сфера – це множина точок, віддалених від центра на однакову відстань – радіус \((R).\)

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

\(R=OA.\)

За формулою відстані між двома точками \(M_1\ (x_1; y_1; z_1)\) та \(M_2\ (x_2; y_2; z_2)\) простору:

Підставмо координати точок \(O\ (-2; -4; 3)\) та \(A\ (3; -1; 2){:}\)

Отже, радіус сфери \(R=\sqrt{35}.\)

Щоб обчислити діаметр (\(D\)), треба помножити радіус на \(2{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння піднести до квадрата вираз, що містить ірраціональне число.

Для розв’язання завдання треба знати властивість арифметичного квадратного кореня й означення модуля:

\begin{gather*} \sqrt{a^2}=|a|; \\[7pt] |a|=\left\{\begin{array}{l} a, \quad \text{якщо } a \ge 0; \\ -a, \quad \text{якщо } a < 0; \end{array}\right. \\[7pt] 3 \cdot \sqrt{(-3)^2} = 3 \cdot |-3| = 3 \cdot 3 = 9. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння аналізувати розташування графіка функції в координатних чвертях.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатне, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), тож графік обов'язково буде і в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це I чверть), і в тій зоні, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник \(AOK\) прямокутний.

Точка \(K\) – це точка дотику кола до сторони \(AB.\) За властивістю дотичної радіус \(OK\), проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної \((OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(\angle OKA=90^\circ\), трикутник \(AOK\) прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник \(BKL\) рівнобедрений.

Відрізки \(BK\) та \(BL\) – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки \(B\). За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою \((BK=BL).\) Оскільки дві сторони трикутника рівні, то \(\Delta BKL\) рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники \(MOK\) і \(LOC\) рівні.

У трикутнику \(MOK\) сторони \(OM\) та \(OK\) – це радіуси кола \((OM=OK).\) У трикутнику \(LOC\) одна зі сторін – радіус \(OL\), а сторона \(OC\) з'єднує центр із вершиною трикутника.

\(\Delta MOK\) завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а \(\Delta LOC\) – прямокутний \((\angle OLC=90^\circ).\) Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

А також властивість степенів:

\begin{gather*} \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формули для обчислення бічної поверхні циліндра й уміння її застосовувати.

Площу бічної поверхні циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

\begin{gather*} a^m\cdot a^n=a^{m+n};\\[7pt] S_\text{біч}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

З першого рівняння виразімо добуток \(xy{:}\)

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння:

\begin{gather*} 2x+3=2x-y+11;\\[7pt] 2x-2x+y=11-3;\\[7pt] y=8. \end{gather*}

Підставмо \(y=8\) в перше рівняння:

\begin{gather*} 8x=2x+3;\\[7pt] 8x-2x=3;\\[7pt] 6x=3;\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

\((0{,}5; 8)\) – розв'язок системи.

Обчислімо добуток:

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=0{,}5\cdot 8=4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі та вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=80^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії \((d){:}\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії \(n=5.\)

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Якщо \(n=0\), то \(x=0.\)

Якщо \(n=1\), то \(x=3\pi.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня із цілим показником, а також уміння здійснювати тотожні перетворення раціональних і логарифмічних виразів.

1. Якщо \(\dfrac na=3\), то

Отже, 1 – Д.

2. Якщо \(1+\log_3 n=\log_3 a\), то

\begin{gather*} \log_3 3+\log_3 n=\log_3 a;\\[7pt] \log_3 3n=\log_3 a;\\[7pt] a=3n. \end{gather*}

Застосуймо властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Якщо \(3^n\cdot 3=3^a\), то

\begin{gather*} 3^n\cdot 3^1=3^a;\\[7pt] 3^{n+1}=3^a;\\[7pt] a=n+1. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^1=a;\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. \(y=\log_2 x\) логарифмічна функція з основою \(a=2.\)

Функція визначена лише за \(x\gt 0\), отже, вона не визначена за \(x=-2.\) Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2-4x-4\) квадратична функція, графік якої – парабола.

Обчислімо значення функції за \(x=2{:}\)

Оскільки \(-8\lt 0\), функція набуває від'ємного значення за \(x=2.\) Отже, 2 – Б.

3. Функція \(y=\dfrac 4x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника і середньої лінії трапеції.

1. \(KC.\) У паралелограмі протилежні сторони рівні:

\(AD=BC;\)

Отже, \(BC=26\) см.

Оскільки точка \(K\) – середина \(BC{:}\)

\begin{gather*} KC=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Середня лінія трапеції \(KCDP.\)

Розгляньмо чотирикутник \(KCDP.\) Сторони \(KC\!\parallel\!PD\) (як частини основ паралелограма), а \(KP\!\nparallel\!PD.\) Це прямокутна трапеція. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ:

\begin{gather*} L=\frac{KC+PD}{2};\\[6pt] L=\frac{13+8}{2}=\frac{21}{2}=10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. \(KP.\) Розгляньмо трикутник \(AKD.\) За умовою він прямокутний \((\angle AKD=90^\circ)\), а \(KP\) – його висота, проведена до гіпотенузи \(AD.\) За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} KP^2=AP\cdot PD;\\[7pt] KP^2=18\cdot 8=144;\\[7pt] KP=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Завдання перевіряє навички інтерпретування геометричного змісту визначеного інтеграла та вміння обчислювати площі фігур, обмежених графіками функцій.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Обчислімо \(\displaystyle \mathop{\int}\limits_0^5 f(x)\ dx.\)

Згідно з геометричним змістом, визначений інтеграл дорівнює алгебричній сумі площ фігур, обмежених графіком функції та віссю \(Ox:\)

• якщо фігура лежить над віссю (як \(A\) та \(C\)), її площу додають;
• якщо фігура лежить під віссю (як \(B\)), її площу віднімають.

Отже,

Обчислімо:

Додамо отримані значення:

Відповідь: \(24{,}9.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння застосовувати правило добутку в розв’язуванні комбінаторних задач.

На кожному з 5 перехресть автомобіль має лише \(2\) варіанти дії:

• зупинитися;
• проїхати без зупинки.

Щоб обчислити загальну кількість способів, треба перемножити кількість варіантів для кожного перехрестя:

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) та \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(32.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо меншу діагональ \((BD)\) основи.

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=DD_1=7\sqrt{3}).\) Оскільки переріз менший, він проходить через меншу діагональ ромба \((BD).\)

Формула для обчислення площі перерізу:

Звідси обчислімо меншу діагональ:

\begin{gather*} BD=\frac{ S_{BB_1D_1D}}{DD_1}=\frac{140\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=20. \end{gather*}

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. Отже, сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(AD=BD=20\) см (оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній).

Обчислімо площу основи \((S_\text{осн}){:}\)

Площу ромба обчислімо за формулою через сторону \((a)\) та синус кута між ними:

Об'єм призми обчислімо за формулою:

Відповідь: \(4200.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння та їхні системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола із центром у точці \(M(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишімо рівняння так:

Це коло із центром у точці \(M\ (2; 2a-3)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися вгору або вниз залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(y_0\)), але за віссю \(x\) він завжди зафіксований на позначці \(2.\)

Графік перетинає вісь \(x\) у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(x\) – пряма, \(y=0.\) Відстань від центра \(O\ (2; y_0)\) до осі \(x\) – модуль координати \(y_0{:}\)

\begin{gather*} |y_0|\lt R;\\[7pt] |2a-3|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a-3\lt 7,\\ 2a-3\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 7+3,\\ 2a\gt -7+3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a\lt 10,\\ 2a\gt -4, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt 5,\\ a\gt -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in (-2; 5).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\}\).

Усього таких значень шість.

Відповідь: \(6.\)