Національний мультитест з математики – Варіант 25

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} x\in [0{,}5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої \(a\), що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною \(8\) см паралельна осі обертання \(a\). Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: \(H=8\) см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює \(8\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора.

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Отже, ромб розділено на чотири рівні прямокутні трикутники. Розгляньмо один із них – прямокутний трикутник \(\Delta AOB\), де:
\(AO=12\sqrt{5}:2=6\sqrt{5}\) (перший катет).
\(BO=6\sqrt{5}:2=3\sqrt{5}\) (другий катет)
\(AB\) – сторона ромба (гіпотенуза).

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою принтер працює \(5\) хвилин, а швидкість друку зазначено в секундах. Тому спочатку виразімо хвилини в секундах:
\(1\) хв \(= 60\) с.
\(5\) хв \(=5\cdot 60=300\) с.

Принтер друкує сторінку за \(10\) секунд.

Щоб обчислити кількість сторінок, які він надрукує за \(300\) секунд, поділімо:

Отже, за \(5\) хвилин принтер надрукує \(30\) сторінок.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди додатні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це I чверть).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

і за властивістю степенів

Отже, \(0{,}1=\dfrac{1}{10}=10^{-1}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(12.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

Оскільки \(x\ne 0\), бо \(0\cdot (y+2)\) не може дорівнювати \(12\), поділімо обидві частини на \(x{:}\)

\begin{gather*} y+2=2y-1;\\[7pt] 2+1=2y-y;\\[7pt] 2y-y=2+1;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Підставмо значення \(y=3\) у перше рівняння:

\begin{gather*} x(3+2)=12;\\[7pt] x\cdot 5=12;\\[7pt] x=12:5;\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Отже, \(x_0=2{,}4.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її середньої лінії.

За умовою, відношення сторін \(AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.\)

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

Периметр усієї трапеції \(ABCD\) дорівнює \(80\) см:

Отже, довжини сторін:

\begin{gather*} AB=2\cdot 5=10\ \text{см};\\[7pt] BC=3\cdot 5=15\ \text{см};\\[7pt] CD=4\cdot 5=20\ \text{см};\\[7pt] AD=7\cdot 5=35\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою \(K\) і \(M\) – середини бічних сторін. Це означає, що відрізок \(KM\) – середня лінія трапеції \(ABCD.\)

Обчислімо периметр чотирикутника \(AKMD{:}\)

\begin{gather*} P_{AKMD}=AK+KM+MD+AD;\\[7pt] AK=AB:2=10:2=5\ \text{см};\\[7pt] MD=CD:2=20:2=10\ \text{см};\\[7pt] P_{AKMD}=5+25+10+35=75\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різниця векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) – вектор \(\vec c=\vec b-\vec a\)

Щоб визначити координати різниці двох векторів, треба від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \vec a(3; 5; 7);\\[7pt] \vec b(2; -4; 8);\\[7pt] \vec c=\vec b-\vec a.\\[7pt] \vec c(2-3; -4-5; 8-7);\\[7pt] \vec c(-1; -9; 1). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\) (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані \(\dfrac 13\) довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані \(\dfrac 12\) довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні \(\dfrac 13\ne \dfrac 12\), середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. Скористаймося формулою скороченого множення квадрат різниці:

Отже, правильна відповідь – Д.

Скористалися формулою скороченого множення різниця квадратів:

Отже, правильна відповідь – A.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A Функція \(y=-\dfrac 3x\) має графік-гіперболу.

Б \(y=x^2+3\) квадратична функція, графік якої – парабола з вершиною на осі \(y.\)

Функція \(y=x^2+3\) парна:

Графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 3 – Б.

B Функція \(y=\sqrt{x}\) зростає на всій області визначення.

\(y=\sqrt{x}\) за означенням набуває значень від \(0\) до \(+\infty.\)

\begin{gather*} E(y)=[0; +\infty). \end{gather*}

Отже, 2 – B.

Г \(y=\log_{0{,}5}x\) логарифмічна функція з основою \(a=0{,}5.\)

Оскільки основа \(0{,}5\lt 1\), функція спадна на всій своїй області визначення \(x\gt 0.\) У точці \(x=3\) функція має найменше значення.

Отже, 1 – Г.

Д Графік функції \(y=3x\) – пряма.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle KAB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) рівнобедрений \((AK=KB)\), то кути при його основі рівні:

Отже, 1 – B.

2. \(\angle KAC.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ.\) \(\Delta ACB{:}\)

Оскільки промінь \(AK\) проходить між сторонами кута \(\angle CAB{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\angle OKB.\)

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка \(O\)) – середина гіпотенузи \((AB).\) Отже, \(AO=OB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) – рівнобедрений \((AK=KB)\) за умовою, то медіана \(KO\), проведена до його основи \(AB\), є також і висотою. \(KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ. \Delta KOB{:}\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Ляйбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), a \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(-7{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення комбінації, вміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Відвідувач вибирає або (сендвіч і напій), або (салат і напій).

Сендвіч і напій. Вибираємо один із \(10\) сендвічів \((C_{10}^1=10)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

Салат і напій. Вибираємо один із \(8\) салатів \((C_8^1=8)\) й один із \(6\) напоїв \((C_6^1=6)\) за правилом добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 6=48. \end{gather*}

Оскільки відвідувач вибирає або перший набір, або другий, за правилом суми додамо отримані результати:

\begin{gather*} 60+48=108. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Правило суми: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами (і ці способи не перетинаються), то вибір «\(A\) або \(B\)» можна здійснити \(n + m\) способами.

Відповідь: \(108.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник. Оскільки його діагоналі рівні, за умовою вони становлять \(12\) см, що вдвічі більше за одну зі сторін основи.

У прямокутному \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа прямокутника \(ABCD\) (основи паралелепіпеда):

Діагональний переріз \(BB_1D_1D\) – прямокутник зі сторонами \(BD\) і \(DD_1\) де (\(DD_1=H\) – висота паралелепіпеда).

За умовою:

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=72\sqrt{3};\\[7pt] S_{BB_1D_1D}=BD\cdot H;\\[7pt] 12\cdot H=72\sqrt{3};\\[7pt] H=72\sqrt{3}:12=6\sqrt{3}. \end{gather*}

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислімо за формулою:

Відповідь: \(648.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжімо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола із центром у точці \(O(x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

1) \((x-6)^2+(y+8)^2=a\) коло із центром \(O_1(6; -8)\) і радіусом \(R=\sqrt{a}.\)
2) \(x^2+y^2=9\) коло із центром \(O_2(0; 0)\) і радіусом \(r=3.\)

Система має єдиний розв'язок тоді, коли ці два кола дотикаються.

Очислімо відстань між центрами кіл \(O_1O_2\) за формулою відстані між точками:

Для дотику відстань між центрами має дорівнювати або сумі, або різниці радіусів:

Зовнішній дотик: \(R+r=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}+3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=7;\\[7pt] a=49. \end{gather*}

Внутрішній дотик: \(|R-r|=O_1O_2.\)

\begin{gather*} \sqrt{a}-3=10;\\[7pt] \sqrt{a}=13;\\[7pt] a=169. \end{gather*}

(Також можливий варіант \(3-\sqrt{a}=10\), але тоді \(\sqrt{a}=-7\), що неможливо).

Оскільки за умовою потрібне найбільше значення, вибираємо \(169.\)

Відповідь: \(169.\)