Національний мультитест з математики – Варіант 29

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3-3x\lt -1;\\[7pt] -3x\lt -1-3;\\[7pt] -3x\lt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3x\gt 4. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} x\gt \frac 43. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(\frac 43; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічні, табличні, текстові та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший на діаграмі) займає половину круга. Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(600:2=300\). Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять іншу половину – \(300\) занять.

З діаграми видно, що сектор Google Meet (світло-сірий) більший за сектор Teams, але він обов'язково менший за половину круга \((300)\) і більший за чверть круга \((150).\)

Запишімо це у вигляді нерівності для кількості занять у Google Meet \((x){:}\)

\begin{gather*} 150\lt x\lt 300. \end{gather*}

Отже, лише число \(200\) задовольняє умову, оскільки \(150\lt 200\lt 300.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Це одна з основних властивостей паралелограма. У довільному паралелограмі \(ABCD\) проведімо діагональ \(AC.\) За ознакою рівності трикутників за трьома сторонами: \(AB=CD\), \(BC=AD\) як протилежні сторони паралелограма, \(AC\) – спільна, \(\Delta ABC=\Delta CDA.\) Твердження правильне.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

Ця властивість притаманна лише ромбу (а також квадрату як окремому виду ромба). У довільному паралелограмі діагоналі не ділять кути навпіл. Твердження неправильне.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Трикутники можуть бути прямокутними або тупокутними. Ця властивість не є загальною для паралелограмів. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-3; 8).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

\(y=\dfrac 1x\) графік перенесли на \(4\) одиниці праворуч. Згідно з правилом замінімо змінну \(x\) у знаменнику на вираз \((x-4).\) Маємо нову функцію: \(y=\dfrac{1}{x-4}.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості столів до стільців становить \(3 : 4.\)

Якщо столів \(3x\), а стільців \(4x\), то разом їх:

\begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Загальна кількість столів і стільців – число, кратне \(7.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника.

Периметр прямокутника – це сума всіх його сторін:

\begin{gather*} P=(AB+CD)+(BC+AD). \end{gather*}

За умовою \(P=46\) см, а сума \(AB+CD=18\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} 46=18+(BC+AD);\\[7pt] BC+AD=46-18=28\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутнику протилежні сторони рівні: \(BC=AD\). Тому

\begin{gather*} BC=28:2=14\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня з натуральним показником.

Для розв'язання використаймо властивості:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, а \(m\) – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a\) Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(m=a.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=3\) належить проміжку \([0; 4).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

та формулою Ньютона – Лейбніца:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота \(CK\) ділить основу \(AD\) на два відрізки: \(AK=16\) см і \(KD=9\) см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\) \((\angle ACD=90^\circ\) за умовою). Відрізок \(CK\) – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи \(AD.\)

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

Скористаймося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(2^{3a}=(2^3)^a=8^a.\)

Застосуймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Використаймо властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_{\textstyle a} b;\\[6pt] \log_{\textstyle a} b^k=k\cdot\log_{\textstyle a} b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=-(x-2)^2\) це квадратична функція (парабола, гілки вниз). Графік має одну точку екстремуму (тут – максимуму) – вершина параболи.

Отже, 1 – Б.

2. \(y=\cos x+1.\)

Оскільки косинус є парною функцією \(\cos(-x)=\cos x\), отримуємо:

\begin{gather*} y(-x)=\cos x+1=y(x). \end{gather*}

Якщо \(y(-x)=y(x)\) то функція за означенням є парною. Графік парної функції симетричний відносно вісі \(Oy.\)

Отже, 2 – A.

3. \(y=\dfrac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо

\begin{gather*} 2x-2\ne 0;\\[7pt] 2x\ne 2;\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, а також властивості ромба.

1. \(OA\) (Радіус кола).

Формула довжини кола: \(L=2\pi R.\) За умовою \(L=12\pi\) см, отже:

\begin{gather*} 2\pi \cdot OA=12\pi\Rightarrow OA=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Довжина діагоналі \(BD\) ромба.

Розгляньмо \(\Delta AKO.\) \(OA=OK=R=6\) см (як радіуси). За умовою \(AK=OA.\) Отже, \(\Delta AKO\) – рівносторонній (\(AK=KO=OA=6\) см). Отже, гострий кут ромба \(\angle A=60^\circ.\)

Оскільки \(AD\) – діаметр, то сторона ромба

\begin{gather*} AB=AD=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

У ромбі сума сусідніх кутів дорівнює \(180^\circ\), тому тупий кут

\begin{gather*} \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \end{gather*}

За властивістю ромба діагональ \(BD\) є бісектрисою кута \(B\), тобто в трикутнику \(ABD\) кути при основі \(\angle ABD=\angle ADB=60^\circ.\) Тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній, і \(BD=AB=12\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина висоти ромба.

Трикутник \(ABD\) рівносторонній, тож висота ромба, проведена з вершини \(B\) до сторони \(AD\), є водночас і висотою цього трикутника.

Формула для обчислення висоти рівностороннього трикутника: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \end{gather*} де \(a\) – його сторона.

Підставмо значення довжини сторони \(a=12\) см:

\begin{gather*} BO=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

• кількість запрошень за 1-й тиждень: \(a_1=7\);
• різниця прогресії: \(d=3\);
• кількість тижнів (елементів): \(n=10\).

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші \(10\) тижнів, використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(205.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

І спосіб.

Перший автомобіль (Peugeot): заїжджає на повністю порожній майданчик, тому має вибір з усіх \(10\) паркомісць.

Другий автомобіль (Ford): заїжджає наступним. Одне місце вже зайняте автомобілем Peugeot, тому для Ford залишається \(9\) варіантів.

Третій автомобіль (Volkswagen): заїжджає останнім. Два місця вже зайняті попередніми машинами, тому для нього залишається \(8\) варіантів.

За комбінаторним правилом добутку, щоб обчислити загальну кількість способів розмістити всі три автомобілі, треба перемножити кількості варіантів вибору для кожного з них:

\begin{gather*} N=10\cdot 9\cdot 8=720\ \text{способів}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

II спосіб.

Оскільки важливо і вибрати місця, і зважити на те, який автомобіль куди стане (порядок має значення), скористаймося формулою розміщень без повторень \(A_n^k\) вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Відповідь: \(720.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо довжину сторони квадрата – перерізу правильної чотирикутної призми, площа якої 64:

\begin{gather*} BD=BB_1=\sqrt{64}=8. \end{gather*}

Обчислімо висоту призми:

\begin{gather*} H=BB_1=8. \end{gather*}

В основі призми лежить квадрат \(ABCD\) з діагоналлю \(BD=8.\) Обчислімо його площу:

Підставмо обчислені значення площі основи та висоти у формулу для обчислення об'єму:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H=32\cdot 8=256. \end{gather*}

Відповідь: \(256.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(2x^2-(4a-3)x-6a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a-3);\\[7pt] c_\text{коеф.}=-6a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a-3))^2-4\cdot 2\cdot (-6a);\\[7pt] D=16a^2-24a+9+48a;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\(x_1=-1{,}5\) належить проміжку \([-5; 8].\)

\(x_2=2a\) корінь, що залежить від параметра. За умовою він також має належати проміжку \([-5; 8].\)

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -5\le 2a\le 8;\\[6pt] \frac{-5}{2}\le a\le \frac 82;\\[6pt] -2{,}5\le a\le 4. \end{gather*}

Тобто, \(a\in [-2{,}5; 4].\)

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-2; -1; 0; 1; 2; 3, 4\}. \end{gather*}

Порахуємо їхню кількість: усього \(7\) цілих чисел.

Відповідь: \(7.\)