Національний мультитест з математики – Варіант 30

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Найбільша за довжиною хорда кола – його діаметр.

Отже, \(AB=16\), тому що радіус кола дорівнює \(8\ (d=2R).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 40\lt\ \text{кількість глядачів}\ \lt 48. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(40\), але нижчим за позначку \(48.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55\gt 48\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (\(35\lt 40\) – не підходить).

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (\(20\lt 40\) – не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (Число \(45\) більше за \(40\) і менше за \(48\) \((40\lt 45\lt 48).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(40\) до \(48\), – фіолетова.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедрених, тупокутних і прямокутних трикутників.

І. Одна з висот рівнобедреного трикутника ділить його на два рівні трикутники.

У рівнобедреному трикутнику висота, проведена з вершини до його основи, є водночас медіаною і бісектрисою. Ця висота ділить трикутник на два прямокутні трикутники, рівні за двома катетами (або за катетом і гіпотенузою). Твердження правильне.

II. Дві висоти тупокутного трикутника лежать поза його межами.

У тупокутному трикутнику дві висоти, проведені з гострих кутів, перетинають не самі сторони, а їхні продовження поза трикутником (зовні). Лише одна висота, проведена з тупого кута, лежить усередині фігури. Твердження правильне.

III. Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, більша за менший катет цього трикутника.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABC\), у якому провели висоту \(CH\) до гіпотенузи. Висота \((CH)\) утворює новий (менший) прямокутний трикутник \(CHB\), \(CH\) є катетом, а менший катет початкового трикутника \(CB\) стає гіпотенузою. Оскільки в прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди більша за будь-який катет, то \(CH\lt CB.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2-12=4x-12;\\[7pt] x^2-12-4x+12=0;\\[7pt] x^2-4x=0;\\[7pt] x(x-4)=0;\\[7pt] x_1=0\ \text{або}\ x-4=0;\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(\sqrt{a}\), тож його периметр:

За умовою задачі висота \(H=3\sqrt{a}.\)

Отже,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов'язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди від'ємні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (у IV чверті).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки Іван на байдарці плив за течією, додамо швидкість течії до власної швидкості байдарки:

Щоб обчислити загальний шлях, швидкість, з якою рухався Іван, помножмо на час, який він витратив на подорож:

\begin{gather*} S=v\cdot t;\\[7pt] S=6{,}8\cdot 2{,}5=17\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\), її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) додатна: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжімо логарифмічну нерівність \(\log_{0{,}2} (x+4)\gt \log_{0{,}2} 5.\)

Функція є спадною, бо основа логарифма \(0{,}2\lt 1.\) Отже, \(x+4\lt 5\) та за ОДЗ \(x+4\gt 0.\)

Розв'язком нерівності є розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+4\lt 5,\\ x+4\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 5-4,\\ x\gt -4, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -4. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-4; 1). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв’язувати текстові задачі.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \(a_k\) відрізняється від відомого \((a_n)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_k-a_n=m\cdot d, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число (кількість кроків).

Різниця між невідомим числом і числом \(27\) має націло ділитися на \(5.\)
А) \(49{:}\ 49 - 27 = 22\) (число \(22\) не ділиться на \(5\) без остачі).
Б) \(50{:}\ 50 - 27 = 23\) (не ділиться на \(5\)).
В) \(51{:}\ 51 - 27 = 24\) (не ділиться на \(5\)).
Г) \(52{:}\ 52 - 27 = 25\) (число \(25\) ділиться на \(5\) націло: \(25 : 5 = 5\)).
Д) \(53{:}\ 53 - 27 = 26\) (не ділиться на \(5\)).

Оскільки різниця ділиться на \(5\) лише для числа \(52\), воно єдиний можливий правильний варіант із запропонованих.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ).\)

За умовою, \(\angle A=30^\circ\), а гіпотенуза \(AB=12\) см. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи.

\begin{gather*} BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, сторона \(AD\) втричі більша за висоту, проведену до неї:

\begin{gather*} AD=3\cdot BH=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площу паралелограма обчислімо як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\begin{gather*} S=AD\cdot BH=18\cdot 6=108\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right.\\[7pt] 10x-4y+6x+4y=26+6;\\[7pt] 16x=32;\\[7pt] x=\frac{32}{16}=2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=2\) у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6;\\[7pt] 12+4y=6;\\[7pt] 4y=6-12;\\[7pt] 4y=-6;\\[6pt] y=-\frac 64=-1{,}5. \end{gather*}

Тобто \((2; -1{,}5)\) – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1{,}5)=-3. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних виразів.

1. Якщо \(n^{\textstyle \log_n m}=a\), то…

Застосуймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\textstyle \log_a b}=b.\\[7pt] m=a. \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. Якщо \(\dfrac{mn^2-nm^2}{n-m}=a\), то…

Розкладімо чисельник дробу на множники, винісши спільний множник \(mn\) за дужки.

\begin{gather*} \frac{mn(n-m)}{n-m}=a. \end{gather*}

Скоротімо дріб на спільний множник \((n-m)\), оскільки \(n\gt 1\), \(m\gt 1\) і \(n\ne m\) (інакше знаменник перетворився б на нуль):

\begin{gather*} mn=a. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. Якщо \(n\sin^2 m+n\cos^2 m=a\), то…

Винесімо спільний множник \(n\) за дужки й застосуймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.\\[7pt] n(\sin^2 m+\cos^2 m)=a;\\[7pt] n\cdot 1=a;\\[7pt] n=a. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій за їхніми графіками.

1. Функція \(y=x^3\) (кубічна парабола).

Оскільки \(y(0)=0^3=0\), графік перетинає відрізок \(AB\) у точці \((0; 0).\) Оскільки \(y(1)=1^3=1\), графік перетинає відрізок \(BC\) у точці \((1; 1).\) Графік має дві спільні точки з ламаною.

Отже, 1 – B.

2. Функція \(y=\cos x\) (косинусоїда).

Розгляньмо зміну косинуса на відрізку \([0; 2\pi]{:}\)

Якщо \(x=0\), \(y=\cos 0=1.\) Це вершина \(B(0; 1).\)

Якщо \(x=\pi\), \(y=\cos \pi=-1.\) Ця точка лежить на нижній основі \(AD.\)

Якщо \(x=2\pi\), \(y=\cos (2\pi)=1.\) Це вершина \(C(2\pi; 1).\)

Графік має три спільні точки з ламаною.

Отже, 2 – Г.

3. Функція \(y=x+1\) (лінійна функція).

Графік має одну спільну точку з ламаною – це вершина \(B(0; 1).\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей квадрата, прямокутного та рівнобедреного трикутників, а також теореми Піфагора.

1. Довжина сторони квадрата \(ABCD.\)

Оскільки за умовою \(KM=DM\), трикутник \(\Delta KMD\) – рівнобедрений з основою \(KD.\)

Проведімо з вершини \(M\) висоту \(MP\) до основи \(KD\ (MP\!\perp\!AD).\) За властивістю рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є також його медіаною.

Це означає, що точка \(P\) ділить відрізок \(KD\) навпіл: \(KP=PD.\)

Чотирикутник \(MPDC\) за побудовою є прямокутником (оскільки \(MC\!\parallel\!PD\) та \(\angle C=\angle D=90^\circ\)).

З властивостей прямокутника випливає, що протилежні сторони рівні:

\begin{gather*} PD=MC=10\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(P\) – середина \(KD\), то:

\begin{gather*} KP=PD=10\ \text{см}. \end{gather*}

Сторона квадрата \(AD\) просто складається з трьох відомих відрізків на одній прямій:

\begin{gather*} AD=AK+KP+PD;\\[7pt] AD=4+10+10=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

2. Довжина відрізка \(DM.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta MCD\ (\angle C=90^\circ).\)

Катет \(MC=10\) см (за умовою).

Катет \(CD=24\) см (сторона квадрата).

За теоремою Піфагора в трикутнику \(\Delta MCD{:}\)

\begin{gather*} DM^2=MC^2+CD^2. \end{gather*}

Підставмо відомі значення чисел:

\begin{gather*} DM^2=10^2+24^2;\\[7pt] DM^2=100+576=676;\\[7pt] DM=\sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Відстань від середини відрізка \(DM\) до прямої \(AB.\)

Чотирикутник \(ABMD\) – це прямокутна трапеція з основами \(BM\) і \(AD\ (BM\!\parallel\!AD\), \(\angle A=\angle B=90^\circ).\)

Точка \(O\) – середина похилої бічної сторони \(MD.\) Проведімо з точки \(O\) перпендикуляр \(OK\) до сторони \(AB\ (OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(BM\!\parallel\!AD\) і вони обидва перпендикулярні до \(AB\), то відрізок \(OK\), проведений через середину \(MD\) паралельно основам, є середньою лінією трапеції \(ABMD.\)

За властивістю середньої лінії трапеції, її довжина дорівнює півсумі основ:

\begin{gather*} OK=\frac{BM+AD}{2}. \end{gather*}

\begin{gather*} OK=\frac{14+24}{2}=\frac{38}{2}=19\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, розкриймо дужки, щоб звести функцію до стандартного вигляду многочлена:

\begin{gather*} f(x)=4x-x^2. \end{gather*}

Застосуймо основні правила диференціювання \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\) та \((Cx)'=C.\)

\begin{gather*} f(x)'=(4x)'-(x^2)'=4-2x. \end{gather*}

Підставмо значення \(x_0=5\) у рівняння похідної:

\begin{gather*} f(5)'=4-2\cdot 5=4-10=-6. \end{gather*}

Відповідь: \(-6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Унікальний код кожної книжки складається із \(4\) позицій:
[ _ ][ _ ][ _ ][ _ ].

Перша позиція (буква): за умовою використовуємо латинський алфавіт, у якому \(26\) букв. Отже, для першого місця маємо \(26\) варіантів.

Друга позиція (цифра): у математиці \(10\) цифр (від \(0\) до \(9\)). Оскільки в умові немає обмежень на повторення символів, маємо \(10\) варіантів.

Третя позиція (цифра): аналогічно – \(10\) варіантів.

Четверта позиція (цифра): аналогічно – \(10\) варіантів.

За правилом добутку в комбінаториці, щоб обчислити загальну кількість комбінацій для всього коду, треба перемножити кількість варіантів для кожної позиції:

\begin{gather*} N=26\cdot 10\cdot 10\cdot 10=26000. \end{gather*}

Правило добутку: Якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(26000.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса й уміння їх застосовувати.

Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Його сторони – дві твірні конуса \(L\) і діаметр основи \(d=2R\) (де \(R\) – радіус основи конуса).

Оскільки трикутник рівносторонній:

\begin{gather*} L=2R. \end{gather*}

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(a\) обчислімо за формулою:

\begin{gather*} S=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{gather*}

Сторона трикутника \(a=2R\), а його площа \(S=27\sqrt{3}\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} \frac{(2R)^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] \frac{4R^2\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3};\\[6pt] R^2\sqrt{3}=27\sqrt{3}. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(\sqrt{3}{:}\)

\begin{gather*} R^2=27;\\[7pt] R=\sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Висоту рівностороннього трикутника (яка водночас є висотою конуса \(H\)) обчислімо за формулою через його сторону \((a=2R){:}\)

\begin{gather*} H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}. \end{gather*}

Підставмо значення \(R{:}\)

\begin{gather*} H=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\cdot 3=9\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=3\sqrt{3}\) см та \(H=9\) см:

Відповідь: \(81.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє навички розв’язання квадратних рівнянь, аналізування та дослідження рівнянь із параметрами.

\begin{gather*} x^2-8x+m=0;\\[7pt] x_2=x_1+2. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У заданому рівнянні:

\begin{gather*} x_1+x_2=8;\\[7pt] x_1\cdot x_2=m. \end{gather*}

Підставмо \(x_2=x_1+2\) у рівняння суми:

\begin{gather*} x_1+x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1+2=8. \end{gather*}

Розв’яжімо це рівняння:

\begin{gather*} 2x_1+2=8;\\[7pt] 2x_1=8-2;\\[7pt] 2x_1=6;\\[7pt] x_1=3. \end{gather*}

Тепер обчислімо другий корінь \(x_2{:}\)

\begin{gather*} x_2=x_1+2=3+2=5. \end{gather*}

Використаймо рівняння добутку коренів для обчислення \(m{:}\)

\begin{gather*} m=x_1\cdot x_2=3\cdot 5=15. \end{gather*}

Відповідь: \(15.\)