Національний мультитест з математики – Варіант 32

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.\)

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 115^\circ=\angle KOM+35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=115^\circ-35^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє знання властивостей коренів і вміння виконувати дії з ірраціональними числами.

Оскільки \(25=5^2\), \(\sqrt[\scriptstyle 4]{25}=\sqrt[\scriptstyle 4]{5^2}=\sqrt{5}.\)

Застосували властивості коренів:

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle nk]{a^{mk}}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема кулі.

Кулю утворено обертанням круга навколо хорди, що є його діаметром.

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(3{:}\)

\begin{gather*} x\in [-18; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей прямокутних, рівносторонніх і гострокутних трикутників.

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

Розгорнутий кут дорівнює \(180^\circ.\) Його половина – \(180^\circ :2=90^\circ.\) Найбільшим кутом у прямокутному трикутнику є саме прямий кут \((90^\circ).\) Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює \(120^\circ.\)

Усі кути рівностороннього трикутника рівні й становлять \(60^\circ.\) Сума будь-яких двох із них: \(60^\circ+60^\circ=120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за \(60^\circ.\)

Якщо кожен із трьох кутів трикутника буде більшим за \(60^\circ\) (тобто \(\alpha \gt 60^\circ\), \(\beta \gt 60^\circ\), \(\gamma \gt 60^\circ\)), то їхня сума перевищить \(180^\circ.\) Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі.

Якщо за \(t\) ручок заплатили \(x\) гривень, то одна ручка коштує \(\dfrac xt\) грн.

Обчислімо загальну вартість ручок, помноживши ціну ручки на кількість ручок \(m{:}\)

\begin{gather*} \frac xt\cdot m=\frac{mx}{t}\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди додатні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (-\infty; 0)\), тому її графік обов'язково буде в тій ділянці, де \(x\lt 0\) (це II чверть).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\begin{gather*} \left(\frac 13\right)^{2x-1}=9. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Зведімо все до однієї основи:

\begin{gather*} 9=3^2=\left(\frac 13\right)^{-2};\\[6pt] \left(\frac 13\right)^{2x-1}=\left(\frac 13\right)^{-2}. \end{gather*}

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(\dfrac 13\)), прирівняймо їхні показники степеня:

\begin{gather*} 2x-1=-2;\\[7pt] 2x=-2+1;\\[7pt] 2x=-1;\\[6pt] x=-\frac 12. \end{gather*}

Корінь рівняння \(-\dfrac 12\in (-2; 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних та вміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Визначмо загальний вигляд первісної:

Первісну, яка проходить через точку \(M(0; 1)\), дізнаймося підставивши координати точки \(x=0\), \(F(0)=1\) у формулу загального вигляду первісної, щоб обчислити значення сталої \(C{:}\)

\begin{gather*} \frac 32\cdot 0^2+0+C=1;\\[6pt] C=1. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} F(x)=\frac 32 x^2+x+1. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуймо властивість степенів

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y} \end{gather*}

і властивості логарифмів:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0;\\[7pt] a^{\log_a b}=b;\\[7pt] \log_a b^n=n\log_a b;\\[7pt] \log_{10} a=\lg a. \end{gather*}

Оскільки \(100=10^2\), маємо:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про вписані кути в колі й уміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника.

За умовою \(AB=BC\), тож трикутник \(\Delta ABC\) – рівнобедрений. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: \(\angle BAC=\angle BCA.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\) Отже,

\begin{gather*} \angle BCA=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \end{gather*}

Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.

Оскільки \(\angle BCA=75^\circ\) і він спирається на дугу \(\overset{\smile}{AB}\), то сама дуга вдвічі більша:

\begin{gather*} \overset{\smile}{AB}=75^\circ \cdot 2=150^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь підставленням, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння \(\dfrac{x}{3y}=\dfrac{-2}{1}\) за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=-2\cdot 3y;\\[7pt] x=-6y. \end{gather*}

Підставмо цей вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} -6y+y=15;\\[7pt] -5y=15;\\[7pt] y=-3. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-3.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати вектора в просторі.

Якщо \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), координати вектора

\begin{gather*} \overrightarrow{BA}(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2).\\[7pt] A(0; 2; 0);\\[7pt] B(0; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0-0; 2-0; 0-2);\\[7pt] \overrightarrow{BA}(0; 2; -2). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, тотожні перетворення логарифмічних, ірраціональних і степеневих виразів.

1. \(\ln e.\)

Натуральний логарифм \(\ln e\) – це логарифм за основою \(e\) від числа \(e.\) Застосуймо формулу:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \ln e=1. \end{gather*}

Число \(1\) належить проміжку \((0; 2].\) Отже, правильна відповідь – B.

2. \(e-4.\)

Підставмо наближене значення \(e\approx 2{,}7\)

\begin{gather*} 2{,}7-4=-1{,}3. \end{gather*}

Число \(-1{,}3\) міститься між \(-2\) та \(0\), тобто належить проміжку \((-2; 0].\) Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(e^2.\)

Оскільки \(27^2=729\), то

\begin{gather*} e^2\approx 2{,}7^2=7{,}29. \end{gather*}

Число \(7{,}29\) більше за \(6\), тому належить проміжку \((6; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=x^2-2x.\) Графіком цієї квадратичної функції є парабола, гілки якої напрямлені вгору \((a=1\gt 0).\) Найменшого значення вона набуває у вершині, а найбільше значення функції на відрізку треба шукати на його кінцях.

Обчислімо значення функції на кінцях відрізка \([-1; 3]{:}\)

Оскільки в обох кінцях значення однакові, найбільшим значенням на цьому проміжку є \(3.\)

Отже, 1 – Г.

2. Функція \(y=-x.\) лінійна. Оскільки коефіцієнт перед \(x\) від'ємний \((k=-1)\), функція є спадною на всій своїй області визначення.

Спадна функція набуває свого найбільшого значення на лівому кінці відрізка, тобто за найменшого \(x{:}\)

\begin{gather*} y(-1)=-(-1)=1. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Функція \(y=5^{-x}.\) Перепишімо функцію в зручнішому вигляді: \(y=\dfrac{1}{5^x}.\) Оскільки основа степеня \(0\lt \dfrac 15\lt 1,\) задана показникова функція також спадна.

Отже найбільше значення буде на лівому кінці відрізка (за \(x=-1\)):

\begin{gather*} y=5^{-(-1)}=5^1=5. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

1. Діаметр заданого кола \(BD.\)

Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба \(ABCD.\) За властивістю ромба, діагоналі \(AC\) і \(BD\) перпендикулярні \((AC\!⊥\!BD)\), а точка \(O\) є їхньою серединою \((AO=OC\), \(BO=OD).\) Оскільки коло побудоване на \(BD\) як на діаметрі, його центром є саме точка \(O\), а радіус кола дорівнює \(R=BO=OD.\) Точка \(K\) лежить на колі та на діагоналі \(AC.\) Оскільки \(O\) – центр кола, то відрізок \(OK\) – це також радіус кола \((OK=R).\)

\begin{gather*} AC=AK+KC=5+35=40\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(O\) – середина \(AC{:}\)

\begin{gather*} AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Знайдемо радіус кола \((R = OK)\). З малюнка видно, що точка \(K\) лежить між \(A\) та \(O.\) Тому:

\begin{gather*} OK=AO-OK=20-5=15\ \text{см}. \end{gather*}

Тобто радіус кола \(R=15\) см, звідки:

\begin{gather*} BD=2R=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

2. Довжина сторони ромба \(ABCD\ (AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta AOB\ (\angle AOB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Висота ромба \(ABCD\ (BH).\)

Площу ромба можна обчислити двома способами: через діагоналі та через сторону і висоту.

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \text{та}\ S=ah.\\[6pt] S=\frac 12AC\cdot BD=AB\cdot BH;\\[6pt] \frac 12\cdot 40\cdot 30=25\cdot BH;\\[6pt] 600=25\cdot BH;\\[6pt] BH=\frac{600}{25}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Швидкість руху точки \(v(t)\) в заданий момент часу \(t\) дорівнює першій похідній від функції координати по часу \(x(t){:}\)

\begin{gather*} v(t)=x'(t). \end{gather*}

Обчислімо похідну від заданої функції координати \(x(t)=t^2+t+3{:}\)

\begin{gather*} v(t)=(t^2+t+3)'=2t+1. \end{gather*}

Отже, закон зміни швидкості має вигляд: \(v(t)=2t+1.\)

За умовою задачі швидкість точки дорівнює \(9\) м/с. Складімо та розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} 2t+1=9;\\[7pt] 2t=9-1;\\[7pt] 2t=8;\\[7pt] t=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати розміщення й комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу розміщення \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}. \end{gather*}

1. Вибір листівок із гербами для Європи.

Для \(2\) адресатів у Європі потрібно вибрати по одній листівці із \(6\) наявних із гербами.

Першому адресату можна вибрати будь-яку із \(6\) листівок.

Другому адресату – будь-яку з \(5\) листівок, що залишилися.

Кількість способів (кількість розміщень \(A_6^2\)):

2. Вибір листівок із краєвидами для Австралії.

Для \(3\) адресатів в Австралії потрібно вибрати по одній листівці із \(6\) наявних із краєвидами.

Першому адресату – \(6\) варіантів.

Другому адресату – \(5\) варіантів.

Третьому адресату – \(4\) варіанти.

Кількість способів (кількість розміщень \(A_6^3\)):

3. Загальна кількість варіантів вибору.

Оскільки Aліна має водночас виконати обидві дії (вибрати листівки і в Європу, і в Австралію), за правилом добутку перемножмо отримані результати:

\begin{gather*} 30\cdot 120=3600. \end{gather*}

Відповідь: \(3600.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

Дігональним перерізом піраміди є трикутник \(SAC\), де \(AC\) – діагональ основи.

Оскільки піраміда правильна, бічні ребра рівні: \(SA=SC=6\sqrt{2}\) см. За умовою, \(\Delta SAC\) є прямокутним. Оскільки \(SA=SC\), то цей трикутник – рівнобедрений прямокутний із прямим кутом при вершині \((\angle ASC=90^\circ).\)

За теоремою Піфагора для \(\Delta SAC{:}\)

Висота піраміди \(SO\) є медіаною та висотою, проведеною до гіпотенузи \(AC\) у прямокутному трикутнику \(\Delta SAC.\) Вона дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} H=SO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Основою піраміди є квадрат \(ABCD.\) Площу квадрата через його діагональ \(AC\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Якщо \(t=(a-2)x^2+6x,\) рівняння набуде вигляду:

\begin{gather*} t^2-4t+4-a^2=0;\\[7pt] (t^2-4t+4)-a^2=0;\\[7pt] (t^2-2\cdot 2t+2^2)-a^2=0;\\[7pt] (t-2)^2-a^2=0;\\[7pt] (t-2-a)(t-2+a)=0;\\[7pt] t-2-a=0\ \text{та}\ t-2+a=0;\\[7pt] t_1=2+a\ \text{та}\ t_2=2-a. \end{gather*}

Оскільки треба знайти від'ємне значення \(a\), то для \(a\lt 0\) значення \(t_1\) і \(t_2\) точно будуть різними \((2+a\ne 2-a\), бо \(a\ne 0\)).

Повернувшись до заміни, маємо сукупність двох квадратних рівнянь (адже шукаємо від'ємне \(a\), коефіцієнт \(a-2\ne 0\)):

1-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2+a)=0.\)

2-е рівняння: \((a-2)x^2+6x-(2-a)=0.\)

Обчислімо дискримінанти рівнянь:

Для першого рівняння:

Оскільки \(4a^2+20\gt 0\) за будь-якого \(a\), то перше рівняння завжди має рівно \(2\) корені.

Для другого рівняння:

Щоб уся сукупність мала рівно два корені, друге рівняння не повинно мати розв'язків (випадок збігу коренів \(a=0\) не задовольняє умову \(a\lt 0\)). Отже, дискримінант другого рівняння має бути від'ємним.

Розв'яжімо нерівність \(D_2\lt 0{:}\)

\begin{gather*} 36-4(a-2)^2\lt 0;\\[7pt] (a-2)^2\gt 9. \end{gather*}

Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} a-2\gt 3,\\ a-2\lt -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} a\gt 5,\\ a\lt -1. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} a\in (-\infty; -1)\cup (5; +\infty). \end{gather*}

Найбільшим цілим від'ємним значенням параметра із цього проміжку є число \(-2.\)

Відповідь: \(-2.\)