Національний мультитест з математики – Варіант 35

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x;\\[7pt] (a^x)^y=a^{x\cdot y};\\[7pt] (-6x^3)^2=(-6)^2\cdot (x^3)^2=36x^6. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур для розв'язання задач практичного змісту.

Напрямки північ і схід перпендикулярні, тому кут між ними дорівнює \(90^\circ.\) Кут між напрямком північ і напрямком \(OA\) дорівнює \(15^\circ\), тому:

\begin{gather*} \angle AOB=90^\circ-15^\circ=75^\circ. \end{gather*}

Напрямок південний схід є бісектрисою прямого кута між напрямками схід і південь, тобто

\begin{gather*} \angle BOC=\angle COD=90^\circ: 2=45^\circ. \end{gather*}

Обчислімо шуканий кут повороту:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

За умовою температура повітря не перевищувала \(10\ ^\circ\mathrm{C}\), тому треба розглянути всі проміжки часу, де значення температури є меншим або дорівнює \(10\ ^\circ\mathrm{C}\ (t\le 10\ ^\circ\mathrm{C}).\)

Знайдімо на осі \(y\) відмітку \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) і проведімо горизонтальну лінію через цю точку.

Від 0 до 7 год (з 00:00 до 07:00) температура підвищується з \(2\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) включно. Тривалість підвищення: \(7-0=7\) год.

Від 22 до 24 год (з 22:00 до 24:00) температура знижується з \(10\ ^\circ\mathrm{C}\) до \(7\ ^\circ\mathrm{C}.\) Тривалість зниження: \(24-22=2\) год.

Сумарна кількість годин: \(7+2=9\) год.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} a-(12a+5a)=a-17a=-16a. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел й уміння розв'язувати задачі на відношення і пропорції.

Усі цукерки розфасували по \(6\) штук у коробку без залишку. Це означає, що шукане число можна поділити на \(6\) націло. Число ділиться на \(6\) тоді й тільки тоді, коли воно одночасно ділиться і на \(2\), і на \(3.\)

За ознакою подільності число ділиться на \(2\), якщо воно парне (закінчується на \(0\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\)).

За ознакою подільності число ділиться на \(3\) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на \(3.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання про піраміду та її елементи.

Правильна шестикутна піраміда – це многокутник, основою якого є правильний шестикутник, а всі бічні грані – рівні між собою рівнобедрені трикутники.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Розв'яжімо рівняння:

\begin{gather*} x(2x+5)=2x+5;\\[7pt] x(2x+5)-(2x+5)=0. \end{gather*}

Винесімо спільний множник \((2x+5)\) за дужки:

\begin{gather*} (2x+5)(x-1)=0. \end{gather*}

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник дорівнює нулю:

\begin{gather*} 2x+5=0\ \text{або}\ x-1=0;\\[7pt] 2x=-5;\\[7pt] x_1=-2{,}5;\\[7pt] x_2=1. \end{gather*}

Порівняймо корені: \(-2{,}5\lt 1\), отже, менший корінь – це \(x=-2{,}5.\)

\begin{gather*} -2{,}5\in (-3; -1]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, рівностороннього трикутника.

І. \(BM\!\perp\!BC.\)

Протилежні сторони ромба паралельні \((BC\!\parallel\!AD).\) Висота \(BM\!\perp\!AD\), тому вона перпендикулярна і до паралельної сторони \(BC.\) Твердження правильне.

ІI. Трикутник \(ABD\) є рівностороннім.

За умовою \(BM\) – висота та медіана \((AM=MD)\) трикутника \(ABD.\) Отже, \(\Delta ABD\) рівнобедрений \((AB=BD).\) У ромба всі сторони рівні, тому \(AB=AD.\) Маємо \(AB=AD=BD\), тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній. Твердження правильне.

ІII. \(\angle BAD\) удвічі менший за \(\angle ADC.\)

Оскільки \(\Delta ABD\) рівносторонній, його кут \(\angle BAD=60^\circ.\)
Сума сусідніх кутів ромба дорівнює \(180^\circ\), тому \(\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\)
Отже, \(\angle BAD=60^\circ\) удвічі менший за \(\angle ADC=120^\circ.\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння перетворювати графіки функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

На рисунку 1 вершина графіка розташована в точці \(x=0.\) На рисунку 2 вершина змістилася в точку \(x=-2.\) Це означає, що графік функції \(y=f(x)\) перенесли ліворуч на \(2\) одиниці вздовж осі \(x.\) Згідно з правилом замінімо змінну \(x\) на вираз \((x+2).\) Маємо нову функцію: \(y=f(x+2).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник на множники:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

З першого рівняння визначмо \(x{:}\)

\begin{gather*} -2x=6;\\[6pt] x=\frac{6}{-2}=-3. \end{gather*}

З другого рівняння визначмо \(y{:}\)

\begin{gather*} \frac y3=9;\\[6pt] y=9\cdot 3=27. \end{gather*}

Запишімо розв'язок як упорядковану пару \((x; y){:}\ (-3; 27).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі та властивостей сфери.

Якщо сфера із центром у точці \(O\) проходить через точку \(A\), то відстань між цими точками – радіус сфери:

За формулою відстані між двома точками \(M_1(x_1; y_1; z_1)\) і \(M_2(x_2; y_2; z_2)\) простору:

Точка лежить усередині сфери, якщо відстань від неї до центра \(O\) менша за радіус \((OX\lt 13).\)

У всіх варіантах відповіді \(x\) та \(y\) координати збігаються з координатами центра \(O(11; -3; -5).\) Тому відстань від центра \(O\) до точки \((11; -3; z)\) обчислімо як модуль різниці аплікат:

\begin{gather*} OX=|z-(-5)|=|z+5|. \end{gather*}

Перевірмо варіанти, шукаючи той, де \(OX\lt 13{:}\)

A \((11; -3; 10){:}\ 10 + 5 = 15\gt 13\) (поза сферою).

Б \((11; -3; 6){:}\ 6 + 5 = 11\lt 13\) (усередині сфери – правильний варіант).

В \((11; -3; 19){:}\ 19 + 5 = 24\gt 13\) (поза сферою).

Д \((11; -3; 9){:}\ 9+ 5 = 14\gt 13\) (поза сферою).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів та \(n\)-го члена арифметичної прогресії.

За формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n. \end{gather*}

Для суми перших десяти членів \((n=10)\) формула матиме вигляд:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10. \end{gather*}

За умовою задачі відомо, що \(a_1+a_{10}=-12.\) Підставмо це значення у формулу:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{-12}{2}\cdot 10=-6\cdot 10=-60. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника і прямокутного трикутника.

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності \((x\gt 0).\) Тоді \(AB=3x\), а \(BC=5x.\) За формулою периметра прямокутника:

\begin{gather*} P=2(AB+BC);\\[7pt] 2(3x+5x)=96;\\[7pt] 16x=96;\\[7pt] x=96:16;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Отже, сторона \(AB=3\cdot 6=18\) см.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle B=90^\circ){:}\) \(\angle KAB=30^\circ\), \(AB=18\) см – прилеглий катет, \(AK\) – шукана гіпотенуза. За означенням косинуса гострого кута:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних, тригонометричних, ірраціональних виразів.

1. \(\lg 100.\)

Десятковий логарифм – це логарифм за основою \(10.\)

Застосуймо формули:

\begin{gather*} \log_{10} a=\lg a;\\[7pt] \log_a a=1;\\[7pt] \lg 100=\log_{10} 10^2=2\cdot \log_{10} 10=2\cdot 1=2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin\dfrac{3\pi}{2}.\)

Кут \(\dfrac{3\pi}{2}\) радіан відповідає \(270^\circ.\)

За тригонометричним колом або таблицею значень:

\begin{gather*} \sin\frac{3\pi}{2}=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}).\)

Застосуймо формулу різниці квадратів:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком і формулою.

A Графік функції \(f\) має лише одну спільну точку з графіком кола \((x-3)^2+(y+2)^2=1\).

Рівняння \((x-3)^2+(y+2)^2=1\) задає коло із центром у точці \((3; -2)\) і радіусом \(R=1.\)

Графік функції (пряма) проходить через точку \((3; -2)\), яка є центром кола. З рисунка видно, що він лише один раз перетинає коло. Отже, графік функції має з колом тільки одну спільну точку.

Отже, 2 – А.

Б Похідна функції \(f\) є додатною на проміжку \([–3; 3].\)

Якщо похідна \(f'(x)\gt 0\), то функція зростає на цьому проміжку. Це означає, що внаслідок збільшення значення \(x\) значення самої функції \(y\) також збільшується (графік функції підіймається).

Оскільки жоден графік не зростає безперервно від \(x=-3\) до \(x=3\), варіант Б є хибним в усіх трьох випадках.

В Функція \(f\) є непарною.

Графік непарної функції обов'язково симетричний відносно початку координат \((0; 0).\) Якщо повернути графік на \(180^\circ\) навколо точки \((0; 0)\), він має повністю збігтися сам із собою. Також графік непарної функції завжди проходить через точку \((0; 0)\) (якщо вона належить області визначення). Жоден графік не є симетричним відносно початку координат. Отже, варіант В є хибним в усіх трьох випадках.

Г Значення функції \(f\) на кінцях проміжку \([–3; 3]\) є рівними.

Перевірмо значення функції \(y=f(x)\) на кінцях проміжку \([-3; 3].\)

За графіком визначмо ординату точок з абсцисами \(x=-3\) та \(x=3\) \(f(-3)=2\) і \(f(3)=2.\)

Значення функції на кінцях проміжку є рівними \(f(-3)=f(3)=2.\) Отже, 1 – Г.

Д Функція \(f\) має два нулі.

Нулі функції – це точки перетину її графіка з віссю \(Ox\ (y=0).\) На рисунку графік перетинає вісь \(Ox\) точно у двох точках на проміжку \([-3; 0].\) Тобто функція має два нулі. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба та прямокутного трикутника.

1. Сторона ромба \((AB).\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABK\ (\angle AKB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2;\\[7pt] AB^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] AB=\sqrt{169}=13\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Радіус кола, вписаного в ромб \((r).\)

Висота ромба \(h=AK=12\) см. Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині його висоти:

\begin{gather*} r=\frac h2=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(OK.\)

Оскільки \(ABCD\) – ромб, то центр його симетрії (точка перетину діагоналей) – це точка \(O.\) Відрізок \(OK\) є медіаною, проведеною з прямого кута \(\angle AKC\) прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) до гіпотенузи \(AC.\)

Властивість: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині цієї гіпотенузи, тобто \(OK=AO=OC.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) знайдімо відрізок \(KC.\) Усі сторони ромба рівні \(13\) см, тому \(BC=13\) см.

\begin{gather*} KC=BC-BK=13-5=8\ \text{см}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника \(\Delta AKC\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2;\\[7pt] AC^2=12^2+8^2=144+64=208;\\[7pt] AC=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(OK=\dfrac{AC}{2}\),

\begin{gather*} OK=\frac{4\sqrt{13}}{2}=2\sqrt{13}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння обчислювати похідну суми, значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента, кутового коефіцієнта дотичної.

За геометричним змістом похідної \(f'(x_0)=k.\)

Похідна функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в точці \(x_0.\)

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання й табличні значення:

Пряма \(y=x\) має кутовий коефіцієнт \(k=1.\) Оскільки дотична паралельна цій прямій, їхні кутові коефіцієнти рівні: \(f'(x_0)=1{:}\)

\begin{gather*} 8-2x_0=1;\\[7pt] -2x_0=1-8;\\[7pt] -2x_0=-7;\\[7pt] x_0=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kN, \end{gather*}

де: \(N\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Усього в салоні літака \(n\) рядів по \(6\) місць у кожному. Отже, усього в літаку \(N=6n\) місць.

У будь-якому ряду лише \(2\) місця біля проходу (по одному з кожного боку від проходу). Отже, у першому ряду таких місць \(k=2.\)

За означенням, імовірність – це відношення кількості результатів, що сприяють цій події (\(2\) місця біля проходу), до загальної кількості всіх можливих рівноймовірних результатів (\(6n\) – загальна кількість місць). Тому

\begin{gather*} \frac{2}{6n}=\frac{1}{102};\\[6pt] \frac{1}{3n}=\frac{1}{102};\\[6pt] 3n=102;\\[7pt] n=34. \end{gather*}

Відповідь: \(34.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати знання про властивості й елементи конуса та правильної чотирикутної призми для обчислення об’єму призми.

Об'єм призми обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

В основі правильної чотирикутної призми квадрат з діагоналлю \(d=16\) см.

Радіус \(R\) кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині його діагоналі:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{16}{2}=8\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою це також радіус основи конуса: \(R_\text{конуса}=8\) см.

Висота призми дорівнює висоті конуса:

\begin{gather*} H_\text{призми}=H_\text{конуса}=H. \end{gather*}

У конусі розгляньмо прямокутний трикутник, утворений твірною \(L=17\) см, радіусом основи \(R=8\) см і висотою \(H{:}\)

Основою правильної призми є квадрат. Площу квадрата через його діагональ \(d\) обчислімо за формулою:

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати раціональні рівняння, та їх системи з параметрами.

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\) – це рівняння кола з центром в точці \(M\ (x_0; y_0)\) і радіусом \(R.\)

Перепишемо рівняння так:

\begin{gather*} (x-(11+3a))^2+(y-(-2))^2=7^2. \end{gather*}

Це коло з центром в точці \(M\ (11+3a; -2)\) і радіусом \(R=7.\)

Центр кола може рухатися ліворуч або праворуч залежно від значення \(a\) (бо змінюється координата \(x_0\)), але по осі \(y\) він завжди зафіксований на позначці \(-2.\)

Графік перетинає вісь ординат у двох точках тоді й лише тоді, коли відстань від центра кола до цієї осі менша за радіус.

Вісь \(y\) – це пряма \(x=0.\) Відстань від центра \(O\ (x_0; -2)\) до осі \(y\) – це просто модуль координати \(x_0{:}\)

\begin{gather*} |x_0|\lt R;\\[7pt] |11+3a|\lt 7;\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 11+3a\lt 7,\\ 11+3a\gt -7, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 3a\lt 7-11,\\ 3a\gt -7-11, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 3a\lt -4,\\ 3a\gt -18, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} a\lt -\dfrac 43,\\ a\gt -6, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\lt -1\dfrac 13,\\ a\gt -6. \end{array}\right. \end{gather*}

Тобто \(a\in \left(-6; -1\dfrac 13\right).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(\{-5\), \(-4\), \(-3\), \(-2\}\).

Найменше ціле значення: \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)