Національний мультитест з математики – Варіант 38

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння підносити числа до степеня з від'ємним цілим показником і перетворювати мішані числа на неправильні дроби.

Перетворімо мішане число на неправильний дріб:

\begin{gather*} 1\frac 23=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac 53. \end{gather*}

Застосуймо властивість степеня з від'ємним показником:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba.\\[6pt] \left(1\frac 23\right)^{-1}=\left(\frac 53\right)^{-1}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

За класичним означенням імовірності:

\begin{gather*} P(A)=\frac kn, \end{gather*}

де \(n=20\) – загальна кількість усіх рівноможливих варіантів (усього запитань, з яких учень може витягнути одне), \(k=4\) – кількість сприятливих варіантів для події \(A\) (запитань про властивості кислот).

\begin{gather*} P(A)=\frac{4}{20}=\frac 15=0{,}2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

\begin{gather*} 2-|x|=0{,}1;\\[7pt] |x|=2-0{,}1;\\[7pt] |x|=1{,}9. \end{gather*}

За означенням модуля, рівняння має два корені:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_1=1{,}9;\\ x_2=-1{,}9. \end{array}\right. \end{gather*}

З наведених чисел \(-1,9\) є коренем рівняння.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, прямокутного трикутника.

У ромба всі сторони рівні: \(AB=BC=CD=AD.\)

\begin{gather*} AB=\frac P4=\frac{80}{4}=20\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутному трикутнику \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Обчислімо довжину відрізка \(HC{:}\)

\begin{gather*} HC=BC-BH=20-16=4\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо довжину меншої діагоналі \(AC\) в прямокутному трикутнику \(AHC\ (\angle AHC=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо число \(3\) за дужки в чисельнику й скоротимо дріб:

\begin{gather*} \frac{6x+12}{3}=\frac{3(2x+4)}{3}=2x+4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми, ознаки паралельності прямої і площини.

За ознакою паралельності прямої і площини: якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якійсь прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині.

Пряма \(AB\) належить граням \(ABCD\) й \(ABB_1A_1\) й перетинає грані \(ADD_1A_1\) і \(BCC_1B_1.\) За ознакою паралельності прямої і площини їй паралельні лише дві протилежні грані – \(DCC_1D_1\), бо \(AB\!\parallel\!CD\), і \(A_1B_1C_1D_1\), бо \(AB\!\parallel\!A_1B_1.\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Нуль функції – це значення аргументу \(x\), за якого значення функції дорівнює нулю \((f(x)=0).\) На графіку це точка перетину з віссю абсцис \((Ox)\), тобто точка з координатами \((-4; 0).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

I. Центр кола, вписаного в трапецію, лежить на середній лінії трапеції.

Центр вписаного кола рівновіддалений від паралельних основ трапеції на відстань радіуса \(r.\) Оскільки висота трапеції \(h=2r\), середня лінія віддалена від обох основ на відстань \(\dfrac h2=r.\) Отже, центр вписаного кола завжди лежить на середній лінії.

Твердження правильне.

II. Центр кола, вписаного в трапецію, збігається з точкою перетину її діагоналей.

Центр будь-якого кола, вписаного в многокутник, є точкою перетину бісектрис його внутрішніх кутів (оскільки ця точка має бути рівновіддаленою від усіх сторін многокутника).

Центр вписаного кола – це точка перетину бісектрис внутрішніх кутів трапеції. У довільній трапеції діагоналі не ділять кути навпіл (не є бісектрисами), тому точка перетину діагоналей не збігається з центром уписаного кола.

Твердження неправильне.

III. Центр кола, описаного навколо трапеції, обов’язково розташований на її більшій основі.

Центр описаного кола – це точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трапеції (описати коло можна тільки навколо рівнобічної трапеції). Тобто центр описаного кола може бути розташований усередині трапеції, поза нею або на більшій основі (лише в окремому випадку, коли діагональ перпендикулярна до бічної сторони).

Твердження неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння й порівнювати раціональні числа.

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата:

\begin{gather*} (\sqrt{48-12x})^2=12^2;\\[7pt] 48-12x=144;\\[7pt] -12x=144-48;\\[7pt] -12x=96;\\[7pt] x=96:(-12);\\[7pt] x=-8. \end{gather*}

Корінь належить проміжку \((-16; 0].\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати й вектори в просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, уміння визначати координати точки, яка належить одній із координатних осей, уміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Оскільки точка \(B\) лежить на осі \(x\), її ордината \((y)\) й апліката \((z)\) дорівнюють \(0.\) Оскільки абсциса \(x=5\), маємо: \(B(5; 0; 0).\)

Застосуймо формулу відстані між двома точками в просторі:

Підставмо координати \(A(-1; 2; 3)\) і \(B(5; 0; 0){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на пряму пропорційність і застосовувати математичні моделі до реальних процесів.

Щоб обчислити максимальний об'єм води \(V\), скористаймося формулою залежності об'єму від продуктивності помпи й часу:

\begin{gather*} V=v\cdot t, \end{gather*}

де \(v=5\) л/хв – це пропускна здатність помпи, а \(t=2\) хв – час миття рук.

Підставивши значення, отримуємо

\begin{gather*} V=5\cdot 2=10\ \text{л}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d. \end{gather*}

Оскільки \(a_6-a_1=-30\), складімо рівняння:

\begin{gather*} 5d=-30;\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу \(a_1-a_3.\) Оскільки \(a_3=a_1+2d\), то:

Підставмо \(d=-6{:}\)

\begin{gather*} -2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Степеневі вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів і коренів, дій із ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Область допустимих значень (ОДЗ).

Вираз під знаком логарифма повинен бути додатним: \(x\gt 0.\)

Запишімо число \(3\) у вигляді логарифма з основою \(2\), використовуючи властивості логарифмів:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] 3=3\cdot \log_2 2=\log_2 2^3=\log_2 8. \end{gather*}

Підставмо цей результат у початкову нерівність і використаймо властивість суми логарифмів \((\log_a (b\cdot c)=\log_a b+\log_a c){:}\)

\begin{gather*} \log_2 8+\log_2 x\lt \log_2 48;\\[7pt] \log_2 (8x)\lt \log_2 48. \end{gather*}

Оскільки основа логарифма \(2\gt 1\), логарифмічна функція зростає, тому знак нерівності зберігається в разі переходу до виразів під логарифмом:

\begin{gather*} 8x\lt 48;\\[7pt] x\lt 6. \end{gather*}

Об'єднаймо умову \(x\lt 6\) з ОДЗ \((x\gt 0){:}\)

\begin{gather*} x\in (0; 6). \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння застосовувати формули скороченого множення, зводити подібні доданки, виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. Перетворімо квадрат двочлена за формулою \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)

\begin{gather*} (m+1)^2-1=n;\\[7pt] m^2+2m+1-1=n;\\[7pt] n=m^2+2m. \end{gather*}

Отже, 1 – В.

2. Запишімо корінь у вигляді степеня з дробовим показником:

Отже, 2 – Д.

3. Скористаймося означенням логарифма \((log_a b = c\Leftrightarrow a^c=b)\) й зведімо основи степенів до числа \(2{:}\)

\begin{gather*} \log_{\textstyle 2^n} 4^m=1;\\[7pt] (2^n)^1=4^m;\\[7pt] 2^n=(2^2)^m;\\[7pt] 2^n=2^{2m};\\[7pt] n=2m. \end{gather*}

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати кількість коренів рівняння \(f(x)=g(x)\) (або точок перетину графіків функцій) аналітичним чи графічним методом.

1. \(y=-x^3\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} -x^3=-x;\\[7pt] x^3-x=0;\\[7pt] x(x-1)(x+1)=0. \end{gather*}

Рівняння має три корені: \(x_1=0\), \(x_2=1\), \(x_3=-1.\)

Спосіб 2

Побудуймо графіки заданих функцій: пряму \(y=-x\) (бісектрису II та IV координатних чвертей) і кубічну параболу \(y=-x^3\) (розташована в II та IV чвертях).

Маємо три спільні точки. Отже, 1 – Г.

2. \(y=2-x\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} 2-x=-x;\\[7pt] 2=0x. \end{gather*}

Отримане рівняння не має розв’язків (прямі паралельні).

Спосіб 2

Побудуймо графіки заданих функцій (обидві функції лінійні): пряму \(y=-x\) (бісектрису II та IV координатних чвертей) і пряму \(y=2-x.\)

Прямі паралельні, отже, не мають жодної спільної точки. Отже, 2 – A.

3. \(y=2^x\) та \(y=-x.\)

Спосіб 1

Прирівняймо вирази:

\begin{gather*} 2^x=-x;\\[7pt] 2^x+x=0. \end{gather*}

Функція \(y=2^x\) зростає, а \(y=-x\) – спадає, тому їхні графіки можуть перетинатися не більш ніж в одній точці. Оскільки за \(x=-1\) маємо \(2^{-1}=0{,}5\lt 1\), а за \(x=0\) маємо \(2^0=1\gt 0\), за неперервністю корінь існує, і він єдиний (на проміжку \((-1; 0)\)).

Спосіб 2

Графік показникової функції \(y=2^x\) розміщений строго вище від осі \(Ox\) і проходить через точку \((0; 1).\) Пряма \(y=-x\) у II чверті проходить вище від осі \(Ox\), а в IV – нижче. Графіки перетинаються в одній точці в II чверті.

Тобто маємо одну спільну точку.

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, прямокутних трикутників.

1. Висота, проведена до \(AD.\)

Проведімо з вершини \(B\) висоту \(BH\!\perp\!AD.\)

Розгляньмо \(\Delta BHD.\) Оскільки \(BH\!\perp\!AD\) і \(OK\!\perp\!AD\), відрізки \(BH\) й \(OK\) паралельні. Оскільки \(O\) – середина \(BD\), то за означенням \(OK\) є середньою лінією \(\Delta BHD.\)

За властивістю середньої лінії трикутника, вона паралельна основі й дорівнює її половині \((OK=\dfrac 12BH).\)

Висота паралелограма

\begin{gather*} BH=2\cdot OK=2\cdot 15=30\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Проєкція \(AB\) на \(AD.\)

Оскільки \(OK\) – середня лінія \(\Delta BHD\), точка \(K\) ділить основу \(HD\) навпіл (\(KD=KH=17\) см). Тоді \(HD=2\cdot KD=34\) см. Проєкцією відрізка \(AB\) на пряму \(AD\) є відрізок \(AH{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(CD.\)

За властивістю паралелограма \(CD=AB.\)

З прямокутного трикутника \(ABH\ (\angle AHB=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Тобто \(CD=34\) см.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції, її геометричний зміст.

Завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції, уміння розв’язувати задачі з використанням геометричного змісту похідної та обчислювати похідні функцій.

Графіком функції є парабола з вершиною в початку координат \((0, 0)\), тому вона має вигляд: \(f(x)=ax^2.\) Визначмо коефіцієнт \(a\) за допомогою похідної.

Похідна функції:

\begin{gather*} f(x)=(ax^2)'=2ax. \end{gather*}

За умовою \(f'(1)=-4{:}\)

\begin{gather*} f'(1)=2a\cdot 1=2a;\\[7pt] 2a=-4;\\[7pt] a=-2. \end{gather*}

Маємо формулу функції: \(f(x)=-2x^2.\)

Обчислімо \(f(2{,}5){:}\)

Відповідь: \(-12,5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, розуміння змісту понять мода й середнє арифметичне.

Проаналізуймо дані з діаграми: значення температур за перші шість днів тижня дорівнюють \(23\), \(21\), \(23\), \(27\), \(23\) й \(24.\)

Модою цього ряду даних є число \(23\), оскільки воно трапляється найчастіше (тричі). За умовою середнє значення збігається з модою, тобто \(\overline{x}=23.\)

Позначивши температуру в неділю \(x\), складімо рівняння для обчислення середнього арифметичного:

Спростімо чисельник дробу:

\begin{gather*} \frac{141+x}{7}=23. \end{gather*}

Помножмо обидві частини рівняння на \(7{:}\)

\begin{gather*} 141+x=161. \end{gather*}

Обчислімо невідомий доданок \(x{:}\)

\begin{gather*} x=161-141;\\[7pt] x=20. \end{gather*}

Середньоденна температура повітря в неділю становила \(20\ ^\circ\mathrm{C}.\)

Мода вибірки – це значення, яке трапляється найчастіше в наборі даних.

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання основних властивостей конуса й уміння обчислювати його об’єм.

Оскільки \(M\) і \(P\) – середини твірних \(AK\) і \(BK\), відрізок \(MP\) є середньою лінією трикутника \(ABK.\) Звідси діаметр основи \(AB=2\cdot MP=60\) см, а її радіус \(R=AO=30\) см. Довжина всієї твірної конуса дорівнює \(AK=2\cdot MK=50\) см.

З прямокутного трикутника \(AOK\) за теоремою Піфагора визначмо висоту конуса:

Отже, об'єм конуса \(\dfrac{V}{\pi}=12000.\)

Відповідь: \(12000.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь з параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження ірраціональних і показникових функцій.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=\sqrt{x}\) і \(v=3^y.\) Оскільки за умовою \(x_0\gt 0\) та \(y_0\gt 0\), для нових змінних маємо обмеження: \(u=\sqrt{x_0}\gt 0\) та \(v=3^{y_0}\gt 3^0=1.\)

Зваживши, що \(3^{y+1}=3\cdot 3y=3v\), перепишімо систему:

\begin{gather*} \begin{cases} 2u+3v=5a+15,\\ u+v=a+9. \end{cases} \end{gather*}

Виразімо з другого рівняння \(u=a+9-v\) й підставмо в перше:

\begin{gather*} 2(a+9-v)+3v=5a+15;\\[7pt] 2a+18+v=5a+15;\\[7pt] v=5a+15-2a-18;\\[7pt] v=3a-3. \end{gather*}

Тоді

Зважаючи на умови для \(u\) та \(v\), дістанемо нерівності.

З умови \(u\gt 0\) маємо: \(12-2a\gt 0\Rightarrow a\lt 6.\)

З умови \(v\gt 1\) маємо: \(3a-3\gt 1\Rightarrow 3a\gt 4\Rightarrow a\gt \dfrac 43.\)

Отже, значення параметра \(a\) належать інтервалу \(\left(\dfrac 43; 6\right).\) Цілими числами із цього проміжку є \(2\), \(3\), \(4\) та \(5.\) Обчислімо їхню суму:

\begin{gather*} 2+3+4+5=14. \end{gather*}

Відповідь: \(14.\)