Національний мультитест з математики – Варіант 42

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення й обчислювати дріб від числа через множення.

Щоб обчислити дріб (частину) від числа, треба це число помножити на дріб.

Запишімо \(0{,}01\) у вигляді степеня числа \(10{:}\)

\begin{gather*} 0{,}01=10^{-2}. \end{gather*}

Обчислімо максимальну швидкість зорельота, помноживши швидкість світла на \(0{,}01{:}\)

Використали властивість степеня з натуральним показником:

\begin{gather*} a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія імовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння визначати ймовірність випадкової події за класичним означенням, а також уміння зчитувати й аналізувати дані з графічних зображень (схем, планів).

Для обчислення ймовірності скористаймося класичною формулою

\begin{gather*} P=\frac mn, \end{gather*}

де \(n\) – кількість усіх доступних (вільних) місць, а \(m\) – кількість сприятливих місць за барною стійкою.

Усього в кав'ярні \(25\) місць, але зайняті лише \(5\) місць біля барної стійки. Отже, вільними залишаються \(n=25-5=20\) місць.

На плані зображено \(3\) круглі столики, навколо кожного – \(4\) стільці, тому кількість сприятливих місць дорівнює

\begin{gather*} m=3\cdot 4=12, \end{gather*}

шукана ймовірність становить

\begin{gather*} P=\frac{12}{20}=\frac 35. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей бісектриси кута та вписаного в трикутник кола.

I. Будь-яка точка на бісектрисі кута \(A\) рівновіддалена від сторін \(AC\) й \(AB.\)

За означенням і властивістю бісектриси кута, будь-яка її точка рівновіддалена від сторін цього кута (у цьому прикладі – від \(AC\) й \(AB\)). Твердження правильне.

II. Бісектриса кута \(A\) ділить сторону \(BC\) на дві рівні частини.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам \(\left(\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{AB}{AC}\right).\) Навпіл сторону \(BC\) ділить медіана, або ж бісектриса лише у разі рівнобедреного трикутника з основою \(BC.\) Твердження неправильне.

III. Центр вписаного в трикутник кола лежить на бісектрисі кута \(A.\)

Центр вписаного в трикутник кола – це точка перетину бісектрис усіх його внутрішніх кутів, тому ця точка обов'язково лежить на бісектрисі кута \(A.\) Твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

Серед наведених варіантів лише число \(-5\) є коренем рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За аксіомою стереометрії через пряму й точку, яка їй не належить, можна провести єдину площину.

Оскільки вершина піраміди \(S\) не належить прямій \(AM\), через них можна провести лише одну площину – площину перерізу \((SAM).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, застосовувати знання про властивості модуля числа.

Перетворімо звичайний дріб у десятковий:

\begin{gather*} \frac{24}{5}=\frac{24\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{48}{10}=4{,}8. \end{gather*}

Підставмо цей десятковий дріб у початковий вираз й обчислімо його значення:

За властивістю модуля числа

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння розпізнавати графіки елементарних функцій та аналізувати їхні властивості за областю визначення, областю значень і симетрією відносно осей координат.

Графік розташований у IV координатній чверті, отже, \(x\ge 0\), а \(y\le 0.\) Графік проходить через початок координат \((0; 0)\) і точки \((1; -1)\) і \((4; -2).\)

Проаналізуймо варіанти відповідей методом виключення:

А \((y=-2^x){:}\)
за \(x=0\) отримуємо \(y=-1\ne 0\) (не проходить через \((0; 0)\)).

Б \((y=\sqrt{-x}){:}\)
визначена за \(-x\ge 0\), отже \(x\le 0\) (розміщена в II чверті).

В \((y=-\sqrt{x}){:}\)
визначена за \(x\ge 0\), \(y\le 0\), проходить через точки \((0; 0)\), \((1; -1)\), \((4; -2).\) Це графік \(y=\sqrt{x}\), симетрично відображений відносно осі \(Ox.\)

Г \(\left(y=\dfrac 1x\right)\) та Д \((y=\log_{\textstyle \frac 13} x){:}\)
не визначені в точці \(x=0\) (не проходять через \((0; 0)\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, уміння обчислювати периметр чотирикутника.

Периметр трикутника \(ABC\) складається з двох сторін ромба й діагоналі \(AC{:}\)

\begin{gather*} P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC. \end{gather*}

Обчислімо суму двох сторін ромба:

Оскільки в ромба всі чотири сторони рівні \((AB=BC=CD=DA)\), його периметр дорівнює подвоєній сумі двох сусідніх сторін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа й вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишмо без змін, а показники додамо.

\begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*}

де (\(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Перегрупуймо числові коефіцієнти та степені з однаковою основою:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання формули відстані між точками в просторі.

Відстань між двома точками \(K(x_1; y_1; z_1)\) і \(P(x_2, y_2, z_2)\) в просторі обчислюють за формулою:

Обчислімо відстань від точки \(K(0; 0; 2)\) до кожної точки з-поміж наведених:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності, знання властивостей показникової функції.

Запишімо праву частину нерівності як степінь з основою \(10\ (a^0=1){:}\)

\begin{gather*} 10^{x-2}\gt 10^0. \end{gather*}

Оскільки основа степеня \(10\gt 1\), показникові функції є висхідними, тому знак нерівності зберігається й ця нерівність рівносильна нерівності:

\begin{gather*} x-2\gt 0;\\[7pt] x\gt 2. \end{gather*}

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \(x\in (2; +\infty).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників і трикутників, зокрема прямокутника й прямокутного трикутника, для обчислення периметра.

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle A=90^\circ){:}\)

Розгорнутий кут \(\angle AKD=180^\circ\), тому:

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta KDC\ (\angle D=90^\circ){:}\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\ (\angle A=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{AK}{AB};\\[6pt] AK=AB\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=3\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3. \end{gather*}

Обчислімо сторони прямокутника.

\begin{gather*} AD=AK+KD=3+9=12. \end{gather*}

Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні,

\begin{gather*} AB=CD=3\sqrt{3}. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Застосуймо основні правила диференціювання \((Cx)'=C\) та \((\cos x)'=-\sin x.\)

Підставмо значення \(x_0=\dfrac{\pi}{2}\) у рівняння похідної:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[6pt] (0{,}5x-1)\cdot 1=1\cdot 2;\\[7pt] 0{,}5x-1=2;\\[7pt] 0{,}5x=3. \end{gather*}

Домножмо обидві частини рівняння на \(2{:}\)

\begin{gather*} x=6. \end{gather*}

Оскільки \(\pi\approx 3{,}14\), то \(2\pi\approx 6{,}28.\)

\begin{gather*} (5; 2\pi)\approx (5; 6{,}28). \end{gather*}

Число \(6\) задовольняє нерівність \(5\lt 6\lt 6{,}28\), тому корінь належить саме цьому проміжку.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

1. \((3\pi-1)^0=1.\)

Будь-яке відмінне від нуля число в нульовому степені дорівнює \(1\ (a^0=1.)\) Число \(1\) належить до множини натуральних чисел. Отже, правильна відповідь – A.

Застосували формули:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n};\\[6pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[7pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Число \(-3\) є цілим і від’ємним, тобто належить до цілих недодатних чисел. Отже, правильна відповідь – Б.

3. За табличним значенням тригонометричних функцій \(\mathrm{tg}\ \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}.\)

Число \(\sqrt{3}\) не подається у вигляді звичайного дробу (є ірраціональним) та є більшим за нуль (додатним). Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1-A, 2-Б, 3-Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Пряма \(y=-3x+4.\)

Для симетричного відображення прямої \(y=3x+4\) відносно осі \(y\) замінюємо \(x\) на \(-x{:}\) отримуємо \(y=3(-x)+4=-3x+4\), що збігається з третьою функцією.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Пряма \(y=3x+2.\)

У рівнянні \(y=3x+2\) кутовий коефіцієнт \(k=3\gt 0.\) Оскільки \(\mathrm{tg}\ \alpha=k\gt 0\), ця пряма утворює гострий кут із додатним напрямком осі \(x.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Пряма \(y=-3x.\)

У прямій \(y=-3x\) вільний член \(b=0\), тому за умови \(x=0\) отримуємо \(y=0\), що означає обов'язкове проходження графіка через початок координат.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1-Б, 2-B, 3-Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати периметри геометричних фігур, застосовуючи спільну відстань між паралельними прямими, пропорційність відрізків, теорему Піфагора й властивості рівностороннього трикутника.

1. Прямокутник \(ABCD\)

З пропорції \(AB:BC=4:3\) й відомої сторони \(BC=6\) см:

Отже, правильна відповідь – B.

2. Паралелограм \(DKLM\)

Відстань між паралельними прямими \(m\) і \(n\) дорівнює висоті прямокутника \(AB=8\) см. Оскільки \(KM\!\perp\!n\), відрізок \(KM\) є перпендикуляром до прямих \(m\) і \(n\), тому \(KM=8\) см та \(\angle MKL=90^\circ.\)

З прямокутного трикутника \(\Delta KML\) за теоремою Піфагора обчислюємо бічну сторону \(ML{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Трикутник \(LPQ\)

Оскільки \(LP=PQ\) і \(\angle LPQ=60^\circ\), рівнобедрений трикутник \(LPQ\) рівносторонній, тобто \(LP=PQ=LQ.\)

Відрізок \(LQ\!\perp\!n\), тому він дорівнює відстані між прямими \(m\) і \(n{:}\ LQ=8\) см.

\begin{gather*} P_{LPQ}=3\cdot LQ=3\cdot 8=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1-B, 2-Б, 3-A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної, уміння обчислювати похідну функції.

За означенням первісної \(f(x)=F'(x).\) Обчислімо похідну:

Точка перетину з віссю ординат \((y)\) завжди має абсцису \(x=0.\) Підставмо \(x=0\) у функцію \(f(x){:}\)

\begin{gather*} f(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-7=-7. \end{gather*}

Відповідь: \(-7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній формі, використовувати математичну модель у вигляді лінійного рівняння для розв'язування практичних завдань.

Оскільки в середньому щодня споживали \(79{,}2\) л води, то за \(5\) днів загальний об'єм становить:

\begin{gather*} V=79{,}2\cdot 5=396\ \text{л}. \end{gather*}

Нехай кількість пляшок місткістю \(6\) л дорівнює \(x.\) За умовою пляшок місткістю \(10\) л утричі більше, тобто \(3x.\)

Складімо рівняння для загального об'єму води:

Отже, було спожито \(6\) пляшок місткістю \(6\) л.

Для обчислення кількості пляшок місткістю \(10\) л помножмо обчислене значення на три:

\begin{gather*} 3\cdot 6=18. \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі.

\(A(3; \sqrt{8}; 2),\ M(-1; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD\ (\angle M=90^\circ)\), \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора

Висота \(AA_1=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=10.\)

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=50;\\[7pt] V=50\cdot 10=500. \end{gather*}

Відповідь: 500.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних рівнянь із параметром.

Завдання перевіряє вміння зводити комбіновану систему рівнянь із параметром до лінійної через заміну змінних, зважаючи на обмеження щодо області значень змінних.

Для розв'язання цієї системи замінімо змінні: нехай \(u=3^x\) та \(v=y^2.\) Оскільки \(3^x\gt 0\) та \(y^2\ge 0\), маємо обмеження: \(u\gt 0\) та \(v\ge 0.\)

Перепишімо систему у вигляді:

\begin{gather*} \begin{cases} u+v=a+8,\\ 3u+2v=5a+6. \end{cases} \end{gather*}

Визначмо \(u\) та \(v\) через \(a.\)

З першого рівняння \(v=a+8-u.\)

Підставмо в друге рівняння:

\begin{gather*} 3u+2(a+8-u)=5a+6;\\[7pt] 3u+2a+16-2u=5a+6;\\[7pt] 3u-2u=5a+6-2a-16;\\[7pt] u=3a-10. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} v=a+8-(3a-10)=18-2a. \end{gather*}

Для існування дійсних розв'язків \((x; y)\) система повинна задовольняти обмеження замін:

1. \(u\gt 0.\)

\begin{gather*} 3a-10\gt 0;\\[6pt] a\gt 3\frac 13. \end{gather*}

2. \(v\ge 0.\)

\begin{gather*} 18-2a\ge 0;\\[7pt] a\le 9. \end{gather*}

Отже, \(a\in \left(3\dfrac 13; 9\right].\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} 4, 5, 6, 7, 8, 9. \end{gather*}

Обчислімо суму:

\begin{gather*} 4+5+6+7+8+9=39. \end{gather*}

Відповідь: \(39.\)