Національний мультитест з математики – Варіант 45

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Довжина відрізка.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач, складати лінійне рівняння з однією змінною для розв'язання текстових задач практичного змісту.

Нехай ширина меншої частини \(BC=x\) см, тоді ширина більшої частини \(AB=2x\) см. Оскільки за умовою вся ширина стелажа \(AC=AB+BC=147\) см, складімо рівняння:

\begin{gather*} 2x+x=147;\\[7pt] 3x=147;\\[7pt] x=49\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, ширина більшої частини

\begin{gather*} AB=2\cdot 49=98\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Завдання перевіряє вміння моделювати залежність між величинами за допомогою змінної й обчислювати дріб, що показує частку елемента від загальної суми.

Нехай Оксана зліпила \(x\) вареників, тоді Тетяна зліпила \(3x\) вареників.

Усього дівчата зліпили:

\begin{gather*} x+3x=4x\ (\text{вареників}). \end{gather*}

Частка вареників, яку зліпила Тетяна від загальної кількості:

\begin{gather*} \frac{3x}{4x}=\frac 34. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.

\begin{gather*} \begin{cases} x\ge -4,\\ 2x\lt 5; \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x\ge -4,\\ x\lt 2{,}5. \end{cases} \end{gather*}

Знайдімо перетин розв'язків обох нерівностей на числовій прямій:

\begin{gather*} x\in [-4; 2{,}5). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність прямих і площин у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати взаємне розташування площин у просторі.

Площина грані \(A_1B_1C_1D_1\) паралельна площині грані \(ABCD\) як протилежній грані куба. За означенням, будь-яка пряма, що лежить у площині \((A_1B_1C_1D_1)\), паралельна площині \((ABCD).\)

Визначмо кількість усіх прямих, що проходять через обидві вершини чотирикутника \(A_1B_1C_1D_1{:}\)

• \(4\) прямі, що містять сторони (позначені блакитним кольором): \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\);
• \(2\) прямі, що містять діагоналі (позначені червоним кольором): \(A_1C_1\), \(B_1D_1.\)

Усього таких прямих: \(4+2=6.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=f(x)\) спадає за \(x\in [1; 3].\) Більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів і знання формул скороченого множення.

Розкриймо квадрат суми за формулою \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) та зведімо подібні доданки:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати в просторі.

Завдання перевіряє знання координат точки в просторі.

Точка дотику сфери й координатної площини \(xy\) є ортогональною проєкцією її центра \(M(-3; 1; 5)\) на цю площину. Для будь-якої точки, що лежить у площині \(xy\), координати \(x\) та \(y\) залишаються такими ж, як і в початкової точки, а координата \(z\) дорівнює нулю \((z=0).\) Тобто проєкцією точки \(M(-3; 1; 5)\) є точка \(N(-3; 1; 0).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Застосуймо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\)

У довільному трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), отже, найбільшим кутом трикутника є \(\angle C.\) Навпроти кута \(C\) лежить сторона \(AB.\) Оскільки \(\angle C\) – найбільший кут, сторона \(AB\) є найдовшою стороною трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. Трикутник \(ABC\) – рівнобедрений.

Оскільки всі три кути трикутника строго нерівні між собою \((\angle A\lt \angle B\lt \angle C)\), трикутник не має рівних кутів. Отже, за властивостями рівнобедреного трикутника він є різностороннім. Твердження неправильне.

III. Довжина висоти, проведеної з вершини \(A\), менша за довжину сторони \(AC.\)

Проведімо з вершини \(A\) висоту \(AH\) до прямої, що містить сторону \(BC.\) У прямокутному трикутнику \(AHC\) (де \(\angle AHC=90^\circ\)) відрізок \(AC\) є гіпотенузою, а висота \(AH\) – катетом. Оскільки довжина катета завжди строго менша за довжину гіпотенузи \((AH\lt AC)\), довжина висоти менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості логарифмів для розв'язування логарифмічних рівнянь.

Область допустимих значень (ОДЗ):

\begin{gather*} x-2\gt 0;\\[7pt] x\gt 2. \end{gather*}

За означенням логарифма \((a^{\textstyle \log_a b}=b){:}\)

\begin{gather*} x-2=(0{,}5)^{-2}. \end{gather*}

Перетворімо основу й показник степеня, використовуючи формули степеня:

Обчислімо значення \(x{:}\)

\begin{gather*} x-2=4;\\[7pt] x=6. \end{gather*}

Число \(6\) задовольняє ОДЗ \((6\gt 2)\) і належить проміжку \([5; 7).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Запишімо функцію \(f(x)\) у вигляді добутку сталого множника й елементарної функції:

\begin{gather*} f(x)=\frac{1}{3x}=\frac 13\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Використаймо властивість первісної (сталий множник можна виносити за знак інтегрування) і таблицю первісних:

Визначмо загальний вигляд первісної \(F(x){:}\)

\begin{gather*} F(x)=\frac 13\ln|x|+C. \end{gather*}

За \(C=0\) отримуємо:

\begin{gather*} F(x)=\frac 13\ln|x|. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 1-2x=8,\\ 1-2x=-8; \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} -2x=8-1,\\ -2x=-8-1; \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} -2x=7,\\ -2x=-9; \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=-3{,}5,\\ x_2=4{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Їхня сума дорівнює:

\begin{gather*} x_1+x_2=-3{,}5+4{,}5=1. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей, статистика. Імовірність випадкової події.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Для обчислення ймовірності випадкової події застосуймо класичне означення ймовірності:

де \(n\) – загальна кількість усіх можливих рівноймовірних наслідків; \(k\) – кількість наслідків, що сприяють події \(A.\)

Загальна кількість усіх рівноймовірних варіантів вибору стежки (загальна кількість елементарних подій \(n\)):

Кількість сприятливих варіантів для події \(A\) (турист вибере маршрут до озера Натхнення) \(k{:}\)

Обчислімо ймовірність:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивість кола, описаного навколо прямокутного трикутника, теорему Піфагора та тригонометричні співвідношення для обчислення площі паралелограма.

Щоб обчислити площу паралелограма \((S=a\cdot h_a)\), треба визначити висоту \(h_a=BK\) й основу \(a=AD.\) Основа \(AD\) складається з двох відрізків: \(AK\) і \(KD\) \((AD=AK+KD).\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta BKD\ (\angle BKD=90^\circ)\) відомо гіпотенузу \(BD=24\) см і кут \(\angle BDK=30^\circ{:}\)

Трикутник \(\Delta AKB\) прямокутний \((\angle AKB=90^\circ).\) За властивістю описаного навколо прямокутного трикутника кола, його центр збігається із серединою гіпотенузи \(AB\), а радіус дорівнює половині гіпотенузи \(\left(R=\dfrac{AB}{2}\right){:}\)

\begin{gather*} AB=2R=2\cdot 3\sqrt{7}=6\sqrt{7}\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора для \(\Delta AKB{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\dfrac 85:\dfrac{4}{15}.\)

Замінімо ділення множенням на обернений дріб і скоротімо:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2})^2.\)

Застосуймо властивості степенів \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\) та \((\sqrt{a})^2=a{:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\log_{\textstyle 16} 2.\)

Запишімо основу \(16\) як \(2^4\) і застосуймо властивість логарифма \(\log_{\textstyle a^k} b=\dfrac 1k\cdot \log_a b{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати точки перетину й дотику графіків показникових, лінійних і квадратичних функцій з осями координат і між собою.

1. Графіки функцій \(y=2^x\) та \(y=0{,}5^x\) перетинаються в точці...

Спосіб 1.

Прирівняймо вирази для пошуку спільної точки:

\begin{gather*} 2^x=0{,}5^x;\\[7pt] 2^x=2^{-x};\\[7pt] x=-x;\\[7pt] x=0. \end{gather*}

Визначмо ординату: \(y=2^0=1.\) Точка перетину – \((0; 1).\)

Спосіб 2.

Побудуймо графіки заданих показникових функцій: зростаючої \(y=2^x\) і спадної \(y=0{,}5x=\left(\dfrac 12\right)^x.\) Ці графіки симетричні відносно осі \(Oy\) і перетинаються на ній у точці \((0; 1).\)

Отже, 1 – Б.

2. Пряма \(y=x-1\) перетинає вісь \(x\) у точці...

Спосіб 1.

Будь-яка точка, що лежить на осі абсцис \((Ox)\), має ординату \(y=0.\) Для визначення точки перетину з віссю абсцис підставмо \(y=0\) у рівняння:

\begin{gather*} 0=x-1;\\[7pt] x=1. \end{gather*}

Точка перетину – \((1; 0).\)

Спосіб 2.

Пряма \(y=x-1\) перетинає вісь \(Ox\) у точці з абсцисою \(x=1.\) Оскільки точка належить осі абсцис, її ордината \(y=0\), а отже, координати точки перетину – \((1; 0).\)

Отже, 2 – A.

3. Графік функції \(y=(x+2)^2\) дотикається осі \(x\) у точці...

Спосіб 1.

Графік дотикається осі \(x\) у вершині, де \(y=0{:}\)

\begin{gather*} (x+2)^2=0;\\[7pt] x+2=0;\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Точка дотику – \((-2; 0).\)

Спосіб 2.

Графік заданої функції \(y=(x+2)^2\) — парабола, отримана паралельним перенесенням базової параболи \(y=x^2\) уздовж осі \(Ox\) на \(2\) одиниці ліворуч.

Для побудови графіка функції \(f(x+a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Вершина нової параболи лежить у точці \((-2; 0).\) Оскільки ордината вершини дорівнює нулю \((y=0)\), графік має з віссю абсцис єдину спільну точку – точку дотику \((-2; 0).\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння визначати елементи геометричних фігур за сіткою клітинок і застосовувати формули для обчислення площ прямокутного трикутника, паралелограма й трапеції.

1. \(ACM.\)

Трикутник \(ACM\) прямокутний

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів \((AC\!\perp\!CM){:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(ABLK.\)

Паралелограм \(ABLK\)

Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту \((KL=2\) см, \(h=4\) см\(){:}\)

\begin{gather*} S=KL\cdot h=2\cdot 4=8\ \text{см}^2. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(BCML.\)

Трапеція \(BCML\)

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її паралельних основ на висоту \(( BC\!\parallel\!LM){:}\)

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Завдання перевіряє знання означення найбільшого й найменшого значень функції, уміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції визначмо за допомогою похідної функції.

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u+v)'=u'+v'\) і таблицею похідних:

Критичні точки – це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. Прирівняймо похідну до нуля:

\begin{gather*} \frac{4}{\sqrt{x}}-1=0;\\[6pt] \frac{4}{\sqrt{x}}=1;\\[6pt] \sqrt{x}=4;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Знайдена критична точка \(x=16\) належить зазначеному відрізку \([0; 36].\) Обчислімо значення функції на кінцях проміжку й у критичній точці:

Порівняймо отримані результати: найбільшим серед них є \(20.\)

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Відсотки.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відсоткові розрахунки й середнє арифметичне, складаючи лінійні рівняння.

Оскільки середня місячна кількість відвідувачів становить \(18000\) осіб, то за літо кінотеатр відвідало:

\begin{gather*} N_\text{заг}=18000\cdot 3=54000\ (\text{осіб}). \end{gather*}

Нехай у липні кількість відвідувачів становила \(x\) осіб.

У червні (на \(40\ \%\) більше, ніж у липні):

\begin{gather*} x+0{,}4x=1{,}4x\ \text{осіб}. \end{gather*}

У серпні (на \(20\ \%\) більше, ніж у липні):

\begin{gather*} x+0{,}2x=1{,}2x\ \text{осіб}. \end{gather*}

Сума відвідувачів за три місяці дорівнює \(54000.\)

Складімо рівняння:

\begin{gather*} 1{,}4x+x+1{,}2x=54000;\\[7pt] 3{,}6x=54000;\\[6pt] x=\frac{54000}{3{,}6}=15000\ (\text{осіб у липні}). \end{gather*}

Обчислімо кількість відвідувачів у червні:

\begin{gather*} 1{,}4\cdot 15000=21000\ (\text{осіб}). \end{gather*}

Відповідь: \(21000.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Комбінації геометричних тіл (конус і призма).

Завдання перевіряє знання формул бічної поверхні конуса, зв’язку між стороною правильного трикутника й радіусом описаного навколо нього кола, а також уміння обчислювати об’єм призми.

Площу бічної поверхні конуса обчислімо за формулою

\begin{gather*} S_\text{біч}=\pi RL, \end{gather*}

де \(L=12\) см – твірна.

\begin{gather*} 48\pi=\pi\cdot R\cdot 12;\\[7pt] 12R=48;\\[7pt] R=4\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, радіус основи конуса є радіусом кола, описаного навколо правильного трикутника (основи призми).

Зв'язок між стороною правильного трикутника \(a\) й радіусом описаного кола \(R{:}\)

\begin{gather*} R=\frac{a}{\sqrt{3}};\\[6pt] a=R\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки бічні грані призми є квадратами, висота призми дорівнює стороні основи:

\begin{gather*} h=a=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа правильного трикутника в основі:

Відповідь: 144.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння й системи рівнянь. Рівняння з параметрами.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати дробово-раціональні, ірраціональні й логарифмічні рівняння з параметром, а також аналізувати область допустимих значень (ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник має зміст і не дорівнює нулю:

\begin{gather*} \sqrt{3x+4}-x+12=0;\\[7pt] \sqrt{3x+4}=x-12. \end{gather*}

Арифметичний квадратний корінь не може бути від'ємним, тому маємо обов'язкову умову:

\begin{gather*} x-12\ge 0;\\[7pt] x\ge 12. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини до квадрата:

\begin{gather*} 3x+4=(x-12)^2;\\[7pt] 3x+4=x^2-24x+144;\\[7pt] x^2-27x+140=0. \end{gather*}

Застосуймо теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=27;\\ x_1\cdot x_2=140. \end{array}\right. \end{gather*}

Розклавши \(140\) на множники \((7\cdot 20=140\) та \(7+20=27)\), отримуємо корені: \(x_1=7\); \(x_2=20.\)

Зважаючи на умову \(x\ge 12\), значення \(x=7\) є стороннім коренем.

Отже, чисельник перетворюється на нуль лише при \(x=20.\)

Початкове рівняння не матиме коренів, якщо потенційний корінь \(x=20\) не входить до області допустимих значень знаменника \(log_5(x−2a).\)

Це відбувається у двох випадках.

1. Знаменник не існує (вираз під логарифмом недодатний):

\begin{gather*} x-2a\le 0;\\[7pt] 20-2a\le 0;\\[7pt] 2a\ge 20;\\[7pt] a\ge 10. \end{gather*}

2. Знаменник дорівнює нулю (ділення на нуль неможливе):

\begin{gather*} \log_5(x-2a)=0;\\[7pt] x-2a=1;\\[7pt] 20-2a=1;\\[7pt] 2a=19;\\[7pt] a=9{,}5. \end{gather*}

Рівняння не має коренів за \(a\in \{9{,}5\}\cup [10; +\infty).\)

Найменшим значенням \(a\) із цієї множини є \(9{,}5.\)

Відповідь: \(9{,}5.\)