Призма – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Стереометрія
Тема: Призма
Кількість завдань: 65

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 65

Основою прямої призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $6$ і $6\sqrt{3}.$ Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом $30^\circ.$ Обчисліть площу бічної поверхні призми.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta COD$, катетами якого є половини діагоналей:

\begin{gather*} CO=3\sqrt{3};\\[7pt] DO=3. \end{gather*}

За теоремою Піфагора обчислімо гіпотенузу (сторону ромба):

\begin{gather*} CD=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6. \end{gather*}

Більша діагональ $A_1C$ призми утворює прямокутний трикутник $CAA_1$ $(\angle A=90^\circ)$ з більшою діагоналлю основи $(AC=6\sqrt{3})$ і висотою призми.

Оскільки кут нахилу $30^\circ\ (\angle ACA_1=30^\circ)$, то

\begin{gather*} H=AC\cdot \mathrm{tg}\ 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=6. \end{gather*}

Формула бічної поверхні призми:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4\cdot CD=4\cdot 6=24;\\[7pt] S_\text{біч}=24\cdot 6=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 735. Завдання: 36922

Завдання 2 з 65

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює $260.$ Обчисліть об'єм $V$ призми. У відповіді запишіть значення $\frac{V}{\sqrt{3}}.$

Впишіть відповідь:

1200

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot 0{,}5;\\[7pt] BD^2=64+225-12=169;\\[7pt] BD=13\ (\text{см}). \end{gather*}

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами $BB_1D_1D.$ Сторона $BD=13$ см, а висота $DD_1=H.$ Його площа за умовою дорівнює $260$ см$^2{:}$

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу основи призми (паралелограма $ABCD$) за формулою $S=ab\sin \gamma{:}$

\begin{gather*} S_\text{осн}=8\cdot 15\cdot \sin 60^\circ=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити $\frac{V}{\sqrt{3}}{:}$

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $1200.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36610

Завдання 3 з 65

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами $8$ і $15$ і гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $20.$ Обчисліть площу меншого діагонального перерізу призми.

Впишіть відповідь:

260

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами $AB = 8$ і $AD = 15$, $\angle A = 60^\circ.$

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі $BD.$

Розгляньмо трикутник $ABD.$ За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos 60^\circ;\\[6pt] BD^2=64+225-2\cdot 120\cdot \frac 12;\\[6pt] BD^2=289-120=169;\\[7pt] BD=\sqrt{169}=13\ \text{(см)}. \end{gather*}

Меншим діагональним перерізом є прямокутник $DBB_1D_1$ зі сторонами $BD = 13$ см і висотою $BB_1 = 20$ см.

Обчислімо його площу $S{:}$

\begin{gather*} S=BD\cdot BB_1=13\ \text{см}\cdot 20\ \text{см}=260\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $260.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36367

Завдання 4 з 65

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Висота призми дорівнює $8\sqrt{3}$, площа її більшого діагонального перерізу – $240\sqrt{3}.$ Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми.

Впишіть відповідь:

960

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ $(AC)$ основи .

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=AA_1=8\sqrt{3}).$ Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба $(AC).$

Формула площі перерізу:

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ $(BD)$ ромба .

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $CD=BD$ (бо трикутник $\Delta BCD$ рівносторонній). Визначмо сторону $CD$ ромба:

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15;\\[6pt] \Delta COD:\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD};\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Площа повної поверхні:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] P_\text{осн}=4a=4\cdot 10\sqrt{3}=40\sqrt{3};\\[7pt] S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H=40\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=40\cdot 8\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=320\cdot 3=960. \end{gather*}

Відповідь: $960.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36345

Завдання 5 з 65

Пряма чотирикутна призма й циліндр мають рівні висоти. В основі призми лежить ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см$^2.$ Знайдіть об’єм призми (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. $AC=16$ см, $BD=12$ см.

Радіус основи ціліндра $OK=AD$, $S_\text{бічн.}=400\pi$ см$^2.$

У ромбі діагоналі $AC\ \perp\ BP$ й діляться точкою перетину $P$ навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AP^2+PD^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] AD=10\ (\text{см}),\\[6pt] S_{ABCD}=\frac 12AC\cdot BD=\frac 12\cdot 16\cdot 12=96\ (\text{см}^2). \end{gather*}

Площа бічної поверхні циліндра $S_\text{бічн.}=2\pi RH$, де $R=OK=AD=10$ см, $H=OO_1=AA_1$ (за умовою задачі).

\begin{gather*} 2\pi\cdot 10\cdot H=400\pi,\\[7pt] H=20\ (\text{см}). \end{gather*}

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35811

Завдання 6 з 65

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює $240\sqrt{3}.$ Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює $8\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

3600

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи $(AC).$

Формула площі перерізу: $S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.$

Звідси визначмо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ ромба $(BD).$

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15,\\[6pt] \Delta COD{:}\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD},\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos\ 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}).$

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} $d_1$, $d_2$ – діагоналі ромба.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AC\cdot BD=30\cdot 10\sqrt{3}=150\sqrt{3}. \end{gather*}

4. Обчислімо об'єм $(V)$ призми за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H,\\[7pt] V=150\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=150\cdot 8\cdot 3=3600. \end{gather*}

Відповідь: $3600.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35445

Завдання 7 з 65

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Скільки всього площин, паралельних прямій $AB$, містять грані куба?

Ажодної

Блише одну

Влише дві

Глише три

Дбільше як три

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма $AB$, що не лежить у площині $(CDD_1)$, паралельна прямій $CD$, яка лежить в цій площині, то $AB\ || (CDD_1).$

Аналогічно, $AB$ не лежить у площині $(A_1B_1C_1)$, але паралельна прямій $A_1B_1$, яка лежить в цій площині, то $AB\ ||\ (A_1B_1C_1).$

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34399

Завдання 8 з 65

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють $12$ см i $16$ см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об'єм (см$^3$) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями $12$ см і $16$ см.

$AO=OC=8$ см, $BO=OD=6$ см. $AC\ \perp\ BD.$ $\Delta AOD$ – прямокутний. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2=8^2+6^2=100\ \textit{см}^2\\[7pt] AD=10\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Радіус основи циліндра $R=AD=10$ см.

3. Площа поверхні циліндра

\begin{gather*} S_\text{б}=2\mathbf{\pi}RH,\\[7pt] 2\mathbf{\pi}\cdot 10\cdot H=400\mathbf{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра $H=20$ см.

5. Об'єм призми

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою:

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1920.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34393

Завдання 9 з 65

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані $AA_1B_1B.$

А$BC$

Б$C_1D$

В$BD$

Г$CB_1$

Д$A_1B$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їхні елементи, ознаки паралельності прямої та площини.

Протилежні грані куба – паралельні площини. $C_1D\subset (DD_1C_1)$ $(AA_1B)\ ||\ (DD_1C_1).$ Отже, $C_1D\ ||\ (AA_1B_1).$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28380

Завдання 10 з 65

У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Діагоналі основи $ABCD$ перетинаються в точці $M.$ Висота призми втричі більша за сторону $AB.$ Обчисліть об’єм цієї призми, якщо $A(4;\ \sqrt{10};\ 3),$ $M(–2;\ 0;\ 1).$

Впишіть відповідь:

3000

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення

$A(4; \sqrt{10}; 3),\ M(-2; 0; 1).$ Призма правильна, тому $ABCD$ – квадрат.

\begin{gather*} AM=\sqrt{(-2-4)^2+(0-\sqrt{10})^2+(1-3)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+10+4}=\sqrt{50}. \end{gather*}

Діагоналі квадрата перпендикулярні. У $\Delta AMD (\angle M=90^\circ)$ $AM=MD=\sqrt{50}.$ За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2=AM^2+MD^2=50+50=100,\ \ AD=10. \end{gather*}

Висота $AA_1=3AB=30.$ $$V=S_\text{осн}H,$$ де $S_\text{осн}$ – площа квадрата, $H$ – висота.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=100.\\[7pt] V=100\cdot 30=3000. \end{gather*}

Відповідь: 3000.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28374

Завдання 11 з 65

На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню є

Атрикутник

Бпрямокутник

Ввідрізок

Гпаралелограм, що не є прямокутником

Дромб, що не є квадратом

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань про многогранники та їхні елементи.

Бічною гранню прямої призми є прямокутник.

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27687

Завдання 12 з 65

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20.$ Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58.$ Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює $5.$

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми, побудови перерізів.

$ABCD$ – ромб, $AB=20,$ $P_{AA_1C_1C}=58,$ $AA_1=5.$ $AA_1=CC_1=5,$ то $A_1C_1=AC=(58-2\cdot 5):2=24.$

За властивістю ромба $AC\perp BD,\ AO=OC,\ BO=OD.$ Отже, у $\Delta COD\ (\angle O=90^\circ)$ $CD=20,\ OC=12$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} OD^2+OC^2=CD^2,\\[7pt] OD=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.\\[7pt] BD=2\cdot OD=32. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \ S=\frac 12\cdot 32\cdot 24=16\cdot 24,\\[7pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\ S_\text{осн}=16\cdot 24,\ H=AA_1=5.\\[7pt] \end{gather*}

Отже,

$$ V=16\cdot 24\cdot 5=16\cdot 120=1920. $$

Відповідь: 1920.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26819

Завдання 13 з 65

Визначте кількість граней трикутної призми.

А3

Б4

В5

Г6

Д9

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

У трикутної призми $3$ бічні грані та $2$ грані основ.

Отже, кількість граней призми – $5.$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26186

Завдання 14 з 65

Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.

На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26116

Завдання 15 з 65

Основою прямої призми є ромб з діагоналями $6$ і $8$. Менша діагональ призми дорівнює $10$. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми.

Впишіть відповідь:

160

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення площі поверхні призми.

$BD=6\ \ AC=8$.

1. Діагональ призми – це похила на площину основи. Отже, меншій похилій відповідає менша проекція. $BD$ – менша проекція, отже, $B_1D$ – менша похила. $B_1D=10.$

2. $\Delta BB_1D\ \ (\angle B=90^\circ)\ BB_1^2+BD^2=B_1D^2$ за теоремою Піфагора $$ BB_1=\sqrt{100-36}=8 $$

3. Діагоналі ромба перетинаються під кутом $90^\circ.$ \begin{gather*} AC\cap BD=0\\[7pt] \Delta COD\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OC=\frac 12 AC=4,\ \ OD=\frac 12 BD=3 \end{gather*} за теоремою Піфагора \begin{gather*} CD=\sqrt{CO^2+OD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5. . \end{gather*}

4. За формулою $S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H$ \begin{gather*} P_\text{основи}=4\cdot CD=20,\ \ H=BB_1=8\\[7pt] S_\text{бічної}=20\cdot 8=160. \end{gather*}

Відповідь: 160.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26013

Завдання 16 з 65

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро якого дорівнює 2. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина діагоналі куба дорівнює

2Відстань від точки $A$ до прямої $A_1C_1$ дорівнює

3Відстань від точки $A$ до площини $(BB_1D_1)$ дорівнює

Закінчення речення

А$2$.

Б$2\sqrt{2}$.

В$2\sqrt{3}$.

Г$\sqrt{3}$.

Д$\sqrt{2}$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

1. Довжина діагоналі куба дорівнює \begin{gather*} B_1D^2=AD^2+DC^2+DD_1^2=\\[7pt] =2^2+2^2+2^2=12\\[7pt] B_1D=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \end{gather*} Отже, 1 - В.

2. Бічне ребро $AA_1\perp (A_1B_1C_1)$, а отже, й прямій $A_1C_1$, яка міститься в цій площині $$ AA_1=\mathbf{\rho}(A, A_1C_1)=2 $$ отже, 2 - A.

3. Осьовий переріз куба $BB_1D_1D$ перпендикулярний площині основи. $AO\perp BD$ за властивістю квадрата. Отже, \begin{gather*} \mathbf{\rho}(A,\ (BB_1D_1))=AO\\[7pt] AC=2\sqrt{2},\\[7pt] AO=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}. \end{gather*} отже, 3 - Д

Відповідь: 1В, 2А, 3Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24700

Завдання 17 з 65

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у якому $AB=3,\ AD=4,\ AA_1=2$. Увідповідніть початок речення (1-3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Відстань від точки $C$ до площини $(AA_1B_1)$ дорівнює

2Відстань від точки $A$ до прямої $CC_1$ дорівнює

3Відстань між площинами $(ABC)$ i $(A_1B_1C_1)$ дорівнює

Закінчення речення

А$2.$

Б$3.$

В$4.$

Г$5.$

Д$7.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

Усі грані цього прямокутного паралепіпеда – прямокутники.

1. $CB\perp (AA_1B_1)$ – відстань від т.$C$ до $(AA_1B_1),\ CB=4$, отже, 1 - B.

2. $CC_1\perp (ABC),\ AC\subset\ (ABC)\rightarrow$ відстань від т.$A$ до $CC_1$ – це відрізок $AC.$
$AC^2=AD^2+DC^2,\ AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Oтже, 2 - Г.

3. $(ABC)||(A_1B_1C_1)$. Отже, відстань між ними – це довжина бічного ребра. $AA_1=2$. Отже, 3 – A.

Відповідь: 1B, 2Г, 3A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23679

Завдання 18 з 65

Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота $h$ цієї шухлядки?

А3 см

Б6 см

В10 см

Г13 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23660

Завдання 19 з 65

Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

А$55\ \text{см}^2$

Б$75\ \text{см}^2$

В$105\ \text{см}^2$

Г$115\ \text{см}^2$

Д$135\ \text{см}^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}$.

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, $OK=r=1\ \text{см}$.

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

\begin{gather*} a=2\sqrt{3}r=2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}\ \text{см},\\[7pt] S_{\text{бічної}}=P_{\text{основи}}\cdot H=3\cdot 2\sqrt{3}\cdot 10=60\sqrt{3}\ (\text{см}^2)\approx 60\cdot 1,73\approx 103,8 (\text{см}^2),\\[7pt] P_{\text{основи}}=P_{ACD},\ H=AB. \end{gather*}

Відповідь, найближча до точної, – $105\ \text{см}^2$.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22915

Завдання 20 з 65

Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.

А360 см

Б240 см

В180 см

Г120 см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи.

\begin{gather*} AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\\[7pt] AB=CD=C_1D_1=A_1B_1\\[7pt] AD=BC=B_1C_1=A_1D_1. \end{gather*} Сума усіх ребер дорівнює $$ 4(AA_1+AB+AD)=4\cdot 60=240\ (\text{см}) $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22902

Завдання 21 з 65

На рисунку зображено прямокутник i рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють $10$ см i $13$ см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює $260$ см$^2.$

А$520$ см$^2$

Б$720$ см$^2$

В$780$ см$^2$

Г$840$ см$^2$

Д$960$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

$\Delta ABC$ – рівнобедрений. $AB=AC=13$ см, $BC=10$ см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань $AA_1C_1C$ або $A_1B_1BA.$

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ AK\perp BC$ – висота та медіана. $KC=5$ см.

У $\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21222

Завдання 22 з 65

На рисунку зображено прямокутник i трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює $38$ см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює $11$ см.

А$16\sqrt{3}$ см$^2$

Б$32\sqrt{3}$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$24\sqrt{3}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

$ACDE$ – прямокутник, $P=38$ см, $AE=CD=11$ см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа $\Delta ABC (AB=BC=AC).$

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19962

Завдання 23 з 65

Сума довжин усіх ребер куба дорівнює $72$ см. Визначте довжину одного ребра цього куба.

А$6$ см

Б$8$ см

В$9$ см

Г$12$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.

Довжина всіх ребер куба $72$ см.

Усього в куба $12$ ребер, тому довжина ребра дорівнює
$72 : 12 = 6$ см.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19949

Завдання 24 з 65

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Установіть відповідність між початком речення (1–3) та його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Точка $C_1$ симетрична точці $A_1$ відносно площини

2Пряма $AD$ паралельна площині

3Пряма $CC_1$ є прямою перетину площин $(BB_1C_1)$ та

Закінчення речення

А$(AA_1B_1).$

Б$(DD_1C_1).$

В$(A_1B_1C_1).$

Г$(AA_1D_1).$

Д$(BB_1D_1).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.

1. Точка $C_1$ симетрична точці $A_1$ відносно площини $(BB_1D_1).$ Отже, 1 – Д.

2. $A_1D_1\in (A_1B_1C_1)$, $A_1D_1\ ||\ AD$, звідси $AD\ ||\ (A_1B_1C_1).$ Отже, 2 – B.

3. $(BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.$ Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19509

Завдання 25 з 65

Сума довжин усіх бічних ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює $120$ см. Визначте довжину його висоти.

А$15$ см

Б$30$ см

В$40$ см

Г$60$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми.

У прямокутному паралелепіпеді бічні ребра є висотами. Отже, \begin{gather*} 4h=120,\\[7pt] h=120:4,\\[7pt] h=30\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19489

Завдання 26 з 65

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Пряма $BD$

2Пряма $A_1C_1$

3Площина $ABC_1$

Закінчення речення

Апаралельна площині $ABC$.

Бналежить площині $ABC$.

Вперпендикулярна до площини $ABC$.

Гпаралельна прямій $CD$.

Дперпендикулярна до прямої $CD$.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.

1. Точки $B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).$ Отже, 1 – Б.

2. $A_1C_1\ ||\ AC$,$\ \ AC\in (ABC)\rightarrow A_1C_1\ ||\ (ABC).$ Отже, 2 – A.

3. $AB\ ||\ CD$,$\ \ AB\in (ABC_1)\rightarrow CD\ ||\ (ABC_1).$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18994

Завдання 27 з 65

На рисунку зображено пряму трикутну призму.
Її бічною гранню є

Атрикутник

Бпаралелограм, що не є прямокутником

Ввідрізок

Гпрямокутник

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників.

Прямою трикутною призмою є призма, основою якої є трикутник, а бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Це означає, що всі бічні грані - прямокутники.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18977

Завдання 28 з 65

Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює $1$2 см, а периметр її бічної грані – $20$ см. Визначте площу бічної поверхні призми.

А$24$ см$^2$

Б$60$ см$^2$

В$72$ см$^2$

Г$84$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості призми, знання формули площі бічної поверхні призми.

$ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BC=AC=12:3=4\ \textit{см}.\\[7pt] P_{CC_1B_1B}=2(BC+CC_1)=20.\\[7pt] BC+CC_1=10.\\[7pt] CC_1=10-4=6\ \textit{см}.\\[7pt] S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H=P_{ABC}\cdot CC_1=12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17657

Завдання 29 з 65

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Установіть відповідність між парою прямих (1–4) та їх взаємним розташуванням (А – Д).

Пара прямих

1$AC$ й $CC_1$

2$AB_1$ i $CD_1$

3$AC$ й $CD_1$

4$AB_1$ i $C_1D$

Взаємне розташування

Апрямі паралельні

Бпрямі мимобіжні

Впрямі перетинаються й утворюють прямий кут

Гпрямі перетинаються й утворюють кут $45^\circ$

Дпрямі перетинаються й утворюють кут $60^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. $AC\cup CC_1$, $AC\ \perp\ CC_1$,

$\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.$
Отже, 1 – B.

2. Прямі $AB_1$ та $CD_1$ мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. $\Delta ACD_1$ – рівносторонній, так як $AC=CD_1=AD_1$ (діагоналі рівних квадратів).
$\angle(AC$, $CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.$
Отже, 3 – Д.

4. $AB_1\ ||\ C_1D$ не перетинаються та лежать в одній площині $(AB_1C_1).$
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17084

Завдання 30 з 65

У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у $2$ ряди $10$ шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою $10$ см і діаметром основи $15$ мм (див. рисунок 2).

Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладань обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.

А$225$ cм$^2$

Б$255$ cм$^2$

В$450$ cм$^2$

Г$600$ cм$^2$

Д$75$ cм$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного паралелепіпеда до розв'язування стереометричних задач і задач практичного змісту.

Площа плівки, якою обгорнута коробка – це площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.

Основа паралелепіпеда – прямокутник зі сторонами $30$ мм та $75$ мм. Висота паралелепіпеда – $10$ см.

$S_\text{пп}=S_\text{бп}+2S_\text{осн}.$

$S_\text{бп}=P_\text{осн}\cdot H=(3\cdot 7\mathord{,}5)\cdot 2\cdot 10=210$ см$^2.$

$30\ \textit{мм}=3\ \textit{см}$, $75\ \textit{мм}=7\mathord{,}5\ \textit{см}.$ $S_\text{осн}=3\cdot 7\mathord{,}5=22\mathord{,}5\ \textit{см}^2.$

$S_\text{пп}=210+2\cdot 22\mathord{,}5=210+45=255\ \textit{см}^2.$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16616

Завдання 31 з 65

Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює $9\sqrt{3}$ см$^2.$

А$54\sqrt{3}$ см$^3$

Б$27\sqrt{3}$ см$^3$

В$27$ см$^3$

Г$\frac{27}{2}\sqrt{3}$ см$^3$

Д$162\sqrt{3}$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма $ABCA_1B_1C_1$.

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, $a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}$, $a^2=36$, $a=6$ см.

$AA_1C_1C$ – квадрат, тому $AA_1=6$ см.

Об'єм призми

$V=S_\text{осн}\cdot H=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt{3}\cdot 6=54\cdot\sqrt{3}\ \ \textit{см}^3.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15250

Завдання 32 з 65

Ha рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює $52$ см, a периметр основи призми становить $12$ см.

А$36$ см$^2$

Б$48$ см$^2$

В$60$ см$^2$

Г$72$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

На рисунку зображена розгортка правильної призми, тому основа – правильний трикутник. $P_\text{осн}=12$ см, тому сторона основи $4$ см.

Бічне ребро позначимо через $H.$ Периметр розгортки складається з

\begin{gather*} 6\cdot H+4\cdot 4=52,\\[7pt] 6H=36,\\[7pt] H=6\ \textit{см}. \end{gather*}

За формулою $$ S_\text{біч.пов.}=P_\text{осн}\cdot H $$ знаходимо $$ S_\text{біч.пов.}=12\cdot 6 =72\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14610

Завдання 33 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14329

Завдання 34 з 65

Площа однієї грані куба дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте довжину діагоналі куба.

А$6$ см

Б$3\sqrt{3}$ см

В$2\sqrt{6}$ см

Г$3\sqrt{2}$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь.

Данo куб, тому грань – квадрат, площею $12$ см$^2.$ Ребро куба $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ см.

Діагональ куба знаходимо за формулою $d=a\sqrt{3}$, де $a$ – ребро куба.

Отже, $d=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6$ см.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14240

Завдання 35 з 65

На рисунку зображено фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми, утворений з двох її сусідніх граней. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть площу повної поверхні цієї призми.

А$54$ см$^2$

Б$72$ см$^2$

В$81$ см$^2$

Г$90$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі поверхні призми, уміння встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла.

Фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми утворений з двох її сусідніх граней.

$$ S_\text{б}=2S_{ABCD}=2\cdot 6^2=72\ \text{см}^2. $$

Основа призми – квадрат зі стороною $AF=3$ см.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AF^2=3^2=9\ \text{см}^2,\\[6pt] S_\text{пов}=S_\text{б}+2S_\text{осн}=72+2\cdot 9=72+18=90\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10848

Завдання 36 з 65

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) та площею його повної поверхні (А – Д).

Геометричне тіло

1циліндр з радіусом основи $3$ та висотою $4$

2конус з радіусом основи $3$ та твірною $5$

3куб з ребром $\sqrt{3\pi}$

4куля радіуса $2\sqrt{3}$

Площа повної поверхні

А$18\pi$

Б$24\pi$

В$36\pi$

Г$42\pi$

Д$48\pi$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює $R$, а висота – $H$, обчислюється за формулою

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+2S_\text{осн.}=2\pi RH+2\pi R^2=2\pi R(H+R). $$

За умовою $R=3$, $H=4$, тоді

$$ S_\text{повн.}=2\pi\cdot 3(3+4)=42\pi. $$

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи $R$ та твірну $L\mathord{:}$

$$ S_\text{повн.}=S_\text{бічн.}+S_\text{осн.}=\pi RL+\pi R^2=\pi R(L+R). $$

Оскільки $R=3$, $L=5$, то

$$ S_\text{повн.}=3\pi(5+3)=24\pi. $$

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром $a=\sqrt{3\pi}$ обчислюємо за формулою

$$ S_\text{повн.}=6a^2=6(\sqrt{3\pi})^2=6\cdot 3\pi=18\pi. $$

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса $R$ визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою $R=2\sqrt{3}$, тому

\begin{gather*} S_\text{повн.}=4\pi(2\sqrt{3})^2=4\pi\cdot 12=48\pi. \end{gather*}

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9450

Завдання 37 з 65

Визначте об'єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює $12.$

А$16\sqrt{3}$

Б$64$

В$48$

Г$64\sqrt{3}$

Д$576$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Об'єм призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати об'єм призми. Для виконання завдання потрібно знати формули об'єму призми, площі рівностороннього трикутника, означення квадрата та периметра рівностороннього трикутника.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник $ABC$, $AB=BC=AC=a.$

Оскільки периметр правильного трикутника зі стороною $a$ дрівнює $3a$, то $3a=12$ (за умовою), звідки $a=4.$

Оскільки бічні грані призми за умовою є квадратами, то $AA_1=AB=4.$

Об'єм призми визначається за формулою $$ V=S_\text{осн}\cdot h, $$ де $S_\text{осн}$ – площа основи призми, $h$ – висота призми.

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ визначається за формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$ Тоді

$$ S_\text{осн}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}. $$

Оскільки $ABCA_1B_1C_1$ – пряма призма, то її висота дорівнює бічному ребру: $$ h=AA_1=4. $$ Тоді $$ V=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9443

Завдання 38 з 65

Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює $a$, діагональ бічної грані – $d.$ Укажіть формулу для обчислення площі $S_\text{б}$ бічної поверхні цієї призми.

А$S_\text{б}=3a\sqrt{d^2-a^2}$

Б$S_\text{б}=3a\sqrt{d^2+a^2}$

В$S_\text{б}=3ad$

Г$S_\text{б}=a\sqrt{a^2-d^2}$

Д$S_\text{б}=a(d^2+a^2)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Пряма трикутна призма. Площа бічної поверхні призми.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площу бічної поверхні призми. Для виконання завдання потрібо знати формули площі бічної поверхні призми та площі прямокутника.

Нехай $ABCA_1B_1C_1$ – задана правильна трикутна призма, основою якої є рівносторонній трикутник $ABC$, $AB=BC=AC=a$ (див. рисунок).

Нехай $CB_1=d$ – діагональ бічної грані. Визначимо з прямокутного трикутника $CBB_1\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора висоту призми $BB_1\mathord{:}$

$$ BB_1=\sqrt{B_1C^2-BC^2}=\sqrt{d^2-a^2}. $$

Оскільки сторони основи рівні, то бічні грані призми – рівні прямокутники, тоді площа $S_\text{б}$ бічної поверхні призми $ABCA_1B_1C_1$ дорівнює площі бічної грані $BB_1C_1C$, помноженої на $3\mathord{:}$

\begin{gather*} S_\text{б}=3S_{BB_1CC_1}=3BB_1\cdot C_1C=3a\sqrt{d^2-a^2}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9245

Завдання 39 з 65

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7533

Завдання 40 з 65

Об'єм куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ дорівнює $216$ см$^3$ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $D_1ACD$ (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формул об'ємів куба та піраміди.

Об'єм куба

\begin{gather*} V_\text{куба}=a^3=216;\\[6pt] a=6\ \text{см}. \end{gather*}

Об'єм піраміди

\begin{gather*} V_\text{піраміди}=\frac 13S_{ADC}\cdot DD_1=\frac 13\cdot \frac 12 AD\cdot DC\cdot DD_1=\frac 16 a^3=\frac 16\cdot 216=36\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $36.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7529

Завдання 41 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7181

Завдання 42 з 65

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть об'єм цього паралелепіпеда.

А$96$ см$^3$

Б$108$ см$^3$

В$128$ см$^3$

Г$136$ см$^3$

Д$144$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямокутний паралелепіпед. Розгортка прямокутного паралелепіпеда. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання перевіряє вміння за розгорткою многогранника визначати його об’єм.

Основою прямокутного паралелепіпеда, розгортка якого зображена на рисунку, є прямокутник із сторонами $3\ \text{см}$ і $4\ \text{см}.$ Сума довжин бічного ребра паралелепіпеда і більшої сторони його основи дорівнює $12\ \text{см}$, тому довжина бічного ребра дорівнює $$ 12 - 4 = 8\ \text{см}. $$ Отже, висота паралелепіпеда дорівнює $8\ \text{см}.$

Об’єм паралелепіпеда визначається за формулою: $$ V = abc, $$ де $a, b, c$ – виміри прямокутного паралелепіпеда, тобто довжина і ширина його основи та висота. Тоді

$$ V = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\ \text{см}^{3}. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7147

Завдання 43 з 65

На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють $40$ см, $40$ см і $50$ см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить $5$ см, а товщина днища – $10$ см. Який об'єм бетону (у м$^3$) було використано для виготовлення $10$ таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

А$0{,}32$ м$^3$

Б$0{,}33$ м$^3$

В$0{,}36$ м$^3$

Г$0{,}44$ м$^3$

Д$0{,}8$ м$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

Це завдання практичного змісту перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі з використанням формули об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Зображена на рисунку ємність для квітів є прямокутним паралелепіпедом, з якого вирізаний менший паралелепіпед. Отже, об’єм цієї ємності шукатимемо як різницю об’ємів двох паралелепіпедів. Об’єм паралелепіпеда знаходиться за формулою $$ V=abc, $$ де $a$, $b$ і $c$ виміри паралелепіпеда. Виміри першого паралелепіпеда задані: $40$ см, $40$ см, $50$ см, а виміри другого паралелепіпеда (порожня частина) знаходимо:

\begin{gather*} 40-10=30\ \text{см},\\[7pt] 40-5-5=30\ \text{см},\\[7pt] 50-5-5=40\ \text{см}. \end{gather*}

Об’єм однієї ємності:

$$ V_1-V_2=40\cdot 40\cdot 50-30\cdot 30\cdot 40=4000(20-9)=44000\ \text{см}^3. $$

Тоді об’єм $10$ таких ємностей дорівнює $440000$ см$^3$ або $0{,}44$ м$^3.$

Тут враховано, що $1$ м$=100$ см, $1$ м$^3=1000000$ см$^3.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6890

Завдання 44 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6465

Завдання 45 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6447

Завдання 46 з 65

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4
5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6409

Завдання 47 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6395

Завдання 48 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6385

Завдання 49 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6353

Завдання 50 з 65

Впишіть відповідь:

121.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6344

Завдання 51 з 65

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6335

Завдання 52 з 65

Впишіть відповідь:

110.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6312

Завдання 53 з 65

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро якого дорівнює $1$ см. Обчисліть відстань від точки $A$ до прямої $B_1C_1.$

А$1$ см

Б$2$ см

В$\sqrt{2}$ см

Г$3$ см

Д$1{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб, ребро якого $1$ см.

Відстань від точки $A$ до прямої $B_1C_1$ – довжина перпендикуляра з точки $A$ до прямої $B_1C_1.$

$AB\ \perp\ (BB_1C_1)$, $AB_1$ – похила на $(BB_1C_1)$, $BB_1$ – проекція $AB_1$ на $(BB_1C_1).$

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція $BB_1\ \perp\ B_1C_1$, то й похила $AB_1\ \perp\ B_1C_1$, а отже, $AB_1$ – відстань від $A$ до $B_1C_1.$

У $\triangle ABB_1$ ($\angle B=90^\circ$) $AB=BB_1=1$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB_1^2=AB^2+BB_1^2=1^2+1^2=2,\\[7pt] AB_1=\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6258

Завдання 54 з 65

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6238

Завдання 55 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6234

Завдання 56 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6216

Завдання 57 з 65

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є рівнобічна трапеція $ABCD$. Основа $AD$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $BC.$ Через бічне ребро $CC_1$ призми проведено площину паралельно ребру $AB.$ Знайдіть площу утвореного перерізу (у см$^2$), якщо об'єм призми дорівнює $672$ см$^3$, а її висота – $8$ см.

Впишіть відповідь:

104

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак перпендикулярності прямої та площини у просторі.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – пряма призма, тому $CC_1\ \perp\ (ABC)$, $ABCD$ – трапеція, $AB=CD.$

Додаткова побудова: $CK\ ||\ AB.$

$CC_1\ ||\ BB_1$, $CK\ ||\ AB$, $CK\cap CC_1$, $AB\cap BB_1$, звідси, за ознакою паралельності площин $(CKC_1)\ ||\ (ABB_1).$

Січна площина $(CC_1K)$ перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, $KK_1\ ||\ AA_1$, $C_1K_1\ ||\ CK.$

$AB\ ||\ CK$, $CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).$

Прямокутник $KCC_1K_1$ – шуканий переріз.

\begin{gather*} V=S_\text{основи}\cdot H=S_{ABCD}\cdot CC_1;\\[7pt] CC_1=8\ \text{см};\\[7pt] V=672\ \text{см}^2. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай $BC=x$ см, тоді $AD=CE=6x$ см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де $CE\ \perp\ AD$ – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} DE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2;\\[7pt] CD^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] CD=13\ \text{см}. \end{gather*}

$AB=CD$ (за умовою), $AB=CK$ (протилежні сторони паралелограма).

Отже, $CK=13$ см.

\begin{gather*} S_{CC_1K_1K}=CC_1\cdot CK=8\cdot 13=104\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: $104.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6208

Завдання 58 з 65

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6201

Завдання 59 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6180

Завдання 60 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6168

Завдання 61 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6162

Завдання 62 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6146

Завдання 63 з 65

Основою прямої трикутної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівнобедрений трикутник $ABC$, де $AB=BC=25$ см, $AC=30$ см. Через бічне ребро$AA_1$ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра $BC.$ Визначте об'єм призми (у см$^2$), якщо поща утвореного перерізу дорівнює $72$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

900

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

$ABCA_1B_1C_1$ – пряма призма $\Delta ABC$ – рівнобедрений, $AB=BC=25$ см, $AC=30$ см.

Додаткова побудова:
$AK\ \perp\ BC$ (у $\Delta ABC$),
$KK_1\ \perp BC\ (BCC_1).$

За ознакою перпендикулярності прямої та площини $BC\ \perp\ (AKK_1).$

Отже, $AKK_1A_1$ – переріз призми, який проходить через ребро $AA_1$ та перпендикуляра $BC.$ $AKK_1A_1$ – прямокутник.

Розглянемо $\Delta ABC.$ $BE\ \perp\ AC$, $AK\ \perp\ BC.$ $\Delta ABE$ $(\angle E=90^\circ)$, $AB=25$ см.

$AE=\frac 12 AC=15$ см ($BE$ – висота та медіана). За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB^2=AE^2+BE^2;\\[7pt] BE=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{(25-15)(25+15)}=\sqrt{10\cdot 40}=20\ \text{см};\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BE=\frac 12\cdot 30\cdot 20=300\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK;\\[6pt] 300=\frac 12\cdot 25\cdot AK;\\[6pt] AK=24\ \text{см};\\[6pt] S_\text{перерізу}=S_{AKK_1A_1}=AK\cdot KK_1=72\ \text{см}^2;\\[6pt] KK_1=\frac{72}{24}=3\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{основи}\cdot H;\\[7pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABC};\\[7pt] H=KK_1;\\[7pt] V=300\cdot 3=900\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $900.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6120

Завдання 64 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5326

Завдання 65 з 65

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4312

Новини

Дорожня карта вступника на бакалаврат 2026 року
Вступ іноземців на бакалаврат в Україні
Коли та як реєструють електронний кабінет вступника у 2026 році

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Геометрія – Призма