Розділ: Стереометрія
Тема: Призма
Кількість завдань: 59
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їхні елементи, ознаки паралельності прямої та площини.
Протилежні грані куба – паралельні площини. \(C_1D\subset (DD_1C_1)\) \((AA_1B)\ ||\ (DD_1C_1).\) Отже, \(C_1D\ ||\ (AA_1B_1).\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення
\(A(4; \sqrt{10}; 3),\ M(-2; 0; 1).\) Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.
Діагоналі квадрата перпендикулярні. У \(\Delta AMD (\angle M=90^\circ)\) \(AM=MD=\sqrt{50}.\) За теоремою Піфагора
Висота \(AA_1=3AB=30.\) $$ V=S_\text{осн}H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа квадрата, \(H\) – висота.
\begin{gather*} S_\text{осн}=AD^2=100.\\[7pt] V=100\cdot 30=3000. \end{gather*}Відповідь: 3000.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми, побудови перерізів.
\(ABCD\) – ромб, \(AB=20,\) \(P_{AA_1C_1C}=58,\) \(AA_1=5.\) \(AA_1=CC_1=5,\) то \(A_1C_1=AC=(58-2\cdot 5):2=24.\)
За властивістю ромба \(AC\perp BD,\ AO=OC,\ BO=OD.\) Отже, у \(\Delta COD\ (\angle O=90^\circ)\) \(CD=20,\ OC=12\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} OD^2+OC^2=CD^2,\\[7pt] OD=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.\\[7pt] BD=2\cdot OD=32. \end{gather*}Площу ромбу можна знайти за формулою
\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \ S=\frac 12\cdot 32\cdot 24=16\cdot 24,\\[7pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\ S_\text{осн}=16\cdot 24,\ H=AA_1=5.\\[7pt] \end{gather*}Отже,
$$ V=16\cdot 24\cdot 5=16\cdot 120=1920. $$Відповідь: 1920.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.
У трикутної призми \(3\) бічні грані та \(2\) грані основ.
Отже, кількість граней призми – \(5.\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.
На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення площі поверхні призми.
\(BD=6\ \ AC=8\).
1. Діагональ призми – це похила на площину основи. Отже, меншій похилій відповідає менша проекція. \(BD\) – менша проекція, отже, \(B_1D\) – менша похила. \(B_1D=10.\)
2. \(\Delta BB_1D\ \ (\angle B=90^\circ)\ BB_1^2+BD^2=B_1D^2\) за теоремою Піфагора $$ BB_1=\sqrt{100-36}=8 $$
3. Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ.\) \begin{gather*} AC\cap BD=0\\[7pt] \Delta COD\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OC=\frac 12 AC=4,\ \ OD=\frac 12 BD=3 \end{gather*} за теоремою Піфагора \begin{gather*} CD=\sqrt{CO^2+OD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5. . \end{gather*}
4. За формулою \(S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H\) \begin{gather*} P_\text{основи}=4\cdot CD=20,\ \ H=BB_1=8\\[7pt] S_\text{бічної}=20\cdot 8=160. \end{gather*}
Відповідь: 160.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.
1. Довжина діагоналі куба дорівнює \begin{gather*} B_1D^2=AD^2+DC^2+DD_1^2=\\[7pt] =2^2+2^2+2^2=12\\[7pt] B_1D=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3} \end{gather*} Отже, 1 - В.
2. Бічне ребро \(AA_1\perp (A_1B_1C_1)\), а отже, й прямій \(A_1C_1\), яка міститься в цій площині $$ AA_1=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}(A, A_1C_1)=2 $$ отже, 2 - A.
3. Осьовий переріз куба \(BB_1D_1D\) перпендикулярний площині основи. \(AO\perp BD\) за властивістю квадрата. Отже, \begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\rho}(A,\ (BB_1D_1))=AO\\[7pt] AC=2\sqrt{2},\\[7pt] AO=\frac 12 AC=\frac 12\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}. \end{gather*} отже, 3 - Д
Відповідь: 1В, 2А, 3Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.
Усі грані цього прямокутного паралепіпеда – прямокутники.
1. \(CB\perp (AA_1B_1)\) – відстань від т.\(C\) до \((AA_1B_1),\ CB=4\), отже, 1 - B.
2. \(CC_1\perp (ABC),\ AC\subset\ (ABC)\rightarrow\) відстань від т.\(A\) до \(CC_1\) – це відрізок \(AC.\)
\(AC^2=AD^2+DC^2,\ AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Oтже, 2 - Г.
3. \((ABC)||(A_1B_1C_1)\). Отже, відстань між ними – це довжина бічного ребра. \(AA_1=2\). Отже, 3 – A.
Відповідь: 1B, 2Г, 3A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.
Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.
Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}\).
Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.
Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.
Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, \(OK=r=1\ \text{см}\).
Сторону трикутника знайдемо за формулою:
Відповідь, найближча до точної, – \(105\ \text{см}^2\).
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи.
\begin{gather*} AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\\[7pt] AB=CD=C_1D_1=A_1B_1\\[7pt] AD=BC=B_1C_1=A_1D_1. \end{gather*} Сума усіх ребер дорівнює $$ 4(AA_1+AB+AD)=4\cdot 60=240\ (\text{см}) $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.
\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.
Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)
\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.
У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.
\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.
$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$
Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)
За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.
Довжина всіх ребер куба \(72\) см.
Усього в куба \(12\) ребер, тому довжина ребра дорівнює
\(72 : 12 = 6\) см.
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.
1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.
2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.
3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.
Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання властивостей призми.
У прямокутному паралелепіпеді бічні ребра є висотами. Отже, \begin{gather*} 4h=120,\\[7pt] h=120:4,\\[7pt] h=30\ \text{см}. \end{gather*}
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.
1. Точки \(B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).\) Отже, 1 – Б.
2. \(A_1C_1\ ||\ AC\),\(\ \ AC\in (ABC)\rightarrow A_1C_1\ ||\ (ABC).\) Отже, 2 – A.
3. \(AB\ ||\ CD\),\(\ \ AB\in (ABC_1)\rightarrow CD\ ||\ (ABC_1).\) Отже, 3 – Г.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників.
Прямою трикутною призмою є призма, основою якої є трикутник, а бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Це означає, що всі бічні грані - прямокутники.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.
1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),
\(\left.\begin{array}{l}
CC_1\ \perp\ (ABC),\\
AC \in (ABC),
\end{array}\right|
\rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.
2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.
3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.
4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.
Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.
