Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Нерівності та системи нерівностей
Кількість завдань: 81
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу Логарифмічні нерівності.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.
\begin{gather*} \log_3(1-2x)\lt 2,\\[7pt] \log_3(1-2x)\lt \log_39. \end{gather*}Функція \(y=\log_3x\) є зростаючою, тому \(1-2x\lt 9.\) Логарифмічна функція має область визначення \(1-2x\gt 9.\)
Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1-2x\lt 9,\\ 1-2x\gt 0, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x\gt -8,\\ 2x\lt 1, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ x\lt \frac 12. \end{array} \right. \end{gather*}
$$ x\in \left(-4; \frac 12\right). $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.
$$ \left\{ \begin{array}{l} x\gt -3,\\ x\le 7. \end{array} \right. $$Зобразимо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій:
Розв'язком системи є проміжок \(x\in (-3; 7].\) З наведених чисел, лише число \(5\) належить даному проміжку.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння порівнювати дійсні числа, знання властивостей модуля.
Розв'язком нерівності \(|-2x-3|\gt 5\) з наведених чисел є \(2.\) \begin{gather*} |-2\cdot 2-3|\gt 5,\ \ |-4-3|\gt 5,\\[7pt] |-7|\gt 5,\ \ 7\gt 5. \end{gather*}
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних та показникових нерівностей.
Розв'яжемо систему нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 25,\\ 2-x\lt 8, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 5^2,\\ x\gt -6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 2,\\ x\gt -6. \end{array} \right. \end{gather*}
\(x\in (-6; 2).\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.
Розв'яжемо нерівність \(0,2x-54\lt 0\): \begin{gather*} 0,2x\lt 54\\[6pt] x\lt \frac{54}{0,2}\\[6pt] x\lt 270\\[7pt] x\in(-\infty; 270). \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.
Розв'яжемо тригонометричну нерівність \(\log_{0,3}(x+3)\gt \log_{0,3}4.\)
Функція є спадною, бо основа логарифма \(0,3\lt 1.\) Отже, \(x+3\lt 4\) та за ОДЗ \(x+3\gt 0.\)
Розв'язком нерівності буде розв'язок системи лінійних нерівностей:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x+3\lt 4,\\ x+3\gt 0, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 4-3,\\ x\gt -3, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -3. \end{array} \right. \end{gather*}
\(x\in (-3;\ 1).\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.
Розв'яжемо лінійну нерівність: \begin{gather*} x+3\le0,\\[7pt] x\le -3. \end{gather*} Зобразимо розв'язок на координатній прямій:
$$ x\in (-\infty;\ -3]. $$
Отже, правильна відповідь – В.
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, нерівності з модулем.
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt 81,\\ |x|\le 5; \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt \left(\frac 13\right)^{-4},\\ -5\le x\le 5; \end{array} \right. \end{gather*} функція \(y=\left(\frac 13\right)^x\) складна, оскільки основа степені \(\frac 13\lt 1.\)
Отже, \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ -5\le x\le 5. \end{array} \right. \end{gather*}
Розв'язок системи – спільний розв'язок двох нерівностей. Отже, \(x\in (-4;\ 5].\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.
Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 10^{x+1}\gt 10^{-2}. \end{gather*} Функція \(y=10^x\) – зростаюча, тому \begin{gather*} x+1\gt -2,\\[7pt] x\gt -3. \end{gather*} Отже, \(x\in (-3;\ +\infty).\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.
Розв'яжемо систему лінійний нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-5\lt 2x, & \\ 12-9x\le 3x, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-2x\lt 5, & \\ -9x-3x\le -12, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ -12x\le -12 & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ x\ge 1. & \end{array}\right. \end{gather*}
$$ x\in\ [1;\ 5). $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності з модулем.
\begin{gather*} \left \{ \begin{array}{l l} x-9\leq 3, & \\ x-9\geq -3;& \end{array}\right. \ \ \left \{ \begin{array}{l l} x\leq 12, & \\ x\geq 6.& \end{array}\right. \end{gather*}
Сума всіх цілих розв'язків: $$ 6+7+8+9+10+11+12=63 $$ Всі розв'язки містяться на проміжку \([-15;\ 15]\).
Відповідь: 63.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.
Розв'яжемо показникову нерівність:
\begin{gather*} 3^x\lt 27\cdot 3^{-x};\ \ 3^x\lt 3^3\cdot 3^{-x};\\[7pt] 3^x\lt 3^{3-x}. \end{gather*}Функція \(y=3^x\) зростає, отже, \begin{gather*} x\lt 3-x;\ \ 2x\lt 3;\ \ x\lt \frac 32.\\[7pt] x\in (-\infty;\ \frac 32). \end{gather*}
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.
Функція \(y=\log_{0,9}(3x)\) – спадна, отже, знак нерівності змінюємо на протилежний. Враховуючи ОДЗ, отримаємо: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 3x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,9^2& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,81& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ x\lt 0,27& \end{array}\right. \end{gather*}
\(x\in\ (0;\ 0,27)\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.
Розв'яжемо нерівність: \begin{gather*} 4\cdot 3^x\lt 3^x + 6,\\[7pt] 4\cdot 3^x-3^x\lt 6,\\[7pt] 3\cdot 3^3 \lt 6,\\[7pt] 3^x \lt 2,\\[7pt] x\lt \log_3 2,\\[7pt] x\in (-\infty;\ \log_3 2). \end{gather*}
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.
Розв'яжемо системи лінійних нерівностей:
\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4x-7\ge 2x+1,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x-2x\ge 1+7,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2x\ge 8,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 4,\\ x\ge -3. \end{array}\right. \end{gather*}
Отже, розв'язок нерівності \(x\in [4; +\infty).\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.
Розв'яжемо систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 6\gt 2x,\\ 7x-28\le 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ 7x\le 28, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 3,\\ x\le 4. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; 3). \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.
\(10^{x+1}\gt 0\mathrm{,}01\);\(\ \ 10^{x+1}\gt 10^{-2}.\)
Функція \(y=10^x\) – зростаюча, тому \(x+1\gt 2\), \(x\gt -2-1\), \(x\gt -3.\)
$$ x\in (-3; +\infty). $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.
Розв'яжемо показникову нерівність:
\(2^{4x-5}\ge 2.\) Функція \(y=2^x\) – зростає, отже,
\begin{gather*} 2^{4x-5}\ge 2^1,\\[7pt] 4x-5\ge 1,\\[7pt] 4x\ge 6,\\[7pt] x\ge 1\mathord{,}5. \end{gather*}\(x\in [1\mathord{,}5; +\infty).\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.
\begin{gather*} x^2\lt 9,\\[7pt] x^2-9\lt 0,\\[7pt] (x-3)(x+3)\lt 9. \end{gather*}
Розв'яжемо методом інтервалів:
\(x=3\), \(x=-3\) – нулі функції
\(x\in (-3; 3).\)
З наведених чисел лише число \(-2\in (-3; 3).\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять змінну під знаком модуля.
Використовуючи геометричну інтерпритацію модуля отримаємо розв'зок нерівності \(|x|\lt 3:\)
\(x\in (-\infty; -3)\cup (3; +\infty).\)
Отже, з наведених чисел \(x=-8\) є розв'язком нерівності.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні нерівності, використовувати формули скороченого множення для тотожного перетворення виразів.
Використаємо формулу \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) для спрощення правої частини нерівності:
\begin{gather*} x^3-2x\lt x^3+8,\\[7pt] x^3-2x-x^3,\\[7pt] -2x\lt 8,\\[7pt] x\gt -4. \end{gather*}
Отже, \(x\in (-4; +\infty).\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра, початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності першого степеня, нерівності, що містять змінну під знаком модуля.
\(|x+4|(x-1)\lt 0.\)
Цю нерівність можна розв'язати двома способами:
І спосіб.
Вираз \(|x+4|\ge 0\) при будь-яких значеннях змінної, тому розв'язком нерівності є розв'язок системи:
\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\ne -4,\\ x-1\lt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ne -4,\\ x\lt 1. \end{array}\right.\\[7pt] x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). \end{gather*}
ІІ спосіб.
Розв'язуємо методом інтервалів:
\(|x+4|(x-1)\lt 0\)
$$ x\in (-\infty; -4)\cup (-4; 1). $$
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.
Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.
\begin{gather*} \frac{x+1}{x}\le \frac 43,\\[6pt] \frac{x+1}{x}-\frac 43\le 0. \end{gather*}Зведемо до спільного знаменника
\begin{gather*} \frac{3(x+1)-4x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{3x+3-4x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{3-x}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{-(x-3)}{3x}\le 0,\\[6pt] \frac{x-3}{3x}\ge 0,\\[6pt] x\ne 0. \end{gather*}Розв'яжемо методом інтервалів:
Отже, \(x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Нерівності. Функціональна залежність.
Це завдання перевіряє вміння знаходити область визначення функції, розв'язувати лінійні нерівності.
Область визначення знаходимо з розв'язку нерівності: \begin{gather*} 50-3x\ge 0,\\[7pt] -3x\ge -50,\\[7pt] 3x\le 50,\\[7pt] x\le 50:3,\\[7pt] x\le 16\frac 23. \end{gather*}
Найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення – це число \(16.\)
Відповідь: \(16.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, уміння застосовувати методи та прийоми в процесі розв'язування нерівностей.
\begin{gather*} \frac{2x-4}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{2(x-2)}{x+1}\lt 0,\\[6pt] \frac{x-2}{x+1}\lt 0. \end{gather*}
Розв'яжемо методом інтервалів: $$ (x-2)(x+1)\lt 0. $$
$$ x\in (-1; 2). $$Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел. Числові множини та співвідношення між ними.
Це завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.
Подвійна нерівність \(5\le 3^x\le 15\) буде вірною при \(x=2:\)
\begin{gather*} 5\le 3^2\le 15,\\[7pt] 5\le 9\le 15. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв'язування рівнянь, нерівностей та систем.
\(x^2+64\gt 0\) при будь-яких значеннях \(x\), тому, щоб добуток \((x^2+64)(x-5)\) був більше нуля, необхідно, щоб другий множник \((x-5)\) був більшим за нуль.
\begin{gather*} x-5\gt 0,\\[7pt] x\gt 5,\\[7pt] x\in (5; +\infty). \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Функції. Логарифмічна функція. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, уміння користуватися графічним методом розв’язування і дослідження нерівностей.
Точка перетину графіків функцій \(y=\log_2x\) та \(y=b\) буде точка з координатами \((2^b; b).\)
Розв’язуючи графічно нерівність \(\log_2x\lt b\), знаходимо частину графіка \(y=\log_2x\), яка знаходиться нижче прямої \(y=b\) та значення \(x\), яке відповідає даній частині графіка. Це \(x\in (0; 2^b).\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних нерівностей.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей першого степеня.
$$ -3\lt 2-5x\lt 6 $$
Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2-5x\gt -3,\\
2-5x\lt 6,
\end{array}
\right.\ \
\left\{
\begin{array}{l}
-5x\gt -5,\\
-5x\lt 4,
\end{array}
\right.\ \
\left\{
\begin{array}{l}
x\lt 1,\\
x\gt -\frac 45.
\end{array}
\right.
$$
\(-0\mathord{,}8\lt x\lt 1.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.
\begin{gather*} \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^x\lt \left(\frac{4}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}\right)^3,\\[6pt] \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^x\lt \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^{-3}. \end{gather*}
Використаємо властивість показникової функції. \begin{gather*} \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\lt 1. \end{gather*}
Функція \(y=a^x\) при \(0\lt a\lt 1\) спадає.
Тому нерівність \( \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^x\lt \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^{-3}\) рівносильна нерівності \(x\gt -3.\)
Отже, \(x\in (-3; +\infty).\)
Відповідь: A.
