Розділ: Рівняння, нерівності та їхні системи
Тема: Нерівності та системи нерівностей
Кількість завдань: 79
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові нерівності.
\begin{gather*} \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^x\lt \left(\frac{4}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}\right)^3,\\[6pt] \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^x\lt \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^{-3}. \end{gather*}
Використаємо властивість показникової функції. \begin{gather*} \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\lt 1. \end{gather*}
Функція \(y=a^x\) при \(0\lt a\lt 1\) спадає.
Тому нерівність \( \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^x\lt \left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4}\right)^{-3}\) рівносильна нерівності \(x\gt -3.\)
Отже, \(x\in (-3; +\infty).\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних нерівностей.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей першого степеня.
$$ -3\lt 2-5x\lt 6 $$
Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2-5x\gt -3,\\
2-5x\lt 6,
\end{array}
\right.\ \
\left\{
\begin{array}{l}
-5x\gt -5,\\
-5x\lt 4,
\end{array}
\right.\ \
\left\{
\begin{array}{l}
x\lt 1,\\
x\gt -\frac 45.
\end{array}
\right.
$$
\(-0\mathord{,}8\lt x\lt 1.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.
Розв'яжемо нерівність: \begin{gather*} 4\cdot 3^x\lt 3^x + 6,\\[7pt] 4\cdot 3^x-3^x\lt 6,\\[7pt] 3\cdot 3^3 \lt 6,\\[7pt] 3^x \lt 2,\\[7pt] x\lt \log_3 2,\\[7pt] x\in (-\infty;\ \log_3 2). \end{gather*}
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.
Функція \(y=\log_{0,9}(3x)\) – спадна, отже, знак нерівності змінюємо на протилежний. Враховуючи ОДЗ, отримаємо: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 3x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,9^2& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ 3x\lt 0,81& \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x\gt 0 & \\ x\lt 0,27& \end{array}\right. \end{gather*}
\(x\in\ (0;\ 0,27)\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.
Розв'яжемо показникову нерівність:
\begin{gather*} 3^x\lt 27\cdot 3^{-x};\ \ 3^x\lt 3^3\cdot 3^{-x};\\[7pt] 3^x\lt 3^{3-x}. \end{gather*}Функція \(y=3^x\) зростає, отже, \begin{gather*} x\lt 3-x;\ \ 2x\lt 3;\ \ x\lt \frac 32.\\[7pt] x\in (-\infty;\ \frac 32). \end{gather*}
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності з модулем.
\begin{gather*} \left \{ \begin{array}{l l} x-9\leq 3, & \\ x-9\geq -3;& \end{array}\right. \ \ \left \{ \begin{array}{l l} x\leq 12, & \\ x\geq 6.& \end{array}\right. \end{gather*}
Сума всіх цілих розв'язків: $$ 6+7+8+9+10+11+12=63 $$ Всі розв'язки містяться на проміжку \([-15;\ 15]\).
Відповідь: 63.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.
Розв'яжемо систему лінійний нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-5\lt 2x, & \\ 12-9x\le 3x, & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} 3x-2x\lt 5, & \\ -9x-3x\le -12, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ -12x\le -12 & \end{array}\right. \ \ \left\{ \begin{array}{ l l} x\lt 5, & \\ x\ge 1. & \end{array}\right. \end{gather*}
$$ x\in\ [1;\ 5). $$
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.
Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 10^{x+1}\gt 10^{-2}. \end{gather*} Функція \(y=10^x\) – зростаюча, тому \begin{gather*} x+1\gt -2,\\[7pt] x\gt -3. \end{gather*} Отже, \(x\in (-3;\ +\infty).\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, нерівності з модулем.
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt 81,\\ |x|\le 5; \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt \left(\frac 13\right)^{-4},\\ -5\le x\le 5; \end{array} \right. \end{gather*} функція \(y=\left(\frac 13\right)^x\) складна, оскільки основа степені \(\frac 13\lt 1.\)
Отже, \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ -5\le x\le 5. \end{array} \right. \end{gather*}
Розв'язок системи – спільний розв'язок двох нерівностей. Отже, \(x\in (-4;\ 5].\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.
Розв'яжемо лінійну нерівність: \begin{gather*} x+3\le0,\\[7pt] x\le -3. \end{gather*} Зобразимо розв'язок на координатній прямій:
$$ x\in (-\infty;\ -3]. $$
Отже, правильна відповідь – В.
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.
Розв'яжемо тригонометричну нерівність \(\log_{0,3}(x+3)\gt \log_{0,3}4.\)
Функція є спадною, бо основа логарифма \(0,3\lt 1.\) Отже, \(x+3\lt 4\) та за ОДЗ \(x+3\gt 0.\)
Розв'язком нерівності буде розв'язок системи лінійних нерівностей:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x+3\lt 4,\\ x+3\gt 0, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 4-3,\\ x\gt -3, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -3. \end{array} \right. \end{gather*}
\(x\in (-3;\ 1).\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних та показникових нерівностей.
Розв'яжемо систему нерівностей: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 25,\\ 2-x\lt 8, \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 5^x\lt 5^2,\\ x\gt -6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 2,\\ x\gt -6. \end{array} \right. \end{gather*}
\(x\in (-6; 2).\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння порівнювати дійсні числа, знання властивостей модуля.
Розв'язком нерівності \(|-2x-3|\gt 5\) з наведених чисел є \(2.\) \begin{gather*} |-2\cdot 2-3|\gt 5,\ \ |-4-3|\gt 5,\\[7pt] |-7|\gt 5,\ \ 7\gt 5. \end{gather*}
Відповідь: Д.