Завдання за темою з математики

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо нерівність: $$\begin{array}{c}4\cdot 3^x<3^x+6,\\ 4\cdot 3^x-3^x<6,\\ 3\cdot 3^3<6,\\ 3^x<2,\\ x<{\log }_{3}2,\\ x\in (-\mathrm{\infty };{\log }_{3}2).\end{array}$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція $y={\log }_{0,9}(3x)$ – спадна, отже, знак нерівності змінюємо на протилежний. Враховуючи ОДЗ, отримаємо: $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{ll}3x>0& \\ 3x<0,9^2& \end{array}\{\begin{array}{ll}x>0& \\ 3x<0,81& \end{array}\{\begin{array}{ll}x>0& \\ x<0,27& \end{array}\end{array}$$

$x\in (0;0,27)$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

Функція $y=3^x$ зростає, отже, $$\begin{array}{c}x<3-x;2x<3;x<\frac{3}{2}.\\ x\in (-\mathrm{\infty };\frac{3}{2}).\end{array}$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності з модулем.

Сума всіх цілих розв'язків: $$6+7+8+9+10+11+12=63$$ Всі розв'язки містяться на проміжку $[-15;15]$.

Відповідь: 63.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжемо систему лінійний нерівностей: $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{ll}3x-5<2x,& \\ 12-9x\le 3x,& \end{array}\{\begin{array}{ll}3x-2x<5,& \\ -9x-3x\le -12,& \end{array}\\ \{\begin{array}{ll}x<5,& \\ -12x\le -12& \end{array}\{\begin{array}{ll}x<5,& \\ x\ge 1.& \end{array}\end{array}$$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Зведемо до однакової основи: $$\begin{array}{c}{10}^{x+1}>{10}^{-2}.\end{array}$$ Функція $y={10}^x$ – зростаюча, тому $$\begin{array}{c}x+1>-2,\\ x>-3.\end{array}$$ Отже, $x\in (-3;+\mathrm{\infty }).$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, нерівності з модулем.

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{3}\right)}^x<81,\\ |x|\le 5;\end{array}\{\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{3}\right)}^x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4},\\ -5\le x\le 5;\end{array}\end{array}$$ функція $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ складна, оскільки основа степені $\frac{1}{3}<1.$

Отже, $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x>-4,\\ -5\le x\le 5.\end{array}\end{array}$$

Розв'язок системи – спільний розв'язок двох нерівностей. Отже, $x\in (-4;5].$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Розв'яжемо лінійну нерівність: $$\begin{array}{c}x+3\le 0,\\ x\le -3.\end{array}$$ Зобразимо розв'язок на координатній прямій:

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжемо тригонометричну нерівність ${\log }_{0,3}(x+3)>{\log }_{0,3}4.$

Функція є спадною, бо основа логарифма $0,3<1.$ Отже, $x+3<4$ та за ОДЗ $x+3>0.$

Розв'язком нерівності буде розв'язок системи лінійних нерівностей:

$x\in (-3;1).$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних та показникових нерівностей.

Розв'яжемо систему нерівностей: $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{5}^x<25,\\ 2-x<8,\end{array}\{\begin{array}{l}{5}^x<5^2,\\ x>-6,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x<2,\\ x>-6.\end{array}\end{array}$$

$x\in (-6;2).$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння порівнювати дійсні числа, знання властивостей модуля.

Розв'язком нерівності $|-2x-3|>5$ з наведених чисел є $2.$ $$\begin{array}{c}|-2\cdot 2-3|>5,|-4-3|>5,\\ |-7|>5,7>5.\end{array}$$

Відповідь: Д.