Розділ: Стереометрія
Тема: Піраміда
Кількість завдань: 42
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, знання основних властивостей піраміди.
1. \(SABCD\) - правильна піраміда. \(ABCD\) - квадрат, \(SO\) - висота, \(AC\cap BD=0\).
\(SK\perp AB,\ SK=6\) - апофема.
\(\angle BSA=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) - плоский кут при вершині \(S\).
2. \(\triangle BSA\) - рівнобедрений \(\rightarrow SK\) - висота, бісектриса та медіана. \begin{gather*} \angle KSA=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2},\ \ SK=6.\\[6pt] AK=SK\mathrm{tg} S=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}.\\[6pt] AB=2AK=12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}
3. \(OK=AK=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\) (\(\triangle AOB\) - рівнобедрений прямокутний). $$ S_{ABCD}=AB^2=\left(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right)^2=144\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. $$ У \(\triangle SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
Відповідь: 2. \(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\)
3. \(\frac{288\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\)
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
1. \(\triangle DSC=\triangle BSC\) (\(SABCD\) - правильна піраміда), \(DM\perp SC\), \(BM\perp SC\) - відповідні висоти в рівних трикутниках. \((DSC)\cap(BSC)=SC\).
\begin{gather*}
\left. \begin{array}{ c c c}
SC\perp MD & \\
SC\perp MB & \\
BM\cap DM&
\end{array}\right|
\rightarrow
(BMD)\perp SC\rightarrow
\end{gather*}
\(\angle BMD\) - лінійний кут відповідного двогранного між \((BSC)\) та \((DSC)\).
\(\angle BMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\).
2. 1) \(\triangle SOD\ (\angle O=90^\circ)\)
2) \(\triangle BMD\) - рівнобедрений (\(BM=MD)\) \(MO\) - бісектриса, висота та медіана. $$ \angle BMD=\angle OMD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}. $$
3) \begin{gather*} \triangle SMD\ (\angle M=90^\circ)\\[6pt] MD=SD\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\frac{6\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6\cdot 2\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=12\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}
4)
Відповідь: \(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right)\).
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат зі стороною 6 см.
Відповідь: Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(EF\) – апофема (висота бічної грані).
\(ABCD\) – квадрат зі стороною \(8\ \text{см}\). $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$
За формулою
запишемо площу бічної поверхні (де \(m=EF\)) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$
Отже,
Відповідь: В.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.
\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(\text{точка}\ O\) – центр квадрата.
1. \(AC=2AO=2\sqrt{6}\) діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл. Отже, 1 – Г.
2. \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)
Oтже, 2 – A.
3. У правильній піраміді бічні ребра рівні \(AS=CS.\) \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
Oтже, 3 – Б.
Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.
На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.
\(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда, тому \(ABCD\) – квадрат, \(O\) – точка перетину діагоналей, \(PO\) – висота.
\(P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.\)
\(PK\) – апофема (висота бічної грані). \(OK\perp AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).
\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.
Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$
Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)
Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.
Сторона основи піраміди \(8\ \text{см},\) а апофема на \(2\ \text{см}\) більше, тому її довжина \(10\ \text{см}.\)
За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}\) – периметр основи \(m\) – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:
\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot 8=24\ \text{см},\ \ m=10\ \text{см}.\\[6pt] S_\text{б}=\frac 12\cdot 24\cdot 10=120\ \text{см}^2. \end{gather*}Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.
Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.
За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого \(20\ \text{см}\) і \(12\ \text{см}.\) Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$
\begin{gather*} H=15\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 120\cdot 15=600 \ \text{см}^3. \end{gather*}Відповідь: Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на