Розділ: Стереометрія
Тема: Піраміда
Кількість завдань: 42
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)
Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)
\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:
\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$
Відповідь: \(900.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Чотирикутники. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про піраміду та її елементи, вміння знаходити площу ромба та об’єм піраміди.
Об'єм піраміди обчислуємо за формулою: $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.
За умовою завдання основою піраміди є ромб, діагоналі якого \(20\ \text{см}\) і \(12\ \text{см}.\) Площу основи (ромба) обчислюємо за формулою $$ S_\text{осн}=\frac 12 d_1d_2=\frac 12\cdot 20\cdot 12= 120\ \text{см}. $$
\begin{gather*} H=15\ \text{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 120\cdot 15=600 \ \text{см}^3. \end{gather*}Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання формул для обчислення площ поверхонь піраміди.
Сторона основи піраміди \(8\ \text{см},\) а апофема на \(2\ \text{см}\) більше, тому її довжина \(10\ \text{см}.\)
За формулою $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}\) – периметр основи \(m\) – апофема, знаходимо площу бічної поверхні:
\begin{gather*} P_\text{осн}=3\cdot 8=24\ \text{см},\ \ m=10\ \text{см}.\\[6pt] S_\text{б}=\frac 12\cdot 24\cdot 10=120\ \text{см}^2. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.
Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.
1. Піраміда правильна – в основі лежить квадрат \(ABCD.\)
2. \(KM\) – висота бічної грані $$ (KM\perp DC),\ KM=15\ \text{см}. $$
За теоремою про три перпендикуляри \begin{gather*} KO\perp\ (ABC),\\[7pt] KM\perp DC\ (\text{похила}),\\[7pt] OM - \text{проекція похилої},\\[6pt] OM=\frac 12 AD=\frac 12\cdot 18=9\ (\text{см}).\\[6pt] \text{Звідси},\ OM\perp CD. \end{gather*}
4. \(\Delta KOM\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.
Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$
Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)
Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.
\(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда, тому \(ABCD\) – квадрат, \(O\) – точка перетину діагоналей, \(PO\) – висота.
\(P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.\)
\(PK\) – апофема (висота бічної грані). \(OK\perp AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).
\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Перевіряє знання про многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду.
На рисунку зображена розгортка чотирикутної піраміди. Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.
\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(\text{точка}\ O\) – центр квадрата.
1. \(AC=2AO=2\sqrt{6}\) діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл. Отже, 1 – Г.
2. \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)
Oтже, 2 – A.
3. У правильній піраміді бічні ребра рівні \(AS=CS.\) \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
Oтже, 3 – Б.
Відповідь: 1Г, 2А, 3Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(EF\) – апофема (висота бічної грані).
\(ABCD\) – квадрат зі стороною \(8\ \text{см}\). $$ S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208\ \text{см}^2 $$
За формулою
запишемо площу бічної поверхні (де \(m=EF\)) $$ S_{\text{основи}}=8^2=64\ (\text{см}^2) $$
Отже,
Відповідь: В.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат зі стороною 6 см.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
1. \(\triangle DSC=\triangle BSC\) (\(SABCD\) - правильна піраміда), \(DM\perp SC\), \(BM\perp SC\) - відповідні висоти в рівних трикутниках. \((DSC)\cap(BSC)=SC\).
\begin{gather*}
\left. \begin{array}{ c c c}
SC\perp MD & \\
SC\perp MB & \\
BM\cap DM&
\end{array}\right|
\rightarrow
(BMD)\perp SC\rightarrow
\end{gather*}
\(\angle BMD\) - лінійний кут відповідного двогранного між \((BSC)\) та \((DSC)\).
\(\angle BMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\).
2. 1) \(\triangle SOD\ (\angle O=90^\circ)\)
2) \(\triangle BMD\) - рівнобедрений (\(BM=MD)\) \(MO\) - бісектриса, висота та медіана. $$ \angle BMD=\angle OMD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}. $$
3) \begin{gather*} \triangle SMD\ (\angle M=90^\circ)\\[6pt] MD=SD\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\frac{6\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6\cdot 2\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=12\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}
4)
Відповідь: \(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right)\).
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, знання основних властивостей піраміди.
1. \(SABCD\) - правильна піраміда. \(ABCD\) - квадрат, \(SO\) - висота, \(AC\cap BD=0\).
\(SK\perp AB,\ SK=6\) - апофема.
\(\angle BSA=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) - плоский кут при вершині \(S\).
2. \(\triangle BSA\) - рівнобедрений \(\rightarrow SK\) - висота, бісектриса та медіана. \begin{gather*} \angle KSA=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2},\ \ SK=6.\\[6pt] AK=SK\mathrm{tg} S=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}.\\[6pt] AB=2AK=12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}
3. \(OK=AK=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\) (\(\triangle AOB\) - рівнобедрений прямокутний). $$ S_{ABCD}=AB^2=\left(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right)^2=144\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. $$ У \(\triangle SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
Відповідь: 2. \(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\)
3. \(\frac{288\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.
\(KABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат, \(AB=9\sqrt{2}\) см, \(BK=15\) см.
У квадраті \(BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\) см.
$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$У \(\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BK^2=BO^2+KO^2\),
\(KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12\) см – висота піраміди.
\(S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162\) см\(^2.\)
Об'єм піраміди знаходимо за формулою:
\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}Відповідь: \(648.\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.
\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),
\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.
У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} EK^2=OK^2+OE^2,\\[7pt] OK=\sqrt{EK^2-EO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \textit{см},\\[7pt] AD=2OK=10\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H=\frac 13S_{ABCD}\cdot EO=\frac 13\cdot 10^2\cdot 12=400\ \textit{см}^3. \end{gather*}Відповідь: \(400.\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.
Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.
Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.
\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.
\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(6\) см. \(SK\) – апофема.
$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ \(\angle SKO=60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((SCD)\) та \((ABC).\)
\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де \(P_\text{осн}\) – периметр основи.
\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє знання про піраміду, формулу об'єму піраміди.
\(S_{ABCD}=36\) см\(^2\), \(SO=2AB.\)
Піраміда \(SABCD\) – правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.
\begin{gather*} S_{ABCD}=AB^2=36\ \textit{см}^2,\ \ AB=6\ \textit{см},\\[7pt] SO=2\cdot AB=2\cdot 6=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac 13\cdot 36\cdot 12=12\cdot 12=144\ \textit{см}^3. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
Дано \(SABC\) i \(S_1A_1B_1C_1\) – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.
\(\Delta SAB\) подібний \(\Delta S_1A_1B_1\) (за трьома сторонами).
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:
$$ \frac{S_{SAB}}{S_{S_1B_1C_1}}=\left(\frac{AB}{A_1B_1}\right)^2=k^2. $$\(AB=2A_1B_1\), \(k=2\) коефіцієнт подібності \(k^2=4.\)
\(S_{S_1A_1B_1}=8\) см\(^2\), тому \(S_{SAB}=8\cdot 4=32\) см\(^2.\)
Площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96\) см\(^2.\)
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, знання формули для обчислення площі поверхні.
Дано: правильна трикутна піраміда, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.
\(AB=BC=AC=10\) см, \(DA=DB=DC=13\) см. \(DK\ \perp\ BC\) – апофема, \(CK=KB=5\) см.
У \(\Delta DKB\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
\begin{gather*} DB^2=DK^2+KB^2,\\[7pt] DK=\sqrt{169-25}=12\ \textit{см}. \end{gather*}$$ S_\text{біч}=p_\text{осн}\cdot l, $$ де \(p_\text{осн}\) – півпериметр основи, \(DK=l\) – апофема.
$$ S_\text{біч}=\frac 12\cdot 30\cdot 12=180\ \textit{см}^2. $$Відповідь: A.
