Алгебра і початки аналізу – Степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x-2\)

За \(x=1\) маємо \(y=1-2=-1.\)

Оскільки \(-1\lt 0\), функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. \(y=x^3\)

Обчислімо значення в точці \(x=0.\)

Для \(y=x^3{:}\) \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для \(y=\log_{0{,}5}(x+1){:}\)

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку \((0; 0).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\cos x\)

Функція є парною \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\)

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

1.

Графік функції \(y=x+4\) не має жодної спільної точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – А.

2.

Графік функції \(y=x^2-2\) має три спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Графік функції \(y=4^x\) має дві спільні точки із заданим колом. Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Г, 3 – В.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції \(y=7x+4\) перетинає вісь у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція \(y=-\frac 7x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=\log_{0{,}5}(x-4)\) – логарифмічна функція, \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=\sin x\) непарна функція.

Функція \(y=\sin x\) є непарною, бо для неї виконується рівність \(\sin (-x)=\sin (x)\), її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. \(y=\frac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=-x^3\) набуває всіх значень із проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=\sqrt{x}\) має лише одну спільну точку з колом \(x^2+y^2=9\) (центра кола \((0; 0)\) і радіус \(3\)).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\cos x.\) З тригонометричних функцій \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\operatorname{tg}\ x\), \(y=\operatorname{ctg}\ x\) тільки одна функція парна – це \(y=\cos x\). Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція \(y=\cos(x)\) є парною, бо для неї виконується рівність \(\cos(-x)=\cos(x)\), її графік є симетричним відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Показникова функція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості перетворення графіків функцій, знання властивостей показникової функції.

Графік функції \(y=3^x\) перенесли на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(y.\)

За властивістю елементарних перетворень переміщення вздовж осі \(y\) $$ f(x)\rightarrow f(x)+A, $$ де \(A\) – кількість одиниць, на які переміщують графік. Якщо \(A\gt 0\), то графік переміщують угору, а якщо \(A\lt 0\) – униз.

Запис \(y=3^x \rightarrow y=3^x-2\) означає, що графік функції перемістили вниз на \(2\) одиниці, бо \(A=-2.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Лінійні, квадратичні та логарифмічні функції.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей лінійної, квадратичної та логарифмічної функцій, уміння визначати область визначення, області значень, властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=2x-5\) – лінійна функція, її графік – пряма.

Графік функції має лише дві точки перетину з осями координат. Отже, правильна відповідь – А.

2. \(y=\log_3(x-5)\) – логарифмічна функція. Графік функції \(y=\log_3x\) перенесено паралельно вздовж осі \(Ox\) на \(5\) одиниць управо.

Областю визначення функції є проміжок \((5; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(y=x^2-5\) – квадратична функція. Графік функції \(y=x^2\) перенесено вздовж осі \(Oy\) на \(5\) одиниць униз.

Областю значень функції є проміжок \([-5; +\infty).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, встановлювати властивості числових функцій.

1. Набуває всіх значень з проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, 1 – Г.

2. Графік функції має з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\) лише одну спільну точку.

Отже, 2 – Б.

3. \(y=\cos x\) – є парною.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік лінійної функції \(y=x+2\) проходить через дану точку.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. \(y=0\) це вісь \(Ox.\) Отже, спільних точок прямої та ламаної \(ABCA\) – безліч, правильна відповідь – Д.

2. Спільних точок параболи \((y=1-x^2)\) та ламаної \(ABCA\) – три: \((0; 1),\ (1; 0),\ (-1; 0),\) правильна відповідь – Г.

3. Спільних точок функції \(y=\cos x\) та ламаної \(ABCA\) – лише одна \((0, 1).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д 2Г 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.

1. \(y=\operatorname{tg}x\) – Г.

2. \(y=\left(\frac 12\right)^x\) показникова функція – Д.

3. \(y=\frac 1x\) обернена пропорційність – А.

Відповідь: 1Г 2Д 3А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=\sqrt{x}\) паралельно перенесли на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(x.\) Отримали функцію \(y=\sqrt{x+2}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо задані графіки функцій

1. \(y=\log_2 x\)

Не перетинає вісь \(y\). Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2+3\)

Має лише одну спільну точку з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\). Отже, 2 - Г.

3. \(y=\cos x\).

Розташований у всіх координатних чвертях. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\sqrt{x-4}\) не визначена в точці \(x=1.\)

Отже, 1 – Б.

2. \(y=x+4\) набуває додатного значення при \(x=-3.\) $$y(-3)=-3+4=1.$$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=x^3\) – непарна (симетричний графік відносно початку координат). $$y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x).$$

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Симетричний відносно осі y. Отже, 1 – A.

2.

3.

Симетричний відносно початку координат. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей тригонометричної функції.

$$ y=2\cos x+3. $$ За властивістю функції \(y=\cos x\), \begin{gather*} -1\le\cos x\le 1\ |\cdot 2,\\[7pt] -2\le 2\cos x\le 2,\\[7pt] -2+3\le 2\cos x+3\le 2+3,\\[7pt] 1\le 2\cos x+3\le 5. \end{gather*} Отже, \(E(y)=[1; 5].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

1. \(y=x^2\) функція парна (графік симетричний відносно осі \(Oy\)). Отже, 1 – Г.

2. \(y=x^3+1\) зростає на всій області визначення. Отже, 2 – Б.

3. \(y=3-x\) спадає на всій області визначення. Отже, 3 – А.

4. \(y=\sin x\) непарна. Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, логарифмічні функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Не має спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

Має безліч спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – B.

3.

Проходить через точку \((1; 3).\) Отже, правильна відповідь – Д.

4.

Не перетинає вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степенева функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Ця функція зростає на всій області визначення, не є парною, періодичною, не має точок екстремуму.

Функція набуває лише невід'ємних значень.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Степенева, показникова, тригонометрична функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x^3-1\), \(x^3-1=0\), \(x^3=1\), \(x=1.\)

\(0^3-1=y\), \(y=-1.\)

\((0; -1)\), \((1; 0).\)

Отже, 1 – B.

2. \(y=2^{-x}\), \(2^{-x}=0\), немає точок перетину з віссю \(x.\)

\(y=2^{-0}=1.\)

\((0; 1).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(y=-\frac 2x\) немає точок перетину з осями.

Отже, 3 – A.

4. \(y=\operatorname{ctg}\ x\) функція періодична, тому точок перетину безліч.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра. Функції. Функціональа залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність).

Для наведених функцій область визначення не є симетричною у функції \(f(x)=\log_3x\), тому вона ні парна, ні неперна.

Серед інших умова \(f(-x)=-f(x)\) є ознакою непарності. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Така властивість є у функції \(f(x)=\frac 2x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості тригонометричних функцій, заданих графіком.

Задана функція з періодом \(T=2\mathbf{\pi}\), тому \(f(x+T)=f(x).\)

Область значень функції \(E|y|=[-1; 1]\), тому точки з ординатами \(2\mathbf{\pi}\), \(5\mathbf{\pi}\) не належать графіку.

Нулі функції \(-\frac{\mathbf{\pi}}{2}+\mathbf{\pi}k\), \(k\in Z\), тому \((3\mathbf{\pi}; 0)\) та \((5\mathbf{\pi}; 0)\) не належать графіку.

Значення \(y=-1\) функція набуває при \(x=\mathbf{\pi}+2\mathbf{\pi}k\), \(k\in Z.\)

Отже, відповідь \((5\mathbf{\pi}; -1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Квадратична, показникова, логарифмічна та степенева функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функцій.

Область значень функції — це множина всіх можливих значень, які приймає функція при всіх допустимих значеннях аргументу.

Зобразимо схематично графіки функцій та визначимо область значень кожної з них.

1. \(y=\log_2x\)

$$ E(y)=(-\infty; +\infty). $$

Отже, 1 – Д.

2. \(y=2^x\)

$$ E(y)=(0; +\infty). $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=2\sqrt{x}\)

$$ E(y)=[0; +\infty). $$

Отже, 3 – B.

4. \(y=2-x^2\)

$$ E(y)=(-\infty; 2]. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

На рисунку зображено перетворення графіка функції \(y=\sin x\rightarrow y=2\sin x.\)

Перетворення графіка \(y=kf(x)\) розтягує графік вздовж осі \(Oy\) в \(k\) раз.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійні, степеневі, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Дано графік функції \(y=f(x)\) $$ y=\left[\begin{array}{l} x+3,\ x\in [-3; 1],\\ 4,\ x\in (1; 4]. \end{array}\right. $$

1. \begin{gather*} y=x+1,\\[7pt] x+1=4,\\[7pt] x=3. \end{gather*} Отже, 1 – Д.

2. \begin{gather*} y=\frac 4x,\\[6pt] \frac 4x=4,\\[6pt] x=1. \end{gather*} Отже, 2 – Г.

3. \begin{gather*} y=\left(\frac 12\right)^x - \text{спадна},\\[6pt] y=x+3 - \text{зростаюча}. \end{gather*} Рівняння $$ \left(\frac 12\right)^x=x+3 $$ має не більше одного кореня.

При

тому абсциса точки перетину \(x=-1.\)

Отже, 3 – Б.

4. \begin{gather*} y=3-x^3,\\[7pt] 3-x^3=x+3,\\[7pt] x=-x^3,\\[7pt] x+x^3=0,\\[7pt] x(1+x^2)=0,\\[7pt] x=0. \end{gather*} Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік \(y=\sin x\) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції \(y=\cos x\) уздовж осі \(x\) вправо на \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\) одиниць.

Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Значення функції в точці. Перетворення логарифмічних виразів.

Це завдання перевіряє вміння знаходити значення функції в точці за її аналітичним виразом та вміння використовувати властивості логарифма для розв'язування задач.

Підставимо значення \(x_0=4\) у аналітичний вираз для функції замість змінної \(x\mathord{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння визначати аналітичний вираз функції за фрагментом її графіка.

Фрагмент графіка, зображений на рисунку, проходить через початок координат, тому має виконуватись рівність \(y(0)=0.\) Оскільки \(\cos 0=1\), то відповіді \(y=2\cos x\), \(y=\cos x\) не задовольняють цю умову. Для функцій \(y=2\sin x\), \(y=-2\sin x\) та \(y=\sin 2x\) вказана рівність виконується.

За рисунком функція досягає значення \(2\) в точці \(x=\frac{\pi}{2}\), тобто \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2.\) Ця рівність виконується для функції \(y=2\sin x\mathord{:}\) $$ 2\cdot \sin \frac{\pi}{2}=2\cdot 1=2, $$ а для функцій \(y=\sin 2x\) i \(y=-2\sin x\) – ні:

Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y=2\sin x.\)

Зазначимо, що зображений на рисунку фрагмент графіка можна отримати з фрагмента графіка \(y=\sin x\) шляхом розтягнення його в два рази вздовж осі ординат, тоді кожна точка \((x_0; \sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=\sin x\) перейде у точку \((x_0; 2\sin x_0)\), що належить фрагменту графіка \(y=2\sin x\) (див. рисунок).

Тому для розв'язання цього завдання важливо вміти будувати графіки функцій \(y=\sin x\) та \(y=\cos x\) та виконувати перетворення графіків функцій, зокрема, будувати графік функції \(y=kf(x)\) за графіком функції \(y=f(x).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність. Екстремум функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій (степеневої, квадратичної та логарифмічної), заданих формулою, знаходити область визначення, значення функції в точці, використовувати перетворення графіків функцій, знання означення точки екстремуму функції.

1. Функція \(y = x^{3}\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, екстремуму не має. Знайдемо значення функції в точці \(x = 8\mathord{:}\) $$ y(8) = 8^{3} \gt 0. $$ Знайдемо значення функції в точці \(x = -3\mathord{:}\) $$ y(-3) = (-3)^{3} = -27 \lt 0. $$ Отже, для початку речення 1 жоден із варіантів A—Г не може бути його закінченням. Функція \(y = x^{3}\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольнює умову \begin{gather*} y(-x) = -y(x){,}\\[7pt] (-x)^{3} = -x^{3}, \end{gather*} тобто є непарною.

Отже, 1 – Д.

2. Функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) визначена на всій дійсній осі, графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору, абсциса вершини параболи є точкою мінімуму цієї функції, тобто в точці \(x = x_{в}\) функція має екстремум. Залишилося визначити значення \(x_{в}.\) Оскільки графік функції \(y = (x + 2)^{2} - 3\) можна отримати з графіка функції \(y = x^{2}\) за допомогою його перенесення вздовж осі \(x\) ліворуч на \(2\) одиниці й вздовж осі \(y\) вниз на \(3\) одиниці, то абсциса вершини заданої параболи \(x_{в} = -2\), тобто функція \(y = (x + 2)^{2} - 3\) в точці \(x = -2\) має екстремум.

Отже, 2 – В.

3. Функція \(y = \log_{0{,}5} x\) визначена на проміжку \((0; +\infty)\), тому визначена в точці \(x = 1\) і не визначена в точці \(x = -3\). Оскільки основа логарифма \(0{,}5 \lt 1\), то функція є спадною на всій області визначення, отже, не має екстремумів. Окрім зазначеного, функція \(y = \log_{0{,}5} x\) перетинає вісь \(x\) у точці \((1; 0)\), на проміжку \((0; 1)\) набуває додатних значень, а на проміжку \((1; +\infty)\)   від’ємних значень. Таким чином, $$ y(8) = \log_{0{,}5} 8 = -3 \lt 0. $$

Отже, 3 – А.

4. Функція \(y = \sqrt{x - 4}\) визначена для всіх \(x\), що задовольняють умову \(x - 4 \ge 0\), тобто \(x \ge 4.\) Отже, вона не визначена в точках \(x = 1\) і \(x = -3.\) З двох варіантів, що залишилися, для 4 обираємо варіант Б (в точці \(x = -3\) ця функція не може набувати не лише додатного значення, але й жодного іншого).

Отже 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків елементарних функцій.

З рисунка видно, що шукана функція на проміжку \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right)\) зростає, пряма \(x = \frac{\pi}{2}\) є вертикальною асимптотою (на рисунку позначена пунктирною лінією), графік функції не перетинає цю пряму. Крім того, графік функції проходить через початок координат. Розглянемо наведені функції:

А: \(y = \mathrm{ctg}\ x\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, на проміжку \(\left(0;\, \frac{\pi}{2}\right)\) функція спадає, в точці \(x = 0\) не існує.

Б: \(y = 2^{x}\) – графік цієї функції не проходить через початок координат, оскільки \(0\ne 2^0=1\), крім того перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

В: \(y = x^{2}\) – графік цієї функції (парабола) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Г: \(y =\frac{\pi}{2}x\) – графік цієї функції (пряма) перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}.\)

Отже, варіанти А – Г не задовольняють умову завдання.

Д: \(y=\mathrm{tg}\ x\) – графік цієї функції проходить через початок координат, не перетинає пряму \(x = \frac{\pi}{2}\), оскільки в цій точці не існує значення функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\) Функція зростає на заданому проміжку. Отже, на рисунку зображено фрагмент графіка функції \(y = \mathrm{tg}\ x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки функцій.

Це завдання перевіряє знання розташування графіків основних елементарних функцій та вміння виконувати геометричні перетворення графіків.

Побудуємо схематично графіки заданих функцій.

1. Графік функції \(y=-x^{2}-1\) отримаємо з графіка функції \(y=x^{2}\) віддзеркаленням відносно осі \(x\), після чого графік опускаємо на \(1\) одиницю вниз. Графік функції \(y=-x^{2}-1\) розташований у III та IV четвертях. Отже, 1 – Б.

2. Графік функції \(y=x+1\) розташований у I, II та III четвертях. Отже, 2 – В.

3. Графік функції \(y=-\frac{1}{x}\) отриманий з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) віддзеркаленням відносно осі \(x\) (осі \(y.\)) Графік функції \(y=-\frac{1}{x}\) розташований у II та IV чвертях. Отже, 3 – А.

4. Графік функції \(y=\cos x\) розташований у I, II, III та IV четвертях. Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Перетворення графіків функцій.

Це завдання перевіряє вміння виконувати геометричні перетворення графіків функції.

Графік функції \(y=\sqrt{x-2}\) отримують зсувом графіка \(y=\sqrt{x}\) на \(2\) одиниці вправо уздовж осі абсцис.

Можна розв’язувати це завдання, використовуючи область визначення заданої функції: \(x-2 \ge 0\), звідки \(x \ge 2.\) Таке обмеження виконується лише для функції, графік якої зображено у варіанті Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функції: парність, періодичність, монотонність. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, зокрема, визначати належність точки графіку заданої функції, знаходити область визначення функції, визначати найменше значення функції. Для розв’язання завдання потрібно також знати властивості симетрії графіків парних та непарних функцій.

Розглянемо кожну з функцій A – Д окремо.

А. Функція $$ y=\frac{2}{x-2} $$ визначена для всіх значень \(x\), при яких знаменник \(x-2\) відмінний від нуля, тобто при \(x\ne 2.\) Тому областю визначення цієї функції є об’єднання інтервалів \((-\infty; 2)\cup (2; +\infty).\)
Отже, 3 – А.

Б. Графіком квадратичної функції \(y=(x+2)^2\), або $$ y=x^2+4x+4 $$ є парабола, яку можна отримати перенесенням параболи, заданої рівнянням \(y=x^2\), на \(2\) одиниці ліворуч (див. рисунок).

З рисунка видно, що графік функції \(y=(x+2)^2\) не є симетричним відносно осі \(y\), а найменшого значення ця функція набуває в точці \(x=-2\), яка є абсцисою вершини параболи. Можна міркувати інакше. Оскільки вираз \((x+2)^2\), який є повним квадратом, набуває лише невід’ємних значень, точніше, \((x+2)^2=0\), якщо \(x=-2\), і \((x+2)^2\gt 0\), якщо \(x\ne -2\), то він набуває найменшого значення, якщо \(x=-2.\) Отже, 2 – Б.

В. Графік показникової функції \(y=3^x\) проходить через точку \((0; 1)\), оскільки \(3^0=1.\) Ця функція є зростаючою на всій області визначення – проміжку \((-\infty; +\infty).\) Отже, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тому графік функції \(y=3^x\) не є симетричним відносно осі \(y.\) Можна також скористатися твердженням про те, що симетрією відносно осі ординат володіє лише графік парної функції. Функція \(y=3^x\) не є парною, оскільки умова \(y(-x)=y(x)\), тобто \(3^{-x}=3^x\) виконується лише в одній точці \(x=0.\) Для всіх \(x\ne 0\) ця рівність не виконується. Отже, 1 – В.

Г. Функція \(y=|x|\) є парною, оскільки для всіх \(x\in (-\infty; +\infty)\) виконується умова $$ y(x)=y(-x):|-x|=|x|. $$ Тому її графік симетричний відносно осі \(y.\) Отже, 4 – Г.

Д. Функція \(y=x^3\) визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, тому не існує жодної точки, у якій вона набуває найменшого значення. Точка \((0; 1)\) не належить графіку функції, оскільки її координати не задовольняють рівняння функції: \(1\ne 0^3.\) Функція \(y=x^3\) для будь-якого дійсного значення \(x\) задовольняє умову $$ y(-x)=-y(x):(-x)^3=-x^3, $$ тобто є непарною, тому її графік симетричний відносно початку координат, а не відносно осі \(y.\) Отже, жодне з наведених тверджень не є правильним для функції \(y=x^3.\)

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки функцій. Періодичність функцій.

Це завдання перевіряє знання графіків тригонометричних функцій і вміння використовувати періодичність функції для розв’язування задач.

Функція \(y=f(x)\) називається періодичною з періодом \(T\), якщо для будь-якого \(x\) з області визначення цієї функції виконується тотожність \(f(x)=f(x+T).\)

Оскільки функція \(y=\cos x\) періодична з найменшим додатним періодом \(2\pi\), то $$ \cos(x+2\pi)=\cos x. $$ Графік функції \(y=\cos x\) має вигляд:

Отже, фрагмент графіка функції \(y=\cos x\) на проміжку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) зображений на рисунку Б.

Завдання ще можна розв’язати так. Обчислимо значення функції $$ y=\cos(x+2\pi) $$ в «зручній» точці \(x=0\), що належить проміжку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]{:}\)

Отже, точка \((0; 1)\) належить графіку заданої функції. Лише на рисунку Б точка \((0; 1)\) належить графіку функції. Тому лише цей рисунок і може бути відповіддю до завдання.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функцій: монотонність, парність та непарність, область значень.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

Щоб розв’язати це завдання, потрібно знати означення зростаючої (спадної) функції, парної та непарної функцій, області значень функції.

Функція \(y = f(x)\) називається зростаючою на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_{1} \in (a; b)\) і \(x_{2} \in (a; b)\) таких, що \(x_{1} \lt x_{2}\), виконується нерівність \(f(x_{1}) \lt f(x_{2})\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає більше значення функції.

Функція \(y = f(x)\) називається спадною на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-яких \(x_{1} \in (a; b)\) і \(x_{2} \in (a; b)\) таких, що \(x_{1} \lt x_{2}\), виконується нерівність \(f(x_{1}) \gt f(x_{2})\), тобто більшому значенню аргумента з \((a; b)\) відповідає менше значення функції.

Функція \(y = f(x)\) називається парною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення функції виконується рівність \(f(-x) = f(x).\)

Функція називається непарною, якщо для будь-якого \(x\) з області визначення виконується рівність \(f(-x) = -f(x).\)

Область визначення і парної, і непарної функції симетрична відносно точки \(x = 0.\) Графік парної функції симетричний відносно осі \(y\), а непарної – відносно початку координат.

Розглянемо кожну з функцій 1–4 окремо.

1. Функція \(y = x^{2}\) є парною: \((-x)^{2} = x^{2}\) для будь-якого дійсного \(x.\) Отже, 1 – Г.

Зазначимо, що графіком цієї функції є парабола з вершиною в точці \((0; 0)\), вітки якої напрямлені вгору і симетричної відносно осі ординат (див. рисунок).

Область значень: \(E(x^{2}) = [0; +\infty)\) (важливо не обрати замість Г варіант Д).

2. Функція \(y = x^{3} + 1\) визначена на всій дійсній осі й зростає на всій області визначення. Графік цієї функції можна отримати з графіка \(y = x^{3}\) шляхом перенесення останнього на одну одиницю вгору вздовж осі \(y.\) Оскільки функція \(y = x^{3}\) є зростаючою на проміжку \((-\infty; +\infty)\), то функція \(y = x^{3} + 1\) також є зростаючою на цьому проміжку, тобто на всій області визначення. Отже, 2 – А.

3. Графіком лінійної функції \(y = 3 - x\) є пряма (див. рисунок). Для побудови графіка достатньо встановити, що пряма проходить через точки \((0; 3)\) та \((3; 0).\)

З рисунка видно, що функція \(y=3-x\) є спадною на всій числовій прямій. Отже, 3 – Б.

4. Для будь-якого \(x \in (-\infty; +\infty)\) виконується рівність \(\sin(-x) = -\sin x.\) Отже, функція \(y = \sin x\) є непарною, тому 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Щоб розв’язати завдання, потрібно знати властивості показникової функції \(y = a^{x}\), яка визначена на всій дійсній осі, на всій області визначення зростає, якщо \(a \gt 1\), і спадає, якщо \(0 \lt a \lt 1\), не перетинає вісь \(x\), набуває лише додатних значень і перетинає вісь \(y\) у точці \((0; 1).\)

Зазначені властивості мають лише функції, графіки яких зображено на рисунках Б і Г. Показникова функція \(y = 2^{-x}\), або \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\), є спадною (більшому значенню \(x\) відповідає менше значення функції). Тому відповіддю є варіант Б.

Зазначимо, що відповідь можна отримати просто. Для цього обчислимо значення заданої функції, наприклад, в точці \(x = 1\mathord{:}\) $$ 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5. $$ Отже, точка \((1; 0{,}5)\), що міститься у першій координатній чверті, належить графіку шуканої функції. Із запропонованих варіантів лише у варіанті Б графік містить точку, що належить першій координатній чверті, тому відповіддю може бути лише варіант Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій та аналізувати їх взаємне розташування.

Побудуємо в одній системі координат графіки всіх заданих функцій. Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма. Щоб побудувати цю пряму, достатньо задати дві точки, що їй належать, наприклад, \((0; 0)\), \((5; 1).\)

1. Графіком функції \(y=x+5\) є пряма, яка перетинає осі координат у точках \((-5; 0)\) та \((0; 5)\). З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) перетинаються в одній точці. Можна міркувати по- іншому: кутові коефіцієнти двох прямих \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=x+5\) не рівні \(\left(\frac{1}{5}\ne 1\right)\), тому ці прямі не є паралельними, тобто перетинаються. Отже, 1 – Б.

2. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=5^x\) не перетинаються. Отже, 2 – А.

3. Спочатку зазначимо, що графік функції \(y=\sqrt{x}\) симетричний графіку квадратичної функції \(y=x^2\), де \(x\in[0; +\infty)\), відносно прямої \(y=x.\) Графіком функції \(y=\frac{x}{5}\) є пряма, що проходить через початок координат. Пряма і парабола можуть мати дві, одну або жодної спільної точки. З рисунка видно, що \((0; 0)\) – спільна точка графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Окрім цієї точки, графіки мають ще одну спільну точку.

Обчислимо значення цих функцій, наприклад, у точках \(x=16\); \(25\); \(36{:}\) \begin{gather*} \sqrt{16}=4\gt \frac{16}{5}=3\frac{1}{5},\\[6pt] \sqrt{25}=5=\frac{25}{5},\\[6pt] \sqrt{36}=6\lt \frac{36}{5}=7\frac{1}{5}. \end{gather*} Точка \((25; 5)\) є другою спільною точкою графіків функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sqrt{x}.\) Інших спільних точок немає. Можна ще міркувати так: оскільки кількість спільних точок графіків функцій \(y=f(x)\) та \(y=g(x)\) дорівнює кількості коренів рівняння \(f(x)=g(x)\), то, розв’язуючи рівняння $$ \frac{x}{5}=\sqrt{x}, $$ дістанемо: \begin{gather*} \frac{x}{5}=\sqrt{x},\\[6pt] \frac{x^2}{25}=x,\\[6pt] x^2=25x,\\[7pt] x(x-25)=0, \end{gather*} звідки \(x_1=0\), \(x_2=25\) – корені. Отже, 3 – В.

4. З рисунка видно, що графіки функцій \(y=\frac{x}{5}\) і \(y=\sin x\), кожна з яких є непарною, перетинаються тричі – у точці \((0; 0)\) та ще у двох точках, які симетричні відносно початку координат. Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Функція \(y=\frac{5}{x}\) визначена для всіх дійсних значень аргументу, крім значення \(x=0\) (на \(0\) ділити не можна), на проміжку \((0; +\infty)\) набуває лише додатних значень, а на проміжку \((-\infty; 0)\) – лише від'ємних. Отже, графік шуканої функції розміщений у першій та третій координатних чвертях і не перетинає вісь ординат. Серед наведених на рисунках графіків ці умови виконуються лише для графіка на рисунку Г. Отже, відповідь – Г.

Охарактеризуємо детальніше функцію \(y=\frac{5}{x}\). Ця функція є окремим випадком оберненої пропорційності \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\ne 0\), число \(k=5\) – коефіцієнт оберненої пропорційності. Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.

Зазначимо, що графік функції \(y=\frac{5}{x}\) можна отримати з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) (див. рисунок) за допомогою його розтягнення в \(5\) разів уздовж осі \(y.\)

Проаналізуємо решту наведених на рисунках ескізів графіків.

А. Зображена на рисунку лінія може бути ескізом графіка показникової функції \(y=5^x\), адже цій функції притаманні такі властивості: вона є зростаючою та \(R\), набуває лише додатних значень, графік проходить через точки \((0; 1)\) та \((1; 5)\) (\(5^0=1\) та \(5^1=5\)).

Б. Є всі підстави вважати, що на рисунку зображено ескіз графіка логарифмічної функції \(y=\log_5 x\), яка визначена лише для додатних значень аргументу, є зростаючою, графік проходить через точки \((1; 0)\) та \((5; 1)\), оскільки \(\log_5 1=0\) та \(\log_5 5=1.\)

В. На рисунку зображено пряму, яка проходить через точки \((0; 0)\) та \((1; 5)\), її рівняння \(y=5x.\)

Д. На рисунку зображено ескіз графіка функції \(y=\frac{5}{|x|}\). Графік цієї функції симетричний відносно осі ординат і збігається з графіком функції \(y=\frac{5}{x}\) на проміжку \((0; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратичні, тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Розглянемо графік кожної з запропонованих функцій та перевіримо чи належить зоборажений фрагмент йому.

A. \(y=-x^2\)

Б. \(y=\sin x\)

В. \(y=\mathrm{tg}\ x\)

Г. \(y=\cos x\)

Д. \(y=x^2\)

Проаналізувавши всі графіки запропонованих функцій бачимо, що на рисунку зображено фрагмент графіка \(y=\cos x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.