Алгебра і початки аналізу – Степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=\sin x\) непарна функція.

Функція \(y=\sin x\) є непарною, бо для неї виконується рівність \(\sin (-x)=\sin (x)\), її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. \(y=\frac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=-x^3\) набуває всіх значень із проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(y=\sqrt{x}\) має лише одну спільну точку з колом \(x^2+y^2=9\) (центра кола \((0; 0)\) і радіус \(3\)).

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(y=\cos x.\) З тригонометричних функцій \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\operatorname{tg}\ x\), \(y=\operatorname{ctg}\ x\) тільки одна функція парна – це \(y=\cos x\). Всі інші тригонометричні функції – непарні.

Функція \(y=\cos(x)\) є парною, бо для неї виконується рівність \(\cos(-x)=\cos(x)\), її графік є симетричним відносно осі \(Oy.\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Показникова функція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості перетворення графіків функцій, знання властивостей показникової функції.

Графік функції \(y=3^x\) перенесли на \(2\) одиниці вниз уздовж осі \(y.\)

За властивістю елементарних перетворень переміщення вздовж осі \(y\) $$ f(x)\rightarrow f(x)+A, $$ де \(A\) – кількість одиниць, на які переміщують графік. Якщо \(A\gt 0\), то графік переміщують угору, а якщо \(A\lt 0\) – униз.

Запис \(y=3^x \rightarrow y=3^x-2\) означає, що графік функції перемістили вниз на \(2\) одиниці, бо \(A=-2.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, встановлювати властивості числових функцій.

1. Набуває всіх значень з проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, 1 – Г.

2. Графік функції має з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\) лише одну спільну точку.

Отже, 2 – Б.

3. \(y=\cos x\) – є парною.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Графік лінійної функції \(y=x+2\) проходить через дану точку.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. \(y=0\) це вісь \(Ox.\) Отже, спільних точок прямої та ламаної \(ABCA\) – безліч, правильна відповідь – Д.

2. Спільних точок параболи \((y=1-x^2)\) та ламаної \(ABCA\) – три: \((0; 1),\ (1; 0),\ (-1; 0),\) правильна відповідь – Г.

3. Спільних точок функції \(y=\cos x\) та ламаної \(ABCA\) – лише одна \((0, 1).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д 2Г 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.

1. \(y=\operatorname{tg}x\) – Г.

2. \(y=\left(\frac 12\right)^x\) показникова функція – Д.

3. \(y=\frac 1x\) обернена пропорційність – А.

Відповідь: 1Г 2Д 3А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=\sqrt{x}\) паралельно перенесли на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(x.\) Отримали функцію \(y=\sqrt{x+2}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо задані графіки функцій

1. \(y=\log_2 x\)

Не перетинає вісь \(y\). Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2+3\)

Має лише одну спільну точку з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\). Отже, 2 - Г.

3. \(y=\cos x\).

Розташований у всіх координатних чвертях. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\sqrt{x-4}\) не визначена в точці \(x=1.\)

Отже, 1 – Б.

2. \(y=x+4\) набуває додатного значення при \(x=-3.\) $$y(-3)=-3+4=1.$$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=x^3\) – непарна (симетричний графік відносно початку координат). $$y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x).$$

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Симетричний відносно осі y. Отже, 1 – A.

2.

3.

Симетричний відносно початку координат. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє знання властивостей тригонометричної функції.

$$ y=2\cos x+3. $$ За властивістю функції \(y=\cos x\), \begin{gather*} -1\le\cos x\le 1\ |\cdot 2,\\[7pt] -2\le 2\cos x\le 2,\\[7pt] -2+3\le 2\cos x+3\le 2+3,\\[7pt] 1\le 2\cos x+3\le 5. \end{gather*} Отже, \(E(y)=[1; 5].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

1. \(y=x^2\) функція парна (графік симетричний відносно осі \(Oy\)). Отже, 1 – Г.

2. \(y=x^3+1\) зростає на всій області визначення. Отже, 2 – Б.

3. \(y=3-x\) спадає на всій області визначення. Отже, 3 – А.

4. \(y=\sin x\) непарна. Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, логарифмічні функції.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Не має спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

Має безліч спільних точок з віссю \(x.\) Отже, правильна відповідь – B.

3.

Проходить через точку \((1; 3).\) Отже, правильна відповідь – Д.

4.

Не перетинає вісь \(y.\) Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степенева функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Ця функція зростає на всій області визначення, не є парною, періодичною, не має точок екстремуму.

Функція набуває лише невід'ємних значень.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Степенева, показникова, тригонометрична функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x^3-1\), \(x^3-1=0\), \(x^3=1\), \(x=1.\)

\(0^3-1=y\), \(y=-1.\)

\((0; -1)\), \((1; 0).\)

Отже, 1 – B.

2. \(y=2^{-x}\), \(2^{-x}=0\), немає точок перетину з віссю \(x.\)

\(y=2^{-0}=1.\)

\((0; 1).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(y=-\frac 2x\) немає точок перетину з осями.

Отже, 3 – A.

4. \(y=\operatorname{ctg}\ x\) функція періодична, тому точок перетину безліч.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра. Функції. Функціональа залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність).

Для наведених функцій область визначення не є симетричною у функції \(f(x)=\log_3x\), тому вона ні парна, ні неперна.

Серед інших умова \(f(-x)=-f(x)\) є ознакою непарності. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Така властивість є у функції \(f(x)=\frac 2x.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Функції. Функціональна залежність. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості тригонометричних функцій, заданих графіком.

Задана функція з періодом \(T=2\mathbf{\pi}\), тому \(f(x+T)=f(x).\)

Область значень функції \(E|y|=[-1; 1]\), тому точки з ординатами \(2\mathbf{\pi}\), \(5\mathbf{\pi}\) не належать графіку.

Нулі функції \(-\frac{\mathbf{\pi}}{2}+\mathbf{\pi}k\), \(k\in Z\), тому \((3\mathbf{\pi}; 0)\) та \((5\mathbf{\pi}; 0)\) не належать графіку.

Значення \(y=-1\) функція набуває при \(x=\mathbf{\pi}+2\mathbf{\pi}k\), \(k\in Z.\)

Отже, відповідь \((5\mathbf{\pi}; -1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Квадратична, показникова, логарифмічна та степенева функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функцій.

Область значень функції — це множина всіх можливих значень, які приймає функція при всіх допустимих значеннях аргументу.

Зобразимо схематично графіки функцій та визначимо область значень кожної з них.

1. \(y=\log_2x\)

$$ E(y)=(-\infty; +\infty). $$

Отже, 1 – Д.

2. \(y=2^x\)

$$ E(y)=(0; +\infty). $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=2\sqrt{x}\)

$$ E(y)=[0; +\infty). $$

Отже, 3 – B.

4. \(y=2-x^2\)

$$ E(y)=(-\infty; 2]. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

На рисунку зображено перетворення графіка функції \(y=\sin x\rightarrow y=2\sin x.\)

Перетворення графіка \(y=kf(x)\) розтягує графік вздовж осі \(Oy\) в \(k\) раз.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійні, степеневі, показникові функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Дано графік функції \(y=f(x)\) $$ y=\left[\begin{array}{l} x+3,\ x\in [-3; 1],\\ 4,\ x\in (1; 4]. \end{array}\right. $$

1. \begin{gather*} y=x+1,\\[7pt] x+1=4,\\[7pt] x=3. \end{gather*} Отже, 1 – Д.

2. \begin{gather*} y=\frac 4x,\\[6pt] \frac 4x=4,\\[6pt] x=1. \end{gather*} Отже, 2 – Г.

3. \begin{gather*} y=\left(\frac 12\right)^x - \text{спадна},\\[6pt] y=x+3 - \text{зростаюча}. \end{gather*} Рівняння $$ \left(\frac 12\right)^x=x+3 $$ має не більше одного кореня.

При

тому абсциса точки перетину \(x=-1.\)

Отже, 3 – Б.

4. \begin{gather*} y=3-x^3,\\[7pt] 3-x^3=x+3,\\[7pt] x=-x^3,\\[7pt] x+x^3=0,\\[7pt] x(1+x^2)=0,\\[7pt] x=0. \end{gather*} Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік \(y=\sin x\) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції \(y=\cos x\) уздовж осі \(x\) вправо на \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\) одиниць.

Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: A.