Завдання за темою з математики

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Функції. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей періодичних функцій.

Спростимо вираз: \(2\cos (450^\circ+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\).

Функція \(y=\cos x\) періодична з періодом \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), отже \(\cos(x+T)=\cos x\).

оскільки $$ \cos(90^\circ+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha})=-\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. \((a-2,7)=4,5-2,7=1,8\in\ (1;\ 2)\), отже 1 - В.

2. \(\sqrt[3]{3,5-4,5}=\sqrt[3]{-1}=-1\in\ (-2;\ 0)\), отже 2 - A.

3. \begin{gather*} \log_5 a=\log_5 4,5;\\[7pt] \log_5 1\lt\log_5 4,5\lt \log_5 5.\\[7pt] y=\log_5 x\ \text{зростаюча функція}\\[7pt] 0\lt\log_5 4,5\lt 1, \end{gather*} отже, 3 - Б

Відповідь: 1В, 2А, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Формула синуса подвійного кута \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) є в довідкових матеріалах.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$ a^2=\left(-2\frac 13\right)^2=\left(-\frac 73\right)^2=\frac{49}{9}=5\frac 49 $$ число більше від 5, отже, 1 - А.

2. \begin{gather*} a+|a|=a+(-a)=0,\ \text{оскільки}\ a\lt 0.\\[6pt] |a|= \left\{ \begin{array}{l l} a,\ \text{якщо}\ a\geq 0, & \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0,& \end{array}\right. \end{gather*} Отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} \log_5 5^a=a\log_5 5=a\cdot 1=a=-2\frac 13, \end{gather*} є від'ємним числом, отже, 3 - В.

Відповідь: 1A, 2Д, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Використаємо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=1\) та спростимо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником, логарифмічних виразів.

Запишемо числа \(a,\ b\) i \(c\) в іншому вигляді:

Правильна подвійна нерівність \begin{gather*} -1\lt 0,2\lt 2,\ \text{отже},\\[7pt] c\lt b\lt a \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використаємо властивості степені та логарифмів

Відповідь: 25.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

За властивістю логарифма числа

\begin{gather*} \log_a{b^n}=n\cdot \log_a{b},\\[7pt] \log_{a^k}{b}=\frac 1k\log_a{b},\\[7pt] \log_2{64}=\log_2{2^6}=6\cdot \log_2{2}=6,\\[7pt] \log_{64}{2}=\log_{2^6}{2}=\frac 16\log_2{2}=\frac 16. \end{gather*}

Отже, у порядку зростання числа $$ \log_{64}{2},\ \ \log_{2}{64},\ \ 11 $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, властивості степенів.

$$ \frac{10ab^3}{5a^2b}=\frac{2b^2}{a} $$

Скоротили дріб використовуючи властивість степенів: \begin{gather*} a^n:a^m=a^{n-m}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

При розв'язанні застосували властивості логарифмів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

$$ 4\cos^2 \alpha=1,\ \ \cos^2\alpha=\frac 14. $$

За основною тригонометричною тотожністю: \begin{gather*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\\[7pt] \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac 14=\frac 34. \end{gather*} Отже, $$ 4\sin^2\alpha = 4*\frac 34 = 3. $$

Відповідь: Г