Прямокутні трикутники – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Планіметрія
Тема: Прямокутні трикутники
Кількість завдань: 58

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 58

На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $BKC$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $ABCD$, якщо $\angle ABK=30^\circ$, $KC=6\sqrt{3}.$

А$24\sqrt{3}+18$

Б$24\sqrt{3}+12$

В$24+6\sqrt{3}$

Г$36$

Д$36\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

$\angle ABC=90^\circ$, $\angle ABK=30^\circ.$ Отже, $\angle KBC=60^\circ.$

У $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\ \angle C=30^\circ.$

У прямокутнику $ABCD\ BC\ ||\ AD$, січна $CK.$ $\angle BCK=\angle CKD=30^\circ$ як внутрішні різносторонні.

$\Delta CKD\ (\angle D=90^\circ)$ $$ CD=\frac 12CK=\frac 12\cdot 6\sqrt{3}=3\sqrt{3}. $$

$\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)$ $$ BC=\frac{CK}{\cos C}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12. $$

$$ P_{ABCD}=2(BC+CD)=2(12+3\sqrt{3})=24+6\sqrt{3}. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 672. Завдання: 34409

Завдання 2 з 58

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C = 90^\circ,\ \angle B = 24^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK = KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$24^\circ$

Б$34^\circ$

В$42^\circ$

Г$66^\circ$

Д$72^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ $\angle B+\angle A=90^\circ,$ $\angle B=24^\circ,$ тому $\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.$ $\angle BAC=66^\circ.$

2 – B. $\Delta ABK$ – рівнобедрений, $AK=KB$ за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle B=66^\circ.$

$$ \angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ. $$

3 – A. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO -$ медіана $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника $KO - $ висота, $KO\perp AB.$ \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} $\Delta ACB - $ прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26816

Завдання 3 з 58

У прямокутному трикутнику сума двох кутів дорівнює $115^\circ.$ Визначте градусну міру найменшого кута цього трикутника.

А$ 5^\circ $

Б$ 15^\circ $

В$ 25^\circ $

Г$ 35^\circ $

Д$ 65^\circ $

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – $180^\circ .$ Сума гострих кутів – $90^\circ .$

Отже, $115^\circ $ – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут $115^\circ -90^\circ =25^\circ .$ Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути $65^\circ$ та $25^\circ .$

Найменший кут цього трикутника $25^\circ .$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26187

Завдання 4 з 58

У прямокутному трикутнику $ABC$ катет $AC=12\ \text{см}$, гіпотенуза $AB=20\ \text{см}$.
Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1катет $BC$

2радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

3висота трикутника $ABC$, проведена до гіпотенузи $AB$

Довжина відрізка

А$ 19,2\ \text{см} $

Б$ 9,6\ \text{см} $

В$ 10\ \text{см} $

Г$ 8\ \text{см} $

Д$ 16\ \text{см} $

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

1. За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AB^2=AC^2+BC^2\\[7pt] BC^2=20^2-12^2=400-144=256.\\[7pt] BC=16\ \text{см}. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – Д.

2. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, $R=\frac 12 AB=10\ \text{см}.$ Отже, правильна відповідь – B.

3. $CH\perp AB$

Висоту $CH$ можна знайти, прирівнявши площу трикутника

\begin{gather*} S=\frac 12 a\cdot b\ \text{та}\ S=\frac 12 ch_c, \end{gather*} де $a,\ b$ – катети, $c$ – гіпотенуза.

\begin{gather*} S=\frac 12 AC\cdot CB=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ (\text{см}^2)\\[6pt] S=\frac 12 AB\cdot CH=\frac 12\cdot 20\cdot CH=10CH\ (\text{см}^2)\\[6pt] 10\cdot CH=96,\ \ CH=9,6\ \text{см}. \end{gather*}

Або знайти висоту за допомогою метричних співвідношень у прямокутному трикутнику:

\begin{gather*} AC^2=AH\cdot AB,\ \ 144=AH\cdot 20,\\[7pt] AH=144:20=7,2\ (\text{см}) \end{gather*}

$\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

CH=\sqrt{144-51,84}=\sqrt{92,16}=9,6\ (\text{см}).

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1Д, 2В, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26010

Завдання 5 з 58

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ й коло, яке дотикається до сторони $AB$ й сторін $BC$ й $AD$ в точках $M$ i $K$ відповідно. Периметр чотирикутника $ABMK$ дорівнює 24 см, а довжина відрізка $KC$ – 17 см.

1. Визначте радіус (у см) заданого кола.

2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника $ABCD$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	4			152

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

$P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.$

\begin{gather*} P_{ABMK}=2(AB+BM)=2(2BM+BM)=6MB=24;\\[7pt] BM=OM=4\ \text{см}\ -\ \text{радіус кола.} \end{gather*}

2. $2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)$ - за теоремою Піфагора

\begin{gather*} CK^2=MK^2+MC^2;\\[7pt] MC=\sqrt{CK^2-MK^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\ \text{см}\\[7pt] BC=BM+MC=4+15=19\ \text{см}\\[7pt] S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 19=152\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23681

Завдання 6 з 58

Прямолінійною дорогою $AB$ рухається тролейбус (див. рисунок). Лінія $CD$ електричного дроту паралельна $AB$ й даху $MN$ тролейбуса. Штанга $KN$, що на рисунку є відрізком, утворює з $MN$ кут $30^\circ$. Відстані між прямими $CD$ й $AB, MN$ й $AB$ дорівнюють 6 м i 3,2 м відповідно. Укажіть проміжок, якому належить довжина (у м) штанги $KN$. Уважайте, що всі зазначені прямі лежать в одній площині.

А[1; 3)

Б[3; 5)

В[5; 5,5)

Г[5,5; 6)

Д[6; 8)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$$ DB=6\ \text{м},\ AM=3,2\ \text{м}\ KM=AK-AM=6-3,2=2,8\ \text{м}. $$

$$ \triangle KMN (\angle M=90^\circ) \ \ KN=2KM=2,8\cdot 2=5,6\ \text{м}. $$

Катет $KM$ протилеглий куту $30^\circ$ дорівнює половині гіпотенузи $KN$. $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23675

Завдання 7 з 58

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює $15$ см, а сторона основи – $9\sqrt{2}$ см. Визначте об'єм цієї піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

648

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів піраміди.

$KABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат, $AB=9\sqrt{2}$ см, $BK=15$ см.

У квадраті $BD=AB\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18$ см.

$$ BO=\frac 12BD=9\ \textit{см}. $$

У $\Delta KOB\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $BK^2=BO^2+KO^2$,

$KO=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{6\cdot 6\cdot 4}=6\cdot 2=12$ см – висота піраміди.

$S_{ABCD}=AB^2=(9\sqrt{2})^2=81\cdot 2=162$ см$^2.$

Об'єм піраміди знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{основи}\cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{основи}=S_{ABCD}=162\ \textit{см}^2,\\[7pt] H=KO=12\ \textit{см},\\[6pt] V=\frac 13\cdot 162\cdot 12=54\cdot 12=648\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $648.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21236

Завдання 8 з 58

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та коло із центром у точці $O$, яка є серединою діагоналі $BD.$ Це коло дотикається сторін $BC$ та $AD$ й перетинає діагональ $BD$ у точках $K$ і $M.$ $BK=8$ см, $KM=10$ см.

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Визначте периметр прямокутника $ABCD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	26			68

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

$BK=8$ см, $KM=10$ см – діаметр.

1. $BK=MD=8$ см, $KM=10$ см.

За властивістю прямокутника, діагоналі рівні. \begin{gather*} AC=BD=BK+KM+MD=8+10+8=26\ \textit{см}. \end{gather*}

2. $P_{ABCD}=2(AB+BC)$, $AB=KM=10$ см.

$\Delta ABD (\angle A=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2,\\[7pt] AD^2=BD^2-AB^2=26^2-10^2,\\[7pt] AD=\sqrt{(26-10)(26+10)}=\sqrt{16\cdot 36}=4\cdot 6=24\ \textit{см},\\[7pt] P_{ABCD}=2(10+24)=68\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. $26.$
2. $68.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21232

Завдання 9 з 58

Стріла $CD$ автокрана нахилена до горизонтальної поверхні $AB$ під кутом $60^\circ$, $CD=20$ м (див. рисунок). Основа $C$ стріли розташована на відстані $d=2$ м від $AB.$ Відстань $h_1$, від кінця $D$ стріли до нижньої основи $MN$ вантажу становить $6$ м. Укажіть проміжок, якому належить відстань $h_2$ (у м) від $MN$ до $AB.$ Уважайте, що $MN\ ||\ AB.$

А$(4; 8]$

Б$(8; 10\mathord{,}5]$

В$(10\mathord{,}5; 12\mathord{,}5]$

Г$(12\mathord{,}5; 14\mathord{,}5]$

Д$(14\mathord{,}5; 20]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

\begin{gather*} CD=20\ \text{м},\ \ CC_1=KK_1=d=2\ \text{м},\ \ h_1=DE=6\ \text{м}.\\[6pt] DK=CD\cdot \sin C=20\cdot \sin 60^\circ=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \text{м}.\\[6pt] h_2=EK+KK_1.\\[7pt] EK=DK-DE=(10\sqrt{3}-6)\ \text{м}.\\[7pt] h_2=10\sqrt{3}-6+2=10\sqrt{3}-4\approx 10\cdot 1\mathord{,}7-4=13\ \text{м}.\\[7pt] h_2\in (12\mathord{,}5; 14\mathord{,}5]. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21226

Завдання 10 з 58

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці $O_1$ дотикається сторін $AB$, $BC$ та $AD$, а коло із центром у точці $O_2$ проходить через вершини $C$ та $D.$ Відстані від точки $O_2$ до вершини $C$ та сторони $CD$ дорівнюють $20$ см та $12$ см відповідно.

1. Визначте радіус меншого кола (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $DO_1C$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	16			768

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло і круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання про коло та його елементи, теореми Піфагора, знання формули для обчислення площі трикутника.

1. $O_2C=20$ см, $O_2K\perp CD$, $O_2K=12$ см.

За теоремою Піфагора \begin{gather*} \Delta O_2KC\ (\angle K=90^\circ),\\[7pt] O_2C^2=O_2K^2+CK^2,\\[7pt] CK=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\ \textit{см},\\[7pt] O_1H=CK=16\ \textit{см}. \end{gather*}

2. $S_{DO_1C}=\frac 12CD\cdot O_1K$,

\begin{gather*} O_1K=O_1O_2+O_2K=O_1M+MO_2+O_2K=16+20+12=48\ \textit{см},\\[6pt] S_{DO_1C}=\frac 12\cdot 32\cdot 48=16\cdot 48=768\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $16.$
2. $768.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19970

Завдання 11 з 58

Бічні сторони $AB$ та $CD$ прямокутної трапеції $ABCD$ дорівнюють $6$ см i $10$ см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною
(А – Д).

Відрізок

1основа $BC$

2проекція сторони $CD$ на пряму $AD$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$6$ см

Б$8$ см

В$10\sqrt{2}$ см

Г$10$ см

Д$14$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції, знання теореми Піфагора.

$\angle A=90^\circ$, $AC$ бісектриса, $\angle BAC=45^\circ.$

$\Delta ABC$ – рівнобедрений $(\angle B=90^\circ)$, $AB=BC=6$ см.
Отже, 1 – A.

2. $CH\perp AD$, $HD$ – проекція $CD$ на $AD.$

У $\Delta CHD\ (\angle H=90^\circ)$, $CH=6$ см, $HD=8$ см (єгипетський).
Отже, 2 – Б.

3. $ABCH$ – квадрат.

$BC=AH=6$ см, $AD=AH+HD=14$ см.

Cередня лінія трапеції $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+14}{2}=10\ \textit{см}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19967

Завдання 12 з 58

Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює $800\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$ см$^3$, а площа основи – $100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$ см$^2.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь конуса.

Площа основи конуса – $S_\text{основи}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$ см$^2$, $R^2=100$, $R=10$ см. $OB=10$ см.

Об'єм конуса знаходимо за формулою:

$V=\frac 13S_\text{основи}H,$ де $S_\text{основи}=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$ см$^2$, $H=AO.$

$\frac 13\cdot 100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot H=800\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}$, $H=24$ см.

У $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$AB^2=AO^2+OB^2=24^2+10^2=576+100=676.$

$AB=26$ см – твірна конуса.

Відповідь: $26.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19515

Завдання 13 з 58

У паралелограмі $ABCD$ з вершини тупого кута $B$ проведено висоти $BK$ та $BM$ (див. рисунок). $BK=16$ см, $AK=12$ см, $BM=24$ см.

1. Визначте довжину сторони $AB$ (у см).

2. Обчисліть площу (у см$^2$) паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20			480

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралелограма до розв'язування планіметричних задач.

1. У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора \begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2=12^2+16^2=144+256=400,\\[7pt] AB=20\ \textit{см}. \end{gather*}

2. За формулою $S=ah$, де $a$ – сторона паралелограма, $h$ – висота, проведена до сторони $a$, знаходимо площу

$$ S=CD\cdot BM=AB\cdot BM=20\cdot 24=480\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $20.$
2. $480.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19511

Завдання 14 з 58

Довжина сторони ромба $ABCD$ дорівнює $8$, $\angle B=60^\circ.$ Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі $AC$

2довжина висоти ромба $ABCD$

3відстань від точки $A$ до центра кола, яке вписане в ромб

Значення величини

А$4$

Б$4\sqrt{3}$

В$8$

Г$8\sqrt{3}$

Д$8\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AB=BC=CD=DA=8.$

1. $\Delta ABC$ – рівносторонній, $AC=8.$ Отже, 1 – B.

2. $\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$ Отже, 2 – Б.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка $O.$

За властивістю ромба $AO=OC=\frac 12AC=4.$ Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19508

Завдання 15 з 58

На рисунку зображено автомобільний тунель, поперечний переріз $ABCD$ якого утворено хордою $BC$, діаметром $AD$ та двома рівними дугами ⏝$AB$ й ⏝$DC$ кола із центром у точці $O$. Хорду $BC$ довжиною $6$ м видно із центра $O$ під кутом $90^\circ.$ У тунелі прокладено дорогу з двома смугами руху транспорту однакової ширини, розділювальною смугою шириною $0\mathord{,}4$ м та двома технічними смугами завширшки $0\mathord{,}8$ м кожна. Визначте ширину однієї смуги руху транспорту. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$1\mathord{,}8$ м

Б$2$ м

В$3$ м

Г$3\mathord{,}2$ м

Д$3\mathord{,}4$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків, розв'язувати задачі практичного змісту.

У $\Delta BOC\ (\angle O=90^\circ)\ OB=OC$ як радіуси.
$BC=6$ м. За теоремою Піфагора

\begin{gather*} BO^2+OC^2=BC^2,\\[7pt] 2BO^2=36,\ \ BO^2=18,\\[7pt] BO=AO=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{м}. \end{gather*}

Ширина смуги

$$ 3\sqrt{2}-0\mathord{,}8-\frac{0\mathord{,}4}{2}=3\sqrt{2}-1\approx 3\cdot 1\mathord{,}4-1=4\mathord{,}2-1=3\mathord{,}2\ \textit{м}. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19505

Завдання 16 з 58

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $24$, апофема утворює з площиною основи піраміди кут $45^\circ.$ Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

А$24$

Б$16\sqrt{3}$

В$24\sqrt{2}$

Г$48$

Д$48\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.

Висота піраміди $AO=24.$ За означенням кута між прямою та площиною,
$AO\perp (DOC)$
$AB$ – похила
$OB$ – проекція похилої на площину.

Отже, $\angle ABO=45^\circ.$ $\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)$ – рівнобедрений.

$OB=OA=24.$
$OB=\frac 12CE$, $CE=48.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19502

Завдання 17 з 58

Перед світлофором нa горизонтальній дорозі $AB$ зупиняється автобус. Найбільший кут $MKN$, під яким водієві автобуса видно світлофор повністю, дорівнює $30^\circ$ (див. рисунок). Проекція відрізка $KM$ на пряму $AB$ паралельна напрямку $KN$ руху автобуса, $LP\ \perp\ AB.$ $KL=0\mathord{,}6$ м, $LP$ – $1\mathord{,}6$ м. Світлофор установлено на висоті $h=4\mathord{,}6$ м над дорогою. Укажіть з-поміж наведених найменшу відстань $d$ від точки $A$ до точки $P$ місця зупинки автобуса, за якої світлофор повністю потраплятиме в поле зору водія.

А$3\mathord{,}6$ м

Б$4$ м

В$4\mathord{,}4$ м

Г$4\mathord{,}7$ м

Д$5\mathord{,}2$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язання задач практичного змісту.

\begin{gather*} h=4\mathord{,}6\ \textit{м};\ KL=0\mathord{,}6\ \textit{м}; \ LP=1\mathord{}6\ \textit{м}.\\[7pt] NK=NL+LK=d+0\mathord{,}6;\\[7pt] MN=MA-NA=4\mathord{,}6-1\mathord{,}6=3\ \textit{м}; NA=LP.\\[6pt] \text{У}\ \Delta MNK\ (\angle N=90^\circ)\ \mathrm{tg}\ K=\frac{MN}{NK};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 30^\circ=\frac{3}{d+0\mathord{,}6};\ \ \frac{3}{d+0\mathord{,}6}=\frac{1}{\sqrt{3}};\\[6pt] d+0\mathord{,}6=3\sqrt{3};\ \ d=3\sqrt{3}-0\mathord{,}6.\\[7pt] \sqrt{3}\approx 1\mathord{,}71;\ \ d\approx 3\cdot 1\mathord{,}71-0\mathord{,}6=5\mathord{,}13-0\mathord{,}6=4\mathord{,}53\ \textit{м}. \end{gather*}

З-поміж наведених відстаней найменша $4\mathord{,}7$ м.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17660

Завдання 18 з 58

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає сторону $BC$ і діагональ $BD$ в точках $K$ і $P$ відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $BPK$, якщо $\angle BDA=30^\circ.$

А$105^\circ$

Б$115^\circ$

В$75^\circ$

Г$95^\circ$

Д$125^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів, властивості прямокутника.

$AK$ – бісектриса $\angle A$, отже, $\angle BAK=\angle KAD=45^\circ.$

У трикутнику $\Delta APD:\ \angle PAD+\angle APD+\angle PDA=180^\circ.$

Звідси $\angle APD=180^\circ -\angle PAD-\angle PDA=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$

$\angle APD=\angle BPK=105^\circ$ як вертикальні.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17645

Завдання 19 з 58

На кресленні кутової шафи (вид зверху) зображено рівні прямокутники $ABCD$ i $KMEF$ та п'ятикутник $EMOAD$ (див. рисунок). Визначте довжину відрізка $ED$, якщо $OK=OB=1\mathord{,}2$ м, $KM=AB=0\mathord{,}5$ м, $KF=0\mathord{,}3$ м. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$0\mathord{,}5$ м

Б$0\mathord{,}55$ м

В$0\mathord{,}65$ м

Г$0\mathord{,}6$ м

Д$0\mathord{,}7$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

$CP\ ||\ OB$, $NF\ ||\ OK$ (додаткові побудови).

\begin{gather*} OK=1\mathord{,}2\ \textit{м}\\[7pt] OP=BC=0\mathord{,}3\ \textit{м}\\[7pt] OM=1\mathord{,}2-0\mathord{,}5=0\mathord{,}7\ \textit{м}\\[7pt] PM=OM-OP=0\mathord{,}4\ \textit{м}=HE. \end{gather*} Аналогічно, $HD=0\mathord{,}4\ \textit{м}.$

$\Delta HED$ – прямокутний, рівнобедрений, з катетами $HE=DH=0\mathord{,}4\ \textit{м}.$

За теоремою Піфагора

$$ DE=\sqrt{HE^2+HD^2}=\sqrt{0\mathord{,}32}\ \textit{м}. $$

Число $\sqrt{0\mathord{,}32}$ можна оцінити наступним чином: $$ \sqrt{0\mathord{,}25}\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt \sqrt{0\mathord{,}36}, $$ тобто $0\mathord{,}5\lt \sqrt{0\mathord{,}32}\lt 0\mathord{,}6.$

Серед відповідей цю нерівність задовольняє число $0\mathord{,}55$ м.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17079

Завдання 20 з 58

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6$ см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

А$72$ см$^2$

Б$24\sqrt{3}$ см$^2$

В$48\sqrt{3}$ см$^2$

Г$72\sqrt{3}$ см$^2$

Д$144$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання многогранників та їхніх елементів.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат зі стороною $6$ см. $SK$ – апофема.

$$ \left.\begin{array}{l} SK\ \perp\ CD,\\ OK\ \perp\ CD, \end{array}\right| \rightarrow (SOK)\ \perp\ CD\rightarrow $$ $\angle SKO=60^\circ$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SCD)$ та $(ABC).$

\begin{gather*} \Delta SOK\ (\angle O=90^\circ)\\[6pt] OK=\frac 12AD=3\ \textit{см}\\[6pt] SK=\frac{OK}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{\frac 12}=6\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK, \end{gather*} де $P_\text{осн}$ – периметр основи.

\begin{gather*} P_\text{осн}=4\cdot 6=24\ \textit{см}\\[6pt] S_\text{біч}=\frac 12P_\text{осн}\cdot SK=\frac 12\cdot 12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17077

Завдання 21 з 58

Установіть відповідність між чотирикутником (1–4) та довжиною його висоти (А – Д).

Чотирикутник

1ромб, гострий кут якого дорівнює $60^\circ$, а менша діагональ – $8\sqrt{3}$ см

2ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$, а периметр – $80$ см

3прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють $13$ см і $7$ см, а більша бічна сторона – $10$ см

4трапеція, середня лінія якої дорівнює $6$ см, а площа – $84$ см

Довжина висоти

А$7$ см.

Б$8$ см.

В$10$ см.

Г$12$ см.

Д$14$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}.$

$\Delta ABC$ – рівносторонній, $\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$

$\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ).$

$AK=AC\cdot \sin C=8\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\ \textit{см}.$

Отже, 1 – Г.

$P_{ABCD}=80\ \textit{см}$, $AB=BC=CD=AD=20\ \textit{см}.$

$S_{ABCD}=AB^2\cdot \sin 30^\circ=BC\cdot AK=20^2\cdot \frac 12=20\cdot AK.$

$200=20AK$, $AK=10\ \textit{см}.$

Отже, 2 – В.

$BC=7$ см, $AD=13$ см, $AB\ \perp\ AD$, $CD=10$ см.

Додаткова побудова $CK\ \perp\ AD.$

$ABCK$ – прямокутник, $BC=AK=7$ см, $AD=13$ см, $KD=13-7=6$ см.

$\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ)$ – єгипетський, $CK=8$ см.

Отже, 3 – Б.

$ABCD$ – трапеція, $BK$ – висота.

$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BK.$

$MN$ – середня лінія, $MN=\frac{BC+AD}{2}.$

$S=MN\cdot BK$, $BK=\frac{S}{MN}=\frac{84}{16}=14$ см.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16620

Завдання 22 з 58

Радіус основи конуса дорівнює $4$, його висота – $h$, а твірна – $l$. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для $h$ і $l.$

А$16+h^2=l^2$

Б$4+h=l$

В$16-h^2=l^2$

Г$h^2-l^2=16$

Д$8+h^2=l^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

$OA=4$ см, $SO=h$ – висота, $SA=l$ – твірна.

У $\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] l^2=h^2+16. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16604

Завдання 23 з 58

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$ та $M$ – середини сторін $AB$ та $CD$ відповідно. Визначте периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр заданого квадрата дорівнює $72$ см.

А$36$ см

Б$42$ см

В$48$ см

Г$54$ см

Д$60$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

\begin{gather*} P_{ABCD}=4AB=72\ \textit{см},\\[7pt] AB=18\ \textit{см},\\[6pt] AK=\frac 12AB=9\ \textit{см},\\[6pt] P_{AKMD}=2(AK+AD)=2(9+18)=54\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16599

Завдання 24 з 58

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ і ромб $CKMD$, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює $48$ см, а його гострий кут – $60^\circ.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони квадрата $ABCD$ дорівнює

2Довжина більшої діагоналі ромба $CKMD$ дорівнює

3Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ дорівнює

4Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ дорівнює

Закінчення речення

А$6$ см.

Б$6\sqrt{3}$ см.

В$12$ см.

Г$12\sqrt{3}$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Периметр ромба $CKMD\ 48$ см, тому сторони $CD=CK=KM=MD=48:4=12$ см. $CD=12$ см – сторона квадрата.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

$\angle D=\angle K=60^\circ$, звідси $\angle C=\angle M=120^\circ.$ Більша діагональ – $KD.$

У $\Delta DCK$ за теоремою косинусів

\begin{gather*} KD^2=CD^2+CK^2-2CD\cdot CK\cos C=\\[7pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \cos 120^\circ=\\[6pt] =144+144-2\cdot 144\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =144+144+144=3\cdot 144\ \textit{см}^3.\\[7pt] KD=\sqrt{3\cdot 144}=12\sqrt{3}\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ – це довжина перпендикуляра

$ME\ \perp\ DC$ – висота ромба.

У $\Delta MED\ \angle E=90^\circ$, $\angle D=60^\circ.$

\begin{gather*} ME=MD\cdot \sin D=12\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] ED=MD\cdot \cos D=12\cdot \cos 60^\circ=12\cdot \frac 12=6\ \textit{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

4. $KP\ \perp\ AD.$ Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ – це відрізок $KP.$

$CD\ \perp\ AD$, $KM\ ||\ CD$, тому $KM\ \perp\ AD$, $KP\ \perp\ AD.$

$KP=KM+MP=12+6=18\ \textit{см}.$

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15257

Завдання 25 з 58

Автомобіль, задні дверцята якого відкриваються так, як зображено на рисунку, під’їжджає заднім ходом по горизонтальній поверхні $CA$ перпендикулярно до вертикальної стіни $AB.$ Укажіть серед наведених найменшу відстань $d$ від автомобіля до стіни $AB$, за якої задні дверцята автомобіля зможуть із зачиненого стану $KP$ безперешкодно набувати зображеного на рисунку положення $KP'.$ $KP'=KP=0\mathord{,}9$ м, $\cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=0\mathord{,}3.$ Наявністю заднього бампера автомобіля знехтуйте.

А$0\mathord{,}85$ м

Б$0\mathord{,}8$ м

В$0\mathord{,}75$ м

Г$0\mathord{,}7$ м

Д$0\mathord{,}6$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивості дотичної до кола, вміння застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Проведемо $K_1E\ ||\ AB$ дотичну до кола.

За властивістю дотичної до кола $KK_1\ \perp\ K_1E.$

$\angle CPK=\angle PKP_1=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}$ як внутрішні різносторонні при $KK_1\ ||\ CE$ та січної $KP.$

У $\Delta KP_1P\ (\angle P_1=90^\circ)$, $KP=0\mathord{,}9$ м, $\angle K=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.$

\begin{gather*} \cos \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=0\mathord{,}3=\frac{KP_1}{KP}=\frac{KP_1}{0\mathord{,}9},\\[6pt] KP_1=0\mathord{,}27\ \textit{м},\\[6pt] P_1K_1=KK_1-KP_1=0\mathord{,}9-0\mathord{,}27=0\mathord{,}63\ \textit{м}. \end{gather*}

Серед наведених відстаней найменша $0\mathord{,}7$ м.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15253

Завдання 26 з 58

У прямокутному трикутнику $ABC\ (\angle C=90^\circ)$ відстані від середини медіани $BM$ до катетів $AC$ і $BC$ дорівнюють $5$ см і $6$ см відповідно.

1. Визначте довжину катета $AC$ (y см).

2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника $ABC.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	24			13

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей медіани, середньої лінії трикутника, уміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв'язання планіметричних задач.

$BM$ – медіана, точка $K$ – середина медіани.

1. Відстань від точки $K$ до $AC$ – це $KF=5$ см, $KF\ \perp\ AC.$

Відповідно, $KE\ \perp\ BC,$ $KE=6$ см.

$KE\ \perp \ BC$, $AC\ \perp\ BC\rightarrow\ KE\ ||\ AC.$

За теоремою Фалеса, точка $E$ – середина $BC$, тому $KE$ – середня лінія $\Delta MBC.$

За властивістю середньої лінії, \begin{gather*} KE=\frac 12MC,\\[6pt] MC=2KE=2\cdot 6=12\ \textit{см}. \end{gather*} Оскільки $BM$ – медіана, то $AC=2MC=24$ см.

Отже, довжина катета $AC=24$ см.

2. Аналогічно, $KF$ – середня лінія $\Delta CMB$, тому $BC=2KF=10$ см.

За теоремою Піфагора, у $\Delta ABC\ (\angle C=90^\circ)$

\begin{gather*} AB^2=AC^2+CB^2=24^2+10^2=576+100=676,\\[7pt] AB=\sqrt{676}=26\ \textit{см}. \end{gather*}

За властивістю прямокутного трикутника, радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Отже, радіус кола $$ 26 : 2 = 13\ \textit{см}. $$

Відповідь: 1. $24$ см.
2. $13$ см.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14621

Завдання 27 з 58

Ha рисунку зображено фрагмент поперечного перерізу стіни (прямокутник $KLMN$) з арковим прорізом $ABFCD$, верхня частина $BFC$ якого є дугою кола радіуса $1$ м. Відрізки $AB$ і $DC$ перпендикулярні до $AD$, $AB=DC=2$ м. $AD=1\mathord{,}6$ м, $KL=2\mathord{,}75$ м. Визначте відстань $d$ від найвищої точки $F$ прорізу до стелі $LM.$

А$0\mathord{,}25$ м

Б$0\mathord{,}3$ м

В$0\mathord{,}4$ м

Г$0\mathord{,}35$ м

Д$0\mathord{,}45$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості різних видів трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту.

Нехай точка $O$ – центр кола, дуга якого $BFC.$

Радіус кола – $OB=OF=OC=1$ м.

$BC\ ||\ AD$, $AB\ ||\ CD.$ $(AB\ \perp\ BC$, $CD\ \perp\ AD$ за властивістю паралельних прямих $AB\ ||\ CD)$. Отже, $ABCD$ – прямокутник, $BC=AD=1\mathord{,}6$ м.

$BC\cup OF=O_1$, $BC\ \perp\ OF.$

$\Delta BOC$ – рівнобедрений, $OO_1$ – висота та медіана, $$ BO_1=\frac 12BC=\frac 12AD=0\mathord{,}8\ \textit{м}. $$

$\Delta BOO_1\ (\angle O_1=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BO^2=OO_1^2+BO_1^2,\\[7pt] OO_1=\sqrt{1^2-0\mathord{,}8^2}=\sqrt{0\mathord{,}36}=0\mathord{,}6\ \textit{м},\\[7pt] O_1F=OF-OO_1=1-0\mathord{,}6=0\mathord{,}4\ \textit{м},\\[7pt] KL=AB+O_1F+d,\\[7pt] d=KL-AB-O_1F=2\mathord{,}75-2-0\mathord{,}4=0\mathord{,}35\ \textit{м}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14615

Завдання 28 з 58

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14331

Завдання 29 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14327

Завдання 30 з 58

Довжина сторони ромба дорівнює $12$ см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює $120^\circ.$

А$6\sqrt{3}$ см

Б$8\sqrt{3}$ см

В$12$ см

Г$12\sqrt{3}$ см

Д$24$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей ромба, уміння розв'язувати планіметричні задачі.

Дано: ромб $ABCD$, $AB=12$ см, $\angle A=120^\circ.$

Більша діагональ лежить напроти більшого кута ромба $\angle A=\angle C=120^\circ.$ Тому $BD$ – більша діагональ.

У трикутнику $DAB\ \angle A=120^\circ$, $AB=AD=12$ см. За теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=\\[6pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =2\cdot 12^2+12^2=3\cdot 12^2. \end{gather*}

Отже, $$ BD=\sqrt{3\cdot 12^2}=12\sqrt{3}\ \textit{см}. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12512

Завдання 31 з 58

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM.$ Точки $K$ i $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює $18$ см$^2.$

1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			72

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Фалеса, властивостей середньої лінії трикутника, трапеції, теореми Піфагора, уміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язання планіметричних задач.

1. Оскільки площа квадрата $KBCM\ 18$ см$^2$, то

$$ BC=CM=KM=BK=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \textit{см}. $$

$KM$ з'єднує середини діагоналей $AC$ та $BD$, належить середній лінії $LN.$

$\Delta ACE\ (\angle E=90^\circ)\ CE\ \perp\ AD$, $KM$ – середня лінія $KM=\frac 12AE$, $AE=2KM=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Фалеса $MK\ ||\ AD$, оскільки середина $AC$, тому точка $M$ – середина $CE.$ $CE=2CM=6\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AE^2+CE^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=144\ \textit{см}^2,\\[7pt] AC=12\ \textit{см}. \end{gather*}

2. Оскільки $LK$ – середня лінія $\Delta BAC$, $MN$ – середня лінія $\Delta BCD$, то

\begin{gather*} LK=MN=\frac 12BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \textit{см},\\[6pt] LN=LK+KM+MN=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\ \textit{см},\\[6pt] S_{ABCD}=LN\cdot CE=6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: 1. $12.$
2. $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12090

Завдання 32 з 58

На рисунку зображено поперечний переріз аркового проїзду, верхня частина якого (дуга $BKC$) має форму півкола радіуса $OC=2$ м. Відрізки $AB$ і $DC$ перпендикулярні до $AD$, $AB=DC=2$ м. Яке з наведених значень є найбільшим можливим значенням висоти $h$ вантажівки, за якого вона зможе проїхати через цей арковий проїзд, не торкаючись верхньої частини арки (дуги $BKC$)? Уважайте, що $LMNP$ – прямокутник, у якому $MN=2\mathord{,}4$ м і $MN\ ||\ AD.$

А $4\mathord{,}4$ м

Б$4$ м

В$3\mathord{,}7$ м

Г$3\mathord{,}5$ м

Д$3\mathord{,}2$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач та задач практичного змісту; уміння застосовувати теорему Піфагора до розв'язування прямокутного трикутника, властивості прямокутника.

Розглянемо випадок, коли вантажівка дотикається аркового проїзду. При цьому $ON=OC=2$ м (радіус аркового проїзду).

Оскільки $MN=2\mathord{,}4$ м, а $MF=FN=1\mathord{,}2$ м. $FN=OE=1\mathord{,}2$ м. Значення $NE$ знайдемо за теоремою Піфагора з $\Delta NEO\ (\angle E=90^\circ).$

$$ NE=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{4-1\mathord{,}44}=\sqrt{2\mathord{,}56}=1\mathord{,}6\ \textit{м}. $$

Висота $h$ вантажівки складається з суми

$$ h=CD+NE=2+1\mathord{,}6=3\mathord{,}6\ \textit{м}. $$

При значенні $3\mathord{,}6$ м вантажівка дотикається арки, тому максимально можливе значення – $3\mathord{,}5$ м.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12083

Завдання 33 з 58

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10854

Завдання 34 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10844

Завдання 35 з 58

Впишіть відповіді:

1.			2.
	17			8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8193

Завдання 36 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8168

Завдання 37 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7629

Завдання 38 з 58

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7527

Завдання 39 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7492

Завдання 40 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7184

Завдання 41 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7170

Завдання 42 з 58

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7150

Завдання 43 з 58

Впишіть відповідь:

864

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6902

Завдання 44 з 58

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6894

Завдання 45 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6889

Завдання 46 з 58

Впишіть відповідь:

200

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6342

Завдання 47 з 58

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6310

Завдання 48 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6285

Завдання 49 з 58

Впишіть відповідь:

7.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6277

Завдання 50 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6248

Завдання 51 з 58

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6206

Завдання 52 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6194

Завдання 53 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6126

Завдання 54 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6088

Завдання 55 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5330

Завдання 56 з 58

Впишіть відповідь:

1.62

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4331

Завдання 57 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4318

Завдання 58 з 58

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4316

Новини

Вступ до вишу на основі диплома фахового молодшого бакалавра
Рейтинговий, конкурсний, мінімальний, прохідний бал: як розібратись вступнику
У МОН кажуть, що батьки вступників часто мають хибну уяву про ринок праці

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Геометрія – Прямокутні трикутники