Геометрія – Прямі та площини у просторі

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди \(SO\) перпендикулярна до основи \(ABCD.\) За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо \(SO\ \perp\ (ABC)\), то \(SO\) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \((ABC)\), а площина \((ABC)\) містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса \((H)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса \((L)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих \(AB\ ||\ CD\), \(CD\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ A_1B_1\) (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій \(AB\), – три \((CD\), \(\ C_1D_1\), \(\ A_1B_1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі \(SO\) i \(SB\) лежать в одній площині, бо мають спільну точку \(S.\)

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Скористаймося аксіомою паралельності: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, через точку \(S\), яка не лежить на прямій \(AB\), можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма \(AB\), що не лежить у площині \((CDD_1)\), паралельна прямій \(CD\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ || (CDD_1).\)

Аналогічно, \(AB\) не лежить у площині \((A_1B_1C_1)\), але паралельна прямій \(A_1B_1\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ ||\ (A_1B_1C_1).\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання скероване на перевірку розуміння властивостей паралельних площин.

У піраміді \(SABC\) точка \(S\) не лежить у площині \((ABC).\)

Через точку, яка не лежить у площині, можна провести тільки одну площину, паралельну даній.

Отже, через точку \(S\) можна провести лише одну площину паралельну площині \(ABC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом планіметрії, нерівності трикутника, рівності трикутників.

Точки \(A,\ B,\ C,\ D\) лежать в одній площині.

I.

точка \(B\in CD\), отже, за аксіомами планіметрії \(CD=CB+BD\).

II.

точка \(A\notin CD\), то за нерівностю трикутників \(AC+AC\gt CD\).

III.

\(CD\cap AB =0\), \(CD\) – серединний перпендикуляр відрізка \(AB\), отже, будь-яка точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Отже, \(AC=CB\).

Правильними є твердження І та ІІІ.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.

1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.

2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.

3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.

1. Точки \(B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).\) Отже, 1 – Б.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CB\ \perp\ BA\) та \(CB\ \perp\ BB_1\), звідси \(CB\ \perp\ (AA_1B_1).\) Отже, 1 – Б.

2. \(CD_1\in (CC_1D_1)\);

Отже, 2 – A.

3. \(AC\) – похила до площини \((ABA_1)\), \(BC\ \perp\ (ABA_1)\), \(BA\) – проекція \(AC\) на \((ABA_1).\) \(\angle (AC,\ (ABA_1))=\angle CAB=45^\circ.\) \(ABCD\) – квадрат, \(AC\) – бісектриса \(\angle A.\) Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B\in (AA_1B_1B)\), тому що точки \(A_1\) i \(B\) належать \((AA_1B).\) Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),

\(\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.

2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямої та площини у просторі.

За наслідками з аксіом стереометрії: через пряму і точку, яка їй належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Через точку \(A\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(m\), але лише одну, перпендикулярну до прямої \(m.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення паралельних прямих.

У просторі задано паралельні прямі \(m\) i \(n.\) За означенням паралельних прямих вони лежать в одній площині та не перетинаються. Тому правильне твердження I, але неправильне ІІІ.

Через дві прямі в площині можна провести пряму, що перетинає обидві прямі \(m\) i \(n.\) Правильне твердження ІІ.

Отже, правильні твердження І та ІІ.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\mathbf{\alpha}\), \(b\cap \mathbf{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\mathbf{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\mathbf{\beta}.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі і площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних і перпендикулярних прямих і площин.

I. Твердження хибне, тому що, якщо пряма лежить і в площині \(\mathbf{\alpha}\), і в площині \(\mathbf{\beta}\), то ці площини мають спільні точки, а це суперечить умові \(\mathbf{\alpha}\ ||\ \mathbf{\beta}.\)

II. Твердження є правильним. Пряма, перпендикулярна до площини \(\mathbf{\alpha}\), перпендикулярна й площині \(\mathbf{\beta}.\)

III. Твердження хибне, тому що пряма, що лежить в одній з паралельних площин, може бути паралельною або мимобіжною з прямими, які лежать в іншій паралельній площині.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність і перпендикулярність прямої і площини. Паралельність площин.

Це завдання перевіряє знання можливого взаємного розташування прямих та площин у просторі.

I. Твердження є правильним, достатньо щоб пряма \(a\) була перпендикулярна до кожної з двох прямих \(c\) та \(b.\)

II. Твердження є правильним, через точку \(A\) можна провести безліч перпендикулярних площин до площини \(\mathbf{\alpha}.\) Достатньо, щоб побудована перпендикулярна площина проходила через пряму \(a\) з п. I.

III. Твердження є неправильним. Згідно з аксіомою стереометрії: якщо дві площини мають спільну точку, то вони або збігаються, або перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Тобто якщо провести через точку \(A\) паралельну площину \(\mathbf{\beta}\) – то вона збігатиметься з площиною \(\mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих у просторі, уміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих.

I. Твердження не правильне. Якщо \(AB\ \perp\ OB\) то \(AB\ \perp\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), а це суперечить означенню похилої. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, що з'єднує дану точку з точкою площини, який не є перпендикуляром до площини.

II. \(AB\) також не є перпендикулярною до \(OA\), бо \(\angle BAO\) – гострий.

III. \(OA\ \perp\ OB.\) За умовою \(OB\) – проекція \(AB\) на площину \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тому \(AO\ \perp\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(OB\in \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) Отже, \(OB\ \perp\ OA.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення мимобіжних прямих і вміння його використовувати до розв'язування задач.

I. Оскільки через дві прямі, що перетинаються, можна провести єдину площину, а мимобіжні прямі не перетинаються, тому твердження є неправильним.

II. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними. Тому твердження є неправильним.

III. Оскільки прямі \(a\) i \(b\) не лежать в одній площині, то вони лежать у паралельних площинах \(\alpha\) i \(\beta\) відповідно. Тому у площині \(\beta\) існує пряма, що паралельна прямій \(a\) і вона перетинає пряму \(b\), оскільки прямі \(a\) i \(b\) не є паралельними (через паралельні прямі завжди можна провести площину). Тому твердження є правильним.

Відповідь: Г.