Розділ: Стереометрія
Тема: Прямі та площини у просторі
Кількість завдань: 32
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.
За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма \(AB\), що не лежить у площині \((CDD_1)\), паралельна прямій \(CD\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ || (CDD_1).\)
Аналогічно, \(AB\) не лежить у площині \((A_1B_1C_1)\), але паралельна прямій \(A_1B_1\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ ||\ (A_1B_1C_1).\)
Отже, таких площин лише дві.
Відповідь: В.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Завдання скероване на перевірку розуміння властивостей паралельних площин.
У піраміді \(SABC\) точка \(S\) не лежить у площині \((ABC).\)
Через точку, яка не лежить у площині, можна провести тільки одну площину, паралельну даній.
Отже, через точку \(S\) можна провести лише одну площину паралельну площині \(ABC.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.
Завдання скеровано на перевірку знання аксіом планіметрії, нерівності трикутника, рівності трикутників.
Точки \(A,\ B,\ C,\ D\) лежать в одній площині.
I.
точка \(B\in CD\), отже, за аксіомами планіметрії \(CD=CB+BD\).
II.
точка \(A\notin CD\), то за нерівностю трикутників \(AC+AC\gt CD\).
III.
\(CD\cap AB =0\), \(CD\) – серединний перпендикуляр відрізка \(AB\), отже, будь-яка точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Отже, \(AC=CB\).
Правильними є твердження І та ІІІ.
Відповідь: В.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.
1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.
2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.
3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.
Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.
1. Точки \(B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).\) Отже, 1 – Б.
2. \(A_1C_1\ ||\ AC\),\(\ \ AC\in (ABC)\rightarrow A_1C_1\ ||\ (ABC).\) Отже, 2 – A.
3. \(AB\ ||\ CD\),\(\ \ AB\in (ABC_1)\rightarrow CD\ ||\ (ABC_1).\) Отже, 3 – Г.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.
Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.
1. \(CB\ \perp\ BA\) та \(CB\ \perp\ BB_1\), звідси \(CB\ \perp\ (AA_1B_1).\) Отже, 1 – Б.
2. \(CD_1\in (CC_1D_1)\);
\((CC_1D_1)\ ||\ (ABA_1)\rightarrow CD_1\ ||\ (ABA_1).\)
Отже, 2 – A.
3. \(AC\) – похила до площини \((ABA_1)\), \(BC\ \perp\ (ABA_1)\), \(BA\) – проекція \(AC\) на \((ABA_1).\) \(\angle (AC,\ (ABA_1))=\angle CAB=45^\circ.\) \(ABCD\) – квадрат, \(AC\) – бісектриса \(\angle A.\) Отже, 3 – Д.
4. \(A_1B\in (AA_1B_1B)\), тому що точки \(A_1\) i \(B\) належать \((AA_1B).\) Отже, 4 – B.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.
1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),
\(\left.\begin{array}{l}
CC_1\ \perp\ (ABC),\\
AC \in (ABC),
\end{array}\right|
\rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.
2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.
3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.
4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.
Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.
ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямої та площини у просторі.
За наслідками з аксіом стереометрії: через пряму і точку, яка їй належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.
Через точку \(A\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(m\), але лише одну, перпендикулярну до прямої \(m.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі.
Це завдання перевіряє знання означення паралельних прямих.
У просторі задано паралельні прямі \(m\) i \(n.\) За означенням паралельних прямих вони лежать в одній площині та не перетинаються. Тому правильне твердження I, але неправильне ІІІ.
Через дві прямі в площині можна провести пряму, що перетинає обидві прямі \(m\) i \(n.\) Правильне твердження ІІ.
Отже, правильні твердження І та ІІ.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.
Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.
Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(b\cap \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=B.\)
Проведемо в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.
$$ \left.\begin{array}{l} a\ ||\ b_1,\\ b_1\subset \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}, \end{array}\right| \rightarrow a\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}. $$Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі і площини у просторі.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних і перпендикулярних прямих і площин.
I. Твердження хибне, тому що, якщо пряма лежить і в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), і в площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), то ці площини мають спільні точки, а це суперечить умові \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ ||\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
II. Твердження є правильним. Пряма, перпендикулярна до площини \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), перпендикулярна й площині \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)
III. Твердження хибне, тому що пряма, що лежить в одній з паралельних площин, може бути паралельною або мимобіжною з прямими, які лежать в іншій паралельній площині.
Відповідь: B.
