Геометрія – Прямі та площини у просторі

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

За властивістю паралельних площин: через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну заданій, і до того ж тільки одну.

Через точку \(S\) можна провести одну площину, паралельну основі піраміди.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди \(SO\) перпендикулярна до основи \(ABCD.\) За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо \(SO\ \perp\ (ABC)\), то \(SO\) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \((ABC)\), а площина \((ABC)\) містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Висота конуса \((H)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса із центром його основи. Твірна конуса \((L)\) – це відрізок, що сполучає вершину конуса з будь-якою точкою кола основи.

Оскільки висота й твірна конуса мають спільну точку (перетинаються у вершині), вони, за визначенням, лежать в одній площині.

За аксіомою стереометрії, якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних прямих.

За властивістю паралельності прямих \(AB\ ||\ CD\), \(CD\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ C_1D_1\), \(AB\ ||\ A_1B_1\) (як протилежні сторони квадратів).

Отже, прямих, що проходять через ребра куба і є паралельними прямій \(AB\), – три \((CD\), \(\ C_1D_1\), \(\ A_1B_1).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Застосуймо аксіому стереометрії: якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести лише одну площину.

Отже, прямі \(SO\) i \(SB\) лежать в одній площині, бо мають спільну точку \(S.\)

За аксіомою стереометрії якщо дві прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж, тільки одну.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Прямі та площини в просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом стереометрії, взаємного розміщення прямих у просторі.

Скористаймося аксіомою паралельності: через точку, що не лежить на прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Отже, через точку \(S\), яка не лежить на прямій \(AB\), можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знань ознаки паралельності прямої та площини, властивостей призми.

За ознакою паралельності прямої і площини, якщо пряма \(AB\), що не лежить у площині \((CDD_1)\), паралельна прямій \(CD\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ || (CDD_1).\)

Аналогічно, \(AB\) не лежить у площині \((A_1B_1C_1)\), але паралельна прямій \(A_1B_1\), яка лежить в цій площині, то \(AB\ ||\ (A_1B_1C_1).\)

Отже, таких площин лише дві.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання скероване на перевірку розуміння властивостей паралельних площин.

У піраміді \(SABC\) точка \(S\) не лежить у площині \((ABC).\)

Через точку, яка не лежить у площині, можна провести тільки одну площину, паралельну даній.

Отже, через точку \(S\) можна провести лише одну площину паралельну площині \(ABC.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання скеровано на перевірку знання аксіом планіметрії, нерівності трикутника, рівності трикутників.

Точки \(A,\ B,\ C,\ D\) лежать в одній площині.

I.

точка \(B\in CD\), отже, за аксіомами планіметрії \(CD=CB+BD\).

II.

точка \(A\notin CD\), то за нерівностю трикутників \(AC+AC\gt CD\).

III.

\(CD\cap AB =0\), \(CD\) – серединний перпендикуляр відрізка \(AB\), отже, будь-яка точка серединного перпендикуляра рівновіддалена від кінців відрізка. Отже, \(AC=CB\).

Правильними є твердження І та ІІІ.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості паралельних прямих і площин.

1. Точка \(C_1\) симетрична точці \(A_1\) відносно площини \((BB_1D_1).\) Отже, 1 – Д.

2. \(A_1D_1\in (A_1B_1C_1)\), \(A_1D_1\ ||\ AD\), звідси \(AD\ ||\ (A_1B_1C_1).\) Отже, 2 – B.

3. \((BB_1C_1)\cap (DD_1C_1)=CC_1.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак паралельності прямої та площини, аксіом стереометрії.

1. Точки \(B, D\in (ABC)\rightarrow BD\in (ABC).\) Отже, 1 – Б.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CB\ \perp\ BA\) та \(CB\ \perp\ BB_1\), звідси \(CB\ \perp\ (AA_1B_1).\) Отже, 1 – Б.

2. \(CD_1\in (CC_1D_1)\);

Отже, 2 – A.

3. \(AC\) – похила до площини \((ABA_1)\), \(BC\ \perp\ (ABA_1)\), \(BA\) – проекція \(AC\) на \((ABA_1).\) \(\angle (AC,\ (ABA_1))=\angle CAB=45^\circ.\) \(ABCD\) – квадрат, \(AC\) – бісектриса \(\angle A.\) Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B\in (AA_1B_1B)\), тому що точки \(A_1\) i \(B\) належать \((AA_1B).\) Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення прямих у просторі, площин у просторі, многогранників та їхніх елементів.

1. \(AC\cup CC_1\), \(AC\ \perp\ CC_1\),

\(\left.\begin{array}{l} CC_1\ \perp\ (ABC),\\ AC \in (ABC), \end{array}\right| \rightarrow CC_1\ \perp\ AC.\)
Отже, 1 – B.

2. Прямі \(AB_1\) та \(CD_1\) мимобіжні, не лежать в одній площині та не перетинаються.
Отже, 2 – Б.

3. \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній, так як \(AC=CD_1=AD_1\) (діагоналі рівних квадратів).
\(\angle(AC\), \(CD_1)=\angle ACD_1=60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\ ||\ C_1D\) не перетинаються та лежать в одній площині \((AB_1C_1).\)
Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Д, 4 – A.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямої та площини у просторі.

За наслідками з аксіом стереометрії: через пряму і точку, яка їй належить, проходить площина, і до того ж тільки одна.

Через точку \(A\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(m\), але лише одну, перпендикулярну до прямої \(m.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Взаємне розміщення прямих у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення паралельних прямих.

У просторі задано паралельні прямі \(m\) i \(n.\) За означенням паралельних прямих вони лежать в одній площині та не перетинаються. Тому правильне твердження I, але неправильне ІІІ.

Через дві прямі в площині можна провести пряму, що перетинає обидві прямі \(m\) i \(n.\) Правильне твердження ІІ.

Отже, правильні твердження І та ІІ.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\mathbf{\alpha}\), \(b\cap \mathbf{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\mathbf{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\mathbf{\beta}.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі і площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних і перпендикулярних прямих і площин.

I. Твердження хибне, тому що, якщо пряма лежить і в площині \(\mathbf{\alpha}\), і в площині \(\mathbf{\beta}\), то ці площини мають спільні точки, а це суперечить умові \(\mathbf{\alpha}\ ||\ \mathbf{\beta}.\)

II. Твердження є правильним. Пряма, перпендикулярна до площини \(\mathbf{\alpha}\), перпендикулярна й площині \(\mathbf{\beta}.\)

III. Твердження хибне, тому що пряма, що лежить в одній з паралельних площин, може бути паралельною або мимобіжною з прямими, які лежать в іншій паралельній площині.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Паралельність і перпендикулярність прямої і площини. Паралельність площин.

Це завдання перевіряє знання можливого взаємного розташування прямих та площин у просторі.

I. Твердження є правильним, достатньо щоб пряма \(a\) була перпендикулярна до кожної з двох прямих \(c\) та \(b.\)

II. Твердження є правильним, через точку \(A\) можна провести безліч перпендикулярних площин до площини \(\mathbf{\alpha}.\) Достатньо, щоб побудована перпендикулярна площина проходила через пряму \(a\) з п. I.

III. Твердження є неправильним. Згідно з аксіомою стереометрії: якщо дві площини мають спільну точку, то вони або збігаються, або перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Тобто якщо провести через точку \(A\) паралельну площину \(\mathbf{\beta}\) – то вона збігатиметься з площиною \(\mathbf{\alpha}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих у просторі, уміння застосовувати означення, ознаки та властивості перпендикулярних прямих.

I. Твердження не правильне. Якщо \(AB\ \perp\ OB\) то \(AB\ \perp\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), а це суперечить означенню похилої. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, що з'єднує дану точку з точкою площини, який не є перпендикуляром до площини.

II. \(AB\) також не є перпендикулярною до \(OA\), бо \(\angle BAO\) – гострий.

III. \(OA\ \perp\ OB.\) За умовою \(OB\) – проекція \(AB\) на площину \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), тому \(AO\ \perp\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\), \(OB\in \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\) Отже, \(OB\ \perp\ OA.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення мимобіжних прямих і вміння його використовувати до розв'язування задач.

I. Оскільки через дві прямі, що перетинаються, можна провести єдину площину, а мимобіжні прямі не перетинаються, тому твердження є неправильним.

II. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними. Тому твердження є неправильним.

III. Оскільки прямі \(a\) i \(b\) не лежать в одній площині, то вони лежать у паралельних площинах \(\alpha\) i \(\beta\) відповідно. Тому у площині \(\beta\) існує пряма, що паралельна прямій \(a\) і вона перетинає пряму \(b\), оскільки прямі \(a\) i \(b\) не є паралельними (через паралельні прямі завжди можна провести площину). Тому твердження є правильним.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання основних аксіом стереометрії та їх наслідків і вміння їх використовувати до розв'язування задач.

Через точку \(A\) в просторі можна провести єдину пряму \(c\), паралельну прямій \(b.\) Але через пряму \(c\) можна провести безліч площин, паралельних прямій \(b\) і лише одну площину, що містить пряму \(b.\) Тобто існує безліч площин, паралельних прямій \(b\), які проходять через точку \(A.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, означення перпендикулярних прямих у просторі.

Через пряму \(a\) та точку \(M\), що не належить цій прямій, можна провести єдину площину (позначимо її через \(\alpha\)), а в площині \(\alpha\) через точку \(M\) можна провести єдину пряму, перпендикулярну до прямої \(a.\)

Отже, через точку \(M\), що не належить прямій \(a\), можна провести лише одну пряму, яка перетинає пряму \(a\) і перпендикулярна до неї.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Ознаки паралельності прямої та площини.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати паралельність прямої та площини.

Пряма паралельна площині, якщо не має з нею спільних точок. Кожна з прямих \(BC\), \(BD\), i \(A_{1}B\) проходить через точку \(B\), пряма \(CB_{1}\) проходить через точку \(B_{1}\), що належать площині \((AA_{1}B_{1})\). Оскільки ці точки належать площині \((AA_{1}B_{1})\), то вказані прямі перетинають задану площину. Пряма \(C_{1}D\) лежить у площині \((C_{1}CD)\). Оскільки площина \((C_{1}CD)\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\), то пряма \(C_{1}D\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\).

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей перпендикулярних прямих та площин.

Якщо через точку \(A\) провести площину \(\beta\), паралельну \(\alpha\), то будь-яка пряма, що проходить через точку \(A\) та лежить у площині \(\beta\), паралельна \(\alpha.\) Отже, I – неправильне твердження.

Через точку \(A\), що не належить площині \(\alpha\), можна провести лише одну площину, паралельну \(\alpha.\) Отже, II – правильне твердження.

Отже, III – правильне твердження.

Через пряму, перпендикулярну площині \(\alpha\), можна провести безліч площин. Якщо точка \(A\) лежить на даній прямій, то через неї проходить безліч площин. Отже, IV – неправильне твердження.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Теорема про три перпендикуляра.

Це завдання перевіряє знання аксіом та теорем стереометрії, означення перпендикулярних прямих у просторі.

Розглянемо кожне з тверджень.

I. За умовою пряма \(SB\) перпендикулярна до площини квадрата \(ABCD\), тому вона перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині. Отже, \(SB\ \perp\ AB\) і \(\angle SBA=90^\circ.\) Це твердження правильне.

II, III. Оскільки \(SB\ \perp\ AD\) і \(AB\ \perp\ AD\) (\(ABCD\) – квадрат), то за теоремою про три перпендикуляри \(\angle SAD=90^\circ.\) Отже, твердження III правильне.
Оскільки в трикутнику \(SAD\) не може бути двох прямих кутів, то \(\angle SAD\ne \angle SDA.\) Тому твердження II є неправильним.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Кут між мимобіжними прямими.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії та означення кута між мимобіжними прямими у просторі.

Щоб визначити кут між мимобіжними прямими \(a\) і \(b\) у просторі, проведемо пряму \(c\), яка паралельна прямій \(b\) і перетинає пряму \(a\). Кут між прямими \(a\) і \(c\), що лежать в одній площині, і буде шуканим кутом між прямими \(a\) і \(b\).

Прямі \(AA_{1}\) і \(DD_{1}\) паралельні (як прямі, що проходять через паралельні ребра куба). Отже, кут між прямими \(AB_{1}\) і \(DD_{1}\) дорівнює куту між прямими \(AB_{1}\) і \(AA_{1}\) і становить \(45^\circ\), оскільки діагональ \(AB_{1}\) квадрата \(AA_{1}B_{1}B\) утворює зі стороною \(AA_{1}\) кут \(45^\circ.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

I твердження неправильне.

II. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то за аксіомою стереометрії вони визначають площину. Отже, твердження правильне.

III. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то не обов'язково всі точки круга належать площині. Твердження правильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – призма, \(BB_1\) – висота призми. \(AC = 17\) см.

1. \((AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1\), \((AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C\). Отже, \(\Delta AB_1C\) – даний переріз.

2. \(BO\!\perp\!AC\) (властивість діагоналей ромба). \(B_1O\!\perp\!AC\) (за теоремою про три перпендикуляри). \((BOB_1)\!\perp\!AC.\) Отже, \(\angle B_1OB = \alpha\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((AB_1C)\) і \((ABC).\)

3. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\),

4.

За умовою, \(V = 1020\ \text{см}^3.\) Отже,

5. \(BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12\) см.

6. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(110{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

\((SBC)\ \perp\ (ABC)\), тому висота піраміди \(SO\) належить цій грані.

\(AD\ ||\ BC\) (основи трапеції) \((SBC)\) проходить через пряму \(BC\ ||\ DA.\)

За ознакою паралельності прямої і площини \(AD\ ||\ (SBC).\)

Площина \((AMD)\) проходить через \(AD\ ||\ (SBC)\), тому \((AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.\)

\(AD\ ||\ BC\), \(AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC\),
\((SAB)\cap (MAD)=AM\), \((SCD)\cap (MAD)=ND.\)

\(AMND\) – переріз піраміди (трапеція).

У \(\Delta SBC\) \(MN\) – середня лінія (за умовою \(SM=MB\)), \(MN\ ||\ BC.\) За властивістю середньої лінії трикутника:

Відповідь: \(3{,}05.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення площин у просторі.

I. Це твердження правильне.

II. Через точку \(M\) можна провести пряму, перпендикулярну \(\alpha\), та тільки одну. Через дану пряму можна провести безліч площин, перпендикулярних даній. Отже, твердження – неправильне.

III. Через точку \(M\) можна провести безліч похилих до площини \(\alpha.\) Через кожну похилу можна провести площину, яка утворює з площиною \(\alpha\) кут \(45^\circ\). Отже, твердження – неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, ребро якого \(1\) см.

Відстань від точки \(A\) до прямої \(B_1C_1\) – довжина перпендикуляра з точки \(A\) до прямої \(B_1C_1.\)

\(AB\ \perp\ (BB_1C_1)\), \(AB_1\) – похила на \((BB_1C_1)\), \(BB_1\) – проекція \(AB_1\) на \((BB_1C_1).\)

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція \(BB_1\ \perp\ B_1C_1\), то й похила \(AB_1\ \perp\ B_1C_1\), а отже, \(AB_1\) – відстань від \(A\) до \(B_1C_1.\)

У \(\triangle ABB_1\) (\(\angle B=90^\circ\)) \(AB=BB_1=1\) см.

За теоремою Піфагора

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – пряма призма, тому \(CC_1 \perp (ABC)\), \(ABCD\) – трапеція, \(AB=CD.\)

Додаткова побудова: \(CK\ ||\ AB.\)

\(CC_1\ ||\ BB_1\), \(CK\ ||\ AB\), \(CK\cap CC_1\), \(AB\cap BB_1\), звідси, за ознакою паралельності площин \((CKC_1)\ ||\ (ABB_1).\)

Січна площина \((CC_1K)\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, \(KK_1\ ||\ AA_1\), \(C_1K_1\ ||\ CK.\)

\(AB\ ||\ CK\), \(CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).\)

Прямокутник \(KCC_1K_1\) – шуканий переріз.

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай \(BC=x\) см, тоді \(AD=CE=6x\) см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де \(CE \perp AD\) – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AB=CD\) (за умовою), \(AB=CK\) (протилежні сторони паралелограма).

Отже, \(CK=13\) см.

Відповідь: \(104.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \begin{gather*} \left.\begin{array}{l} CB\!\perp\!BA,\\ CB\!\perp\!BB_1, \end{array}\right| \Rightarrow CB\!\perp\!(ABB_1). \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

Отже, 2 – А.

Отже, 3 – Д.

4. \(A_1B \in (ABB_1).\)

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Взаємне розміщення прямих і площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознаки мимобіжних прямих.

Використаємо ознаку мимобіжних прямих: якщо пряма \(AB \in (ABC)\), а пряма \(D_1C \cap (ABC)\) в точці \(C\), яка не належить прямій \(AB\), то \(AB\) мимобіжна з \(CD_1.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння знаходити величини кутів у просторі, взаємне розміщення прямих та площин у просторі.

1. \(CC_1\!\perp\!(ABC)\), \(AC \in (ABC) \rightarrow CC_1\!\perp\!AC.\)
Отже, 1 – B.

2. \(AB_1\) і \(CD_1\) – мимобіжні (не перетинаються, не лежать в одній площині).
Отже, 2 – Б.

3. \(AC \cap CD_1\), \(\Delta ACD_1\) – рівносторонній. \(AC = CD_1 = D_1A\) – діагоналі рівних квадратів. Отже, \(\angle ACD_1 = 60^\circ.\)
Отже, 3 – Д.

4. \(AB_1\,||\,DC_1\) (лежать у паралельних площинах, через них можна провести площину).
Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Д, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі. Ознаки паралельності прямих, прямої і площини, площин.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознак паралельності прямої та площини, площин у просторі.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину (аксіома). Отже, твердження I правильне.

Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

Отже, твердження II правильне.

Якщо дві різні площини паралельні одній прямій, то вони необов'язково паралельні між собою. Якщо пряма перетину площин паралельна прямій, то ці площини паралельні прямій.

Наприклад, \(\alpha \cap \beta = a\), \(a\ ||\ b.\)

Отже, \(\alpha\ ||\ b\), \(\beta\ ||\ b.\) Отже, твердження III неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Згідно з умовою, пряма \(b\) не має спільних точок з площиною \(\alpha\), звідси випливає \(b\ ||\ \alpha\), отже, твердження I – правильне.

Твердження II – правильне.

У площині \(\alpha\) можна провести безліч прямих, паралельних \(b.\) Отже, твердження III – неправильне.

Відповідь: B.