Розділ: Числа і вирази
Тема: Раціональні, ірраціональні, степеневі вирази та їх перетворення
Кількість завдань: 93
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, уміння виконувати дії дійсними числами.
1 – А. \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}\) ірраціональне число.
2 – В. \(\sin\left(\frac{7\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\right)=\sin\left(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+\frac{3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\right)=-1\) – ціле від'ємне число.
3 – Б. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^{\cos 90^\circ}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^0=1\) – є натуральним числом.
Відповідь: 1А, 2В, 3Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.
Обчислимо $$ 2\sqrt{m+m+m}=2\sqrt{3m}. $$
При \(m=\frac{1}{27}\)
\begin{gather*} 2\sqrt{3\cdot \frac{1}{27}}=2\sqrt{\frac 19}=\\[6pt] =2\cdot \frac 13=\frac 23. \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення.
За формулою скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2:\)
\begin{gather*} (4x-5)^2=16x^2-40x+25. \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.
\begin{gather*} \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[3]{\frac{189}{7}}=\sqrt[3]{27}=3. \end{gather*}Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.
Спростимо вирази:
1. – В. \(\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3.\)
2. – A. \(|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3.\) Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому \(|3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}.\)
3. – Г. \(\log_5125=\log_55^3=3\log_55=3.\)
Відповідь: 1В, 2А, 3Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів.
За властивістю степенів:
\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\ \ (a^n)^m=a^{nm},\\[7pt] (-2x^4)^3=(-2)^3\cdot (x^4)^3=-8x^{12}. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.
\(\left(\frac 14\right)^{-2}=\left(\frac 41\right)^2=16.\) Значення виразу належить проміжку \((10;\ +\infty).\)
Використали властивість степенів:
$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \ \text{для}\ \ a\ne 0,\ \ n\in \mathbb{N}. $$Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння.
Розв'яжемо рівняння застосувавши основну властивість пропорції:
\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14,\ \ x\cdot 4=18-2x,\ \ 4x+2x=18,\\[6pt] 6x=18,\ \ x=18:6,\ \ x=3. \end{gather*}Корінь рівняння належить проміжку \([0;\ 4).\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Спростимо вираз:
\begin{gather*} \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a(a+b)}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a}{a+b}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a-(2a+b)}{a+b}=\frac{a-2a-b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1. \end{gather*}Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.
\begin{gather*} (\frac 17\cdot \sqrt[3]{7})^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}Застосували властивості:
\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n;\\[6pt] \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n};\\[6pt] (\sqrt[n]{a})^n=a\ \text{при}\ a\ge 0. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
\begin{gather*} \frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}=\frac{a^2+16-8a}{a-4}=\\[6pt] =\frac{(a-4)^2}{a-4}=a-4. \end{gather*}
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.
$$ \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{128}{2}}=\sqrt[3]{64}=4. $$ Застосували властивість: $$ \sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ \ a,\ b \gt 0. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.
1. \begin{gather*} \frac{2a}{3}=\frac{2*\frac{25}{4}}{3}=\frac{2*25}{4*3}=\\[6pt] =\frac{25}{6}=4\frac 16. \end{gather*} Отже, 1 – Г.
2. \begin{gather*} \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. \end{gather*} Отже, 2 – Б.
3. \begin{gather*} |9-2a|=|9-2*\frac{25}{4}|=\\[6pt] =|9-\frac{25}{2}|=|9-12\frac 12|=\\[6pt] =|-3\frac 12|=3\frac 12. \end{gather*} Отже, 3 – B.
Відповідь: 1Г 2Б 3В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Спростимо вираз:
$$ 3(1-x)(1+x)=3(1-x^2)=3-3x^2. $$
Використали формулу різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази, вирази з модулем та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.
1. $$ |x-\sqrt{5}|=|\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|=|-1|=1 $$ Oтже, 1 - Б.
2. \begin{gather*} (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=\\[7pt] =5-1=4 \end{gather*} використали формулу $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ Отже, 2 - B.
3. \begin{gather*} x^2+2x+1=(x+1)^2=\\[7pt] =(\sqrt{5}-1+1)^2=(\sqrt{5})^2=5 \end{gather*} використали формулу $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ Отже, 3 - Г.
Відповідь: 1Б, 2В, 3Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.
Вираз \(3a-4=3\cdot 0,7-4=2,1-4=-1,9\).
Отже, \(|3a-4|=-3a+4\).
Значення виразу $$ -6a+4=-6\cdot 0,7+4=-4,2+4=-0,2. $$
Відповідь: –0,2.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником.
Використовуємо властивості степенів: $$ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n;\ \ a^n:b^n=a^{n-m}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.
Розв'яжемо ірраціональне рівняння: $$ \sqrt{x+12}=3 $$ піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.
\begin{gather*} x+12=9\\[7pt] x=9-12\\[7pt] x=-3\\[7pt] x=-3\ \in [-6;\ 0) \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.
Відповідь: 7.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази Дійсні числа та дії над ними.
Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником.
Спростимо вираз:
Використали властивості степенів: $$ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \text{та}\ a^m:a^n=a^{m-n} $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.
Спростимо вираз:
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, степеневих виразів.
1. \(a^4:a^3=a^{4-3}=a^1=a.\) Отже, 1 – Г.
2. \(\frac{a^2-a}{1-a}=\frac{a(a-1)}{-(a-1)}=-a.\) Отже, 2 – Д.
3. \(7^{-\log_7a}=7^{\log_7a^{-1}}=a^{-1}=\frac 1a.\) Отже, 3 – B.
Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.
Властивість модуля \begin{gather*} |a|=\left[\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ \ a\ge 0;\\ -a,\ \text{якщо}\ \ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] 1-\sqrt{3}\lt 0. \end{gather*} Отже, $$ |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.
Спростимо вираз, використавши формулу скороченого множення
\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\[7pt] (2x-3)^2+12x=4x^2-12x+9+12x=4x^2+9. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $$ x+2(x-2)=x+2x-4=3x-4. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв’язування задач, виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних виразів.
1. \(a^0=1.\)
Отже, 1 – Г.
2. \(|a|+a=-a+a=0.\)
За означенням модуля $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \ \text{якщо}\ \ a\gt 0\\ 0,\ \ \text{якщо}\ \ a=0\\ -a,\ \ \text{якщо}\ \ a\lt 0 \end{array}\right. $$ Отже, 2 – A.
3. \(a\log_22^a=a^2\log_22=a^2.\)
Отже, 3 – B.
Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Розкладемо вираз \((x+y)^2-9x^2\) на множники за формулою "різниця квадратів":
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання означення степеня з цілим показником та його властивості.
Використаємо властивість \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\) $$ \left(\frac 13\right)^{-2}=3^2=9. $$
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, використовувати властивості модуля до розв’язування задач.
З рисунку визначаємо, що \(a\approx 0\mathord{,}8.\)
1. \(-2a\approx -2\cdot 0\mathord{,}8=-1\mathord{,}6.\)
Значенню \(-1\mathord{,}6\) на рисунку відповідає точка \(K.\)
Отже, 1 – Г.
2. \(3^a\approx 3^{0\mathord{,}8}\),
\(3^{0\mathord{,}5}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3^1\),
\(\sqrt{3}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3\),
\(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7.\)
Отже, нас цікавить точка яка належить проміжку \((1\mathord{,}7; 3.)\)
На рисунку даному проміжку належить точка \(P.\)
Отже, 2 – B.
3. \(|a-1|\approx |0\mathord{,}8-1|=|-0\mathord{,}2|=0\mathord{,}2.\)
Значенню \(0\mathord{,}2\) на рисунку відповідає точка точка \(M.\)
Отже, 3 – A.
Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів.
$$ a^n:a^m=a^{n-m}. $$ Отже, $$ \frac{3x^2y}{9xy^3}=\frac{1\cdot x\cdot 1}{3\cdot 1\cdot y^2}=\frac{x}{3y^2}. $$
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа, знання властивостей модуля числа.
1. \(a^2=(-0\mathord{,}6)^2=0\mathord{,}36\) належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5].\) Отже, 1 – B.
2. \(|a|=|-0\mathord{,}6|=0\mathord{,}6=\frac 35.\) Отже, 2 – A.
3. \(\log_2(4+a)=\log_2(4-0\mathord{,}6)=\log_2 3\mathord{,}4\),
Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання властивостей степенів.
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.
Спростимо вираз за формулою "різниці квадратів":
Відповідь: Б.
