Алгебра і початки аналізу – Раціональні, ірраціональні, степеневі вирази та їх перетворення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Перенесімо \(\frac{b^2}{2c}\) ліворуч, \(a\) – праворуч: \begin{gather*} -\frac{b_2}{2c}=-b-a. \end{gather*}

Домножмо обидві частини на \(-1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=b+a. \end{gather*}

Представмо у вигляді дробу праву частину \(b+a\), для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac{b_2}{2c}=\frac{b+a}{1}. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення: \begin{gather*} 2c(a+b)=b^2. \end{gather*}

Поділімо обидві частини на \(2(a+b){:}\) \begin{gather*} c=\frac{b^2}{2(a+b)}. \end{gather*}

Розкриймо дужки в знаменнику, для цього \(2\) помножмо на кожен доданок у дужках. \begin{gather*} \frac{b^2}{2(a+b)}=\frac{b^2}{2a+2b}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання властивостей числових проміжків і властивостей логарифмів.

1. \(2e\cdot \frac 1e=2\), \(P(2).\) Отже, правильна відповідь – Д.

2. \(\ln 1=0\), \(M(0).\) За властивістю логарифма: \(\log_a 1=0.\) Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати властивості степенів, формули скороченого множення.

За властивістю степенів: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. $$ Спростімо вираз:

Знаменник спростили за формулою квадрата суми.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Ірраціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1. \(\sqrt[3]{-27}=-3.\)
\(-3\) – є цілим від'ємним числом. Отже, правильна відповідь – A.

2. \( \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{300}}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{\sqrt{100\cdot 3}}=\frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{10}=\frac 15. \)
\(\frac 15\) є раціональним нецілим числом. Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г.

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів та коренів, дії з ними.

Застосуймо властивості степенів:

Відповідь: B.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня із цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля числа:

Отже, 1 – Д.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

Тобто

Отже, 2 – A.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різниця квадратів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивість: \(\sqrt[3]{a^3}=a.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Дійсні числа. Раціональні, ірраціональні, тригонометричні й логарифмічні числа.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення степеневих, логарифмічних і тригонометричних виразів.

1. За властивістю степенів: $$ a^n:a^m=a^{n-m}, $$

Отже, правильна відповідь – Д.

2. За властивістю логарифмів:

Отже,

Правильна відповідь – Б.

3. Спростiмо вираз за формулою різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$ \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) – табличне значення.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, застосовувати формули скороченого множення.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення та вмінння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Винесімо спільний множник за дужки:

Використали розподільну властивість множення: $$ a\cdot c+b\cdot c=c\cdot (a+b). $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання основної властивості пропорції.

Виразімо із цієї рівності \(m_1\mathord{:}\)

У перетворенні застосували основну властивість пропорції:

Відповідь: А.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\(12a\) i \(5a\) – подібні доданки. Щоб звести подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на буквену частину.

Аналогічно спрощують \((1a-17a).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники:

за формулою різниці квадратів.

У виразі

винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. \(\mathbf{\varphi}^0=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^0=1\in (0; 1].\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. \((\sqrt{5}-1)\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{5-1}{2}=2\in (1; 2].\)

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Отже, правильна відповідь – Б.

При спрощенні виразу застосовували формули:

Відповідь: 1В, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, зводити подібні доданки.

В даному виразі зведені подібні доданки.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Розв’язування показникових, раціональних рівнянь.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, раціональні і ірраціональні рівняння й нерівності та їх системи з параметрами.

1. Область допустимих значень

2. Розв'яжемо рівняння:

Для того, щоб рівняння мало корінь

Найбільше значення \(a=7\frac 14=7\mathord{,}25.\)

Відповідь: \(7\mathord{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, знання модуля числа та його властивостей.

1. \(\sin \left(-\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right)=-\sin\frac{\mathbf{\pi}}{6}=-\frac 12.\)

\(y=\sin x\) – непарна, тому

Отже, правильна відповідь – Г.

Отже, правильна відповідь – Б.

3. \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac 12.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази і їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Розкриємо дужки:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів, уміння виконувати дії дійсними числами.

1 – А. \(\frac{\mathbf{\pi}}{3}\) ірраціональне число.

3 – Б. \(\mathbf{\pi}^{\cos 90^\circ}=\mathbf{\pi}^0=1\) – є натуральним числом.

Відповідь: 1А, 2В, 3Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Обчислимо $$ 2\sqrt{m+m+m}=2\sqrt{3m}. $$

При \(m=\frac{1}{27}\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення.

За формулою скороченого множення \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2:\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Використали властивість арифметичного корення \(n\text{-го}\) степеня:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником, тотожних перетворень раціональних та логарифмічних виразів.

1. \(a^4:a^3=a^{4-3}=a^1=a.\) Отже, правильна відповіль – Д.

2. $$ \frac{a^2-a}{1-a}=\frac{a(a-1)}{-(a-1)}=\frac{a}{-1}=-a. $$ Отже, правильна відповідь – Г.

3. $$ 7^{-\log_7 a}=7^{\log_7 a^{-1}}=a^{-1}=\frac 1a. $$ Застосували правила \begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n},\\[6pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b,\\[7pt] a^{\log_a b}=b. \end{gather*} Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1Д, 2Г, 3B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння перетворення раціональних виразів, знання модуля дійсного числа та його властивостей.

Якщо \(a\gt 1,\) то \(|a-1|=-a+1.\)

За означенням модуля числа $$ |a|=-a\ \text{при}\ a\lt 0. $$ Отже, $$ |a-1|+|-7|=-a+1+7=-a+8. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриємо дужки і спростимо вираз:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Якщо $$ m=n-1, $$ то

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.

Спростимо вирази:

1. – В. \(\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3.\)

2. – A. \(|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3.\) Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому \(|3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}.\)

3. – Г. \(\log_5125=\log_55^3=3\log_55=3.\)

Відповідь: 1В, 2А, 3Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

\(\left(\frac 14\right)^{-2}=\left(\frac 41\right)^2=16.\) Значення виразу належить проміжку \((10;\ +\infty).\)

Використали властивість степенів:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння.

Розв'яжемо рівняння застосувавши основну властивість пропорції:

Корінь рівняння належить проміжку \([0;\ 4).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивості:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}=\frac{a^2+16-8a}{a-4}=\\[6pt] =\frac{(a-4)^2}{a-4}=a-4. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

$$ \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{128}{2}}=\sqrt[3]{64}=4. $$ Застосували властивість: $$ \sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ \ a,\ b \gt 0. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

1. \begin{gather*} \frac{2a}{3}=\frac{2\cdot \frac{25}{4}}{3}=\frac{2\cdot 25}{4\cdot 3}=\\[6pt] =\frac{25}{6}=4\frac 16. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

2. \begin{gather*} \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. \end{gather*} Отже, 2 – Б.

3. \begin{gather*} |9-2a|=|9-2\cdot \frac{25}{4}|=\\[6pt] =|9-\frac{25}{2}|=|9-12\frac 12|=\\[6pt] =|-3\frac 12|=3\frac 12. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г 2Б 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Спростимо вираз:

$$ 3(1-x)(1+x)=3(1-x^2)=3-3x^2. $$

Використали формулу різниці квадратів: $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази, вирази з модулем та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$ |x-\sqrt{5}|=|\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|=|-1|=1 $$ Oтже, 1 - Б.

2. \begin{gather*} (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=\\[7pt] =5-1=4 \end{gather*} використали формулу $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ Отже, 2 - B.

3. \begin{gather*} x^2+2x+1=(x+1)^2=\\[7pt] =(\sqrt{5}-1+1)^2=(\sqrt{5})^2=5 \end{gather*} використали формулу $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ Отже, 3 - Г.

Відповідь: 1Б, 2В, 3Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

Вираз \(3a-4=3\cdot 0,7-4=2,1-4=-1,9\).

Отже, \(|3a-4|=-3a+4\).

Значення виразу $$ -6a+4=-6\cdot 0,7+4=-4,2+4=-0,2. $$

Відповідь: –0,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів з цілим показником.

Використовуємо властивості степенів: $$ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n;\ \ a^n:b^n=a^{n-m}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Розв'яжемо ірраціональне рівняння: $$ \sqrt{x+12}=3 $$ піднесемо обидві частини рівняння до квадрату.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

Відповідь: 7.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником.

Спростимо вираз:

Використали властивості степенів: $$ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \text{та}\ a^m:a^n=a^{m-n} $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, степеневих виразів.

1. \(a^4:a^3=a^{4-3}=a^1=a.\) Отже, 1 – Г.

2. \(\frac{a^2-a}{1-a}=\frac{a(a-1)}{-(a-1)}=-a.\) Отже, 2 – Д.

3. \(7^{-\log_7a}=7^{\log_7a^{-1}}=a^{-1}=\frac 1a.\) Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

Властивість модуля \begin{gather*} |a|=\left[\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ \ a\ge 0;\\ -a,\ \text{якщо}\ \ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] 1-\sqrt{3}\lt 0. \end{gather*} Отже, $$ |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз, використавши формулу скороченого множення

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $$ x+2(x-2)=x+2x-4=3x-4. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв’язування задач, виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних виразів.

1. \(a^0=1.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(|a|+a=-a+a=0.\)

За означенням модуля $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \ \text{якщо}\ \ a\gt 0\\ 0,\ \ \text{якщо}\ \ a=0\\ -a,\ \ \text{якщо}\ \ a\lt 0 \end{array}\right. $$ Отже, 2 – A.

3. \(a\log_22^a=a^2\log_22=a^2.\)
Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкладемо вираз \((x+y)^2-9x^2\) на множники за формулою "різниця квадратів":

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання означення степеня з цілим показником та його властивості.

Використаємо властивість \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\) $$ \left(\frac 13\right)^{-2}=3^2=9. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа, використовувати властивості модуля до розв’язування задач.

З рисунку визначаємо, що \(a\approx 0\mathord{,}8.\)

1. \(-2a\approx -2\cdot 0\mathord{,}8=-1\mathord{,}6.\)
Значенню \(-1\mathord{,}6\) на рисунку відповідає точка \(K.\)
Отже, 1 – Г.

2. \(3^a\approx 3^{0\mathord{,}8}\),
\(3^{0\mathord{,}5}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3^1\),
\(\sqrt{3}\lt 3^{0\mathord{,}8}\lt 3\),
\(\sqrt{3}\approx 1\mathord{,}7.\)
Отже, нас цікавить точка яка належить проміжку \((1\mathord{,}7; 3.)\)
На рисунку даному проміжку належить точка \(P.\)
Отже, 2 – B.

3. \(|a-1|\approx |0\mathord{,}8-1|=|-0\mathord{,}2|=0\mathord{,}2.\)
Значенню \(0\mathord{,}2\) на рисунку відповідає точка точка \(M.\)
Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

$$ a^n:a^m=a^{n-m}. $$ Отже, $$ \frac{3x^2y}{9xy^3}=\frac{1\cdot x\cdot 1}{3\cdot 1\cdot y^2}=\frac{x}{3y^2}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа, знання властивостей модуля числа.

1. \(a^2=(-0\mathord{,}6)^2=0\mathord{,}36\) належить проміжку \([0; 0\mathord{,}5].\) Отже, 1 – B.

2. \(|a|=|-0\mathord{,}6|=0\mathord{,}6=\frac 35.\) Отже, 2 – A.

3. \(\log_2(4+a)=\log_2(4-0\mathord{,}6)=\log_2 3\mathord{,}4\),

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання властивостей степенів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за формулою "різниці квадратів":

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

1. \(a^{-1}=\frac{1}{a^1}=\frac 1a.\) Отже, 1 – Б.

2. \(\sqrt{(-a)^2}=|-a|=a\ (a\gt 0).\) Отже, 2 – B.

3. \(5:\frac{1}{5a}=5\cdot \frac{5a}{1}=25a.\) Отже, 3 – Д.

4. \(25^{\log_5a}=5^{2\log_5a}=(5^{\log_5a})^2=a^2.\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Спростимо вираз за допомогою формул скороченого множення:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, розкладу многочлена на множники, уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

$$ \frac{a^2-b^2}{a^2-ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}. $$

Відповідь: A.

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вмінняя виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання означення степеня з цілим показником та її властивостей.

$$ 0\mathord{,}8b^9:(8b^3)=0\mathord{,}1b^{9-3}=0\mathord{,}1b^6. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, логарифмічні, степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, степеневих, логарифмічних виразів.

1. \(\frac{n^2-m^2}{m+n}=\frac{(n-m)(n+m)}{n+m}=n-m.\)

Отже, 1 – Д.

2. \(\frac 1n: \frac 1m=\frac 1n\cdot \frac m1=\frac mn.\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\log_{a^m}a^n=\frac nm\log_aa=\frac nm.\)

Отже, 3 – В.

4. \(n(6m+1)-m(6n-1)=6mn+n-6mn+m=n+m.\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – В, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з натуральним показником, їхні властивості.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості кореня n-го степеня, степеня з натуральним показником, основної логарифмічної тотожності.

1. $$ (3a^3)^2=3^2\cdot (a^3)^2=9a^6. $$ Отже, 1 – A.

2. $$ \sqrt[3]{27a^6}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{a^6}=3a^2. $$ Отже, 2 – Д.

3. $$ \frac{27a^6}{9a^3}=3a^3. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра. Числа і вирази. Степеневі вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(2^{\mathbf{\alpha}}\), то

Відповідь: Г.