Розділ: Стереометрія
Тема: Тіла обертання
Кількість завдань: 75
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)
Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)
\begin{gather*} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot OB\cdot 25=500\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] OB=20\ \textit{см}. \end{gather*}У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:
\begin{gather*} FD^2=FK^2+KD^2,\\[7pt] KD^2=25^2-20^2=625-400=225,\\[7pt] KD=15\ \textit{см},\\[7pt] DE=2KD=30\ \textit{см}. \end{gather*}Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$
Відповідь: \(900.\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.
Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.
Знаходимо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:
\begin{gather*} d=\sqrt{(x_1-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}
Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за \(13\) см, але менше за \(26\) см.
З наведених значень – це \(17\) см.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.
1. В основі призми – ромб з діагоналями \(12\) см і \(16\) см.
\(AO=OC=8\) см, \(BO=OD=6\) см. \(AC\ \perp\ BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора
2. Радіус основи циліндра \(R=AD=10\) см.
3. Площа поверхні циліндра
\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH,\\[7pt] 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 10\cdot H=400\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi},\\[7pt] H=20\ \textit{см}. \end{gather*}4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=20\) см.
5. Об'єм призми
\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}Площу ромбу можна знайти за формулою:
\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12d_1d_2,\\[6pt] S_\text{осн}=\frac 12\cdot 12\cdot 16=96\ \textit{см}^2,\\[6pt] V=96\cdot 20=1920\ \textit{см}^3. \end{gather*}Відповідь: 1920.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.
Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.
\(\Delta AMB\) – рівносторонній трикутник.
Знайдемо довжину \(AB\) – сторони трикутника за формулою
Відповідь: $$ \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac{37,5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=37,5. $$
Відповідь: 37,5.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.
Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.
З-поміж наведених – це \(AB.\)
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.
Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)
\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH,\ \ \text{де} R=\frac 12AD=4\ \text{см},\\[6pt] H=AB=8\ \text{см},\\[6pt] S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4\cdot 8=64\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\\[6pt] \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac{64\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=64. \end{gather*}Відповідь: 64.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.
Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:
\(ABCD\) – квадрат.
Відповідь: А.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.
Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.
Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$
Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)
Відповідь: 8.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.
Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi *3^2}=8. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.
Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}\). $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ (\text{см}^3). $$
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
\(ABCD\) - прямокутник, \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},\ \ AD=BC=d\). \(AK\) видно з точки \(D\) під кутом \(30^\circ\). Отже, \(\angle ADK=30^\circ\).
1. Вписаний кут \(AKD\) спирається на діаметр \(AD\), тому \(\angle AKD=90^\circ \).
2. У \(\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ) \). \(AD=d,\ \angle D=30^\circ ,\)
Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\sqrt{3}}\right)\).
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру, знаходження об’єму.
1. \(ABCD\) – осьовий переріз, \(AD,\ BC\) – діаметри основ, \(AD=BC=d\).
2. Твірна \(AB\) перпендикулярна площині основи, тому й \(BC\), яка належить цій площині. \(AC\) – похила до площини основи, \(BC\) – проекція \(AC\) на площину. \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між \(AC\) й верхньої основи циліндра.
3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac 12 BC=\frac 12 d\), \(H=AB\).
Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.
Відстань між точками на сфері – це хорда.
Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
1. Прямокутник \(ABCD\) - осьовий переріз циліндра.
\(AC=BD=d\). Точка \(K\) лежить на колі нижньої основи циліндра \(\smile AK=90^\circ\), тому \(\angle AOK=90^\circ\).
Пряма \(KD\) – пряма перетину площини \((KBD)\) з площиною нижньої основи.
\(\angle AKD=90^\circ\) (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то \(AK\perp KD\).
Таким чином, \(\angle AKB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – лінійний кут двогранного кута між площинами (\(BKD)\) і площиною основи циліндра.
2. \(\triangle AKD\) – рівнобедрений (\(KO\) – медіана та висота) \(AD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), тому за теоремою Піфагора:
Отже, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)\).
Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)\).
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.
1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник \(ABCD\)) зображено на рисунку:
2. Твірна \(CD\) перпендикулярна основі, \(CA\) – діагональ, \(AD\) – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, \(\angle CAD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\).
3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=OA=OD\) – радіус основи циліндра, \(H=CD\) – висота.
Отже,
Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.
Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.
Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.
1. \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ =>\ R=18\), отже 1 - Б.
2.
\(\triangle AOB\ (\angle O=90^\circ),\ AO=BOtg 30^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}\),
отже 2 - А.
3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна \(AB\).
отже 3 - В.
Відповідь: 1Б, 2А, 3В.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}\).
Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.
Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.
Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, \(OK=r=1\ \text{см}\).
Сторону трикутника знайдемо за формулою:
Відповідь, найближча до точної, – \(105\ \text{см}^2\).
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь та об'єму конуса.
1. \(R=OB=6\), \(d=BC=12.\) Отже, 1 – Б.
2. \(R=OB=3\), \(AO=H=3\sqrt{3}.\)
\(\Delta AOB (\angle O=90^\circ)\) за теореою Піфагора \begin{gather*} AB^2=BO^2+AO^2=9+27=36,\\[7pt] AB=AC=BC=6. \end{gather*} Отже, 2 – A.
3. \(R=OB=4\), \(AO=H=3\), $$ S_\text{бічна}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}Rl, $$ де \(l=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\), $$ S_\text{бічна}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4\cdot 5=20\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}. $$ Отже, 3 – Г.
Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні кулі.
Площа сфери знаходиться за формулою: \(S=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2.\) Виразимо з формули \(R:\)
\begin{gather*} R^2=\frac{S}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}};\\[6pt] R=\sqrt{\frac{S}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}}. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь циліндра.
\(S_\text{бічної}=56\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(S_\text{поверхні}=S_\text{бічної}+2S_\text{основи}=92\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Отже, \(92\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}=56\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+2S_\text{основи}.\)
\(2S_\text{основи}=36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(S_\text{основи}=18\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.
1. Твірна дорівнює \(4.\)
Отже, 1 – В.
2. \(S_\text{бічної}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Отже, 2 – Г.
3. \(ABCD\) – прямокутник, обертається навколо сторони \(6.\)
Отже, 3 – A.
Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.
У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.
Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні \(S=lh.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.
Площа бічної поверхні $$ S_\text{бічної}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH=C\cdot H $$ де \(C\) – довжина кола його основи, \(H\) – висота циліндра.
$$ H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=6. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.
Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.
Об'єм циліндра обчислюємо за формулою
\begin{gather*} V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H=S_\text{основи}\cdot H;\\[6pt] H=\frac VS. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.
Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:
$$ V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}. $$
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.
\(OA=4\) см, \(SO=h\) – висота, \(SA=l\) – твірна.
У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:
\begin{gather*} SA^2=SO^2+OA^2,\\[7pt] l^2=h^2+16. \end{gather*}Отже, правильна відповідь А.
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.
Нехай \(R=OA=3\) см, \(OO_1=H=4\) см.
1. \(S_\text{б.п.}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH\), де \(R=3\) – радіус основи, \(H=4\) см. – висота циліндра.
\(S_\text{б.п.}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).
Отже, 1 – Г.
2. \(S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+2\cdot S_\text{осн.}=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+2\cdot \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 3^2=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}+18\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}=42\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).
Отже, 2 – Д.
3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.
Отже, \(S_\text{осн.}=9\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).
Отже, 3 – A.
4. Площа бічної поверхні конуса \(S_\text{б.п.}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}Rl\), де \(R=3\) см, \(l\) – твірна \(O_1A.\)
У \(\Delta OO_1A\ \angle O=90^\circ\), \(O_1A=\sqrt{OO_1^2+OA^2}=\sqrt{16+9}=5\) см.
\(S_\text{б.п.}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\).
Отже, 4 – B.
Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.
ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.
Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.
Площа великого круга дорівнює \(S.\) За формулою \(S=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\) знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}. $$
Площа сфери визначається за формулою: \(S=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2.\) Підставимо у формулу замість \(R^2\) вираз \(\frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}.\)
Отримаємо: $$ S=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=4S. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.
Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.
1. \(V_\text{ц}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^3\), отже \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 25\cdot H=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(H=4\) см. Висота циліндра \(4\) см
Отже, правильна відповідь – A.
2. \(V_\text{к}=\frac 13\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2\cdot h=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^3\), \(\frac 13\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 25\cdot h=100\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\), \(h=12\) см.
Отже, правильна відповідь – Г.
3. \(S_\text{осн.цил.}=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2=25\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=25\), \(R=5\) см.
\(R_\text{ц}=R_\text{к}=5\) см.
Отже, правильна відповідь – Б.
4. \(\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\(BC^2=O_2C^2+O_2B^2=144+25=169\), \(BC=13.\)
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.
ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.
Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому
$$ V=\left(\frac 43\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3\right):2=\frac{2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^3}{3}. $$
Відповідь: Б.
