Геометрія – Тіла обертання

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей призми й циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму призми.

Пряма призма, в основі – ромб. \(AC=16\) см, \(BD=12\) см.

Радіус основи ціліндра \(OK=AD\), \(S_\text{бічн.}=400\pi\) см\(^2.\)

У ромбі діагоналі \(AC\ \perp\ BP\) й діляться точкою перетину \(P\) навпіл: \begin{gather*} AP=PC=\frac 12AC=8\ \text{см},\\[6pt] BP=PD=\frac 12BD=6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta APD\ (\angle P=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні циліндра \(S_\text{бічн.}=2\pi RH\), де \(R=OK=AD=10\) см, \(H=OO_1=AA_1\) (за умовою задачі).

Об'єм призми визначмо за формулою: $$ V=S_\text{осн.}\cdot H, $$ де \begin{gather*} S_\text{осн.}=S_{ABCD}=96\ \text{см}^2,\\[7pt] H=AA_1=20\ \text{см},\\[7pt] V=96\cdot 20=1920\ (\text{см}^3). \end{gather*}

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площі поверхні конуса.

Задано конус із бічною поверхнею \(260\pi.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\pi RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У прямокутному \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ).\) \(MO\) – медіана до гіпотенузи.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи: \(MO=\frac 12AB.\) \(MO=13\), тому \(AB=26.\)

Об'єм конуса $$ V=\frac 13\pi R^2H. $$ Висоту \(AO=H\) визначаємо з \(\Delta AOB\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(800.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей конуса та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму конуса.

Радіус основи конуса \(O_1B=CO\) – радіусу сфери: $$ O_1B=5\sqrt{3}\ \text{см}. $$

У \(\Delta AO_1B\ (\angle O_1=90^\circ)\).

Об'єм конуса визначмо за формулою $$ V=\frac 13S_\text{осн}H=\frac 13\mathbf{\pi}R^2H, $$ де

Відповідь: \(125.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей піраміди та сфери, формул для обчислення площі поверхні сфери й об’єму піраміди.

За умовою, радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\) – це $$ AO=BO=CO=DO=O_1M - $$ радіус сфери.

Об'єм піраміди $$ V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, $$ де

\(KP\ \perp\ DC\) – апофема піраміди (висота бічної грані). \(KO\ \perp\ (ABC)\), \(KP\) – похила на площину основи, \(OP\) – проєкція похилої \(KP.\) Звідси, \(\angle KPO=45^\circ\) – це кут між прямою \(KP\) і площиною основи.

У \(\Delta KOP\ (\angle O=90^\circ)\), \(\angle P=45^\circ\), тому трикутник рівнобедрений і $$ OP=OK=\frac 12 AD. $$

\(\Delta ADC\ (\angle D=90^\circ).\) \(AD=DC\), \(AC=18\sqrt{2}\) см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(972.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей основних видів многогранників, зокрема піраміди, та властивостей циліндра, формул для обчислення площі поверхні циліндра й об’єму піраміди.

Площа основи циліндра

Площа бічної поверхні ціліндра

За умовою радіус кола, описаного навколо квадрата \(ABCD\), дорівнює радіусу основи циліндра. Отже, $$ AO=OK=15\ \textit{см}. $$

Діагональ \(AC=30\) см. Площу квадрата можна обчислити за формулою:

Об'єм піраміди

Відповідь: \(3000.\)

ТЕМА: Тіла обертання. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання основних видів многогранників, зокрема призми, властивості сфери, уміння застосовувати формули для обчислення площі поверхні сфери й об’єму призми.

\(S=64\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(AA_1=AC\), \(OK=O_1D.\)

Площа поверхні сфери \(S=4\mathbf{\pi}R^2=64\mathbf{\pi}\), \(R^2=16\ \textit{см}^2,\) \(R=4\) см.

За умовою задачі радіус сфери дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми. Отже, \(OK=O_1D=4\) см.

Призма – правильна, отже \(\Delta ABC\) – рівносторонній, a $$ r=O_1D=\frac{a}{2\sqrt{3}}, $$ де \(a\) – сторона трикутника. Тобто \begin{gather*} 4=\frac{AC}{2\sqrt{3}},\\[6pt] AC=8\sqrt{3}\ \textit{см}. \end{gather*}

Площу правильного трикутника обчислiмо за формулою:

Об'єм призми

Відповідь: \(1152.\)

ТЕМА: Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту, знання видів тіл обертання, як-от конуса.

На рисунку зображено частину поверхні конуса.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей піраміди та конуса, вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Твірна консуса \(AB\) й бічне ребро \(CF\) дорівнюють по \(25\) см. Апофема \(FK=OB.\)

Площа бічної поверхні конуса $$ S_\text{б}=\mathbf{\pi}RL, $$ де \(R=OB\), \(L=AB.\)

У піраміді \(CF=FD=FE=25.\) \(\Delta FKD\ (\angle K=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Площа бічної поверхні піраміди $$ S_\text{б}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, $$ де \(P_\text{осн}=3\cdot ED=90\ \textit{см}\), \(m=FK=20\ \textit{см}.\) $$ S_\text{б}=\frac 12\cdot 90\cdot 20=900\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: \(900.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знань формули відстані між точками у просторі, властивостей кулі.

Знаходимо відстань між точками \(O_1O_2\) за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_1-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2},\\[7pt] O_1O_2=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\\[7pt] =\sqrt{36+64+576}=26. \end{gather*}

Якщо б кулі були однакового радіусу, то дорівнювали б \(13\) см. За умовою кулі мають різні за довжиною радіуси, тому радіус більшої кулі буде більше за \(13\) см, але менше за \(26\) см.

З наведених значень – це \(17\) см.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей призми та циліндра, вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл.

1. В основі призми – ромб з діагоналями \(12\) см і \(16\) см.

\(AO=OC=8\) см, \(BO=OD=6\) см. \(AC\ \perp\ BD.\) \(\Delta AOD\) – прямокутний. За теоремою Піфагора

2. Радіус основи циліндра \(R=AD=10\) см.

3. Площа поверхні циліндра

4. Висота призми дорівнює висоті циліндра \(H=20\) см.

5. Об'єм призми

Площу ромбу можна знайти за формулою:

Відповідь: 1920.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.

Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.

\(\Delta AMB\) – рівносторонній трикутник.

Знайдемо довжину \(AB\) – сторони трикутника за формулою

Відповідь: $$ \frac{S}{\mathbf{\pi}}=\frac{37,5\mathbf{\pi}}{\mathbf{\pi}}=37,5. $$

Відповідь: 37,5.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.

Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.

З-поміж наведених – це \(AB.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)

Відповідь: 64.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

\(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)

Відповідь: 8.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi \cdot 3^2}=8. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.

Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}\). $$ V=\mathbf{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\mathbf{\pi}\ (\text{см}^3). $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

\(ABCD\) - прямокутник, \(\angle ACB=\mathbf{\beta},\ \ AD=BC=d\). \(AK\) видно з точки \(D\) під кутом \(30^\circ\). Отже, \(\angle ADK=30^\circ\).

1. Вписаний кут \(AKD\) спирається на діаметр \(AD\), тому \(\angle AKD=90^\circ\).

2. У \(\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ)\). \(AD=d,\ \angle D=30^\circ ,\)

Відповідь: 2. \(\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{\sqrt{3}}\right)\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру, знаходження об’єму.

1. \(ABCD\) – осьовий переріз, \(AD,\ BC\) – діаметри основ, \(AD=BC=d\).

2. Твірна \(AB\) перпендикулярна площині основи, тому й \(BC\), яка належить цій площині. \(AC\) – похила до площини основи, \(BC\) – проекція \(AC\) на площину. \(\angle ACB=\mathbf{\beta}\) – кут між \(AC\) й верхньої основи циліндра.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac 12 BC=\frac 12 d\), \(H=AB\).

Відповідь: \(\frac{\mathbf{\pi}d^3\operatorname{tg}\mathbf{\beta}}{4}\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

Відстань між точками на сфері – це хорда.

Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник \(ABCD\) - осьовий переріз циліндра.

\(AC=BD=d\). Точка \(K\) лежить на колі нижньої основи циліндра \(\overset{\smile}{AK}=90^\circ\), тому \(\angle AOK=90^\circ\).

Пряма \(KD\) – пряма перетину площини \((KBD)\) з площиною нижньої основи.

\(\angle AKD=90^\circ\) (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то \(AK\perp KD\).

Таким чином, \(\angle AKB=\mathbf{\gamma}\) – лінійний кут двогранного кута між площинами (\(BKD)\) і площиною основи циліндра.

2. \(\triangle AKD\) – рівнобедрений (\(KO\) – медіана та висота) \(AD=d\cos\mathbf{\beta}\), тому за теоремою Піфагора:

Отже, \(\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)\).

Відповідь: 2. \(\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)\).

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник \(ABCD\)) зображено на рисунку:

2. Твірна \(CD\) перпендикулярна основі, \(CA\) – діагональ, \(AD\) – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, \(\angle CAD=\mathbf{\beta}\).

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де \(R=OA=OD\) – радіус основи циліндра, \(H=CD\) – висота.

Отже,

Відповідь: \(\frac{\mathbf{\pi}d^3\cos^2\mathbf{\beta}\cdot \sin\mathbf{\beta}}{4}\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.

Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.

Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.

1. \(C=2\mathbf{\pi}R=36\mathbf{\pi}\ =>\ R=18\), отже 1 - Б.

2.

отже 2 - А.

3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна \(AB\).

отже 3 - В.

Відповідь: 1Б, 2А, 3В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}\).

Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.

Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.

Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, \(OK=r=1\ \text{см}\).

Сторону трикутника знайдемо за формулою:

Відповідь, найближча до точної, – \(105\ \text{см}^2\).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь та об'єму конуса.

1. \(R=OB=6\), \(d=BC=12.\) Отже, 1 – Б.

2. \(R=OB=3\), \(AO=H=3\sqrt{3}.\)

\(\Delta AOB (\angle O=90^\circ)\) за теореою Піфагора \begin{gather*} AB^2=BO^2+AO^2=9+27=36,\\[7pt] AB=AC=BC=6. \end{gather*} Отже, 2 – A.

3. \(R=OB=4\), \(AO=H=3\), $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}Rl, $$ де \(l=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\), $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 5=20\mathbf{\pi}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні кулі.

Площа сфери знаходиться за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Виразимо з формули \(R:\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь циліндра.

\(S_\text{бічної}=56\mathbf{\pi}\), \(S_\text{поверхні}=S_\text{бічної}+2S_\text{основи}=92\mathbf{\pi}.\)

Отже, \(92\mathbf{\pi}=56\mathbf{\pi}+2S_\text{основи}.\)

\(2S_\text{основи}=36\mathbf{\pi}\), \(S_\text{основи}=18\mathbf{\pi}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.

1. Твірна дорівнює \(4.\)

Отже, 1 – В.

2. \(S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=2\mathbf{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\mathbf{\pi}.\)

Отже, 2 – Г.

3. \(ABCD\) – прямокутник, обертається навколо сторони \(6.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площі поверхні циліндра.

Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні \(S=lh.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.

Площа бічної поверхні $$S_\text{бічної}=2\mathbf{\pi}RH=C\cdot H$$ де \(C\) – довжина кола його основи, \(H\) – висота циліндра.

$$H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\mathbf{\pi}}{4\mathbf{\pi}}=6.$$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму циліндра.

Об'єм циліндра обчислюємо за формулою

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса.

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac 13Sh=\frac{Sh}{3}.$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=4\) см, \(SO=h\) – висота, \(SA=l\) – твірна.

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання формул для обчислення площ поверхонь конуса та циліндра.

Нехай \(R=OA=3\) см, \(OO_1=H=4\) см.

1. \(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}RH\), де \(R=3\) – радіус основи, \(H=4\) см. – висота циліндра.

\(S_\text{б.п.}=2\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 4=24\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 1 – Г.

Отже, 2 – Д.

3. Площа основи конуса дорівнює площі основи циліндра.

Отже, \(S_\text{осн.}=9\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 3 – A.

4. Площа бічної поверхні конуса \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}Rl\), де \(R=3\) см, \(l\) – твірна \(O_1A.\)

\(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}\cdot 3\cdot 5=15\mathbf{\pi}\) см\(^2\).

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Стереометрія. Поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі та сфери та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площа великого круга дорівнює \(S.\) За формулою \(S=\mathbf{\pi}R^2\) знаходимо $$ R^2=\frac{S}{\mathbf{\pi}}. $$

Площа сфери визначається за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Підставимо у формулу замість \(R^2\) вираз \(\frac{S}{\mathbf{\pi}}.\)

Отримаємо: $$ S=4\mathbf{\pi}\cdot \frac{S}{\mathbf{\pi}}=4S. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей тіл і поверхонь обертання та їхніх елементів, уміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл.

1. \(V_\text{ц}=\mathbf{\pi}R^2H=100\mathbf{\pi}\) см\(^3\), отже \(\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot H=100\mathbf{\pi}\), \(H=4\) см. Висота циліндра \(4\) см

Отже, правильна відповідь – A.

2. \(V_\text{к}=\frac 13\mathbf{\pi}R^2\cdot h=100\mathbf{\pi}\) см\(^3\), \(\frac 13\mathbf{\pi}\cdot 25\cdot h=100\mathbf{\pi}\), \(h=12\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. \(S_\text{осн.цил.}=\mathbf{\pi}R^2=25\mathbf{\pi}\) см\(^2\), \(R^2=25\), \(R=5\) см.

\(R_\text{ц}=R_\text{к}=5\) см.

Отже, правильна відповідь – Б.

4. \(\Delta BO_2C\ (\angle O_2=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\mathbf{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\mathbf{\pi}R^3\right):2=\frac{2\mathbf{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо \(S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}\), то \(S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl\), \(S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2\), \(\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2\), \(l=3r.\) Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то \(AO=OB=r\), \(\Delta AOB\) – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора \(AB^2=OB^2+AO^2\), \(l^2=r^2+r^2\), \(l=r\sqrt{2}.\) Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то \(l=2r.\) \(OB\) – проекція твірної \(AB\) на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює \(5\mathbf{\pi}r^2\)

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач; знання формул для обчислення площ поверхонь та об'ємів тіл обертання.

\(ABCD\) осьовий переріз циліндра \(R=OB=6\), \(OO_1=h.\)

1. 

Отже, 1 – Д.

2. 

Отже, 2 – Б.

3. 

Отже, 3 – A.

4.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – А, 4 – В.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання (куб, куля, циліндр, конус). Формули для обчислень площ поверхонь многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння визначати площу повної поверхні куба, кулі, циліндра та конуса.

Обчислимо площу повної поверхні кожного геометричного тіла (1 – 4).

1. Площа повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює \(R\), а висота – \(H\), обчислюється за формулою

За умовою \(R=3\), \(H=4\), тоді

Отже, 1 – Г.

2. Щоб визначити площу повної поверхні конуса, потрібно знати радіус його основи \(R\) та твірну \(L\mathord{:}\)

Оскільки \(R=3\), \(L=5\), то

Отже, 2 – Б.

3. Площу повної поверхні куба із ребром \(a=\sqrt{3\pi}\) обчислюємо за формулою

Отже, 3 – А.

4. Площа поверхні кулі радіуса \(R\) визначається за формулою $$ S_\text{повн.}=4\pi R^2. $$ За умовою \(R=2\sqrt{3}\), тому

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості циліндра, знання формули площі бічної поверхні циліндра.

При обертанні прямокутника навколо меншої сторони отримаємо циліндр.
\(OO_1 = 8\) см – висота циліндра.

Відповідь: A.