Розділ: Стереометрія
Тема: Тіла обертання
Кількість завдань: 74
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Це завдання перевіряє знання властивостей, формули площі поверхні циліндра.
Площа бічної поверхні $$ S_\text{бічної}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH=C\cdot H $$ де \(C\) – довжина кола його основи, \(H\) – висота циліндра.
$$ H=\frac{S_\text{бічної}}{C}=\frac{24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=6. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.
У \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\), \(OB=r\), \(AB=l\), \(\angle A=60^\circ.\) $$ \sin 60^\circ=\frac rl=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні та об’єму циліндра, циліндра та його елементів.
1. Твірна дорівнює \(4.\)
Отже, 1 – В.
2. \(S_\text{бічної}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 2\cdot 6=24\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Отже, 2 – Г.
3. \(ABCD\) – прямокутник, обертається навколо сторони \(6.\)
Отже, 3 – A.
Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – А.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.
\(AB=10\ \text{см},\ OK=1\ \text{см}\).
Бічні грані правильної трикутної призми виготовлені з паперу.
Площу паперу, витраченого на виготовлення коробки, визначимо за формулою площі бічної поверхні призми.
Радіус основи вписаного циліндра - це радіус кола, вписаного в правильний трикутник, \(OK=r=1\ \text{см}\).
Сторону трикутника знайдемо за формулою:
Відповідь, найближча до точної, – \(105\ \text{см}^2\).
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння розрізняти на розгортках елементи тіл обертання, знаходити їх основні елементи.
1. \(C=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=36\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ =>\ R=18\), отже 1 - Б.
2.
\(\triangle AOB\ (\angle O=90^\circ),\ AO=BOtg 30^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}\),
отже 2 - А.
3. Радіусом сектора, що є розготкою бічної поверхні конуса, є твірна \(AB\).
отже 3 - В.
Відповідь: 1Б, 2А, 3В.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи, вміння розв’язування задач, зокрема практичного змісту.
Якщо радіус кульки 6 см, то діаметр – 12 см.
Для того, щоб кульки помістилися у шухлядці, її висота може бути 13 см.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.
1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник \(ABCD\)) зображено на рисунку:
2. Твірна \(CD\) перпендикулярна основі, \(CA\) – діагональ, \(AD\) – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, \(\angle CAD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\).
3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=OA=OD\) – радіус основи циліндра, \(H=CD\) – висота.
Отже,
Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\cdot \sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
1. Прямокутник \(ABCD\) - осьовий переріз циліндра.
\(AC=BD=d\). Точка \(K\) лежить на колі нижньої основи циліндра \(\smile AK=90^\circ\), тому \(\angle AOK=90^\circ\).
Пряма \(KD\) – пряма перетину площини \((KBD)\) з площиною нижньої основи.
\(\angle AKD=90^\circ\) (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то \(AK\perp KD\).
Таким чином, \(\angle AKB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – лінійний кут двогранного кута між площинами (\(BKD)\) і площиною основи циліндра.
2. \(\triangle AKD\) – рівнобедрений (\(KO\) – медіана та висота) \(AD=d\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\), тому за теоремою Піфагора:
Отже, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)\).
Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\right)\).
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знання про сферу та її основні елементи, вміння розв’язувати стереометричні задачі.
Відстань між точками на сфері – це хорда.
Найбільша відстань між двома точками на сфері – найбільша за довжиною хорда – діаметр $$ R = 10\ \text{см},\ \ d = 20\ \text{см}. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру, знаходження об’єму.
1. \(ABCD\) – осьовий переріз, \(AD,\ BC\) – діаметри основ, \(AD=BC=d\).
2. Твірна \(AB\) перпендикулярна площині основи, тому й \(BC\), яка належить цій площині. \(AC\) – похила до площини основи, \(BC\) – проекція \(AC\) на площину. \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) – кут між \(AC\) й верхньої основи циліндра.
3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(R=\frac 12 BC=\frac 12 d\), \(H=AB\).
Відповідь: \(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}d^3\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{4}\)
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.
Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.
\(ABCD\) - прямокутник, \(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta},\ \ AD=BC=d\). \(AK\) видно з точки \(D\) під кутом \(30^\circ\). Отже, \(\angle ADK=30^\circ\).
1. Вписаний кут \(AKD\) спирається на діаметр \(AD\), тому \(\angle AKD=90^\circ \).
2. У \(\triangle AKD\ (\angle K=90^\circ) \). \(AD=d,\ \angle D=30^\circ ,\)
Відповідь: 2. \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\frac{2\mathrm{tg}\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\sqrt{3}}\right)\).
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє вміння обчислення об’єму циліндра.
Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R^2H, $$ де \(H=10\ \text{см},\ R=4\ \text{см}\). $$ V=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4^2\cdot 10=160\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ (\text{см}^3). $$
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.
Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi *3^2}=8. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.
Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.
Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$
Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)
Відповідь: 8.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.
Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:
\(ABCD\) – квадрат.
Відповідь: А.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.
Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)
\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH,\ \ \text{де} R=\frac 12AD=4\ \text{см},\\[6pt] H=AB=8\ \text{см},\\[6pt] S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4\cdot 8=64\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\\[6pt] \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac{64\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=64. \end{gather*}Відповідь: 64.
ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання скеровано на перевірку знання основних елементів циліндра.
Твірна циліндра – відрізок, який сполучає відповідні точки кіл кругів, які є основами циліндра.
З-поміж наведених – це \(AB.\)
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Координати на площині.
Завдання скеровано на перевірку знання про конус та його елементи, формули площ поверхонь конуса, формул для обчислення відстані між двома точками.
\(\Delta AMB\) – рівносторонній трикутник.
Знайдемо довжину \(AB\) – сторони трикутника за формулою
Відповідь: $$ \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac{37,5\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=37,5. $$
Відповідь: 37,5.