Геометрія – Трикутники

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

\(KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC\) подібний \(\Delta KBL.\)

Нехай сторона квадрата \(KL=KN=NM=ML=x\) см.

Тоді,

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема синусів.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів.

За теоремою синусів:

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання означення рівності та подібності фігур, ознаки рівності і подібності фігур.

\(\Delta ABC\), \(AB = 31\) см, \(BC = 15\) см, \(AC = 26\) см. \(MN\!\parallel\!AB.\ MC = 5\) см.

Пряма \(MN\!\parallel\!AB\) відтинає від \(\Delta ABC\) подібний. Отже, \(\Delta ABC\) подібний \(NCM.\)

Відповідні сторони – пропорційні з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k = \frac{BC}{CM} = \frac{15}{3} = \frac 31. \end{gather*}

Периметри подібних трикутників пропорційні з тим самим коефіцієнтом.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули площі трикутника.

де \(a = AC\), \(h_a=BH\ (BH\!\perp\!AC).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника та трикутника.

\(\Delta ABK\) – рівносторонній. \(P_{ABK} = 3 \cdot AB = 12\) см, \(AB = 4\) см.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника та трикутника.

\(ABCD\) – квадрат, \(P_{ABCD} = 24\) см, \(AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6\) см. \(\Delta BKC\), \(P_{BKC} = 20\) см.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній \(KM = \dfrac{1}{2}AC\), \(KM\ ||\ AC\) (за властивістю середньої лінії).

\(\Delta ABC\) подібний \(\Delta KBM.\) Отже, \(\Delta KBM\) – рівносторонній.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання формул площі трикутника.

Проведемо висоту \(BK\!\perp\!AC\). \(BK = 3\) см, \(AC = 5\) см.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутника, теореми Піфагора.

\(AB = BC = 10\) см, \(CH = 8\) см.

\(\Delta BHC\ (\angle H = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

У \(\Delta AHC\ (\angle H = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, властивостей та ознак подібних трикутників.

Площа паралелограма \(S_{ABCD} = 24\ \text{см}^2.\)

У \(\Delta ABD\) \(KL\) середня лінія, \(KL = \dfrac 12BD.\)

\(\Delta AKL\) подібний \(\Delta ABD.\)

Відповідь: \(21.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння знаходити невідомі елементи трикутника.

\(CD\) – медіана, \(AD = DB = 3\) см.

У \(\Delta BDC\) за теоремою косинусів

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формул площ трикутника та прямокутника.

\(ABCD\) – прямокутник, \(AB = 6\) см, \(CL = LD = 3\) см, \(BC = 8\) см, \(BK = KC = 4\) см.

Відповідь: \(18.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Висота трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє знання означення висоти трикутника і вміння використовувати тригонометричні функції для знаходження елементів прямокутного трикутника.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. Оскільки \(BM\) – висота, то трикутник \(AMB\) є прямокутним (див. рисунок). У цьому трикутнику сторона \(AB\) є гіпотенузою.

Синусом гострого кута \(\alpha\) називається відношення протилежного до нього катета \(BM\) до гіпотенузи \(AB.\)

Отже, $$ \sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{12}{AB}, $$ звідки $$ AB=\frac{12}{\sin\alpha}. $$

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює \(60^\circ\), то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють \(5\ \text{см}\). Гіпотенуза цього трикутника дорівнює \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто \(5\sqrt{2}\ \text{см}\). Внутрішні кути дорівнюють \(45^\circ\), \(45^\circ\) та \(90^\circ\), а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює \(30^\circ.\) Оскільки катет трикутника дорівнює \(5\) см, а гіпотенуза \(10\) см, то гострий кут дорівнює \(30^\circ.\) Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де \(R\) – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами \(a\), \(b\), \(c\) та відповідними кутами \(\alpha\), \(\beta\) та \(\gamma.\)

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює \(10\sqrt{2}\). Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює \(10\ \text{см}^2.\) Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами \(2\ \text{см}\) і \(3\ \text{см}\) та \(2\ \text{см}\) і \(7\ \text{см}.\) Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, означення бісектриси кута.

\(BD\) – бісектриса кута \(B.\) Отже, \(\angle ABD = \angle DBC = 35^\circ.\) \(\angle ABC = 70^\circ.\)

Сума кутів трикутника – \(180^\circ.\)

Отже, у \(\Delta ABC\)

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, властивостей паралелограма.

Менша діагональ паралелограма лежить напроти гострого кута.

Нехай \(AB = 3\) см, \(AD = 4\) см, \(\angle A = 60^\circ.\)

У \(\Delta ABD\) за теоремою косинусів

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ\), тобто $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. $$ Трикутник \(ABC\) рівнобедрений, тому кути при основі \(AC\) трикутника рівні:

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Середня лінія трикутника. Вектори. Множення вектора на число.

Це завдання перевіряє знання означення і властивостей середньої лінії трикутника, а також уміння множити вектор на число.

Якщо точки \(K\) і \(M\) є серединами сторін \(AB\) і \(BC\) відповідно, то \(KM\) – середня лінія трикутника \(ABC\), яка паралельна стороні \(AC\), причому \(KM\ ||\ AC\), \(KM = \frac{1}{2}AC\), тоді \(AC = 2KM.\)

Вектори \(\overrightarrow{MK}\) і \(\overrightarrow{AC}\) лежать на паралельних прямих, отже, є колінеарними. Їх напрямки протилежні, а довжина вектора \(\overrightarrow{AC}\) вдвічі більша за довжину вектора \(\overrightarrow{MK}\), тому \(\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{MK}.\)

Оскільки \(\overrightarrow{MK} = a\), то \(\overrightarrow{AC} = -2a.\)

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їх сторін для знаходження невідомих елементів трикутників.

Оскільки за умовою \(KM\ ||\ BC\), то \(\angle AKM=\angle ABC\) як відповідні кути при паралельних прямих \(KM\), \(BC\) і січній \(AK.\) Тоді трикутники \(AKM\) i \(ABC\) подібні за двома кутами (\(\angle A\) – спільний). Якщо трикутники подібні, то їх віповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{AB}=\frac{KM}{BC}, $$ де

звідки

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Квадрат та його властивості. Прямокутний рівнобедрений трикутник та його властивості. Площа прямокутного трикутника та квадрата.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площі геометричних фігур, зокрема, квадрата та прямокутного рівнобедреного трикутника.

1. Проведемо у рівнобедреному прямокутному трикутнику \(ABC\) з гіпотенузою \(AC\) висоту \(BO.\) Тоді $$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO. $$ Висота рівнобедреного трикутника, що проведена з його вершини, є також бісектрисою та медіаною. Отже, точка \(O\) є серединою гіпотенузи \(AC\) і

Тоді

2. Упишемо в рівнобедрений прямокутний трикутник \(ABC\) квадрат \(MNKP\), вершини \(M\) і \(N\) якого лежать на гіпотенузі \(AC\) (отже, і сторона \(MN\) лежить на \(AC\)), а інші дві – вершини \(P\) і \(K\) – належать катетам \(AB\) і \(BC\) відповідно (див. рисунок).

Оскільки \(PM\ \perp\ MN\) і \(KN\ \perp\ MN\), а \(MN\) є частиною \(AC\), то \(PM\ \perp\ AC\) і \(KN\ \perp\ AC\). Тоді

аналогічно $$ \angle CKN = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ. $$ Отже, прямокутні трикутники \(AMP\) і \(KNC\) є рівнобедреними.

Оскільки \(AM = PM\), \(CN = KN\) і \(PM = KN = MN\), то \(AM = MN = NC\) і $$ MN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 3\mathord{,}6 = 1,2\ \text{м}. $$ Площа квадрата \(MNKP\) дорівнює \(1\mathord{,}2^{2} = 1\mathord{,}44\ \text{м}^{2}.\)

Відповідь: 1. \(3\mathord{,}24.\)
                   2. \(1\mathord{,}44.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Нерівність трикутника.

Це завдання перевіряє вміння визначати можливе значення невідомої сторони трикутника.

Використаємо нерівність трикутника: будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю. Оскільки сторони трикутника \(AB\) і \(BC\) дорівнюють відповідно \(3\) см і \(10\) см, то довжина сторони \(AC\) повинна бути більшою за $$ 10-3=7\ \text{см} $$ та меншою за $$ 10+3=13\ \text{см}. $$

Цю умову задовольняє лише варіант Г – \(11\) см.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)

Якщо $$ \angle A+\angle C=70^\circ, $$ то

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо \(a=b=c\), то \(\Delta ABC\) – рівносторонній.

Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють \(60^\circ\), \(\angle C=60^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо \(c^2=a^2+b^2\), то \(\Delta ABC\) – прямокутний за наслідком з теореми косинусів.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо \(a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}\), то \(\Delta ABC\) – рівнобедрений з бічними сторонами \(a=c\) та основою \(b.\)

\(BH\ \perp\ AC.\) Так як \(CB=BA\), то \(CH=HA=\frac b2\) (висота є медіаною).

У \(\Delta BHC\ (\angle H=90^\circ)\), \(\cos C=\frac{CH}{CB}\), \(\cos C=\frac b2:a=\frac b2:\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\angle C=45^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

4. Якщо \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)\) за теоремою косинусів \(\cos C=-\frac 12\), \(\angle C=120^\circ.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle ABC=60^\circ\) (кут рівностороннього трикутника). Отже, 1 – В.

2. \(\Delta ACD\) – рівнобедренний, тому

$$\angle A=\angle D=(180^\circ-\angle ACD): 2=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ.$$

Отже, 2 – Д.

3. \(\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+70^\circ=130^\circ.\)

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих. Кут між прямими \(AB\) та \(AD\) – це гострий кут, тому він дорівнює \(180^\circ-130^\circ=50^\circ\) (суміжний з \(\angle BAD\)). Отже, 3 – Б.

4. \(\angle BAD=130^\circ.\) \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(AP\) – бісектриса \(\angle CAD.\)

\begin{gather*} \angle KAP=\angle KAC+\angle CAP=\frac 12 \angle BAC+\frac 12 \angle CAD=30^\circ+35^\circ=65^\circ. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б, 4 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

\(\angle KBM=180^\circ\) – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів.

Нехай \(AB = x\) см, \(BC = (x + 8)\) см, \(AC = 28\) см. \(\angle B = 120^\circ.\)

За теоремою косинусів:

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника та зовнішнього кута трикутника.

\(\angle DAB=125^\circ.\)

Сума кутів трикутника

\begin{gather*} \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ;\\[7pt] \angle B=180^\circ-2\cdot 55^\circ=70^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма \(ABCA_1B_1C_1\).

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, \(a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\), \(a^2=36\), \(a=6\) см.

\(AA_1C_1C\) – квадрат, тому \(AA_1=6\) см.

Об'єм призми

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння класифікувати трикутники за сторонами та кутами, знання теореми про суму кутів трикутника, кола, описаного навколо трикутника.

Якщо \(\angle B\) – тупий, а сума кутів трикутника \(180^\circ\), то \(\angle B\gt 90^\circ\), \(\angle A+\angle C\lt 90^\circ.\)

За нерівністю трикутника \(AC\lt AB+BC.\) Отже, твердження ІІ неправильне.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника \(ABC\) лежить поза його межами.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

\(BK=8\) см, \(\Delta KCL=\Delta LDM\), \(KC=LD=15\) см.

1. \(ABCD\) квадрат.

У \(\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

2. Нехай \(\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}\), \(\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.\) \(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ\) (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

\(\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ\), \(\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.\)

Отже, \(\Delta KLM\) – прямокутний, тому

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(144\mathord{,}5.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)

Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.

Відповідь: \(75.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника \(180^\circ\).

\(\angle B=40^\circ\), тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle C\). Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.

\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)

1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)

2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)

3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin\mathbf{\alpha}}=2R,\ \ \frac{10}{0,8}=2R,\\[6pt] R=\frac{10}{1,6}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}=6,25. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника.

I. \(\angle B\) – тупий, тому \(\angle B\gt 90^\circ.\) Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ,\) тому \(\angle A+\angle C \lt 90^\circ.\) Твердження правильне.

IІ. За нерівністю трикутника \(AB+BC\gt AC.\) Отже, твердження неправильне.

IІІ. У тупокутному трикутнику центр описаного кола лежить поза межами трикутника. Твердження правильне.

Отже, привильні твердження І та ІІІ.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle B+\angle C. \end{gather*}

Отже, \(\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)

1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)

2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань основних властивостей трикутника, нерівності трикутника.

I. Твердження неправильне. За нерівністю трикутника, сума довжин двох сторін трикутника більша за довжину третьої.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника не завжди більша за \(90^\circ.\) До прикладу, у трикутнику кути можуть бути \(20^\circ\), \(20^\circ\), \(140^\circ.\) Тоді сума двох гострих кутів: \begin{gather*} 20^\circ+20^\circ=40^\circ,\\[7pt] 40^\circ\lt 90^\circ. \end{gather*}

III. Твердження правильне. За властивістю трикутника, навпроти більшої строни лежить більший кут, навпроти меншої сторони – менший кут, навпроти рівних сторін – рівні кути.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, \(M\) – середина \(BC.\)

II. Твердження неправильне. \(AM\) – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою \(BC.\) Але в умові \(\Delta ABC\) – довільний.

III. Твердження правильне. \(S_{ABM}=S_{AMC}.\) За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. \(AM\) – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони \(BC\), але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки \(A\) до прямої \(BC\) є довжина перпенидкуляра з точки \(A\) до \(BC.\)

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка \(M\) – середина сторони \(BC\), тож вона рівновіддалена від точок \(B\) i \(C.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: \begin{gather*} \angle KBC=\angle A+\angle C,\\[7pt] \angle C=\angle KBC-\angle A,\\[7pt] \angle C=162^\circ-90^\circ,\\[7pt] \angle C=72^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки \(AM\) – медіана, точка \(M\) ділить сторону \(CB\) навпіл. Отже, \(BM=MC.\) Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників \(\Delta ABM\) і \(\Delta ACM\) рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: \(S=ah_a.\)

У трикутників \(ABM\) та \(ACM\) основи рівні \((BM = MC)\), а висота \(AH\), проведена з вершини \(A\) до прямої \(CB\), у них спільна.

Отже, \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр уписаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати \(90^\circ.\) Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за \(90^\circ\) (тупий), а сума двох інших кутів менша за \(90^\circ.\)

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

\(AN=8\), \(\Delta ABC=\Delta CMN\), \(AC=CN=\frac 12AN=4\) см, \(AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}\) см.

1. Відстань від \(B\) до \(BC\) – це довжина висоти \(BK\ \Delta ABC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника: \(BK\) – висота та медіана. \(KC=\frac 12 AC=2\) см.

За теоремою Піфагора в \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}\)

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо \(MP\ \perp\ CN\) у \(\Delta CMN.\)

\(KBMP\) – прямокутник.

\(KC=CP\) в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. \(ABMN\) – рівнобічна трапеція, а \(DE\) – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. \(BM = MC.\) За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки \(AM\) – медіана, то точка \(M\) є серединою сторони \(BC.\) Отже, \(BM = MC.\)

II. Твердження неправильне. \(\angle BAM=\angle MAC.\) Ця рівність означала б, що \(AM\) є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника \(ABM\) дорівнює площі трикутника \(MCA.\) Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні \((BM = MC)\), а проведена з вершини \(A\) висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. \(AB+BC=AC\) – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. \(BK\ \perp\ AC\) – правильно (бісектриса є висотою).

III. \(AK=KC\) – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутних рівнобедрених трикутників.

I. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\), тож сума його гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\) Оскільки трикутник \(ABC\) також рівнобедрений, то \(\angle A=\angle B=45^\circ.\) Відповідно жоден кут цього трикутника не може дорівнювати \(50^\circ.\) Твердження неправильне.

II. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\) і рівнобедрений \((AC=BC)\), тож бісектриса кута \(C\), проведена до гіпотенузи, також є висотою і медіаною. Медіана, проведена до гіпотенузи в прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи й радіусу кола, описаного навколо цього трикутника. Твердження правильне.

III. Трикутник \(ABC\) прямокутний \((\angle C=90^\circ)\), тож висота, проведена з гострого кута \(A\), дорівнює довжині сторони \(AC\), висота, проведена з гострого кута \(B\), дорівнює довжині сторони \(BC.\) Трикутник \(ABC\) також рівнобедрений \((AC=BC)\), тому висоти, проведені з його гострих кутів, теж рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: \(AB=BC=12\) см. Основа: \(AC.\)

Периметр \((P)\) – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де \(a\) – бічна сторона, а \(b\) – основа.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута \(180^\circ.\) Його половина – це \(90^\circ.\) У прямокутному трикутнику один кут прямий \((90^\circ)\), а сума двох гострих кутів також дорівнює \(90^\circ.\) Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника \(180^\circ\), то градусна міра кожного кута дорівнює: \(180^\circ : 3 = 60^\circ.\) Сума будь-яких двох кутів: \(60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за \(60^\circ\), то їхня сума більша за \(180^\circ\) (наприклад, \(61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ\)). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює \(180^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони \(AB=BC=10\) см.

Отже, правильна відповідь — Г.

2.

Проведемо висоту \(BH\) до основи \(AC.\) У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

Розглянемо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

Площа трикутника \(S{:}\)

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник \(AOK\) прямокутний.

Точка \(K\) – це точка дотику кола до сторони \(AB.\) За властивістю дотичної радіус \(OK\), проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної \((OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(\angle OKA=90^\circ\), трикутник \(AOK\) прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник \(BKL\) рівнобедрений.

Відрізки \(BK\) та \(BL\) – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки \(B\). За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою \((BK=BL).\) Оскільки дві сторони трикутника рівні, то \(\Delta BKL\) рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники \(MOK\) і \(LOC\) рівні.

У трикутнику \(MOK\) сторони \(OM\) та \(OK\) – це радіуси кола \((OM=OK).\) У трикутнику \(LOC\) одна зі сторін – радіус \(OL\), а сторона \(OC\) з'єднує центр із вершиною трикутника.

\(\Delta MOK\) завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а \(\Delta LOC\) – прямокутний \((\angle OLC=90^\circ).\) Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута \((\angle C)\) завжди лежить найдовша сторона \((AB).\) \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту \((AH)\) із вершини \(A\) до сторони \(BC.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(AHC\) (де \(\angle H=90^\circ\)). У цьому трикутнику сторона \(AC\) – гіпотенуза, а висота \(AH\) – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет \((AC\gt AH)\), то висота дійсно менша за сторону \(AC.\) Висота, проведена з вершини \(A\), менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.
 

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

 

Отже, 2 – B.
 

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\) (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані \(\dfrac 13\) довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані \(\dfrac 12\) довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні \(\dfrac 13\ne \dfrac 12\), середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle KAB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) рівнобедрений \((AK=KB)\), то кути при його основі рівні:

Отже, 1 – B.

2. \(\angle KAC.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ.\) \(\Delta ACB{:}\)

Оскільки промінь \(AK\) проходить між сторонами кута \(\angle CAB{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\angle OKB.\)

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка \(O\)) – середина гіпотенузи \((AB).\) Отже, \(AO=OB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) – рівнобедрений \((AK=KB)\) за умовою, то медіана \(KO\), проведена до його основи \(AB\), є також і висотою. \(KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ. \Delta KOB{:}\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює \(180^\circ.\) Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за \(90^\circ\)), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати \(90^\circ\) або бути більшими за \(90^\circ\)). Наприклад, якщо два кути прямі, то \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.
 

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони \(AC\) як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину \(B.\)

Отже, твердження правильне.
 

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди \(180^\circ.\) Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює \(90^\circ\), обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання перевіряє знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. Згідно з аксіомами геометрії, кожна сторона трикутника має лише одну середину. Відрізок, що сполучає цю точку з протилежною вершиною, за означенням є медіаною.

II. Твердження неправильне. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис (інцентр). Точку перетину медіан називають центроїдом (або центром мас). Центроїд ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини.

III. Твердження правильне. Це властивість медіани, проведеної до гіпотенузи. Оскільки центр описаного навколо прямокутного трикутника кола завжди лежить на середині гіпотенузи, то медіана, що з'єднує вершину прямого кута із цією точкою, – радіус \((R).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей середньої лінії трикутника.

I. \(AC\!\parallel\!MN\) – твердження правильне.

За означенням, відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, – його середня лінія. Середня лінія трикутника завжди паралельна третій стороні: \(MN\!\parallel\!AC.\)

II. Відрізок \(MN\) – середня лінія трикутника \(ABC\) – твердження правильне.

Це випливає безпосередньо з того, що \(M\) і \(N\) – середини сторін \(AB\) та \(BC.\)

III. Площа трикутника \(MBN\) і чотирикутника \(AMNC\) рівні – твердження неправильне.

Трикутник \(MBN\) подібний до трикутника \(ABC\) \((\Delta MBN\sim \Delta ABC)\) за двома сторонами й кутом між ними. Коефіцієнт подібності \(k=\dfrac 12\) (оскільки \(MB=\dfrac 12 AB\)). Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності \((k^2){:}\)

Площа чотирикутника \(AMNC\) втричі більша за площу трикутника \(MBN.\) Твердження про їхню рівність хибне.

Відповідь: A.