Трикутники – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Геометрія
Розділ: Планіметрія
Тема: Трикутники
Кількість завдань: 93

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 93

На сторонах $AB$ та $BC$ трикутника $ABC$ вибрано точки $M$ і $N$ відповідно так, що $AM=MB$, $CN=NB.$ Які з наведених тверджень правильні?

I. $AC\!\parallel\!MN.$

II. Відрізок $MN$ є середньою лінією трикутника $ABC.$

III. Площа трикутника $MBN$ та чотирикутника $AMNC$ рівні.

Алише I та II

Блише ІІ та ІІІ

Влише IІ

Глише І та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей середньої лінії трикутника.

I. $AC\!\parallel\!MN$ – твердження правильне.

За означенням, відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, – його середня лінія. Середня лінія трикутника завжди паралельна третій стороні: $MN\!\parallel\!AC.$

II. Відрізок $MN$ – середня лінія трикутника $ABC$ – твердження правильне.

Це випливає безпосередньо з того, що $M$ і $N$ – середини сторін $AB$ та $BC.$

III. Площа трикутника $MBN$ і чотирикутника $AMNC$ рівні – твердження неправильне.

Трикутник $MBN$ подібний до трикутника $ABC$ $(\Delta MBN\sim \Delta ABC)$ за двома сторонами й кутом між ними. Коефіцієнт подібності $k=\dfrac 12$ (оскільки $MB=\dfrac 12 AB$). Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності $(k^2){:}$

\begin{gather*} \frac{S_{\Delta MBN}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\frac 12\right)^2=\frac 14;\\[6pt] S_{\Delta MBN}=\frac 14 S_{\Delta ABC};\\[6pt] S_{AMNC}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta MBN}=\frac 34 S_{\Delta ABC}. \end{gather*}

Площа чотирикутника $AMNC$ втричі більша за площу трикутника $MBN.$ Твердження про їхню рівність хибне.

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 745. Завдання: 37835

Завдання 2 з 93

Які твердження правильні?

I. Медіана трикутника з'єднує його вершину із серединою протилежної сторони.

II. Точка перетину медіан трикутника – центр вписаного в нього кола.

III. У прямокутному трикутнику одна з його медіан дорівнює половині гіпотенузи.

Алише I

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

ДІ, ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання перевіряє знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. Згідно з аксіомами геометрії, кожна сторона трикутника має лише одну середину. Відрізок, що сполучає цю точку з протилежною вершиною, за означенням є медіаною.

II. Твердження неправильне. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис (інцентр). Точку перетину медіан називають центроїдом (або центром мас). Центроїд ділить кожну медіану у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини.

III. Твердження правильне. Це властивість медіани, проведеної до гіпотенузи. Оскільки центр описаного навколо прямокутного трикутника кола завжди лежить на середині гіпотенузи, то медіана, що з'єднує вершину прямого кута із цією точкою, – радіус $(R).$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 744. Завдання: 37747

Завдання 3 з 93

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує трикутник, у якого лише один гострий кут.

II. У рівнобедреному трикутнику $ABC$ серединний перпендикуляр, проведений до основи $AC$, проходить через вершину $B.$

III. У будь-якому прямокутному трикутнику сума градусних мір гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

Алише II

Блише IІI

Влише I та II

Глише І та ІІІ

Длише ІI та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^\circ.$ Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за $90^\circ$), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати $90^\circ$ або бути більшими за $90^\circ$). Наприклад, якщо два кути прямі, то $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони $AC$ як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину $B.$

Отже, твердження правильне.

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди $180^\circ.$ Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює $90^\circ$, обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює $90^\circ.$

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 743. Завдання: 37691

Завдання 4 з 93

На катеті $BC$ прямокутного трикутника $ACB$, у якому $\angle C=90^\circ$, $\angle B=32^\circ$, вибрано точку $K$ так, що $AK=KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1$\angle KAB$

2$\angle KAC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$24^\circ$

Б$26^\circ$

В$32^\circ$

Г$58^\circ$

Д$64^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\angle KAB.$ Оскільки $\Delta AKB$ рівнобедрений $(AK=KB)$, то кути при його основі рівні:

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBA=32^\circ. \end{gather*}

Отже, 1 – B.

2. $\angle KAC.$ Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^\circ.$ $\Delta ACB{:}$

\begin{gather*} \angle CAB=90^\circ-\angle B=90^\circ-32^\circ=58^\circ. \end{gather*}

Оскільки промінь $AK$ проходить між сторонами кута $\angle CAB{:}$

\begin{gather*} \angle KAC=\angle CAB-\angle KAB=58^\circ-32^\circ=26^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – Б.

3. $\angle OKB.$

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка $O$) – середина гіпотенузи $(AB).$ Отже, $AO=OB.$ Оскільки $\Delta AKB$ – рівнобедрений $(AK=KB)$ за умовою, то медіана $KO$, проведена до його основи $AB$, є також і висотою. $KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.$ Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^\circ. \Delta KOB{:}$

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle B=90^\circ-32^\circ=58^\circ. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37581

Завдання 5 з 93

Які твердження правильні?

I. Існує лише одна точка на площині трикутника, яка рівновіддалена від його вершин.

II. Медіана трикутника ділить його на два рівновеликі трикутники.

III. Середня лінія трикутника проходить через точку перетину його медіан.

Алише I

Блише IІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні $2:1$ (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані $\dfrac 13$ довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані $\dfrac 12$ довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні $\dfrac 13\ne \dfrac 12$, середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 742. Завдання: 37577

Завдання 6 з 93

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C=90^\circ$, $\angle B=22^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK=KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$22^\circ$

Б$36^\circ$

В$46^\circ$

Г$68^\circ$

Д$74^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

1. У прямокутному трикутнику $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ сума гострих кутів дорівнює $90^\circ.$

$\angle B+\angle A=90^\circ$, $\angle B=22^\circ$, тому $\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.$ $\angle BAC=68^\circ.$

Отже, 1 – Г.

2. За умовою $AK=KB$, тож трикутник $AKB$ – рівнобедрений з основою $AB.$ У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

\begin{gather*} \angle KBA=\angle KAB=68^\circ. \end{gather*}

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBC+\angle CBA;\\[7pt] \angle KBC=\angle KAB-\angle CBA=68^\circ-22^\circ=46^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO$ – медіана, $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, $KO$ – висота, $KO\!\perp\!AB.$

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-68^\circ=22^\circ. \end{gather*}

$\Delta ACB$ – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37523

Завдання 7 з 93

Кути гострокутного трикутника $ABC$ задовольняють умову $\angle A\lt \angle B\lt \angle C.$ Які з наведених тверджень правильні?

I. $AB$ – найдовша сторона трикутника $ABC.$

II. Трикутник $ABC$ – рівнобедрений.

III. Висота, проведена з вершини $A$, менша за сторону $AC.$

Алише I

Блише IІІ

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута $(\angle C)$ завжди лежить найдовша сторона $(AB).$ $AB$ – найдовша сторона трикутника $ABC.$ Твердження правильне.

II. За умовою $\angle A\lt \angle B\lt \angle C$, тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту $(AH)$ із вершини $A$ до сторони $BC.$ Розгляньмо прямокутний трикутник $AHC$ (де $\angle H=90^\circ$). У цьому трикутнику сторона $AC$ – гіпотенуза, а висота $AH$ – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет $(AC\gt AH)$, то висота дійсно менша за сторону $AC.$ Висота, проведена з вершини $A$, менша за сторону $AC.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 741. Завдання: 37512

Завдання 8 з 93

У довільний трикутник $ABC$ вписано коло із центром у точці $O$; точки $K$, $L$, $M$ – точки дотику (див. рисунок). Які з наведених тверджень правильні?

I. Трикутник $AOK$ прямокутний.

II. Трикутник $BKL$ рівнобедрений.

III. Трикутники $MOK$ і $LOC$ рівні.

Алише IІ

Блише IІІ

Влише I та II

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник $AOK$ прямокутний.

Точка $K$ – це точка дотику кола до сторони $AB.$ За властивістю дотичної радіус $OK$, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної $(OK\!\perp\!AB).$ Оскільки $\angle OKA=90^\circ$, трикутник $AOK$ прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник $BKL$ рівнобедрений.

Відрізки $BK$ та $BL$ – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки $B$. За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою $(BK=BL).$ Оскільки дві сторони трикутника рівні, то $\Delta BKL$ рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники $MOK$ і $LOC$ рівні.

У трикутнику $MOK$ сторони $OM$ та $OK$ – це радіуси кола $(OM=OK).$ У трикутнику $LOC$ одна зі сторін – радіус $OL$, а сторона $OC$ з'єднує центр із вершиною трикутника.

$\Delta MOK$ завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а $\Delta LOC$ – прямокутний $(\angle OLC=90^\circ).$ Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 740. Завдання: 37463

Завдання 9 з 93

Периметр рівнобедреного трикутника (див. рисунок) дорівнює $32$ см. $AB=BC=10$ см. До відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1$AC$

2висота, проведена з вершини $B$

3радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

Довжина відрізка

А$6{,}25$ см

Б$7{,}5$ см

В$8$ см

Г$12$ см

Д$12{,}5$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони $AB=BC=10$ см.

\begin{gather*} P=AB+BC+AC;\\[7pt] 32=10+10+AC;\\[7pt] AC=32-20=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — Г.

Проведемо висоту $BH$ до основи $AC.$ У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

\begin{gather*} AH=HC=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник $ABH\ (\angle H=90^\circ){:}$

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BH^2+AH^2=AB^2;\\[7pt] BH^2+6^2=10^2;\\[7pt] BH^2+36=100;\\[7pt] BH^2=64;\\[7pt] BH=8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

\begin{gather*} R=\frac{abc}{4S}. \end{gather*}

Площа трикутника $S{:}$

\begin{gather*} S=\frac 12\cdot AC\cdot BH=\frac 12\cdot 12\cdot 8=48\ \text{см}^2.\\[6pt] R=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{4\cdot 48}=\frac{1200}{192}=6{,}25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 738. Завдання: 37371

Завдання 10 з 93

Які твердження правильні?

I. У прямокутному трикутнику найбільший кут дорівнює половині розгорнутого кута.

II. У рівносторонньому трикутнику сума градусних мір двох кутів дорівнює $120^\circ.$

III. Існує гострокутний трикутник, у якого всі гострі кути більші за $60^\circ.$

А лише I та III

Блише IІ

В лише I та ІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута $180^\circ.$ Його половина – це $90^\circ.$ У прямокутному трикутнику один кут прямий $(90^\circ)$, а сума двох гострих кутів також дорівнює $90^\circ.$ Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника $180^\circ$, то градусна міра кожного кута дорівнює: $180^\circ : 3 = 60^\circ.$ Сума будь-яких двох кутів: $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.$ Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за $60^\circ$, то їхня сума більша за $180^\circ$ (наприклад, $61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ$). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює $180^\circ.$ Твердження неправильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 736. Завдання: 37106

Завдання 11 з 93

Обчисліть довжину основи рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює $12$ см, а периметр – $40$ см.

А$14$ см

Б$12$ см

В$8$ см

Г$28$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: $AB=BC=12$ см. Основа: $AC.$

Периметр $(P)$ – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де $a$ – бічна сторона, а $b$ – основа.

\begin{gather*} 40=2\cdot 12+b;\\[7pt] 40=24+b;\\[7pt] b=40-24;\\[6pt] b=16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36590

Завдання 12 з 93

Діагональ $BD$ паралелограма $ABCD$ перпендикулярна до сторони $AB$ (див. рисунок). $\angle A=60^\circ$, $BD=12$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони $AB$

2Довжина сторони $AD$

3Довжина діагоналі $AC$

Закінчення речення

Адорівнює $4\sqrt{3}$ см.

Бдорівнює $8\sqrt{3}$ см.

Вдорівнює $2\sqrt{21}$ см.

Гдорівнює $4\sqrt{21}$ см.

Ддорівнює $24$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони $AB.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням тангенса:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ 60^\circ=\frac{BD}{AB};\\[6pt] AB=\frac{BD}{\mathrm{tg}\ 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони $AD.$ У прямокутному трикутнику $ABD$ за означенням синуса:

\begin{gather*} \sin 60^\circ=\frac{BD}{AD};\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{AD};\\[6pt] AD=\frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{24\cdot \sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ (\text{см}). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі $AC.$ Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника $ABC.$

У паралелограма сума сусідніх кутів становить $180^\circ$, тому

\begin{gather*} \angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ;\\[7pt] AB=4\sqrt{3};\\[7pt] BC=AD=8\sqrt{3}. \end{gather*}

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ. \end{gather*}

Оскільки $\cos 120^\circ=-\frac 12$,

\begin{gather*} AC^2=(4\sqrt{3})^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] AC^2=48+192+4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3};\\[6pt] AC^2=240+96=336;\\[7pt] AC=\sqrt{336}=\sqrt{16\cdot 21}=4\sqrt{21}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36402

Завдання 13 з 93

Діагоналі прямокутника $ABCD$ перетинаються в точці $O$, $AB=6$, $\angle AOD=110^\circ$ (див. рисунок). Який периметр цього прямокутника?

А$6+6\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Б$12+12\sin 55^\circ$

В$12+\frac{12}{\mathrm{tg}\ 55^\circ}$

Г$12+12\mathrm{tg}\ 55^\circ$

Д$12+12\cos 55^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою $O$ навпіл, трикутник $\Delta AOD$ – рівнобедрений. Проведімо висоту $OH$ до основи $AD.$ Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику $\Delta AOH{:}$

\begin{gather*} OH=AB:2=6:2=3;\\[7pt] \angle AOH=110^\circ:2=55^\circ.\\[6pt] \mathrm{tg}\ \angle AOH=\frac{AH}{OH};\\[6pt] \mathrm{tg}\ 55^\circ=\frac{AH}{OH};\\[6pt] AH=OH\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ=3\mathrm{tg}\ 55^\circ;\\[7pt] AD=2\cdot AH=6\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Обчислімо периметр прямокутник $ABCD{:}$

\begin{gather*} P=2(AB+AD)=2(6+6\cdot\mathrm{tg}\ 55^\circ)=12+12\cdot \mathrm{tg}\ 55^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36399

Завдання 14 з 93

У рівнобедреному трикутнику $ABC\ (AB=BC)$ $BK$ – бісектриса кута $B$, точка $K$ належить стороні $AC.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. $AB+BC=AC.$

II. $BK\ \perp\ AC.$

III. $AK=KC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише II та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. $AB+BC=AC$ – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. $BK\ \perp\ AC$ – правильно (бісектриса є висотою).

III. $AK=KC$ – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36393

Завдання 15 з 93

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень правильні?

I. $BM=MC.$

II. $\angle BAM=\angle MAC.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$

Алише I

Блише IІІ

Влише IІ та IIІ

Глише I та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. $BM = MC.$ За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки $AM$ – медіана, то точка $M$ є серединою сторони $BC.$ Отже, $BM = MC.$

II. Твердження неправильне. $\angle BAM=\angle MAC.$ Ця рівність означала б, що $AM$ є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $MCA.$ Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні $(BM = MC)$, а проведена з вершини $A$ висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36353

Завдання 16 з 93

На рисунку зображено два рівні рівнобедрені трикутники $ABC$ $(AB=BC)$ і $CMN$ $(CM=MN)$, що лежать в одній площині. $AN=8$ см, $AB=2\sqrt{17}$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

1Відстань від $B$ до сторони $AC$

2$BM$

3Відстань між серединами сторін $AB$ і $MN$

А$4$ см

Б$6$ см

В$7$ см

Г$8$ см

Д$10$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

$AN=8$, $\Delta ABC=\Delta CMN$, $AC=CN=\frac 12AN=4$ см, $AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}$ см.

1. Відстань від $B$ до $BC$ – це довжина висоти $BK\ \Delta ABC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника: $BK$ – висота та медіана. $KC=\frac 12 AC=2$ см.

За теоремою Піфагора в $\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}$

\begin{gather*} BC^2=BK^2+KC^2,\\[7pt] BK^2=BC^2-KC^2=(2\sqrt{17})^2-2^2=4\cdot 17-4=64,\\[7pt] BK=8\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо $MP\ \perp\ CN$ у $\Delta CMN.$

$KBMP$ – прямокутник.

$$ BM=KP=KC+CP=2+2=4\ (\text{см}). $$

$KC=CP$ в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. $ABMN$ – рівнобічна трапеція, а $DE$ – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

\begin{gather*} DE=\frac{BM+AN}{2}=\frac{4+8}{2}=6\ (\text{см}). \end{gather*}

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35808

Завдання 17 з 93

Які з наведених тверджень є правильними для довільного трикутника?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ.$

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І i ІІI

ДI, II та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати $90^\circ.$ Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за $90^\circ$ (тупий), а сума двох інших кутів менша за $90^\circ.$

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35801

Завдання 18 з 93

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I. Медіана трикутника ділить його кут навпіл.

II. Бісектриса трикутника ділить його протилежну сторону навпіл.

III. Бісектриса трикутника проходить через центр уписаного в нього кола.

Алише I

Блише І та II

Влише І та III

Глише ІІI

Длише ІІ та III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр уписаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35779

Завдання 19 з 93

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка $O$ – середина діагоналі $AC$, то

\begin{gather*} AO=\frac 12AC,\\[7pt] AO=40:2=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+CD^2=AC^2,\\[7pt] AD^2=40^2-24^2=1600-576=1024,\\[7pt] AD=\sqrt{1024}=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

Нехай $BC=x.$

Оскільки $AB=BC$, то $AB=x.$

Проведімо висоту з точки $B$ на основу $AD.$ Нехай це буде $BK$. У прямокутній трапеції висота $BK=CD=24$ см. Відрізок $AK=AD-KD.$

Оскільки $BCDK$ – прямокутник, то $KD=BC=x.$ Отже, $AK=32-x.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] x^2=(32-x)^2+24^2,\\[7pt] x^2=1024-64x+x^2+576,\\[7pt] 64x=1600,\\[7pt] x=25\ \text{см},\\[7pt] AB=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35442

Завдання 20 з 93

У довільному трикутнику $ABC$ проведено медіану $AM$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. $BM=MC.$

II. Промінь $AM$ ділить кут $A$ навпіл.

III. Площі трикутників $ABM$ і $ACM$ рівні.

Алише I

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише ІІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки $AM$ – медіана, точка $M$ ділить сторону $CB$ навпіл. Отже, $BM=MC.$ Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників $\Delta ABM$ і $\Delta ACM$ рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: $S=ah_a.$

У трикутників $ABM$ та $ACM$ основи рівні $(BM = MC)$, а висота $AH$, проведена з вершини $A$ до прямої $CB$, у них спільна.

Отже, $S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 712. Завдання: 35433

Завдання 21 з 93

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ $(AB=CD)$, точки $K$ і $M$ – середини бічних сторін трапеції, діагональ $AC$ трапеції перетинає відрізок $KM$ у точці $O$ так, що $KO=5$ см, $OM=7$ см, $\angle CAD=30^\circ.$ Знайдіть площу цієї трапеції.

А$144$ см$^2$

Б$144\sqrt{3}$ см$^2$

В$288$ см$^2$

Г$48\sqrt{3}$ см$^2$

Д$72$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

\begin{gather*} KM=\frac 12(BC+AD). \end{gather*}

У $\Delta ABC\ KO$ – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, $BC=10$ см.

У $\Delta ACD\ OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12AD,\\[6pt] AD=14\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуймо $CH\ \perp\ AD.$

\begin{gather*} HD=(AD-BC):2=(14-10):2=2\ \text{см}.\\[7pt] AH=AD-HD=14-2=12\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)$

\begin{gather*} \operatorname{tg}\ A=\frac{CH}{AH},\\[6pt] CH=AH\cdot \operatorname{tg}\ A=12\cdot \operatorname{tg}\ 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Площа трапеції

$$ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=KM\cdot CH=12\cdot 4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{см}^2. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35376

Завдання 22 з 93

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Довжина $AM$ дорівнює довжині сторони $BC.$

II. Довжина $AM$ дорівнює відстані від точки $A$ до сторони $BC.$

III. Точка $M$ рівновіддалена від точок $B$ і $C.$

Алише I

Блише II

Влише III

Глише І та ІІ

Длише ІI та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. $AM$ – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони $BC$, але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки $A$ до прямої $BC$ є довжина перпенидкуляра з точки $A$ до $BC.$

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка $M$ – середина сторони $BC$, тож вона рівновіддалена від точок $B$ i $C.$ Твердження правильне.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35373

Завдання 23 з 93

У ромбі $ABCD$ проведено діагональ $AC.$ $\angle CAD=23^\circ.$ Знайдіть градусну міру більшого кута ромба.

А$67^\circ$

Б$136^\circ$

В$134^\circ$

Г$124^\circ$

Д$144^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

$ABCD$ – ромб, тому $AB=BC=CD=DA.$

Отже, $\Delta ADC$ – рівнобедрений з основою $AC.$ За властивістю рівнобедреного трикутника:

\begin{gather*} \angle A=\angle C=23^\circ,\\[7pt] \angle D=180^\circ-2\cdot 23^\circ=180^\circ-46^\circ=134^\circ. \end{gather*}

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, $AC$ – бісектриса кута $A{:}$ $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює $180^\circ.$ Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 701. Завдання: 35366

Завдання 24 з 93

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$, $O$ – точка перетину його діагоналей. $AB=6$ см, $AD=8$ см, $OM$ – перпендикуляр, проведений з точки $O$ до сторони $AD$. Доберіть до геометричної фігури (1–3) її площу (А – Д).

1трикутник $ABD$

2трикутник $AOD$

3п’ятикутник $ABCOM$

А$12$ см$^2$

Б$18$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$36$ см$^2$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. $\Delta ABD$ – прямокутний із катетами $AB=6$ см і $AD=8$ см.

$$ S_{ABD}=\frac 12 AB\cdot AD=\frac 12\cdot 6\ \text{см}\cdot 8\ \text{см}=24\ \text{см}^2. $$

Правильна відповідь – B.

2. $OM\ \perp\ AD.$ За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У $\Delta ABD$ $OM$ – середня лінія, тому

\begin{gather*} OM=\frac 12\cdot AB=3\ \text{см},\\[6pt] S_{AOD}=\frac 12 \cdot AD\cdot OM=\frac 12\cdot 8\cdot 3=12\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – A.

\begin{gather*} S_{ABCOM}=S_{ABC}+S_{AOM},\\[7pt] S_{ABC}=S_{ABD}=24\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{AOM}=\frac 12S_{AOD}=\frac 12\cdot 12\ \text{см}^2=6\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{ABCOM}=24\ \text{см}^2+6\ \text{см}^2=30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35360

Завдання 25 з 93

Задано довільний трикутник $ABC$, у якому $AM$ – медіана. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Точка $M$ є серединою $BC.$

II. Промінь $AM$ є бісектрисою $\angle A.$

III. Площа трикутника $ABM$ дорівнює площі трикутника $AMC.$

Алише I

Блише I та II

Влише I та III

Глише ІІ та ІІІ

ДI, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, $M$ – середина $BC.$

II. Твердження неправильне. $AM$ – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою $BC.$ Але в умові $\Delta ABC$ – довільний.

III. Твердження правильне. $S_{ABM}=S_{AMC}.$ За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35352

Завдання 26 з 93

У паралелограмі $ABCD$ діагоналі перетинаються в точці $O.$ Знайдіть довжину сторони $AD$ паралелограма, якщо $AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=–\frac{1}{4}.$

А$\sqrt{31}$ см

Б$2\sqrt{7}$ см

В$\sqrt{22}$ см

Г$5$ см

Д$\sqrt{19}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

$AC=8$ см, $BD=6$ см, $\cos \angle AOD=-\frac 14.$

За властивістю паралелограма

\begin{gather*} AO=OC=\frac 12AC=4\ \text{см},\\[6pt] BO=OD=\frac 12BD=3\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta AOD$ за теоремою косинусів:

\begin{gather*} AD^2=AO^2+OD^2-2\cdot AO\cdot OD\cdot \cos \angle AOD,\\[6pt] AD^2=4^2+3^2-2\cdot 4\cdot 3\cdot \left(-\frac 14\right)=16+9+6=31\ \text{см}^2,\\[6pt] AD=\sqrt{31}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35351

Завдання 27 з 93

Діагональ $AC$ рівнобічної трапеції $ABCD$ утворює зі стороною $CD$ кут $120^\circ.$ Довжини основ трапеції дорівнюють $12$ см і $30$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Довжина середньої лінії трапеції дорівнює

2Довжина проєкції сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює

3Довжина радіуса кола, описаного навколо трапеції, дорівнює

А$9$ см

Б$20\sqrt{3}$ см

В$21$ см

Г$10\sqrt{3}$ см

Д$18$ см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де $a$, $b$ – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. $BK\ \perp\ AD.$ Проєкція $AB$ на пряму $AD$ – відрізок $AK.$ $ABCD$ – рівнобічна трапеція, тому $AB=CD.$

Рівні похилі $BA$ i $CD$ мають рівні проєкції $AK=HD.$

$$ AK=(AD-BC):2=(30\ \textit{см}-12\ \textit{см}):2=9\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції $ABCD$, це коло описане навколо $\Delta ACD.$

За наслідком з теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{a}{\sin \mathbf{\alpha}}=2R,\\[6pt] \frac{AD}{\sin \angle ACD}=2R,\\[6pt] \frac{30}{\sin 120^\circ}=2R,\\[6pt] \sin 120^\circ=\sin (180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] \frac{30\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R,\\[6pt] R=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \textit{см} \end{gather*}.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35315

Завдання 28 з 93

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника?

I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону.

II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ.$

III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут....

Алише І

Блише ІІ

Влише III

Глише І та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань основних властивостей трикутника, нерівності трикутника.

I. Твердження неправильне. За нерівністю трикутника, сума довжин двох сторін трикутника більша за довжину третьої.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника не завжди більша за $90^\circ.$ До прикладу, у трикутнику кути можуть бути $20^\circ$, $20^\circ$, $140^\circ.$ Тоді сума двох гострих кутів: \begin{gather*} 20^\circ+20^\circ=40^\circ,\\[7pt] 40^\circ\lt 90^\circ. \end{gather*}

III. Твердження правильне. За властивістю трикутника, навпроти більшої строни лежить більший кут, навпроти меншої сторони – менший кут, навпроти рівних сторін – рівні кути.

Відповідь: В.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34382

Завдання 29 з 93

Трапеція $AKCD$ складається з квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює $24\ \text{см},$ середня лінія трапеції $AKCD$ дорівнює $10\ \text{см}.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина відрізка $BK$ дорівнює

2Довжина відрізка $KC$ дорівнює

3Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC,$ дорівнює

Закінчення речення

А$8\ \text{см}.$

Б$7\ \text{см}.$

В$6\ \text{см}.$

Г$10\ \text{см}.$

Д$12\ \text{см}.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

$P_{ABCD}=24\ \text{см}.$ $ABCD$ – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції $AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.$ $EF=PF+PE,\ 10=6+PE,$ $PE=4\ \text{см}.$

1 – A. $PE$ – середня лінія $\Delta KBC.$ За властивістю середньої лінії $PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.$

2 – Г. $\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка $O.$

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка $E.$ Отже, відстань між центрами кіл буде $OP+PE=3+4=7\ \text{см}.$

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28393

Завдання 30 з 93

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Cерединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.

III. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будь-якого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.

Алише І

Блише І та ІІ

Влише І та ІІІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. $\Delta ADB=\Delta CDB$ (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28385

Завдання 31 з 93

Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$ дорівнює $100^\circ,$ $\angle C=20^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B.$

А$100^\circ$

Б$90^\circ$

В$120^\circ$

Г$80^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle B+\angle C. \end{gather*}

Отже, $\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28355

Завдання 32 з 93

У трикутнику $ABC$ кут $B$ – тупий. Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle A+\angle C\lt 90^\circ .$

II. $AB+BC\lt AC.$

III. Центр кола, описаного навколо трикутника $ABC,$ лежить поза його межами.

Алише I та II

Блише І

Влише II та III

ГI, II та III

Длише I та III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника.

I. $\angle B$ – тупий, тому $\angle B\gt 90^\circ.$ Сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ,$ тому $\angle A+\angle C \lt 90^\circ.$ Твердження правильне.

IІ. За нерівністю трикутника $AB+BC\gt AC.$ Отже, твердження неправильне.

IІІ. У тупокутному трикутнику центр описаного кола лежить поза межами трикутника. Твердження правильне.

Отже, привильні твердження І та ІІІ.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27693

Завдання 33 з 93

Периметр рівнобедреного трикутника $ABC$ (див. рисунок) дорівнює $32\ \text{см.}$ $AB = BC = 10\ \text{см.}$ Узгодьте відрізок (1–3) з його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AC$

2висота, проведена з вершини $B$

3радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$

Довжина відрізка, см

А6,25

Б7,5

В8

Г12

Д12,5

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.

$P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.$

1 – Г. $P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.$

2 – B. Висота $BH\perp AC,\ \ BH$ – медіана, $AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.$ $\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)$ за теоремою Піфагора $BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.$

3 – A. $\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)$ $\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.$ За наслідком із теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin\mathbf{\alpha}}=2R,\ \ \frac{10}{0,8}=2R,\\[6pt] R=\frac{10}{1,6}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}=6,25. \end{gather*}

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26841

Завдання 34 з 93

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C = 90^\circ,\ \angle B = 24^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK = KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$24^\circ$

Б$34^\circ$

В$42^\circ$

Г$66^\circ$

Д$72^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

1 – Г. У $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ $\angle B+\angle A=90^\circ,$ $\angle B=24^\circ,$ тому $\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.$ $\angle BAC=66^\circ.$

2 – B. $\Delta ABK$ – рівнобедрений, $AK=KB$ за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle B=66^\circ.$

$$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ.$$

3 – A. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO -$ медіана $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника $KO -$ висота, $KO\perp AB.$ \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} $\Delta ACB -$ прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26816

Завдання 35 з 93

У прямокутному трикутнику сума двох кутів дорівнює $115^\circ.$ Визначте градусну міру найменшого кута цього трикутника.

А$5^\circ$

Б$15^\circ$

В$25^\circ$

Г$35^\circ$

Д$65^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – $180^\circ .$ Сума гострих кутів – $90^\circ .$

Отже, $115^\circ$ – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут $115^\circ -90^\circ =25^\circ .$ Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути $65^\circ$ та $25^\circ .$

Найменший кут цього трикутника $25^\circ .$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26187

Завдання 36 з 93

Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції $ABCD$. Довжина більшої основи $AD$ становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи $BC$ й бічних сторін $AB$ й $CD$ планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін $AB,\ BC$ й $CD$ цієї кишені, якщо вздовж $BC$ вже встановлено 15 стовпчиків?

А39

Б41

В42

Г43

Д45

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$ABCD$ – рівнобічна трапеція, $AB=CD$. Уздовж основи $BC$ встановлено $15$ стовпчиків на відстані $1$ м. Отже, довжина сторони $BC=14\ \text{м}$.

Відстань між паралельними сторонами $BC$ та $AD$ дорівнює $5$ м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

$$ ED=(AD-BC):2=(38-14):2=12\ (\text{м}). $$

У $\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2=5^2+12^2=25+144=169\\[7pt] CD=\sqrt{169}=13\ (\text{м}). \end{gather*}

Уздовж сторін $AB$ й $CD$ має бути по $13$ стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24697

Завдання 37 з 93

У рівнобедреному трикутнику $ABC$ з основою $AC\ \angle B=40^\circ$. Визначте градусну міру кута $A$.

А80°

Б70°

В60°

Г50°

Д40°

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника $180^\circ$.

$\angle B=40^\circ$, тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle C$. Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24686

Завдання 38 з 93

Прямолінійною дорогою $AB$ рухається тролейбус (див. рисунок). Лінія $CD$ електричного дроту паралельна $AB$ й даху $MN$ тролейбуса. Штанга $KN$, що на рисунку є відрізком, утворює з $MN$ кут $30^\circ$. Відстані між прямими $CD$ й $AB, MN$ й $AB$ дорівнюють 6 м i 3,2 м відповідно. Укажіть проміжок, якому належить довжина (у м) штанги $KN$. Уважайте, що всі зазначені прямі лежать в одній площині.

А$[1; 3)$

Б$[3; 5)$

В$[5; 5{,}5)$

Г$[5{,}5; 6)$

Д$[6; 8)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$$ DB=6\ \text{м},\ AM=3,2\ \text{м}\ KM=AK-AM=6-3,2=2,8\ \text{м}. $$

$$ \triangle KMN (\angle M=90^\circ) \ \ KN=2KM=2,8\cdot 2=5,6\ \text{м}. $$

Катет $KM$ протилеглий куту $30^\circ$ дорівнює половині гіпотенузи $KN$. $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23675

Завдання 39 з 93

Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на

2Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30°, зображено на

3Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на

Закінчення речення

Арис. 1.

Брис. 2.

Врис. 3.

Грис. 4.

Дрис. 5.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22994

Завдання 40 з 93

У ромб $ABCD$ вписано квадрат $KLMN$, сторона $KL$ якого перетинає діагональ $AC$ в точці $P$ (див. рисунок). $AL=10\ \text{см},\ AP=8\ \text{см}$.

1. Обчисліть довжину сторони квадрата $KLMN$ (у см).

2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ ромба $ABCD$ (у см).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	12			21

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, $PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.$ $PL=6\ \text{см}$.

$\triangle ALK$ - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}

2. $\triangle APL\sim \triangle LEB$ (за гострим кутом). $\angle LAP=\angle BLE$ - відповідні при $AP\ ||\ LE$ та січної $AB$. \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22921

Завдання 41 з 93

У прямокутній системі координат $xy$ на площині задано рівнобедрений трикутник $ABC$, у якому $AB=BC.$ Вершина $B$ лежить на прямій $y=2x+9.$ Визначте площу трикутника $ABC$, якщо $A(-6; -8)$, $C(4; -8).$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник $ABC. AB=BC.$ Отже, точка $B$ має абсцису $-1.$ $(AC=10).$ Нехай координати точки $B(-1; y).$

Точка $B$ лежить на прямій $y=2x+9,$ тому $y=2(-1)+9=7,$ $B(-1; 7).$ $BK\perp AC.$ $BK=15$ висота та медіана.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BK=\frac 12\cdot 10\cdot 15=75. \end{gather*}

Відповідь: $75.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21238

Завдання 42 з 93

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точки $K$ та $M$ так, що $BK\ ||\ CD$, $MC\ || AB$ (див. рисунок). Відрізки $BK$ та $CM$ перетинаються в точці $O$, $BO:OK=2:3.$ Периметр чотирикутника $ABCM$ дорівнює $84$, $BC=12.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AB$

2$MK$

3середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А$21$

Б$30$

В$18$

Г$27$

Д$54$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.

$BO:OK=2:3$, $P_{ABCM}=84$, $BC=12.$

1. $AB\ ||\ CM$ за умовою $BC\ ||\ AM$ за властивістю трапеції. $ABCM$ – паралелограм.

$P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84$, $AB=30.$
Отже, 1 – Б.

2. $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOM$ (за $2$ кутами). $\angle BOC=\angle MOK$ – вертикальні. $\angle OBC=\angle OKM$ – внутрішні різносторонні.

\begin{gather*} \frac{BC}{MK}=\frac{BO}{OK},\\[6pt] \frac{12}{MK}=\frac 23,\\[6pt] MK=18. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. $AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.$

Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21229

Завдання 43 з 93

На рисунку зображено прямокутник i рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють $10$ см i $13$ см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює $260$ см$^2.$

А$520$ см$^2$

Б$720$ см$^2$

В$780$ см$^2$

Г$840$ см$^2$

Д$960$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

$\Delta ABC$ – рівнобедрений. $AB=AC=13$ см, $BC=10$ см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань $AA_1C_1C$ або $A_1B_1BA.$

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ AK\perp BC$ – висота та медіана. $KC=5$ см.

У $\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21222

Завдання 44 з 93

На рисунку зображено прямокутник i трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює $38$ см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює $11$ см.

А$16\sqrt{3}$ см$^2$

Б$32\sqrt{3}$ см$^2$

В$24$ см$^2$

Г$64$ см$^2$

Д$24\sqrt{3}$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

$ACDE$ – прямокутник, $P=38$ см, $AE=CD=11$ см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа $\Delta ABC (AB=BC=AC).$

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19962

Завдання 45 з 93

Прямі $l$, $m$ і $n$ лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру
кута $\mathbf{\alpha}.$

А$110^\circ$

Б$50^\circ$

В$60^\circ$

Г$70^\circ$

Д$80^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

$\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ – суміжний до кута $120^\circ.$

$\angle ACB=\mathbf{\alpha}$ – вертикальні кути.

Сума кутів $\Delta ABC$ дорівнює $180^\circ$, тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19946

Завдання 46 з 93

У прямокутній системі координат $xy$ на площині задано рівнобедрений трикутник $ACB$, у якому $AC=BC$, $A(2; -5)$, $B(4; 3).$ Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням $(x-3)^2+y^2+2y=16.$ Визначте площу трикутника $ABC$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням $(x-3)^2+y^2+2y=16.$

Запишемо у стандартному вигляді
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, де $(a; b)$ – центр кола, $R$ – радіус
$(x-3)^2+y^2+2y+1=16+1$
$(x-3)^2+(y+1)^2=17.$
$(3; -1)$ – центр кола, $R=\sqrt{17}.$

Точка $A(2; -5)$, $B(4; 3).$ Центр кола $O(3; -1)$ є серединою відрізка $AB$ $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, $\Delta ABC$ – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою $AB=2\sqrt{17}.$

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, $S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC$, $OC=R=\sqrt{17}.$

$S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.$

Відповідь: $17.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19517

Завдання 47 з 93

Довжина сторони ромба $ABCD$ дорівнює $8$, $\angle B=60^\circ.$ Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).

Величина

1довжина діагоналі $AC$

2довжина висоти ромба $ABCD$

3відстань від точки $A$ до центра кола, яке вписане в ромб

Значення величини

А$4$

Б$4\sqrt{3}$

В$8$

Г$8\sqrt{3}$

Д$8\sqrt{2}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

$ABCD$ – ромб, $\angle B=60^\circ$, $AB=BC=CD=DA=8.$

1. $\Delta ABC$ – рівносторонній, $AC=8.$ Отже, 1 – B.

2. $\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$ Отже, 2 – Б.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка $O.$

За властивістю ромба $AO=OC=\frac 12AC=4.$ Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19508

Завдання 48 з 93

Які з наведених тверджень є правильними?

І. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні.

ІІ. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін.

ІІІ. Довжина сторони будь-якого квадрата вдвічі менша за його периметр.

Алише І

Блише І та IІІ

Влише І та ІІ

Глише ІІ та ІІI

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. $P=4a$ – периметр квадрата, де $a$ – сторона квадрата.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18984

Завдання 49 з 93

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$, $L$, $M$ належать сторонам $BC$, $CD$ та $AD$ відповідно, $BK=8$ см. Трикутники $KCL$ та $LDM$ рівні, $KC=LD=15$ см.

1. Визначте довжину відрізка $KL$ (у см).

2. Обчисліть площу трикутника $KLM$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	17			144.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

$BK=8$ см, $\Delta KCL=\Delta LDM$, $KC=LD=15$ см.

1. $ABCD$ квадрат.

$BC=CD=BK+KC=8+15=23$ см, $CL=8$ см.

У $\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)$ за теоремою Піфагора:

$KL^2=KC^2+CL^2=15^2+8^2=225+64=289$, $KL=17$ см.

2. Нехай $\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}$, $\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.$ $\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ$ (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

$\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ$, $\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.$

Отже, $\Delta KLM$ – прямокутний, тому

$$ S_{KLM}=\frac 12KL\cdot LM=\frac 12\cdot 17\cdot 17=\frac 12\cdot 289=144\mathord{,}5\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: 1. $17.$
2. $144\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17667

Завдання 50 з 93

Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює $1$2 см, а периметр її бічної грані – $20$ см. Визначте площу бічної поверхні призми.

А$24$ см$^2$

Б$60$ см$^2$

В$72$ см$^2$

Г$84$ см$^2$

Д$96$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості призми, знання формули площі бічної поверхні призми.

$ABCA_1B_1C_1$ – правильна призма. $\Delta ABC$ – рівносторонній.

\begin{gather*} AB=BC=AC=12:3=4\ \textit{см}.\\[7pt] P_{CC_1B_1B}=2(BC+CC_1)=20.\\[7pt] BC+CC_1=10.\\[7pt] CC_1=10-4=6\ \textit{см}.\\[7pt] S_\text{бічної}=P_\text{основи}\cdot H=P_{ABC}\cdot CC_1=12\cdot 6=72\ \textit{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17657

Завдання 51 з 93

У трикутнику $ABC$ кут $B$ – тупий. Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle A+\angle C\lt 90^\circ.$

II. $AB+BC\lt AC.$

III. Центр кола, описаного навколо трикутника $ABC$, лежить поза його межами.

Алише І i ІІ

Блише І

Влише ІI та ІІI

ГI, II i III

Длише І i ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння класифікувати трикутники за сторонами та кутами, знання теореми про суму кутів трикутника, кола, описаного навколо трикутника.

Якщо $\angle B$ – тупий, а сума кутів трикутника $180^\circ$, то $\angle B\gt 90^\circ$, $\angle A+\angle C\lt 90^\circ.$

За нерівністю трикутника $AC\lt AB+BC.$ Отже, твердження ІІ неправильне.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника $ABC$ лежить поза його межами.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16610

Завдання 52 з 93

У прямокутній системі координат на площині $xy$ навколо трикутника $ABC$ описано коло, задане рівнянням $x^2+y^2-4x=68.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $\angle A=45^\circ.$

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

\begin{gather*} x^2+y^2-4x=68,\\[7pt] x^2-4x+4+y^2=72,\\[7pt] (x-2)^2+y^2=72. \end{gather*}

Центр кола $(2; 0)$ та радіус $\sqrt{72}=6\sqrt{2}.$

За наслідком з теореми синусів

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin A}=2R,\\[6pt] BC=2R\sin A=2\cdot 6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15264

Завдання 53 з 93

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ і ромб $CKMD$, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює $48$ см, а його гострий кут – $60^\circ.$ До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина сторони квадрата $ABCD$ дорівнює

2Довжина більшої діагоналі ромба $CKMD$ дорівнює

3Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ дорівнює

4Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ дорівнює

Закінчення речення

А$6$ см.

Б$6\sqrt{3}$ см.

В$12$ см.

Г$12\sqrt{3}$ см.

Д$18$ см.

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Периметр ромба $CKMD\ 48$ см, тому сторони $CD=CK=KM=MD=48:4=12$ см. $CD=12$ см – сторона квадрата.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

$\angle D=\angle K=60^\circ$, звідси $\angle C=\angle M=120^\circ.$ Більша діагональ – $KD.$

У $\Delta DCK$ за теоремою косинусів

\begin{gather*} KD^2=CD^2+CK^2-2CD\cdot CK\cos \angle C=\\[7pt] =12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \cos 120^\circ=\\[6pt] =144+144-2\cdot 144\cdot \left(-\frac 12\right)=\\[6pt] =144+144+144=3\cdot 144\ \textit{см}^3.\\[7pt] KD=\sqrt{3\cdot 144}=12\sqrt{3}\ \textit{см}^3. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ – це довжина перпендикуляра

$ME\ \perp\ DC$ – висота ромба.

У $\Delta MED\ \angle E=90^\circ$, $\angle D=60^\circ.$

\begin{gather*} ME=MD\cdot \sin \angle D=12\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \textit{см},\\[6pt] ED=MD\cdot \cos \angle D=12\cdot \cos 60^\circ=12\cdot \frac 12=6\ \textit{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

4. $KP\ \perp\ AD.$ Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ – це відрізок $KP.$

$CD\ \perp\ AD$, $KM\ ||\ CD$, тому $KM\ \perp\ AD$, $KP\ \perp\ AD.$

$KP=KM+MP=12+6=18\ \textit{см}.$

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15257

Завдання 54 з 93

Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює $9\sqrt{3}$ см$^2.$

А$54\sqrt{3}$ см$^3$

Б$27\sqrt{3}$ см$^3$

В$27$ см$^3$

Г$\frac{27}{2}\sqrt{3}$ см$^3$

Д$162\sqrt{3}$ см$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма $ABCA_1B_1C_1$.

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де $a$ – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, $a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}$, $a^2=36$, $a=6$ см.

$AA_1C_1C$ – квадрат, тому $AA_1=6$ см.

Об'єм призми

$V=S_\text{осн}\cdot H=S_{ABC}\cdot AA_1=9\sqrt{3}\cdot 6=54\cdot\sqrt{3}\ \ \textit{см}^3.$

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15250

Завдання 55 з 93

У паралелограмі $ABCD$ нa стороні $AD$ вибрано точку $K.$ Діагональ $AC$ i відрізок $BK$ перетинаються в точці $O.$ Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK=12$ см, $OK=2$ см, $OB=3$ см.

А$24$ см

Б$18$ см

В$16$ см

Г$15$ см

Д$8$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Розглянемо $\Delta AOK$ та $\Delta COB.$

$\angle KAO=\angle BCO$ як внутрішні різносторонні при $BC\ ||\ AD$ та січної $AC.$

$\angle BOC=\angle KOA$ як вертикальні.

Отже, $\Delta BOC$ подібний $\Delta KOA$ за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

\begin{gather*} \frac{BO}{OK}=\frac{BC}{AK},\\[6pt] \frac 32=\frac{BC}{12},\\[6pt] BC=\frac{3\cdot 12}{2}=18\ \textit{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15247

Завдання 56 з 93

Ha рисунку зображено паралельні прямі $a$ i $b$ тa січну $CD.$ Знайдіть відстань між прямими $a$ i $b$, якщо $CK=5$ см, $KD=2$ см, a відстань від точки $K$ до прямої $a$, дорівнює $1$ см.

А$2\mathord{,}5$ см

Б$3$ см

В$3\mathord{,}5$ см

Г$4$ см

Д$4\mathord{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Суміжні та вертикальні кути, паралельні та перпендикулярні прямі. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралельних прямих, ознаки подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Зробимо додаткову побудову і терез точку $K$ проведемо пряму $AB$, перпендикулярну до прямих $a$ i $b.$

Розглянемо трикутники $ADK$ та $BCK.$ Вони подібні за двома кутами: $\angle ADK=\angle BCK$ як внутрішні різносторонні при $a\ ||\ b$ та січною $CD.$

$\angle DAK=\angle KBC=90^\circ$ за побудовою.

У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{KB}=\frac{KD}{CK}. $$

Відстань від точки $K$ до прямої $a$ – це довжина перпенидкуляра $KA=1$ см \begin{gather*} \frac{1}{KB}=\frac 25,\\[6pt] KB=2\mathord{,}5\ \textit{см}. \end{gather*}

Відстань між прямими $a$ i $b$ – це довжина спільного перпендикуляра

$AB=AK+KB=1+2\mathord{,}5=3\mathord{,}5$ см.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14606

Завдання 57 з 93

Градусна міра зовнішнього кута $A$ рівнобедреного трикутника $ABC$ $(AB=BC)$ становить $125^\circ$. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута $B$.

А$30^\circ$

Б$40^\circ$

В$50^\circ$

Г$60^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14539

Завдання 58 з 93

Сторони трикутника, одна з яких на $8$ см більша за другу, утворюють кут $120^\circ$, а довжина третьої сторони дорівнює $28$ см. Знайдіть периметр трикутника.

А$84$ см

Б$72$ см

В$64$ см

Г$60$ см

Д$56$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14328

Завдання 59 з 93

Діагональ $AC$ та висота $BP$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $K$ (див. рисунок). Відомо, що $AB=12$, $\angle BAD=60^\circ$, $BK:KP=4:1.$

1. Визначте довжину відрізка $AP.$

2. Обчисліть периметр паралелограма $ABCD.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			72

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)$ $\angle A=60^\circ$, $\angle B=30^\circ.$

За властивостю катета, який лежить напроти кута $30^\circ$ $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. $\angle KAP=\angle BCK$ як внутнішні різнсторонні при $BC\ ||\ AP$ та січної $AC.$

$\Delta AKP$ подібний $\Delta CKP$ (за гострим кутом), тому відповідні сторони пропорційні

\begin{gather*} \frac{AP}{BC}=\frac{KP}{BK}=\frac 14\ (\text{за умовою}),\\[6pt] \frac{6}{BC}=\frac 14,\\[6pt] BC=24,\\[7pt] P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(12+24)=2\cdot 36=72. \end{gather*}

Відповідь: 1. $6.$
2. $72.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14260

Завдання 60 з 93

На рисунку зображено коло із центром у точці $O.$ Хорди $AB$ і $AC$ рівні, $AK$ – діаметр, $PM$ – дотична до кола, проведена в точці $C$, $\angle BAC=80^\circ.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Градусна міра кута $OCM$ дорівнює

2Градусна міра кута $ACP$ дорівнює

3Градусна міра меншої дуги $AB$ дорівнює

4Градусна міра меншої дуги $KC$ дорівнює

Закінчення речення

А$50^\circ$

Б$80^\circ$

В$90^\circ$

Г$100^\circ$

Д$120^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, центральних та вписаних кутів, видів трикутників та їхніх основних властивостей.

1. За властивістю дотичної до кола $OC\ \perp\ MP$, тому $\angle OCM=90^\circ.$

Отже, 1 – В.

2. $\angle BAC=80^\circ$, $AK$ – діаметр, тому $AK$ – бісектриса $\angle BAC$, $\angle BAK=\angle KAC=40^\circ.$

$\Delta AOC$ рівнобедрений ($OA=OC$ як радіуси) $\angle A=\angle C=40^\circ.$

$\angle ACP=\angle OCP-\angle OCA=90^\circ-40^\circ=50^\circ.$

Отже, 2 – A.

3. Градусна міра дуги $\overset{\smile}{AB}$ дорівнює градусній мірі центрального кута $\angle AOB.$

$\Delta AOB=\Delta AOC$ (за трьома сторонами).

У $\Delta AOB\ \angle A=\angle B=40^\circ$, $\angle O=180^\circ-80^\circ=100^\circ.$

Градусна міра дуги $\overset{\smile}{AB}=100^\circ.$

Отже, 3 – Г.

4. За властивістю вписаного кута: $\angle CAK=\frac 12$ дуги $KC$, дуга $KC=2\angle CAK=2\cdot 40^\circ=80^\circ.$

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – A, 3 – Г, 4 – Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14257

Завдання 61 з 93

Рівносторонній трикутник $ABC$ та пряма $KM$, що проходить через точку $B$, лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $KBA$, якщо $\angle CBM=85^\circ.$

А$45^\circ$

Б$35^\circ$

В$30^\circ$

Г$25^\circ$

Д$15^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур, різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

$\Delta ABC$ – рівносторонній, тому $$ \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ. $$

$\angle KBM=180^\circ$ – розгорнутий. $$ \angle KBA+\angle ABC+\angle CBM=180^\circ. $$

Отже,

$$ \angle KBA=180^\circ-\angle MBC-\angle ABC=180^\circ-85^\circ-60^\circ=35^\circ. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14238

Завдання 62 з 93

Рівносторонній трикутник $ABC$ та рівнобедрений трикутник $ACD$, у якому $AC=DC$ i $\angle ACD=40^\circ$, лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А – Д).

Кут

1$\angle ABC$

2$\angle ADC$

3кут між прямими $AB$ i $AD$

4кут між бісектрисами кутів $BAC$ i $CAD$

Градусна міра кута

А$45^\circ$

Б$50^\circ$

В$60^\circ$

Г$65^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. $\angle ABC=60^\circ$ (кут рівностороннього трикутника). Отже, 1 – В.

2. $\Delta ACD$ – рівнобедренний, тому

$$\angle A=\angle D=(180^\circ-\angle ACD): 2=(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ.$$

Отже, 2 – Д.

3. $\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=60^\circ+70^\circ=130^\circ.$

Кутом між прямими, що перетинаються, називають менший із кутів, що утворився при перетині цих прямих. Кут між прямими $AB$ та $AD$ – це гострий кут, тому він дорівнює $180^\circ-130^\circ=50^\circ$ (суміжний з $\angle BAD$). Отже, 3 – Б.

4. $\angle BAD=130^\circ.$ $AK$ – бісектриса $\angle BAC$, $AP$ – бісектриса $\angle CAD.$

\begin{gather*} \angle KAP=\angle KAC+\angle CAP=\frac 12 \angle BAC+\frac 12 \angle CAD=30^\circ+35^\circ=65^\circ. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б, 4 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12524

Завдання 63 з 93

Радіус основи конуса дорівнює $r$, а твірна – $l.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то

2Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то

3Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то

4Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$, то

Закінчення речення

А$l=2r.$

Б$l=\sqrt{2}r.$

В$l=3r.$

Г$l=4r.$

Д$l=r.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь, знання формул для обчислення площ поверхонь тіл обертання, знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $S_\text{б.п.}=3S_\text{осн}$, то $S_\text{б.п.}=\mathbf{\pi}rl$, $S_\text{осн}=\mathbf{\pi}r^2$, $\mathbf{\pi}rl=3\mathbf{\pi}r^2$, $l=3r.$ Отже, 1 – B.

2. Якщо висота конуса дорівнює радіусу основи, то $AO=OB=r$, $\Delta AOB$ – прямокутний рівнобедрений, за теоремою Піфагора $AB^2=OB^2+AO^2$, $l^2=r^2+r^2$, $l=r\sqrt{2}.$ Отже, 2 – Б.

3. Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то $l=2r.$ $OB$ – проекція твірної $AB$ на площину основи. Отже, 3 – А.

4. Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\mathbf{\pi}r^2$

\begin{gather*} S_\text{п.п.}=S_\text{б.п.}+S_\text{осн.}=\mathbf{\pi}rl+\mathbf{\pi}r^2=\mathbf{\pi}r(l+r)=5\mathbf{\pi}r^2,\\[7pt] l+r=5r,\\[7pt] l=4r. \end{gather*}

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12088

Завдання 64 з 93

У трикутнику $ABC:\ AB=c$, $BC=a$, $AC=b.$ До кожного початку речення
(1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $a=b=c$,

2Якщо $c^2=a^2+b^2$,

3Якщо $a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}$,

4Якщо $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)$,

Закінчення речення

Ато $\angle C=30^\circ.$

Бто $\angle C=45^\circ.$

Вто $\angle C=60^\circ.$

Гто $\angle C=90^\circ.$

Дто $\angle C=120^\circ.$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів, уміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

Доберемо до кожного із запитань 1 – 4 правильну відповідь.

1. Якщо $a=b=c$, то $\Delta ABC$ – рівносторонній.

Усі кути рівностороннього трикутника дорівнюють $60^\circ$, $\angle C=60^\circ.$

Отже, правильна відповідь – B.

2. Якщо $c^2=a^2+b^2$, то $\Delta ABC$ – прямокутний за наслідком з теореми косинусів.

Отже, правильна відповідь – Г.

3. Якщо $a=c=\frac{b}{\sqrt{2}}$, то $\Delta ABC$ – рівнобедрений з бічними сторонами $a=c$ та основою $b.$

$BH\ \perp\ AC.$ Так як $CB=BA$, то $CH=HA=\frac b2$ (висота є медіаною).

У $\Delta BHC\ (\angle H=90^\circ)$, $\cos C=\frac{CH}{CB}$, $\cos C=\frac b2:a=\frac b2:\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\angle C=45^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Б.

4. Якщо $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \left(-\frac 12\right)$ за теоремою косинусів $\cos C=-\frac 12$, $\angle C=120^\circ.$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12087

Завдання 65 з 93

Визначте градусну міру кута $B$ трикутника $ABC$, якщо $\angle A+\angle C=70^\circ.$

А$20^\circ$

Б$70^\circ$

В$110^\circ$

Г$145^\circ$

Д$160^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ.$

Якщо $$ \angle A+\angle C=70^\circ, $$ то

$$ \angle B= 180^\circ -(\angle A+\angle C)=180^\circ-70^\circ=110^\circ. $$

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10833

Завдання 66 з 93

На рисунку зображено коло з центром у точці $O$, радіус якого дорівнює $6.$ Хорду $BC$ видно з центра кола під кутом $60^\circ$, $BK$ – діаметр. Через точку $A$ до кола проведено дотичну $AB$, причому $AO=2AB.$ Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$BK$

2$AB$

3$BC$

4$CK$

Довжина відрізка

А$6$

Б$2\sqrt{3}$

В$12$

Г$6\sqrt{3}$

Д$3\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Описане коло, дотична до кола та її властивості. Трикутники (рівносторонній та прямокутний трикутники). Тригонометричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє вміння визначати довжини відрізків, використовуючи властивості дотичної до кола, елементів кола, вписаних у коло кутів та співвідношень у прямокутному трикутнику.

Обчислимо довжини відрізків (1 – 4).

1. Оскільки діаметр кола вдвічі більший за його радіус, то згідно умови $$ BK=2\cdot 6=12. $$ Отже, 1 – B.

2. Розглянемо трикутник $ABO.$ Оскільки пряма $AB$ є дотичною до кола, то $\angle ABO=90^\circ.$ У прямокутному трикутнику $ABO$ катет $BO=6$, а гіпотенуза $AO=2AB.$ За теоремою Піфагора отримаємо

\begin{gather*} 6^2+AB^2=(2AB)^2,\\[7pt] 36+AB^2=4AB^2,\\[7pt] 36=3AB^2,\\[7pt] AB^2=12,\\[7pt] AB=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}. \end{gather*}

Такий же результат отримаємо, якщо скористаємось тим фактом, що у прямокутному трикутнику $ABO\ \angle AOB=30^\circ$ (оскільки вказано, що гіпотенуза вдвічі більша за протилежний до цього кута катет). Тоді

$$ AB=BO\mathrm{tg}\ 30^\circ=6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}. $$

Отже, 2 – Б.

3. Відрізок $BC$ є стороною рівностороннього трикутника $BOC$ $(BO=CO$ як радіуси, $\angle BOC=60^\circ$, $\angle BCO=\angle CBO=\frac 12(180^\circ-60^\circ)=60^\circ)$, тому $BC=6.$

Отже, 3 – A.

4. Розглянмо вписаний у коло трикутник $BCK.$ Оскільки вписаний кут $BCK$ спирається на діаметр кола, то $\angle BCK=90^\circ$, тобто трикутник $BCK$ є прямокутним. У цьому трикутнику $BK=12$, $\angle CBK=60^\circ$, тоді

$$ CK=BK\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}. $$

Або за теоремою Піфагора отримуємо:

$$ CK=\sqrt{BK^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}. $$

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9449

Завдання 67 з 93

Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони $AC$ трикутника $ABC$, якщо $AB=3$ см, $BC=10$ см?

А$3$ см

Б$5$ см

В$7$ см

Г$11$ см

Д$15$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Нерівність трикутника.

Це завдання перевіряє вміння визначати можливе значення невідомої сторони трикутника.

Використаємо нерівність трикутника: будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю. Оскільки сторони трикутника $AB$ і $BC$ дорівнюють відповідно $3$ см і $10$ см, то довжина сторони $AC$ повинна бути більшою за $$ 10-3=7\ \text{см} $$ та меншою за $$ 10+3=13\ \text{см}. $$

Цю умову задовольняє лише варіант Г – $11$ см.

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9432

Завдання 68 з 93

Гіпотенуза $AC$ рівнобедреного прямокутного трикутника $ABC$ дорівнює $3\mathord{,}6$ м. У цей трикутник вписано квадрат $MNKP$, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші – на катетах.

1. Визначте площу трикутника $ABC$ (у м$^2$).

2. Обчисліть площу квадрата $MNKP$ (у м$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	3.24			1.44

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Квадрат та його властивості. Прямокутний рівнобедрений трикутник та його властивості. Площа прямокутного трикутника та квадрата.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати площі геометричних фігур, зокрема, квадрата та прямокутного рівнобедреного трикутника.

1. Проведемо у рівнобедреному прямокутному трикутнику $ABC$ з гіпотенузою $AC$ висоту $BO.$ Тоді $$ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BO. $$ Висота рівнобедреного трикутника, що проведена з його вершини, є також бісектрисою та медіаною. Отже, точка $O$ є серединою гіпотенузи $AC$ і

$$ BO = AO = CO = \frac{1}{2} AC = 1\mathord{,}8\ \text{м}. $$

Тоді

$$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3\mathord{,}6 \cdot 1\mathord{,}8 = 1\mathord{,}8^{2} = 3\mathord{,}24\ \text{м}^{2}. $$

2. Упишемо в рівнобедрений прямокутний трикутник $ABC$ квадрат $MNKP$, вершини $M$ і $N$ якого лежать на гіпотенузі $AC$ (отже, і сторона $MN$ лежить на $AC$), а інші дві – вершини $P$ і $K$ – належать катетам $AB$ і $BC$ відповідно (див. рисунок).

Оскільки $PM\ \perp\ MN$ і $KN\ \perp\ MN$, а $MN$ є частиною $AC$, то $PM\ \perp\ AC$ і $KN\ \perp\ AC$. Тоді

$$ \angle APM = 180^\circ - \angle A - \angle AMP = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ, $$

аналогічно $$ \angle CKN = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ. $$ Отже, прямокутні трикутники $AMP$ і $KNC$ є рівнобедреними.

Оскільки $AM = PM$, $CN = KN$ і $PM = KN = MN$, то $AM = MN = NC$ і $$ MN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 3\mathord{,}6 = 1,2\ \text{м}. $$ Площа квадрата $MNKP$ дорівнює $1\mathord{,}2^{2} = 1\mathord{,}44\ \text{м}^{2}.$

Відповідь: 1. $3\mathord{,}24.$
2. $1\mathord{,}44.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9257

Завдання 69 з 93

На сторонах $AB$ та $AC$ трикутника $ABC$ задано точки $K$ i $M$ відповідно, $KM\ ||\ BC$ (див. рисунок). Визначте довжину відрізка $KM$, якщо $AK=6$ см, $KB=2$ см, $BC=10$ см.

А$6$ см

Б$7$ см

В$7\mathord{,}5$ см

Г$8$ см

Д$8\mathord{,}5$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні трикутники та використовувати пропорційність їх сторін для знаходження невідомих елементів трикутників.

Оскільки за умовою $KM\ ||\ BC$, то $\angle AKM=\angle ABC$ як відповідні кути при паралельних прямих $KM$, $BC$ і січній $AK.$ Тоді трикутники $AKM$ i $ABC$ подібні за двома кутами ($\angle A$ – спільний). Якщо трикутники подібні, то їх віповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{AB}=\frac{KM}{BC}, $$ де

\begin{gather*} AB=AK+KB=6+2=8\ \text{см}, \end{gather*}

звідки

$$ KM=\frac{AK\cdot BC}{AB}=\frac{6\cdot 10}{8}=7\mathord{,}5\ \text{см}. $$

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9242

Завдання 70 з 93

На рисунку зображено трикутник $ABC$, точки $K$ i $M$ – середини сторін $AB$ i $BC$ відповідно. Укажіть правильну рівність, якщо $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{a}.$

А$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}$

Б$\overrightarrow{AC}=\frac 12\overrightarrow{a}$

В$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{a}$

Г$\overrightarrow{AC}=-\frac 12\overrightarrow{a}$

Д$\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{a}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Середня лінія трикутника. Вектори. Множення вектора на число.

Це завдання перевіряє знання означення і властивостей середньої лінії трикутника, а також уміння множити вектор на число.

Якщо точки $K$ і $M$ є серединами сторін $AB$ і $BC$ відповідно, то $KM$ – середня лінія трикутника $ABC$, яка паралельна стороні $AC$, причому $KM\ ||\ AC$, $KM = \frac{1}{2}AC$, тоді $AC = 2KM.$

Вектори $\overrightarrow{MK}$ і $\overrightarrow{AC}$ лежать на паралельних прямих, отже, є колінеарними. Їх напрямки протилежні, а довжина вектора $\overrightarrow{AC}$ вдвічі більша за довжину вектора $\overrightarrow{MK}$, тому $\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{MK}.$

Оскільки $\overrightarrow{MK} = a$, то $\overrightarrow{AC} = -2a.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8177

Завдання 71 з 93

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник $ABC\ (AB=BC).$ Визначте градусну мірку кута $BAC$, якщо $\angle B=40^\circ.$

А$80^\circ$

Б$70^\circ$

В$60^\circ$

Г$50^\circ$

Д$40^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема про суму кутів трикутника.

Це завдання перевіряє вміння користуватися теоремою про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ$, тобто $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. $$ Трикутник $ABC$ рівнобедрений, тому кути при основі $AC$ трикутника рівні:

$$ \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7623

Завдання 72 з 93

Гострий кут паралелограма дорівнює $60^\circ$, а його сторони – $3$ см і $4$ см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

А$\sqrt{37}$ см

Б$\sqrt{31}$ см

В$5$ см

Г$\sqrt{19}$ см

Д$\sqrt{13}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7524

Завдання 73 з 93

У трикутнику $ABC$: $\angle A=65^\circ$, $BD$ – бісектриса кута $B$ (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута $BCA$, якщо $\angle ABD=35^\circ$.

А$35^\circ$

Б$45^\circ$

В$50^\circ$

Г$55^\circ$

Д$65^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7481

Завдання 74 з 93

Два кола, радіус кожного з яких дорівнює $2$ см, дотикаються з середини до кола радіусом $8$ см у точках $A$ i $B$ відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо $AB=10$ см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

Впишіть відповідь:

7.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутник. Подібність трикутників.

Це завдання перевіряє вміння визначати відстань між центрами заданих кіл, використовуючи подібність відповідних трикутників.

Нехай точка $O$ – центр більшого кола, а точки $O_1$ і $O_2$ – центри двох рівних менших кіл (див. рисунок).

Центри кіл, що мають внутрішній дотик, та точка їх дотику лежать на одній прямій, тоді

\begin{gather*} AO_1=BO_2=2\ \text{см},\\[7pt] OA=OB=8\ \text{см},\\[7pt] OO_1=OO_2=OA-O_1A=8-2=6\ \text{см}. \end{gather*}

Рівнобедрені трикутники $AOB$ ($AO=BO$) і $O_1OO_2$ ($OO_1=OO_2$), що мають спільний $\angle O$, є подібними. Тому маємо

\begin{gather*} \frac{AO}{OO_1}=\frac{AB}{O_1O_2},\\[6pt] \frac{8}{6}=\frac{10}{O_1O_2}, \end{gather*}

звідки $O_1O_2=7{,}5$ см.

Відповідь: $7{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7195

Завдання 75 з 93

На рисунках (1-5) наведено інформацію про п'ять трикутників.

Установіть відповідність між запитанням (1–4) та правильною відповіддю на нього (А – Д).

Запитання

1На якому рисунку зображено трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються?

2На якому рисунку зображено трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює $30^\circ$?

3На якому рисунку зображено трикутник, площа якого дорівнює $10$ см$^2$?

4На якому рисунку зображено трикутник, у якого діаметр описаного навколо нього кола дорівнює $10\sqrt{2}$ см?

Відповідь

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Рівносторонній трикутник та його властивості. Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Формули для обчислення площі трикутника. Теорема синусів. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач.

Дамо характеристику трикутникам, зображеним на рисунках 1–5.

А. Трикутник, у якого дві сторони рівні, є рівнобедреним. Оскільки кут між ними, тобто кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює $60^\circ$, то кут при основі цього трикутника дорівнює $$ \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. $$ Отже, всі кути трикутника рівні, тому він є рівностороннім. А в рівносторонньому трикутнику центри описаного та вписаного кіл збігаються. Тому 1 – А.

Б. На цьому рисунку зображено прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють $5\ \text{см}$. Гіпотенуза цього трикутника дорівнює $5\sqrt{2}\ \text{см}$. Центр кола, описаного навколо цього трикутника, є серединою гіпотенузи. Тому діаметр описаного кола дорівнює довжині гіпотенузи, тобто $5\sqrt{2}\ \text{см}$. Внутрішні кути дорівнюють $45^\circ$, $45^\circ$ та $90^\circ$, а площа: $$ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\ \text{см}^2. $$ Отже, трикутник, зображений на рис. Б, не може бути відповіддю на жодне із запитань 1–4.

В. У прямокутному трикутнику, один з катетів якого удвічі менший за гіпотенузу, гострий кут, що є протилежним до меншого катета, дорівнює $30^\circ.$ Оскільки катет трикутника дорівнює $5$ см, а гіпотенуза $10$ см, то гострий кут дорівнює $30^\circ.$ Отже, 2 – В.

Г. У трикутнику задано два кути та одну сторону, тому можна скористатися теоремою синусів та наслідком з цієї теореми: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, $$ де $R$ – радіус кола, описаного навколо трикутника із сторонами $a$, $b$, $c$ та відповідними кутами $\alpha$, $\beta$ та $\gamma.$

Виконується рівність $$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R, $$ звідки отримуємо \begin{gather*} \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R,\\[6pt] 2R = 10\sqrt{2}. \end{gather*} Отже, діаметр кола, описаного навколо трикутника, зображеного на рис. Г дорівнює $10\sqrt{2}$. Тому 4 – Г.

Д. Неохопленим залишилося лише запитання 3, якому може відповідати лише рисунок Д. Покажемо, що площа трикутника, зображеного на рис. Д, дорівнює $10\ \text{см}^2.$ Висота цього трикутника ділить трикутник на два прямокутні трикутники з катетами $2\ \text{см}$ і $3\ \text{см}$ та $2\ \text{см}$ і $7\ \text{см}.$ Сума площ цих трикутників становить площу заданого трикутника і дорівнює

$$ \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 7 = 3 + 7 = 10\ \text{см}^2. $$

Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7150

Завдання 76 з 93

У гострокутному трикутнику $ABC$ проведено висоту $BM.$ Визначте довжину сторони $AB$, якщо $BM=12$, $\angle A=\alpha.$

А$\frac{12}{\cos \alpha}$

Б$12\cos \alpha$

В$12\,\mathrm{tg}\ \alpha$

Г$12\sin \alpha$

Д$\frac{12}{\sin \alpha}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Висота трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику.

Це завдання перевіряє знання означення висоти трикутника і вміння використовувати тригонометричні функції для знаходження елементів прямокутного трикутника.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. Оскільки $BM$ – висота, то трикутник $AMB$ є прямокутним (див. рисунок). У цьому трикутнику сторона $AB$ є гіпотенузою.

Синусом гострого кута $\alpha$ називається відношення протилежного до нього катета $BM$ до гіпотенузи $AB.$

Отже, $$ \sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{12}{AB}, $$ звідки $$ AB=\frac{12}{\sin\alpha}. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6884

Завдання 77 з 93

У прямокутнику $ABCD$: $AB=6$ см, $BC=8$ см, і $L$ – середини сторін $BC$ і $CD$ відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника $AKL$ (у см$^2$).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6471

Завдання 78 з 93

У трикутнику $ABC$: $AB=6$ см, $BC=\sqrt2$ см, $\angle B=45^\circ$. Обчисліть довжину медіани, проведеної з вершини $C$.

А$\sqrt5$ см

Б$\sqrt{14}$ см

В$2\sqrt2$ см

Г$\sqrt7$ см

Д$\sqrt{17}$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6464

Завдання 79 з 93

Точки $K$ і $L$ – середини сторін $AB$ і $AD$ паралелограма $ABCD$ (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника $KBCDL$ (у см$^2$), якщо площа паралелограма $ABCD$ дорівнює $24$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6415

Завдання 80 з 93

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює $10$ см, а висота, опущена на неї, – $8$ см. Знайдіть довжину основи трикутника.

А$6$ см

Б$4\sqrt2$ см

В$12$ см

Г$4\sqrt5$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6390

Завдання 81 з 93

На папері в клітинку зображено трикутник $ABC$ (див. рисунок). Вважайте, що кожна клітинка – квадрат зі стороною завдовжки $1$ см. Знайдіть площу трикутника $ABC$.

А$6$ см$^2$

Б$6{,}5$ см$^2$

В$7$ см$^2$

Г$7{,}5$ см$^2$

Д$8$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 127. Завдання: 6323

Завдання 82 з 93

На рисунку зображено рівносторонній трикутник $ABC$, $KM$ – його середня лінія. Периметр трикутника $KBM$ дорівнює $12$ см. Визначте периметр чотирикутника $AKMC.$

А$32$ см

Б$28$ см

В$24$ см

Г$20$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників.

$\Delta ABC$ – рівносторонній $KM = \dfrac{1}{2}AC$, $KM\ ||\ AC$ (за властивістю середньої лінії).

$\Delta ABC$ подібний $\Delta KBM.$ Отже, $\Delta KBM$ – рівносторонній.

\begin{gather*} P = 12\ \text{см},\\[7pt] KM = KB = BM = 12 : 3 = 4\ \text{см},\\[7pt] AC = 8\ \text{см},\\[7pt] AK = KM = MC = 4\ \text{см},\\[7pt] P_{AKMC} = AC + 3KM = 8 + 3 \cdot 4 = 20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6289

Завдання 83 з 93

На рисунку зображено квадрат $ABCD$ і трикутник $BKC$, периметри яких відповідно дорівнюють $24$ см і $20$ см. Знайдіть периметр п’ятикутника $ABKCD$.

А$28$ см

Б$32$ см

В$34$ см

Г$38$ см

Д$44$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6232

Завдання 84 з 93

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ і рівносторонній трикутник $ABK$, периметри яких відповідно дорівнюють $20$ см і $12$ см. Знайдіть периметр п’ятикутника $AKBCD$.

А$23$ см

Б$24$ см

В$26$ см

Г$28$ см

Д$32$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6177

Завдання 85 з 93

На папері у клітинку зображено трикутник $ABC$, вершини якого збігаються з вершинами клітинок (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника $ABC$, якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною завдовжки $1$ см.

А$15$ см$^2$

Б$8{,}5$ см$^2$

В$8$ см$^2$

Г$7{,}5$ см$^2$

Д$7$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6172

Завдання 86 з 93

У трикутнику $ABC$: $AB=31$ см, $BC=15$ см, $AC=26$ см. Пряма $a$, паралельна стороні $AB$, перетинає сторони $BC$ і $AC$ у точках $M$ і $N$ відповідно. Обчисліть периметр трикутника $MNC$, якщо $MC=5$ см.

А$15$ см

Б$24$ см

В$48$ см

Г$21$ см

Д$26$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6142

Завдання 87 з 93

Нa рисунку зображено коло з центром у точці $O$ і рівносторонній трикутник $AOB$, що перетинає коло в точках $M$ і $N$. Точка $D$ належить колу. Знайдіть градусну міру кута $MDN$.

А$15^\circ$

Б$30^\circ$

В$45^\circ$

Г$60^\circ$

Д$120^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6138

Завдання 88 з 93

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає його більшу сторону $BC$ в точці $M$. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо $BC=24$ см, $AM=10\sqrt2$ см.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, властивостей прямокутника.

$BC = 24$ см, $AM = 10\sqrt{2}$ см. $AM$ – бісектриса $\angle A.$

$\angle A = 90^\circ$, $AM$ – бісектриса, тому $\angle BAM = 45^\circ.$ Отже, $\Delta ABM$ – прямокутний рівнобедрений. $AB = BM.$

За теоремою Піфагора

\begin{gather*} AM^2 = AB^2 + BM^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2;\\[7pt] (10\sqrt{2})^2 = 2AB^2;\\[7pt] 10^2\cdot 2 = 2\cdot AB^2;\\[7pt] AB = 10\ \text{см}. \end{gather*}

$\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100 + 24^2 = 100 + 576 = 676;\\[7pt] AC = \sqrt{676}=26\ \text{см}. \end{gather*}

Центр кола, описаного навколо прямокутника, лежить в точці перетину діагоналей. Діагональ $AC$ ділиться цією точкою навпіл.

Отже, радіус кола

\begin{gather*} R = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\cdot 26 = 13\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $13.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6117

Завдання 89 з 93

На рисунку зображено рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює $2\sqrt3$, а більша основа – $8$. Визначте довжину діагоналі цієї трапеції, якщо її гострий кут дорівнює $30^\circ$.

А$\sqrt{28}$

Б$\sqrt{52}$

В$\sqrt{76+16\sqrt3}$

Г$\sqrt{76-16\sqrt3}$

Д$\sqrt{124}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів.

У $\Delta ABD$ знаходимо сторону $BD$ за теоремою косинусів:

\begin{gather*} BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\\[6pt] = 12 + 64 - 48 = 28;\\[6pt] BD = \sqrt{28}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6101

Завдання 90 з 93

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, площа якого дорівнює $60$ см$^2.$ Точка $M$ належить стороні $BC.$ Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А$45$ см$^2$

Б$40$ см$^2$

В$35$ см$^2$

Г$30$ см$^2$

Д$20$ см$^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання формул площі трикутника та паралелограма, поняття площі фігури.

$MK$ – висота паралелограма та трикутника.

\begin{gather*} S_{ABCD} = AD \cdot MK = 60\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{AMD} = \frac{1}{2}AD \cdot MK = 30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Площа фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників, дорівнює

\begin{gather*} S_{\text{фігури}} = S_{ABCD} - S_{AMD} = 60 - 30 = 30\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6089

Завдання 91 з 93

У трикутнику $ABC$ задано $AC=2$ см, $\angle A=50^\circ$, $\angle B=70^\circ$ (див. рисунок). Визначте $BC$ (у см) за теоремою синусів.

А$BC=\frac{2\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ}$

Б$BC=\frac{\sin 50^\circ}{2\sin 70^\circ}$

В$BC=\frac{2}{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}$

Г$BC=\frac{\sin 70^\circ}{2\sin 50^\circ}$

Д$BC=\frac{2\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема синусів.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів.

За теоремою синусів:

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B},\\[6pt] BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5328

Завдання 92 з 93

У трикутник $ABC$ вписано квадрат $KLMN$ (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони $AC$, дорівнює $6$ см. Знайдіть периметр квадрата, якщо $AC=10$ см.

А$7{,}5$ см

Б$12{,}5$ см

В$17{,}5$ см

Г$15$ см

Д$20$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

$KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC$ подібний $\Delta KBL.$

$$ \frac{KL}{AC}=\frac{BE}{BH}. $$

Нехай сторона квадрата $KL=KN=NM=ML=x$ см.

Тоді,

\begin{gather*} BE=BH-EH=6-x\ \text{см},\\[7pt] KL=x\ \text{см},\\[7pt] AC=10\ \text{см},\\[6pt] \frac{x}{10}=\frac{6-x}{6},\\[6pt] 10(6-x)=6x,\\[7pt] 60-10x=6x,\\[7pt] 16x=60,\\[7pt] x=60:16,\\[7pt] x=3{,}75\ \text{см},\\[7pt] P_{KLMN}=4x=4\cdot 3{,}75=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4321

Завдання 93 з 93

У трикутнику $ABC{:}$ $\angle A=65^\circ$, $BD$ – бісектриса кута $B$ (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута $BCA$, якщо $\angle ABD=35^\circ.$

А$35^\circ$

Б$45^\circ$

В$50^\circ$

Г$55^\circ$

Д$80^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання означення бісектриси кута, теореми про суму кутів трикутника.

$BD$ – бісектриса $\angle B$, тому $$ \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 70^\circ. $$

У $\Delta ABC$

\begin{gather*} \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ,\\[7pt] \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (65^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ,\\[7pt] \angle BCA = 45^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4306

Новини

Документи про освіту з помилками мають бути замінені до 1 листопада
Чи може студент здобувати дві вищі освіти одночасно
Терміни подання заяв до військових вишів і коледжів продовжили на місяць

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Геометрія – Трикутники