Розділ: Планіметрія
Тема: Трикутники
Кількість завдань: 65
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.
1. За теоремою Піфагора, \(PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.\) \(PL=6\ \text{см}\).
\(\triangle ALK\) - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}2. \(\triangle APL\sim \triangle LEB\) (за гострим кутом). \(\angle LAP=\angle BLE\) - відповідні при \(AP\ ||\ LE\) та січної \(AB\). \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}
Відповідь: 1. 12. 2. 21.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.
1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.
2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.
3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.
Відповідь: 1A, 2В, 3Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.
Побудуємо математичну модель задачі:
$$ DB=6\ \text{м},\ AM=3,2\ \text{м}\ KM=AK-AM=6-3,2=2,8\ \text{м}. $$
$$ \triangle KMN (\angle M=90^\circ) \ \ KN=2KM=2,8\cdot 2=5,6\ \text{м}. $$
Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.
Сума кутів трикутника \(180^\circ\).
\(\angle B=40^\circ\), тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$
За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle C\). Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.
Побудуємо математичну модель задачі:
\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).
Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$
У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.
Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41 $$
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.
Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)
Отже, \(115^\circ \) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.
Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)
Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)
Відповідь: B.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.
1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)
2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)
$$ \angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ. $$
3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO - \) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB - \) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)
Відповідь: 1Г, 2В, 3А.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.
\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)
1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)
2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)
3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:
\begin{gather*} \frac{BC}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=2R,\ \ \frac{10}{0,8}=2R,\\[6pt] R=\frac{10}{1,6}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}=6,25. \end{gather*}Відповідь: 1Г, 2В, 3А.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.
За властивістю зовнішнього кута трикутника:
\begin{gather*} \angle DAB=\angle B+\angle C. \end{gather*}Отже, \(\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.\)
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.
I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.
II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.
III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.
\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)
1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)
2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}
3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)
Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)
Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на