Геометрія – Трикутники

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей середньої лінії трикутника.

I. \(AC\!\parallel\!MN\) – твердження правильне.

За означенням, відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, – його середня лінія. Середня лінія трикутника завжди паралельна третій стороні: \(MN\!\parallel\!AC.\)

II. Відрізок \(MN\) – середня лінія трикутника \(ABC\) – твердження правильне.

Це випливає безпосередньо з того, що \(M\) і \(N\) – середини сторін \(AB\) та \(BC.\)

III. Площа трикутника \(MBN\) і чотирикутника \(AMNC\) рівні – твердження неправильне.

Трикутник \(MBN\) подібний до трикутника \(ABC\) \((\Delta MBN\sim \Delta ABC)\) за двома сторонами й кутом між ними. Коефіцієнт подібності \(k=\dfrac 12\) (оскільки \(MB=\dfrac 12 AB\)). Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності \((k^2){:}\)

Площа чотирикутника \(AMNC\) втричі більша за площу трикутника \(MBN.\) Твердження про їхню рівність хибне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання перевіряє знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. Згідно з аксіомами геометрії, кожна сторона трикутника має лише одну середину. Відрізок, що сполучає цю точку з протилежною вершиною, за означенням є медіаною.

II. Твердження неправильне. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис (інцентр). Точку перетину медіан називають центроїдом (або центром мас). Центроїд ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\), рахуючи від вершини.

III. Твердження правильне. Це властивість медіани, проведеної до гіпотенузи. Оскільки центр описаного навколо прямокутного трикутника кола завжди лежить на середині гіпотенузи, то медіана, що з'єднує вершину прямого кута із цією точкою, – радіус \((R).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює \(180^\circ.\) Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за \(90^\circ\)), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати \(90^\circ\) або бути більшими за \(90^\circ\)). Наприклад, якщо два кути прямі, то \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.
 

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони \(AC\) як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину \(B.\)

Отже, твердження правильне.
 

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди \(180^\circ.\) Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює \(90^\circ\), обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\angle KAB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) рівнобедрений \((AK=KB)\), то кути при його основі рівні:

Отже, 1 – B.

2. \(\angle KAC.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ.\) \(\Delta ACB{:}\)

Оскільки промінь \(AK\) проходить між сторонами кута \(\angle CAB{:}\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\angle OKB.\)

У прямокутному трикутнику центр описаного кола (точка \(O\)) – середина гіпотенузи \((AB).\) Отже, \(AO=OB.\) Оскільки \(\Delta AKB\) – рівнобедрений \((AK=KB)\) за умовою, то медіана \(KO\), проведена до його основи \(AB\), є також і висотою. \(KO\!\perp\!AB\Rightarrow \angle KOB=90^\circ.\) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює \(90^\circ. \Delta KOB{:}\)

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\) (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані \(\dfrac 13\) довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані \(\dfrac 12\) довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні \(\dfrac 13\ne \dfrac 12\), середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.
 

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

 

Отже, 2 – B.
 

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута \((\angle C)\) завжди лежить найдовша сторона \((AB).\) \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту \((AH)\) із вершини \(A\) до сторони \(BC.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(AHC\) (де \(\angle H=90^\circ\)). У цьому трикутнику сторона \(AC\) – гіпотенуза, а висота \(AH\) – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет \((AC\gt AH)\), то висота дійсно менша за сторону \(AC.\) Висота, проведена з вершини \(A\), менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного в трикутник кола й проведених до кола з однієї точки відрізків дотичних.

I. Трикутник \(AOK\) прямокутний.

Точка \(K\) – це точка дотику кола до сторони \(AB.\) За властивістю дотичної радіус \(OK\), проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до цієї дотичної \((OK\!\perp\!AB).\) Оскільки \(\angle OKA=90^\circ\), трикутник \(AOK\) прямокутний. Твердження правильне.

II. Трикутник \(BKL\) рівнобедрений.

Відрізки \(BK\) та \(BL\) – відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки \(B\). За властивістю дотичних ці відрізки рівні між собою \((BK=BL).\) Оскільки дві сторони трикутника рівні, то \(\Delta BKL\) рівнобедрений. Твердження правильне.

III. Трикутники \(MOK\) і \(LOC\) рівні.

У трикутнику \(MOK\) сторони \(OM\) та \(OK\) – це радіуси кола \((OM=OK).\) У трикутнику \(LOC\) одна зі сторін – радіус \(OL\), а сторона \(OC\) з'єднує центр із вершиною трикутника.

\(\Delta MOK\) завжди рівнобедрений (бо сторони – радіуси), а \(\Delta LOC\) – прямокутний \((\angle OLC=90^\circ).\) Вони мають різну форму та розміри. Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників.

1. Периметр — це сума всіх сторін. Трикутник рівнобедрений, бічні сторони \(AB=BC=10\) см.

Отже, правильна відповідь — Г.

2.

Проведемо висоту \(BH\) до основи \(AC.\) У рівнобедреному трикутнику висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:

Розглянемо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь — В.

3. Знайдімо радіус описаного кола для довільного трикутника за формулою через сторони та площу:

Площа трикутника \(S{:}\)

Отже, правильна відповідь — А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівносторонніх.

I. Градусна міра розгорнутого кута \(180^\circ.\) Його половина – це \(90^\circ.\) У прямокутному трикутнику один кут прямий \((90^\circ)\), а сума двох гострих кутів також дорівнює \(90^\circ.\) Отже, прямий кут дійсно найбільший. Твердження правильне.

II. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Оскільки сума градусних мір кутів трикутника \(180^\circ\), то градусна міра кожного кута дорівнює: \(180^\circ : 3 = 60^\circ.\) Сума будь-яких двох кутів: \(60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.\) Твердження правильне.

III. Припустімо, що таке існує. Якщо кожен із трьох кутів більший за \(60^\circ\), то їхня сума більша за \(180^\circ\) (наприклад, \(61^\circ+ 61^\circ + 61^\circ = 183^\circ\)). Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, яка завжди дорівнює \(180^\circ.\) Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні.

Бічні сторони: \(AB=BC=12\) см. Основа: \(AC.\)

Периметр \((P)\) – це сума всіх сторін трикутника.

Для рівнобедреного трикутника: \begin{gather*} P=2a+b, \end{gather*} де \(a\) – бічна сторона, а \(b\) – основа.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. Довжина сторони \(AB.\) У прямокутному трикутнику \(ABD\) за означенням тангенса:

Отже, правильна відповідь – А.

2. Довжина сторони \(AD.\) У прямокутному трикутнику \(ABD\) за означенням синуса:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Довжина діагоналі \(AC.\) Для обчислення довжини другої діагоналі паралелограма скористаймося теоремою косинусів для трикутника \(ABC.\)

У паралелограма сума сусідніх кутів становить \(180^\circ\), тому

За теоремою косинусів:

Оскільки \(\cos 120^\circ=-\frac 12\),

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOD\) – рівнобедрений. Проведімо висоту \(OH\) до основи \(AD.\) Вона буде також бісектрисою і медіаною.

У прямокутному трикутнику \(\Delta AOH{:}\)

Обчислімо периметр прямокутник \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. \(AB+BC=AC\) – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. \(BK\ \perp\ AC\) – правильно (бісектриса є висотою).

III. \(AK=KC\) – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. \(BM = MC.\) За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки \(AM\) – медіана, то точка \(M\) є серединою сторони \(BC.\) Отже, \(BM = MC.\)

II. Твердження неправильне. \(\angle BAM=\angle MAC.\) Ця рівність означала б, що \(AM\) є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника \(ABM\) дорівнює площі трикутника \(MCA.\) Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні \((BM = MC)\), а проведена з вершини \(A\) висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, рівнобедреного трикутника.

\(AN=8\), \(\Delta ABC=\Delta CMN\), \(AC=CN=\frac 12AN=4\) см, \(AB=BC=CM=MN=2\sqrt{17}\) см.

1. Відстань від \(B\) до \(BC\) – це довжина висоти \(BK\ \Delta ABC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника: \(BK\) – висота та медіана. \(KC=\frac 12 AC=2\) см.

За теоремою Піфагора в \(\Delta BKC\ (\angle K=90^\circ)\mathord{:}\)

Правильна відповідь – Г.

2. Побудуємо \(MP\ \perp\ CN\) у \(\Delta CMN.\)

\(KBMP\) – прямокутник.

\(KC=CP\) в рівних трикутниках. Правильна відповідь – А.

3. \(ABMN\) – рівнобічна трапеція, а \(DE\) – її серденя лінія. За властивістю середньої лінії:

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників і їхніх основних властивостей, нерівності трикутника, суми кутів трикутника.

I. Твердження неправильне. Сума будь-яких двох сторін більша за третю. Це нерівність трикутника.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника може бути меншою або дорівювати \(90^\circ.\) Наприклад, у тупокутному трикутнику один кут більший за \(90^\circ\) (тупий), а сума двох інших кутів менша за \(90^\circ.\)

III. Твердження правильне. За наслідком із теореми синусів навпроти найбільшої сторони лежить найбільший кут, навпроти найменшої сторони – найменший кут.

Відповідь: В.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їхніх основних властивостей, властивостей медіани, висоти та бісектриси трикутника.

I. Твердження неправильне. Медіана збігається з бісектрисою, яку проведено до основи, тільки в рівнобедреному трикутнику. В умові трикутник довільний.

II. Твердження неправильне. Бісектриса довільного трикутника не збігається з медіаною.

III. Твердження правильне. Центр уписаного кола – точка перетину бісектрис у будь-якому трикутнику.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), то

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Д.

3.

Нехай \(BC=x.\)

Оскільки \(AB=BC\), то \(AB=x.\)

Проведімо висоту з точки \(B\) на основу \(AD.\) Нехай це буде \(BK\). У прямокутній трапеції висота \(BK=CD=24\) см. Відрізок \(AK=AD-KD.\)

Оскільки \(BCDK\) – прямокутник, то \(KD=BC=x.\) Отже, \(AK=32-x.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) за теоремою Піфагора:

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки \(AM\) – медіана, точка \(M\) ділить сторону \(CB\) навпіл. Отже, \(BM=MC.\) Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників \(\Delta ABM\) і \(\Delta ACM\) рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: \(S=ah_a.\)

У трикутників \(ABM\) та \(ACM\) основи рівні \((BM = MC)\), а висота \(AH\), проведена з вершини \(A\) до прямої \(CB\), у них спільна.

Отже, \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника.

За властивістю середньої лінії трапеції: $$ KM\ ||\ BC\ ||\ AD, $$

У \(\Delta ABC\ KO\) – середня лінія. За властивістю середньої лінії: $$ KO=\frac 12BC. $$ Oтже, \(BC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ OM\) – середня лінія, тому

Побудуймо \(CH\ \perp\ AD.\)

У \(\Delta ACH\ (\angle H=90^\circ)\)

Площа трапеції

Відповідь: Г.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й висоти трикутника.

I. \(AM\) – медіана. Вона може дорівнювати довжині сторони \(BC\), але не обов'язково. Твердження неправильне.

II. Відстанню від точки \(A\) до прямої \(BC\) є довжина перпенидкуляра з точки \(A\) до \(BC.\)

У довільному трикутнику медіана не є висотою, а тому твердження неправильне. Таку властивість має медіана рівнобедреного трикутника, яку проведено до основи.

III. Точка \(M\) – середина сторони \(BC\), тож вона рівновіддалена від точок \(B\) i \(C.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та рівнобедреного трикутника.

\(ABCD\) – ромб, тому \(AB=BC=CD=DA.\)

Отже, \(\Delta ADC\) – рівнобедрений з основою \(AC.\) За властивістю рівнобедреного трикутника:

Або можна обчислити більший кут ромба іншим способом. За властивістю ромба, \(AC\) – бісектриса кута \(A{:}\) $$ \angle BAD=2\cdot 23^\circ=46^\circ. $$

Сума сусідніх кутів будь-якого паралелограма (ромб – паралелограм) дорівнює \(180^\circ.\) Отже, $$ 180^\circ-46^\circ=134^\circ. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей прямокутника, властивості середньої лінії трикутника, уміння обчислювати площі трикутників, многокутників.

1. \(\Delta ABD\) – прямокутний із катетами \(AB=6\) см і \(AD=8\) см.

Правильна відповідь – B.

2. \(OM\ \perp\ AD.\) За властивістю прямокутника: \begin{gather*} AC=BD,\\[7pt] BO=OD=AO=OC. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\) \(OM\) – середня лінія, тому

Правильна відповідь – A.

3.

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – B, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів і основних властивостей трикутників, властивостей та означення медіани трикутника.

I. Твердження правильне. За означенням, медіана – відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Отже, \(M\) – середина \(BC.\)

II. Твердження неправильне. \(AM\) – медіана. Щоб медіана збіглася з бісектрисою кута, трикутник повинен бути рівнобедреним з основою \(BC.\) Але в умові \(\Delta ABC\) – довільний.

III. Твердження правильне. \(S_{ABM}=S_{AMC}.\) За властивістю медіани: будь-яка медіана трикутника ділить його на два рівновеликі (рівні за площею) трикутники.

Відповідь: В.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей паралелограмів, теореми косинусів, уміння розв’язувати трикутники.

\(AC=8\) см, \(BD=6\) см, \(\cos \angle AOD=-\frac 14.\)

За властивістю паралелограма

У \(\Delta AOD\) за теоремою косинусів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, її середньої лінії, трикутників, уміння застосовувати теорему синусів.

1. Середню лінію трапеції визначають за формулою $$ \frac{a+b}{2}, $$ де \(a\), \(b\) – основи. Отже, $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12\ \textit{см}+30\ \textit{см}}{2}=21\ \textit{см}. $$

Правильна відповідь – В.

2. \(BK\ \perp\ AD.\) Проєкція \(AB\) на пряму \(AD\) – відрізок \(AK.\) \(ABCD\) – рівнобічна трапеція, тому \(AB=CD.\)

Рівні похилі \(BA\) i \(CD\) мають рівні проєкції \(AK=HD.\)

Правильна відповідь – А.

3. Коло, описане навколо трапеції \(ABCD\), це коло описане навколо \(\Delta ACD.\)

За наслідком з теореми синусів:

Правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань основних властивостей трикутника, нерівності трикутника.

I. Твердження неправильне. За нерівністю трикутника, сума довжин двох сторін трикутника більша за довжину третьої.

II. Твердження неправильне. Сума двох кутів трикутника не завжди більша за \(90^\circ.\) До прикладу, у трикутнику кути можуть бути \(20^\circ\), \(20^\circ\), \(140^\circ.\) Тоді сума двох гострих кутів: \begin{gather*} 20^\circ+20^\circ=40^\circ,\\[7pt] 40^\circ\lt 90^\circ. \end{gather*}

III. Твердження правильне. За властивістю трикутника, навпроти більшої строни лежить більший кут, навпроти меншої сторони – менший кут, навпроти рівних сторін – рівні кути.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)

1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)

2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника:

\begin{gather*} \angle DAB=\angle B+\angle C. \end{gather*}

Отже, \(\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника.

I. \(\angle B\) – тупий, тому \(\angle B\gt 90^\circ.\) Сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ,\) тому \(\angle A+\angle C \lt 90^\circ.\) Твердження правильне.

IІ. За нерівністю трикутника \(AB+BC\gt AC.\) Отже, твердження неправильне.

IІІ. У тупокутному трикутнику центр описаного кола лежить поза межами трикутника. Твердження правильне.

Отже, привильні твердження І та ІІІ.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.

\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)

1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)

2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)

3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)

2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)

$$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ.$$

3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO -\) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB -\) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)

Отже, \(115^\circ\) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)

Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).

Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника \(180^\circ\).

\(\angle B=40^\circ\), тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle C\). Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, \(PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.\) \(PL=6\ \text{см}\).

2. \(\triangle APL\sim \triangle LEB\) (за гострим кутом). \(\angle LAP=\angle BLE\) - відповідні при \(AP\ ||\ LE\) та січної \(AB\). \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)

Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.

Відповідь: \(75.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.

\(BO:OK=2:3\), \(P_{ABCM}=84\), \(BC=12.\)

1. \(AB\ ||\ CM\) за умовою \(BC\ ||\ AM\) за властивістю трапеції. \(ABCM\) – паралелограм.

\(P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84\), \(AB=30.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOM\) (за \(2\) кутами). \(\angle BOC=\angle MOK\) – вертикальні. \(\angle OBC=\angle OKM\) – внутрішні різносторонні.

Отже, 2 – B.

3. \(AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.\)

Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)

У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.

У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.

Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.

\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.

$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$

Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)

За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) – суміжний до кута \(120^\circ.\)

\(\angle ACB=\mathbf{\alpha}\) – вертикальні кути.

Сума кутів \(\Delta ABC\) дорівнює \(180^\circ\), тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.

Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)

Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)

Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$

Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)

Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.

Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)

\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)

Відповідь: \(17.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)

1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.

3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)

За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.

I.   Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).

II.  Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).

III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, формули площі прямокутного трикутника.

\(BK=8\) см, \(\Delta KCL=\Delta LDM\), \(KC=LD=15\) см.

1. \(ABCD\) квадрат.

У \(\Delta KCL\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

2. Нехай \(\angle CKL=\angle MLD=\mathbf{\alpha}\), \(\angle CLK=\angle LMD=\mathbf{\beta}.\) \(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}=90^\circ\) (сума гострих кутів прямокутного трикутника).

\(\angle CLK+\angle KLM+\angle DLM=180^\circ\), \(\angle KLM=180^\circ-(\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta})=90^\circ.\)

Отже, \(\Delta KLM\) – прямокутний, тому

Відповідь: 1. \(17.\)
                   2. \(144\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості призми, знання формули площі бічної поверхні призми.

\(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма. \(\Delta ABC\) – рівносторонній.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння класифікувати трикутники за сторонами та кутами, знання теореми про суму кутів трикутника, кола, описаного навколо трикутника.

Якщо \(\angle B\) – тупий, а сума кутів трикутника \(180^\circ\), то \(\angle B\gt 90^\circ\), \(\angle A+\angle C\lt 90^\circ.\)

За нерівністю трикутника \(AC\lt AB+BC.\) Отже, твердження ІІ неправильне.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника \(ABC\) лежить поза його межами.

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

Центр кола \((2; 0)\) та радіус \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}.\)

За наслідком з теореми синусів

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, теореми косинусів; уміння застосовувати властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Отже, 1 – В.

2. Більша діагональ ромба лежить напроти більшого кута ромба.

\(\angle D=\angle K=60^\circ\), звідси \(\angle C=\angle M=120^\circ.\) Більша діагональ – \(KD.\)

У \(\Delta DCK\) за теоремою косинусів

Отже, 2 – Г.

3.Відстань від точки \(M\) до сторони \(CD\) – це довжина перпендикуляра

\(ME\ \perp\ DC\) – висота ромба.

У \(\Delta MED\ \angle E=90^\circ\), \(\angle D=60^\circ.\)

Отже, 3 – Б.

4. \(KP\ \perp\ AD.\) Відстань від точки \(K\) до прямої \(AD\) – це відрізок \(KP.\)

\(CD\ \perp\ AD\), \(KM\ ||\ CD\), тому \(KM\ \perp\ AD\), \(KP\ \perp\ AD.\)

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Б, 4 – Д.

ТЕМА: Стереометрія. Многограники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, знання формул для обчислення площ трикутників.

Дана трикутна призма \(ABCA_1B_1C_1\).

Усі бічні грані – квадрати, тому основа призми – рівносторонній трикутник. Площу рівностороннього трикутника можна знайти за формулою $$ S_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – сторона трикутника.

За умовою $$ S_{\Delta}=9\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$ Звідси, \(a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\), \(a^2=36\), \(a=6\) см.

\(AA_1C_1C\) – квадрат, тому \(AA_1=6\) см.

Об'єм призми

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Розглянемо \(\Delta AOK\) та \(\Delta COB.\)

\(\angle KAO=\angle BCO\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(AC.\)

\(\angle BOC=\angle KOA\) як вертикальні.

Отже, \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOA\) за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості. Трикутники. Суміжні та вертикальні кути, паралельні та перпендикулярні прямі. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості паралельних прямих, ознаки подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Зробимо додаткову побудову і терез точку \(K\) проведемо пряму \(AB\), перпендикулярну до прямих \(a\) i \(b.\)

Розглянемо трикутники \(ADK\) та \(BCK.\) Вони подібні за двома кутами: \(\angle ADK=\angle BCK\) як внутрішні різносторонні при \(a\ ||\ b\) та січною \(CD.\)

\(\angle DAK=\angle KBC=90^\circ\) за побудовою.

У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні, отже $$ \frac{AK}{KB}=\frac{KD}{CK}. $$

Відстань від точки \(K\) до прямої \(a\) – це довжина перпенидкуляра \(KA=1\) см \begin{gather*} \frac{1}{KB}=\frac 25,\\[6pt] KB=2\mathord{,}5\ \textit{см}. \end{gather*}

Відстань між прямими \(a\) i \(b\) – це довжина спільного перпендикуляра

\(AB=AK+KB=1+2\mathord{,}5=3\mathord{,}5\) см.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника, ознаки та властивості подібних фігур; уміння застосовувати властивості трикутників та чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(\Delta APB\ (\angle P=90^\circ)\) \(\angle A=60^\circ\), \(\angle B=30^\circ.\)

За властивостю катета, який лежить напроти кута \(30^\circ\) $$ AP=\frac 12AB=\frac 12\cdot 12=6. $$

2. \(\angle KAP=\angle BCK\) як внутнішні різнсторонні при \(BC\ ||\ AP\) та січної \(AC.\)