Завдання за темою з математики

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.

1. За теоремою Піфагора, \(PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.\) \(PL=6\ \text{см}\).

2. \(\triangle APL\sim \triangle LEB\) (за гострим кутом). \(\angle LAP=\angle BLE\) - відповідні при \(AP\ ||\ LE\) та січної \(AB\). \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: 1. 12. 2. 21.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника \(180^\circ\).

\(\angle B=40^\circ\), тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$

За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle C\). Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).

Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$

У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41 $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.

Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)

Отже, \(115^\circ \) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.

Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)

Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)

2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)

$$ \angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ. $$

3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO - \) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB - \) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.

\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)

1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)

2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)

3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.

За властивістю зовнішнього кута трикутника:

Отже, \(\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.

I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.

II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.

III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.

\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)

1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)

2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}

3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)

Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.