Розділ: Планіметрія
Тема: Трикутники
Кількість завдань: 65
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знаходити довжину середньої лінії трапеції.
\(P_{ABCD}=24\ \text{см}.\) \(ABCD\) – квадрат, $$ AB=BC=CD=AD=24:4=6\ \text{см}. $$ Середня лінія трапеції \(AKCD\ \ EF=10\ \text{см}.\) \(EF=PF+PE,\ 10=6+PE,\) \(PE=4\ \text{см}.\)
1 – A. \(PE\) – середня лінія \(\Delta KBC.\) За властивістю середньої лінії \(PE=\frac 12 BK,\ BK=8\ \text{см}.\)
2 – Г. \(\Delta KBC\ (\angle B=90^\circ)\) за теоремою Піфагора: \begin{gather*} KC^2=KB^2+BC^2=8^2+6^2=100,\\[7pt] KC=10\ \text{см}. \end{gather*}
3 – Б. Центр кола, описаного навколо квадрата, – це точка перетину діагоналей – точка \(O.\)
Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, – середина гіпотенузи – точка \(E.\) Отже, відстань між центрами кіл буде \(OP+PE=3+4=7\ \text{см}.\)
Відповідь: 1A, 2Г, 3Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання скеровано на перевірку знання властивості медіани трикутника, центра описаного кола трикутника.
I. Серединний перпендикуляр до сторони рівностороннього трикутника ділить його на два рівних трикутники. \(\Delta ADB=\Delta CDB\) (за двома катетами). Твердження є правильним.
II. Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника є центром описаного кола. У прямокутному трикутнику центр описаного кола – середина гіпотенузи. Отже, твердження є правильним.
III. У тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. Отже, твердження є неправильним.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання скеровано на перевірку знання властивості зовнішнього кута трикутника.
За властивістю зовнішнього кута трикутника:
\begin{gather*} \angle DAB=\angle B+\angle C. \end{gather*}Отже, \(\angle B=100^\circ-20^\circ=80^\circ.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.
\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)
1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)
2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)
3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:
\begin{gather*} \frac{BC}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=2R,\ \ \frac{10}{0,8}=2R,\\[6pt] R=\frac{10}{1,6}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}=6,25. \end{gather*}Відповідь: 1Г, 2В, 3А.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.
1 – Г. У \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) \(\angle B+\angle A=90^\circ,\) \(\angle B=24^\circ,\) тому \(\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.\) \(\angle BAC=66^\circ.\)
2 – B. \(\Delta ABK\) – рівнобедрений, \(AK=KB\) за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle B=66^\circ.\)
$$ \angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ. $$
3 – A. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO -\) медіана \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника \(KO - \) висота, \(KO\perp AB.\) \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} \(\Delta ACB - \) прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)
Відповідь: 1Г, 2В, 3А.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.
Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)
Отже, \(115^\circ \) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.
Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)
Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.
Побудуємо математичну модель задачі:
\(ABCD\) – рівнобічна трапеція, \(AB=CD\). Уздовж основи \(BC\) встановлено \(15\) стовпчиків на відстані \(1\) м. Отже, довжина сторони \(BC=14\ \text{м}\).
Відстань між паралельними сторонами \(BC\) та \(AD\) дорівнює \(5\) м. $$ CE\perp AD,\ \ CE=5\ \text{м}. $$
У \(\triangle CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
Уздовж сторін \(AB\) й \(CD\) має бути по \(13\) стовпчиків.
Всього стовпчиків має бути $$ 13+15+13=41 $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання теореми про суму кутів трикутника.
Сума кутів трикутника \(180^\circ\).
\(\angle B=40^\circ\), тому $$ \angle A+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. $$
За властивістю рівнобедреного трикутника \(\angle A=\angle C\). Отже, $$ \angle A=140^\circ : 2= 70^\circ. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, вміння розв’язувати задачі практичного змісту.
Побудуємо математичну модель задачі:
$$ DB=6\ \text{м},\ AM=3,2\ \text{м}\ KM=AK-AM=6-3,2=2,8\ \text{м}. $$
$$ \triangle KMN (\angle M=90^\circ) \ \ KN=2KM=2,8\cdot 2=5,6\ \text{м}. $$
Катет \(KM\) протилеглий куту \(30^\circ\) дорівнює половині гіпотенузи \(KN\). $$ 5,5 \leq 5,6\lt 6 $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.
1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.
2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.
3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.
Відповідь: 1A, 2В, 3Д.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей ромба, подібних трикутників, теореми Піфагора.
1. За теоремою Піфагора, \(PL^2=AL^2-AP^2=100-64=36.\) \(PL=6\ \text{см}\).
\(\triangle ALK\) - рівнобедрений, отже, \begin{gather*} PL=\frac 12 LK,\\[6pt] LK=12\ \text{см}. \end{gather*}2. \(\triangle APL\sim \triangle LEB\) (за гострим кутом). \(\angle LAP=\angle BLE\) - відповідні при \(AP\ ||\ LE\) та січної \(AB\). \begin{gather*} \frac{AP}{LE}=\frac{LP}{BE};\ \frac 86=\frac{6}{BE},\\[6pt] BE=\frac{6\cdot 6}{8}=4,5\ \text{см},\\[6pt] BO=BE+EO=4,5+6=10,5\ \text{см},\\[7pt] BD=2\cdot BO=21\ \text{см}. \end{gather*}
Відповідь: 1. 12. 2. 21.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.
Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)
Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.
\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BK=\frac 12\cdot 10\cdot 15=75. \end{gather*}Відповідь: \(75.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.
\(BO:OK=2:3\), \(P_{ABCM}=84\), \(BC=12.\)
1. \(AB\ ||\ CM\) за умовою \(BC\ ||\ AM\) за властивістю трапеції. \(ABCM\) – паралелограм.
\(P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84\), \(AB=30.\)
Отже, 1 – Б.
2. \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOM\) (за \(2\) кутами). \(\angle BOC=\angle MOK\) – вертикальні. \(\angle OBC=\angle OKM\) – внутрішні різносторонні.
\begin{gather*} \frac{BC}{MK}=\frac{BO}{OK},\\[6pt] \frac{12}{MK}=\frac 23,\\[6pt] MK=18. \end{gather*}Отже, 2 – B.
3. \(AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.\)
Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.
Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.
\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.
Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)
\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=260\ \text{см}^2=AC\cdot CC_1,\\[7pt] CC_1=260:13=20\ \text{см}. \end{gather*}У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.
У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора
\begin{gather*} AC^2=AK^2+KC^2,\\[7pt] AK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{8\cdot 18}=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABC}=\frac 12BC\cdot AK=\frac 12\cdot 10\cdot 12=60\ \text{см}^2.\\[6pt] S_\text{бічна}=P_\text{основи}\cdot H,\ \ \text{де}\ \ P_\text{основи}=13+13+10=36\ \text{см}.\\[7pt] H=CC_1=20\ \text{см}.\\[7pt] S_\text{бічна}=36\cdot 20=720\ \text{см}^2.\\[7pt] S_\text{поверні}=S_\text{бічна}+2S_\text{основи}=720+2\cdot 60=720+120=840\ \text{см}^2. \end{gather*}Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Стереометрія. Трикутники. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про призму та її елементи, вміння знаходити площу трикутника.
\(ACDE\) – прямокутник, \(P=38\) см, \(AE=CD=11\) см.
$$AC=DE=(38-11\cdot 2):2=8\ \textit{см}.$$
Площа основи призми – площа \(\Delta ABC (AB=BC=AC).\)
За формулою $$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, $$ де \(a\) – довжина сторони, знаходимо площу $$ S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\ \textit{см}^2. $$
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.
Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.
\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) – суміжний до кута \(120^\circ.\)
\(\angle ACB=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\) – вертикальні кути.
Сума кутів \(\Delta ABC\) дорівнює \(180^\circ\), тому $$ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники. Координати та вектори на площині.
Завдання перевіряє вміння знаходити координати середини відрізка, складати рівняння кола, застосовувати властивості прямокутного трикутника, використовувати формули площі трикутника.
Коло задане рівнянням \((x-3)^2+y^2+2y=16.\)
Запишемо у стандартному вигляді
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), де \((a; b)\) – центр кола, \(R\) – радіус
\((x-3)^2+y^2+2y+1=16+1\)
\((x-3)^2+(y+1)^2=17.\)
\((3; -1)\) – центр кола, \(R=\sqrt{17}.\)
Точка \(A(2; -5)\), \(B(4; 3).\) Центр кола \(O(3; -1)\) є серединою відрізка \(AB\) $$ x=\frac{2+4}{2}=3;\ \ y=\frac{-5+3}{2}=-1. $$
Отже, \(\Delta ABC\) – рівнобедрений прямокутний з гіпотенузою \(AB=2\sqrt{17}.\)
Висота, проведена до гіпотенузи, – медіана та радіус описаного кола.
Отже, \(S_{ABC}=\frac 12 AB\cdot OC\), \(OC=R=\sqrt{17}.\)
\(S_{ABC}=\frac 12\cdot 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.\)
Відповідь: \(17.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання властивостей ромба.
\(ABCD\) – ромб, \(\angle B=60^\circ\), \(AB=BC=CD=DA=8.\)
1. \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(AC=8.\) Отже, 1 – B.
2. \(\Delta BCH\ (\angle H=90^\circ)\ CH=BC\cdot\sin B=8\cdot \sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.\) Отже, 2 – Б.
3. Центр кола, вписаного в ромб – точка перетину діагоналей точка \(O.\)
За властивістю ромба \(AO=OC=\frac 12AC=4.\) Отже, 3 – A.
Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.
I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).
II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).
III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.
Відповідь: B.
