Числові послідовності – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Функції
Тема: Числові послідовності
Кількість завдань: 78

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ задано $a_1=4$, $a_2=-1.$ Укажіть формулу для знаходження $n\text{-го}$ члена цієї прогресії.

А$a_n=-1+5n$

Б$a_n=7-3n$

В$a_n=5-n$

Г$a_n=1+3n$

Д$a_n=9-5n$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, означення арифметичної прогресії.

\begin{gather*} a_1 = 4,\\[7pt] a_2 = -1,\\[7pt] d = a_2 - a_1 = -1 - 4 = -5. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} a_n = a_1 + d(n - 1) = 4 - 5(n - 1) = 4 - 5n + 5 = 9 - 5n. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 1. Завдання: 4307

Завдання 2 з 78

У геометричній прогресії $(b_n)$ задано $b_3=0{,}2$; $b_4=\dfrac 34.$ Знайдіть знаменник цієї прогресії.

А$\dfrac{15}{4}$

Б$\dfrac{3}{20}$

В$\dfrac{3}{8}$

Г$\dfrac{4}{15}$

Д$\dfrac{11}{20}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної та геометричної прогресії. Формула $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

$(b_n)$ – геометрична прогресія. За властивістю геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_{n+1} = b_n \cdot q,\\[7pt] b_4 = b_3 \cdot q,\\[6pt] q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{3}{4} : 0{,}2 = \frac{3}{4} : \frac{2}{10} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 2} = \frac{15}{4}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 2. Завдання: 5318

Завдання 3 з 78

У залі кінотеатру $18$ рядів. У першому ряду знаходяться $7$ місць, а в кожному наступному ряду на $2$ місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому залі?

А$432$

Б$438$

В$369$

Г$450$

Д$864$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена та суми $n\text{-перших}$ членів арифметичної прогресії, вміння розв’язувати текстові задачі.

Математична модель задачі: дана арифметична прогресія з $a_1 = 7$, $d = 2.$ Необхідно знайти $S_{18}.$

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n = a_1 + d(n - 1), \end{gather*} знаходимо

\begin{gather*} a_{18} = a_1 + 17d = 7 + 17 \cdot 2 = 7 + 34 = 41,\\[6pt] S_{18} = \frac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = \frac{7 + 41}{2} \cdot 18 = \frac{48}{2} \cdot 18 = 24 \cdot 18 = 432. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 3. Завдання: 6084

Завдання 4 з 78

У магазині побутової техніки діє акція: нa першу велику покупку (вартість перевищує $1\,000$ грн) надається знижка $30$ грн, на кожну наступну велику покупку попередня знижка збільшується на $25$ грн. На яку за рахунком велику покупку отримає в цьому магазині покупець знижку $180$ грн?

Ачетверту

Бп'яту

Вшосту

Гсьому

Двосьму

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули $n$-го члена та суми $n$-перших членів арифметичної прогресії, вміння розв’язувати текстові задачі.

Розглянемо математичну модель задачі
$a_1 = 30$ – перший член арифметичної прогресії;
$a_n = 180$ – $n$-й член;
$d = 25$ – різниця прогресії.

За формулою $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1)$ знаходимо $n.$

\begin{gather*} 30 + 25(n - 1) = 180;\\[7pt] 30 + 25n - 25 = 180;\\[7pt] 5 + 25n = 180;\\[7pt] 25n = 175;\\[7pt] n = 175:25=7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 121. Завдання: 6100

Завдання 5 з 78

Визначте знаменник геометричної прогресії $(b_n)$, якщо $b_9=24$, $b_6=-\dfrac19$.

А$\dfrac{2}{\sqrt[\scriptstyle3]3}$

Б$-\dfrac{2}{\sqrt[\scriptstyle3]3}$

В$3$

Г$6$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної і геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

$(b_n)$ – геометрична прогресія. $b_9 = 24$, $b_6 = -\dfrac 19.$

Знаменник $q$ геометричної прогресії знаходимо за властивістю $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_9 = b_6 \cdot q^3;\\[6pt] q^3 = \frac{b_9}{b_6} = \frac{24}{-1/9} = -216;\\[6pt] q = -6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 122. Завдання: 6134

Завдання 6 з 78

Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію «Довше розмовляєш – менше платиш» з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує $30$ коп, а за кожну наступну хвилину розмови – на $3$ коп менше, ніж за попередню; плата за одинадцяту та всі наступні хвилини розмови не нараховується; умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю $8$ хвилин (у грн)?

Впишіть відповідь:

1.56

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми $n$-перших членів арифметичної прогресії.

Математичною моделлю задачі буде: $(a_n)$ – арифметична прогресія, $a_1 = 30$, $d = -3$, знайти $S_8.$

За формулою суми $n$-перших членів арифметичної прогресії знаходимо:

\begin{gather*} S_8 = \frac{2a_1 + d(8 - 1)}{2} \cdot 8 = \frac{2 \cdot 30 - 3 \cdot 7}{2} \cdot 8 =(60 - 21)\cdot 4=39 \cdot 4 = 156. \end{gather*}

Абонент заплатить $156$ коп = $1$ грн $56$ коп = $1{,}56$ грн.

Відповідь: $1{,}56.$

Тест 123. Завдання: 6186

Завдання 7 з 78

Робітники отримали замовлення викопати криницю. За перший викопаний у глибину метр криниці їм платять $50$ грн, а за кожний наступний – на $20$ грн більше, ніж за попередній. Скільки грошей (у грн) сплатять робітникам за викопану криницю завглибшки $12$ м?

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Математична модель задачі – дано $(a_{n})$ – арифметична прогресія, $a_{1} = 50$, $d = 20$, знайти $S_{12}.$

\begin{gather*} S_{12} = \frac{2a_{1} + d(12 - 1)}{2} \cdot 12 = \frac{2 \cdot 50 + 20 \cdot 11}{2} \cdot 12 = \\[6pt] = (50 + 110) \cdot 12 = 160 \cdot 12 = 1920. \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Тест 124. Завдання: 6240

Завдання 8 з 78

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією, знаменник якої $q\lt 0$?

А$-25$; $20$; $-15$; $10$

Б$-80$; $-40$; $-20$; $-10$

В$30$; $10$; $-10$; $-30$

Г$10$; $-20$; $40$; $-80$

Д$-15$; $-30$; $-45$; $-60$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення та властивостей геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії: \begin{gather*} b_{n+1}=b_n\cdot q,\\[7pt] q=\frac{b_{n+1}}{b_n}. \end{gather*}

А) $$ q=\frac{20}{-25}\ne\frac{-15}{20}. $$

Б) $$ q=\frac{-40}{-80}=\frac{-20}{-40}=\frac{-10}{-20}=\frac{1}{2} $$ геометрична прогресія, але $q\gt 0.$

В) $$ q=\frac{10}{30}\ne\frac{-10}{10}. $$

Г) $$ q=\frac{-20}{10}=\frac{40}{-20}=\frac{-80}{40}=-2 $$ геометрична прогресія, $q\lt 0$.

д) $$ q=\frac{-30}{-15}\ne \frac{-45}{-30}. $$

Відповідь: Г.

Тест 125. Завдання: 6250

Завдання 9 з 78

У першому ряду кінотеатру встановлено $15$ крісел, а у кожному наступному – на $3$ крісла більше, ніж у попередньому. Скільки всього крісел встановлено в сьомому ряду цього кінотеатру?

А$21$

Б$27$

В$30$

Г$33$

Д$36$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

Математична модель задачі: дана арифметична прогресія з $a_1 = 15$, $d = 3.$ Необхідно знайти $a_7.$

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії

\begin{gather*} a_7 = a_1 + d(7 - 1) = a_1 + 6d,\\[7pt] a_7 = 15 + 6 \cdot 3 = 15 + 18 = 33. \end{gather*}

У сьомому ряду цього кінотеатру $33$ крісла.

Відповідь: Г.

Тест 126. Завдання: 6292

Завдання 10 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ $a_2=-9$, $a_4=-4$. Визначте різницю цієї прогресії.

А$2{,}5$

Б$6{,}5$

В$-\dfrac23;\dfrac23$

Г$-2{,}5$

Д$-6{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання властивостей арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

$(a_n)$ – арифметична прогресія, $a_2 =-9$, $a_4 = -4.$

За формулою $n\text{-го}$ члена

\begin{gather*} a_n = a_1 + d(n - 1);\\[7pt] a_4 = a_2 + 2d \end{gather*}

знайдемо різницю $d$ арифметичної прогресії.

\begin{gather*} -4 = -9 + 2d;\\[7pt] 2d = -4 + 9;\\[7pt] 2d = 5;\\[7pt] d = 2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 128. Завдання: 6364

Завдання 11 з 78

Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії $2{,}9$; $2{,}2$; $1{,}5$; $…$

А$-0{,}1$

Б$-0{,}3$

В$-0{,}6$

Г$-0{,}8$

Д$-1{,}3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

$(a_n)$ – арифметична прогресія $a_1=2{,}9$; $a_2=2{,}2$; $a_3=1{,}5.$

\begin{gather*} d=a_2-a_1=2{,}2-2{,}9=-0{,}7. \end{gather*}

$a_n=a_1+d(n-1)$ знайдемо найбільший від'ємний член

\begin{gather*} 2{,}9-0{,}7(n-1)\lt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\lt 0;\\[7pt] -0{,}7n\lt -3{,}6;\\[6pt] n\gt \frac{36}{7};\\[6pt] n\gt 5\frac 17. \end{gather*}

Найбільший від'ємний член

\begin{gather*} a_6=2{,}9-0{,}7\cdot 5=-0{,}6. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 129. Завдання: 6389

Завдання 12 з 78

Задано геометричну прогресію ($b_n$), для якої другий член $b_2=12$ і знаменник $q=-2$. Знайдіть $b_1$.

А$24$

Б$14$

В$10$

Г$-6$

Д$-24$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

$(b_n)$ – геометрична прогресія, $b_2 = 12$, $q = -2.$

За означенням геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_2 = b_1 \cdot q;\\[6pt] b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{12}{-2} = -6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 131. Завдання: 6430

Завдання 13 з 78

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=4-8n.$ Знайдіть різницю цієї прогресії.

А$8$

Б$4$

В$-2$

Г$-4$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формула загального члена арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії та вміння за формулою загального $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії визначати її різницю.

Послідовність $(a_n)$ називається арифметичною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, відрізняється від попереднього на одне й те саме число $d$. Число $d$ – різниця прогресії. Загальний член арифметичної прогресії визначається за формулою: $$ a_n=a_1+d(n-1)=a_1-d+dn. $$

Оскільки за умовою $n\text{-й}$ член задано формулою $a_n=4-8n$, то коефіцієнт біля $n$ є різницею прогресії: $d=-8.$

Різницю прогресії можна визначити ще таким способом. Підставимо у формулу $$ a_n=4-8n $$ значення $n=1$ і $n=2$. Отримаємо: \begin{gather*} a_1=4-8\cdot 1=-4,\\[7pt] a_2=4-8\cdot 2=-12. \end{gather*}

Тоді $$ d=a_2-a_1=-12+4=-8 $$ шукана різниця прогресії.

Відповідь: Д.

Тест 138. Завдання: 6879

Завдання 14 з 78

Повна вартість доставки великогабаритних меблів у фірмі із перевезень складається з вартості їх доставки на $1$-й поверх будинку і вартості підйому меблів на потрібний поверх. Вартість підйому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину. Визначте повну вартість (у грн) доставки меблів на $11$-й поверх будинку, якщо повна вартість доставки меблів на $4$-й та $7$-й поверхи цього будинку становить $142$ грн та $154$ грн відповідно.

Впишіть відповідь:

170

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість підійому на попередній на одну й ту саму величину, тоді й повна вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує повну вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину, тобто утворює арифметичну прогресію. Позначимо через $a_n$ повну вартість підійому меблів на $n\text{-й}$ поверх. За умовою $a_4 = 142\ \text{грн}$, $a_7 = 154\ \text{грн}$. Потрібно визначити $a_{11}.$

Оскільки $$ a_n = a_1 + d(n-1), $$ де $d$ – різниця арифметичної прогресії, то \begin{gather*} a_1 + 3d = 142,\\[7pt] a_1 + 6d = 154. \end{gather*} Звідси отримуємо \begin{gather*} 3d = 154 - 142 = 12,\\[7pt] d = 4. \end{gather*} Тоді

$$ a_{11} = a_1 + 10d = a_4 + 6d + 4d = a_7 + 4d = 154 + 4 \cdot 4 = 170\ \text{грн}. $$

Відповідь: $170.$

Тест 142. Завдання: 7154

Завдання 15 з 78

У геометричній прогресії $(b_n){:}$ $b_1=\dfrac 12$, $b_2=\dfrac 14.$ Визначте $b_4.$

А$-\frac 14$

Б$2$

В$4$

Г$\frac{1}{16}$

Д$\frac{1}{32}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомий член і знаменник геометричної прогресії, використовуючи означення та формулу загального члена.

Геометричною прогресією називають числову послідовність $(b_n)$ відмінних від нуля чисел, у якій частка від ділення будь-якого члена, починаючи з другого, на попередній є сталою величиною, яку позначають буквою $q$ і називають знаменником геометричної прогресії. Отже, за означенням $$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=q, $$ де $n\in N$, $q\ne 0.$ Звідси випливає рівність $$ b_{n+1}=b_nq. $$

Знаючи перший член $b_1$ та знаменник $q$, можна визначити будь-який член геометричної прогресії за формулою $$ b_n=b_1q^{n-1}. $$

Один з варіантів розв’язання завдання такий. Знайдемо знаменник прогресії:

$$ q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}. $$

Тоді \begin{gather*} b_3=b_2\cdot q=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8},\\[6pt] b_4=b_3\cdot q=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Можна також скористатися формулами: $b_4=b_1\cdot q^3$ або $b_4=b_2\cdot q^2.$

Відповідь: Г.

Тест 144. Завдання: 7176

Завдання 16 з 78

Яка з поданих нижче послідовностей є арифметичною прогресією?

А$9;7;4;1$

Б$-4;-2;0;1$

В$3;6;12;24$

Г$1;3;6;10$

Д$3;7;11;15$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання властивостей арифметичної прогресії.

Арифметичною прогресією називається послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

\begin{gather*} a_{n+1} = a_n + d;\\[7pt] d = a_{n+1} - a_n. \end{gather*}

Отже, з поданих послідовностей тільки $3$; $7$; $11$; $15$ буде арифметичною прогресією.

\begin{gather*} 7 - 3 = 11 - 7 = 15 - 11 = 4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 151. Завдання: 7483

Завдання 17 з 78

Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у $450$ м. Кожного наступного тренування він пропливав на $50$ м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату – $1000$ м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав $1000$ м.

Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші $10$ тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня?

Впишіть відповідь:

26.7

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми $n$ перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми арифметичної прогресії.

Всі дистанції, що долав плавець кожного тренування, поки не досягнув результату $1000$ м, утворюють арифметичну прогресію. За умовою $a_{1} = 450$ м, $d = 50$ м, $a_{n} = 1000$ м.

Визначимо $n$ за формулою загального члена $$ a_{n} = a_{1} + d(n - 1). $$ Підставимо в цю формулу $a_{1} = 450$, $d = 50$ і $a_{n} = 1000.$ Отримаємо $$ 1000 = 450 + 50(n - 1), $$ звідки $n = 12.$

За ці $12$ тренувань плавець проплив всього

$$ S_{12} = \frac{a_{1} + a_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{450 + 1000}{2} \cdot 12 = 8700\ \text{ м}. $$

Оскільки плавець тренувався тричі на тиждень, то за $10$ тижнів він провів $30$ тренувань. Під час кожного з останніх $18$ тренувань плавець пропливав $1000$ м, тому за ці $18$ тренувань плавець проплив всього $$ 18 \cdot 1000 = 18000\ \text{м}. $$ Отже, за перші $10$ тижнів тренувань плавець проплив всього

$$ 8700\ \text{м} + 18000\ \text{м} = 26700\ \text{м} = 26{,}7\ \text{км}. $$

Відповідь: $26{,}7.$

Тест 154. Завдання: 7649

Завдання 18 з 78

В інструкції з медичного застосування настою лікарської рослини зназначено, що його рекомендовано приймати щоденно упродовж $20$ діб. Протягом першої доби пацієнт має випити $370$ мл настою, а кожної наступної доби – на одну й ту саму кількість настою менше, ніж попередньої. Останньої доби прийом має становити $85$ мл цього лікарського засобу. Яку кількість настою (у мл) вип'є пацієнт за ці $20$ діб, якщо дотримуватиметься інструкції?

Впишіть відповідь:

4550

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$ перших членів арифметичної прогресії та вміння її застосовувати до розв’язання завдання із практичним змістом.

Оскільки кількість настою кожного наступного дня на одне й те саме число менша за кількість настою, що приймав пацієнт попереднього дня, то щоденні кількості настою утворюють арифметичну прогресію, перший член якої $a_1 = 370$ мл, а останній двадцятий член $a_{20} = 85$ мл.

Сумарну кількість настою, що вип’є пацієнт за ці $20$ днів, визначаємо як суму перших $20$ членів арифметичної прогресії:

$$ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{370 + 85}{2} \cdot 20 = 4550 \text{ мл настою}. $$

Відповідь: $4550.$

Тест 166. Завдання: 8194

Завдання 19 з 78

Під час підготовки до заліку з вищої математики студент розв'язав за $9$ днів $315$ задач. У перший день він розв'язав $11$ задач, а кожного наступного дня розв'язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня. Визначте кількість задач, які студент розв'язав дев'ятого дня.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки кожного наступного дня, починаючи з другого, студент розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня, то кількості задач, які студент розв’язував кожного дня, починаючи з першого, утворюють арифметичну прогресію. Позначимо через $a_{n}$ кількість задач, які студент розв’язав $n\text{-го}$ дня, $n=1; 2; \ldots; 9.$ За умовою $a_{1}=9$, $S_{9}=315.$ Потрібно визначити $a_{9}.$

Оскільки суму перших $n$ членів арифметичної прогресії можна визначити за формулою $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n, $$ то згідно умови виконується рівність $$ S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ тобто $$ 315=\frac{11+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 630=(11+a_{9})\cdot 9,\\[7pt] 70=11+a_{9},\\[7pt] a_{9}=70-11=59. \end{gather*}

Отже, дев’ятого дня студент розв’язав $59$ задач.

Відповідь: $59.$

Тест 187. Завдання: 9258

Завдання 20 з 78

Задано арифметичну прогресію $(a_n)$, у якій різниця $d=0\mathord{,}5$, п'ятнадцятий член $a_{15}=12.$ Визначте перший член прогресії $a_1.$

А$24$

Б$12\mathord{,}5$

В$6$

Г$5$

Д$4\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

$$ a_n=a_1+d(n-1), $$

тоді для $15\text{-го}$ члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії $d=0\mathord{,}5$ та $a_{15}=12$, отримаємо рівняння відносно $a_1\mathord{:}$ $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки $a_1=5.$

Відповідь: Г.

Тест 191. Завдання: 9435

Завдання 21 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)\ a_1+a_3=18$, різниця $d=-4.$ Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії

А$5$

Б$10$

В$13$

Г$15$

Д$22$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, знання означення арифметичної прогресії.

Використаємо формулу $n\text{-го}$ члена: $a_n=a_1+d(n-1).$

\begin{gather*} a_3=a_1+2d,\\[7pt] a_1+a_3=18,\\[7pt] a_1+a_1+2d=18,\\[7pt] 2a_1+2d=18,\\[7pt] a_1+d=9. \end{gather*}

При $d=-4$ \begin{gather*} a_1+(-4)=9,\\[7pt] a_1=13. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 221. Завдання: 10842

Завдання 22 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)\mathord{:}$ $a_1=-4$, $a_5=a_4+3.$ Визначте десятий член $a_{10}$ цієї прогресії.

А$-31$

Б$-27$

В$26$

Г$27$

Д$23$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії $a_{n+1}=a_n+d.$ Так як $a_5=a_4+3$, то $d=3.$

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

\begin{gather*} a_{10}=a_1+9d=-4+9\cdot 3=-4+27=23. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 247. Завдання: 12077

Завдання 23 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ перший член $a_1=-21$, різниця $d=1\mathord{,}5.$ Скільки всього від'ємних членів має ця прогресія?

А$13$

Б$14$

В$15$

Г$16$

Д$18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1)$ знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

\begin{gather*} a_n=-21+1\mathord{,}5(n-1)\lt 0\\[7pt] -21+1\mathord{,}5n-1\mathord{,}5\lt 0\\[7pt] 1\mathord{,}5n\lt 22\mathord{,}5\\[7pt] n\lt 15. \end{gather*}

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності $n=14$, є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

Тест 256. Завдання: 12517

Завдання 24 з 78

Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює $45$, а їхній добуток – $324.$ Визначте перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

4.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою $(b_n)$ – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

$$ \left[\begin{array}{l} b_2+b_4=45,\\ b_2\cdot b_4=324. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо методом підстановки:

$$ \left\{\begin{array}{l} b_4=45-b_2,\\ b_2(45-b_2)=324, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} b_4=45-b_2,\\ b_2^2-45b_2+324=0. \end{array}\right. $$

Отже, $b_2=36$, або $b_2=9.$

При $b_2=36$, $b_4=9.$

При $b_2=9$, $b_4=36.$

За умовою прогресія зростаюча, тому $b_2=9$, $b_4=36\ (q\gt 1).$

\begin{gather*} b_4=b_2\cdot q^2,\\[7pt] q^2=b_4:b_2=36:9=4,\\[7pt] q=\pm 2. \end{gather*}

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній $(q \gt 1).$ Отже, $q=2.$

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q\ (\text{за формулою}\ n\text{-го члена}),\\[7pt] 9=b_1\cdot 2,\\[7pt] b_1=4\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $4\mathord{,}5.$

Тест 290. Завдання: 14261

Завдання 25 з 78

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої $b_n=5\cdot3^{-n}$.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Дано: нескінченно спадна геометрична прогресія.

\begin{gather*} b_n = 5 \cdot 3^{-n};\\[6pt] b_1 = 5 \cdot 3^{-1} = \frac 53;\\[6pt] b_2 = 5 \cdot 3^{-2} = \frac 59;\\[6pt] q = \frac{b_2}{b_1} = \frac 59 : \frac 53 = \frac 13;\\[6pt] S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac 53 : \left(1 - \frac 13\right)= \frac 53 : \frac 23 = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $2{,}5.$

Тест 292. Завдання: 14332

Завдання 26 з 78

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити суму $n$-перших членів арифметичної прогресії.

Непарні натуральні числа складають арифметичну прогресію: $a_1=1$, $d=2.$

За формулою суми $n$-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

знаходимо

\begin{gather*} S_{12}=\frac{2\cdot 1+2(12-1)}{2}\cdot 12=\frac{2+22}{2}\cdot 12=12\cdot 12=144. \end{gather*}

Відповідь: $144.$

Тест 296. Завдання: 14544

Завдання 27 з 78

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $\frac 23$ а сума чотирьох перших її членів дорівнює $65.$ Знайдіть перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},\ \ \ \ S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1},\\[6pt] \frac{b_1\left(\left(\dfrac 23\right)^4-1\right)}{\dfrac 23-1}=65,\ \ \ \ \frac{b_1\left(\dfrac{16}{81}-1\right)}{-\dfrac 13}=65,\\[6pt] b_1\left(-\frac{65}{81}\right)\cdot\left(-\frac 31\right)=65,\ \ \ \ b_1=\frac{65\cdot 81}{65\cdot 3}=27. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Тест 298. Завдання: 14622

Завдання 28 з 78

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Визначте різницю цієї прогресії, якщо сума перших п’яти її членів дорівнює $190.$

Впишіть відповідь:

9.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$ перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай $a_3=2a_1.$ За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії $d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.$

За формулою суми $n\text{-перших}$ членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_5=\frac{2a_1+0\mathord{,}5a_1\cdot 4}{2}\cdot 5=\\[6pt] =\frac{2a_1+2a_1}{2}\cdot 5=10a_1. \end{gather*}

За умовою, $S=190$, тому $10a_1=190$, $a_1=19.$

$d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.$

Відповідь: $9\mathord{,}5.$

Тест 310. Завдання: 15261

Завдання 29 з 78

Четвертий член геометричної прогресії у $8$ разів більший за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на $14$ менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.

Впишіть відповідь:

0.875

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули n-го члена геометричної прогресії, означення геометричної прогресії.

$$ \left\{\begin{array}{l} b_4=8b_1,\\ b_3+b_4=b_3b_4-14. \end{array}\right. $$

Використаємо формулу $n\text{-го}$ члена: \begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_4=b_1q^3,\ \ b_3=b_1q^2,\\[7pt] b_1q^3=8b_1,\ \ q^3=8,\ \ q=2,\\[7pt] b_1q^2+b_1q^3=b_1q^2\cdot b_1q^3-14,\\[7pt] 4b_1+8b_1=b_1^2\cdot 32-14,\\[7pt] 32b_1^2-12b_1-14=0,\\[7pt] 16b_1^2-6b_1-7=0,\\[7pt] D=36+4\cdot 16\cdot 7=484,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} b_1=\frac{6+22}{32}=\frac 78=0\mathord{,}875,\\ b_1=\frac{6-22}{32}=-0\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою всі члени прогресії додатні числа, тому $b_1=0\mathord{,}875.$

Відповідь: $0\mathord{,}875.$

Тест 337. Завдання: 16624

Завдання 30 з 78

За якого від'ємного значення $x$ значення виразів $x^2-4$, $3-5x$ та $2-3x$ будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Впишіть відповідь:

-8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення $x=-8.$

Відповідь: $-8.$

Тест 346. Завдання: 17087

Завдання 31 з 78

Укажіть ненульове значення $x$, за якого значення виразів $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії.

Впишіть відповідь:

-16

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_2^2=b_1\cdot b_3;\ \ (3x)^2=6x(x-8);\\[7pt] 9x^2=6x^2-48;\ \ 9x^2-6x^2+48x=0;\\[7pt] 3x^2+48x=0;\ \ 3x(x+16)=0.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x+16=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=-16. \end{array}\right. \end{gather*}

Ненульове значення $x=-16.$

Відповідь: $-16.$

Тест 357. Завдання: 17668

Завдання 32 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2=1$, $a_4=9.$

1. Визначте різницю цієї прогресії.

2. Обчисліть суму $S_{20}$ двадцяти перших членів цієї прогресії.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	4			700

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n\text{-перших}$ членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

1. За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення $(a_2=1$, $a_4=9):$ \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми $n\text{-перших}$ членів

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot 2,\ \ S_{20}=\frac{2a_1+4\cdot 19}{2}\cdot 20,\\[6pt] a_1=a_2-d=1-4=-3,\ \ S_{20}=\frac{-6+76}{2}\cdot 20=700. \end{gather*}

Відповідь: 1. $4.$
2. $700.$

Тест 384. Завдання: 18998

Завдання 33 з 78

Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює $36.$ Усі члени цієї прогресії є додатними.

1. Визначте третій член цієї прогресії.

2. Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			24

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

1. Використовуємо формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ та властивість $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то $b_3=6.$

2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}

Відповідь: 1. $6.$
2. $24.$

Тест 390. Завдання: 19512

Завдання 34 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2-a_5=7\mathord{,}8.$

1. Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

2. Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії, якщо її третій член $a_3=-1\mathord{,}8.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-2.6			3.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

1. $a_2-a_5=7\mathord{,}8$; $a_2=a_1+d$; $a_5=a_1+4d$
$a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8$
$d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.$

2. $a_3=a_1+2d$
$-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)$
$-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2$
$a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4$.

Відповідь: 1. $-2\mathord{,}6.$
2. $3\mathord{,}4.$

Тест 400. Завдання: 19971

Завдання 35 з 78

Другий член арифметичної прогресії $(a_n)$ на $7\mathord{,}2$ більший за її шостий член.

1. Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

2. Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії, якщо $a_4=0\mathord{,}7.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-1.8			6.1

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

1. За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1).$

$a_2=a_1+d$, $a_6=a_1+5d.$

Отже, $a_2-a_6=a_1+d-(a_1+5d)=a_1+d-a_1-5d=-4d=7\mathord{,}2.$

$d=7\mathord{,}2:(-4)=-1\mathord{,}8.$

2. $a_4=0\mathord{,}7$, $a_4=a_1+3d$,

$a_1=a_4-3d=0\mathord{,}7-3\cdot (-1\mathord{,}8)=0\mathord{,}7+5\mathord{,}4=6\mathord{,}1.$

Відповідь: 1. $-1\mathord{,}8.$
2. $6\mathord{,}1.$

Тест 425. Завдання: 21233

Завдання 36 з 78

Суму $n$ перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$ задано формулою: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n. $$

1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.

2. Визначте четвертий член цієї прогресії.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	1.2			-0.2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття «сума n-перших членів арифметичної прогресії», знання формули суми n-перших членів арифметичної прогресії, формули n-го члена арифметичної прогресії.

Сума $n$-перших членів арифметичної прогресії: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n $$

\begin{gather*} S_6=\frac{5,2-0,8\cdot 6}{2}\cdot 6=\frac{5,2-4,8}{2}\cdot 6=\frac{0,4}{2}\cdot 6=1,2. \end{gather*}

\begin{gather*} S_1=a_1=\frac{5,2-0,8\cdot 1}{2}\cdot 1=2,2\\[6pt] S_2=a_1+a_2=\frac{5,2-0,8\cdot 2}{2}\cdot 2=5,2-1,6=3,6. \end{gather*}

Оскільки $a_1=2,2,\ a_1+a_2=3,6$. Отже, $a_2=1,4$ $$ d=a_2-a_1=1,4-2,2=-0,8. $$ За формулою $n$-го члена арифметичної прогресії,

$$ a_4=a_1+3d=2,2+3\cdot(-0,8)=2,2-2,4=-0,2. $$

Відповідь: 1. 1,2. 2. –0,2.

Тест 455. Завдання: 22923

Завдання 37 з 78

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n-\text{го}$ члена $a_n=2,6n-7$.

1. Визначте сьомий член цієї прогресії.

2. Визначте різницю $a_4-a_1$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	11.2			7.8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано $a_n=2,6n-7$

1. $a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2$

\begin{gather*} a_4=2,6\cdot 4-7=3,4\\[7pt] a_1=2,6\cdot 1-7=-4,4 \end{gather*}

Отже,

$$ a_4-a_1=3,4-(-4,4)=3,4+4,4=7,8 $$

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

Тест 469. Завдання: 23683

Завдання 38 з 78

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n$-го члена: $a_n=5-3,6n$.

1. Визначте шостий член цієї прогресії.

2. Визначте різницю $a_4-a_2$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-16.6			-7.2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Арифметичну прогресію $a_n$ задано формулою $n-\text{го}$ члена: $a_n=5-3,6n$.

1. $a_6=5-3,6\cdot 6=5-21,6=-16,6.$

\begin{gather*} a_4=5-3,6\cdot 4=5-14,4=-9,4\\[7pt] a_2=5-3,6\cdot 2=5-7,2=-2,2\\[7pt] a_4-a_2=-9,4-(-2,2)=\\[7pt] =-9,4+2,2=-7,2 \end{gather*}

Відповідь: 1. -16,6. 2. -7,2.

Тест 489. Завдання: 24705

Завдання 39 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ третій член дорівнює $20$, різниця прогресії $d=-3,2.$ Обчисліть суму перших шести членів цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

110.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

За формулою $$ S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$ знаходимо суму перших шести членів.

За формулою $n$-го члена $$ a_n=a_1+d(n-1) $$ знаходимо $a_1:$ \begin{gather*} a_3=a_1+2d,\ \ 20=a_1+2\cdot(-3,2),\\[7pt] 20=a_1-6,4,\ \ a_1=26,4,\\[6pt] S_6=\frac{2\cdot 26,4-3,2(6-1)}{2}\cdot 6=\\[6pt] =\frac{52,8-16}{2}\cdot 6=110,4. \end{gather*}

Відповідь: 110,4.

Тест 516. Завдання: 26012

Завдання 40 з 78

У геометричній прогресії $(b_n)\ b_3 = 0,2,\ b_4 =\frac 34.$ Визначте знаменник цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

3.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$ q=\frac{b_4}{b_3}. $$ Отже, \begin{gather*} q=\frac 34:0,2=\frac 34:\frac 15=\\[6pt] = \frac 34\cdot 5=\frac{15}{4}=3\frac 34=3,75. \end{gather*}

Відповідь: 3,75.

Тест 521. Завдання: 26132

Завдання 41 з 78

В арифметичній прогресії $a_1=4,\ a_2=-1.$ Укажіть формулу для визначення $n – \text{го}$ члена цієї прогресії.

А$a_n=9-5n$

Б$a_n=7-3n$

В$a_n=5-n$

Г$a_n=1+3n$

Д$a_n=-1+5n$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

$a_n=a_1+d(n-1)$ – формула n-го члена арифметичної прогресії. \begin{gather*} a_1=4,\ \ a_2=-1.\\[7pt] d=a_2-a_1=-1-4=-5. \end{gather*}

Підставимо $a_1$ та $d$ у формулу

$$ a_n=4-5(n-1)=4-5n+5=9-5n. $$

Відповідь: А.

Тест 523. Завдання: 26196

Завдання 42 з 78

Число $27$ є членом арифметичної прогресії з різницею $d = 5.$ Визначте числа з проміжку $(60; 75),$ що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

Впишіть відповідь:

201

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Число $27$ – член арифметичної прогресії, $d=5.$

Члени арифметичної прогресії:

\begin{gather*} ...27;\ 32;\ 37;\ 42;\ 47;\ 52;\ 57;\ 62;\ 67;\ 72;\ 77;\ 82;\ ... \end{gather*}

Отже, числа з проміжку $60;\ 75$ – це $62;\ 67;\ 72.$

Сума цих чисел: $62+67+72=201.$

Відповідь: 201.

Тест 546. Завдання: 26817

Завдання 43 з 78

Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам’ятав $6$ ієрогліфів, а кожного наступного дня – на $2$ ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам’ятав цей студент за $25$ днів від першого дня вивчення японської мови?

Впишіть відповідь:

750

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Математичною моделлю задачі є задача на арифметичну прогресію: $$ a_1=6,\ \ d=2,\ \ S_{25}\ -\ ? $$

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,\ \ S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25\\[6pt] a_{25}=a_1+24d=6+24\cdot 2=6+48=54\\[6pt] S_{25}=\frac{6+54}{2}\cdot 25=30\cdot 25=750. \end{gather*}

Отже, за $25$ днів студент запам'ятав $750$ ієрогліфів.

Відповідь: 750.

Тест 547. Завдання: 26842

Завдання 44 з 78

На рисунку зображено фрагмент частини поперечного перерізу стосу дерев’яних колод. У нижньому ряду стосу $13$ колод, а у верхньому – одна. Визначте загальну кількість колод у цьому стосі.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язування текстових задач, зокрема з практичним змістом.

Дерев'яні колоди складені таким чином: $13;\ 12;\ ...\ 2;\ 1.$ Для того, щоб визначити кількість колод, створимо математичну модель задачі.

В арифметичної прогресії $a_1=13,\ a_{13}=1.$ Знайдемо суму $n\text{-перших}$ членів прогресії.

\begin{gather*} S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13=\frac{13+1}{2}\cdot 13=7\cdot 13=91. \end{gather*}

Отже, колод у стосі $91$.

Відповідь: 91.

Тест 570. Завдання: 27703

Завдання 45 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=-30.$ Обчисліть значення виразу $a_6-a_4.$

А$12$

Б$10$

В$-15$

Г$-10$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

За формулою $n\text{-го}$ члена

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1),\ \ a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_1+5d-a_1=-30,\ \ 5d=-30,\ \ d=-6. \end{gather*}

Обчислимо значення виразу \begin{gather*} a_6-a_4=a_1+5d-(a_1+3d)=\\[7pt] =a_1+5d-a_1-3d=2d. \end{gather*}

При $d=-6,\ \ 2d=2\cdot(-6)=-12.$

Відповідь: Д.

Тест 585. Завдання: 28365

Завдання 46 з 78

Сума перших п’яти членів геометричної прогресії $(b_n)$ дорівнює $32,$ а сума перших чотирьох її членів дорівнює $20.$ Визначте $b_5.$

А$1,6$

Б$52$

В$11,4$

Г$-12$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми геометричної прогресії, її властивостей.

$(b_n)$ – геометрична прогресія. $S_5=32,\ \ S_4=20.$

Визначаємо $b_5.$

\begin{gather*} S_5=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5,\\[7pt] S_4=b_1+b_2+b_3+b_4. \end{gather*}

Отже, $S_5-S_4=b_5=32-20=12.$

Відповідь: Д.

Тест 606. Завдання: 28387

Завдання 47 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=-30.$ Обчисліть значення виразу $a_1-a_3.$

А$12$

Б$10$

В$-15$

Г$-10$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

Арифметрична прогресія $(a_n)$, $a_6-a_1=-30.$

За формулою $n\text{-го}$ члена

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1),\\[7pt] a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_1+5d-a_1=-30,\\[7pt] 5d=-30,\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислимо значення виразу

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=\\[7pt] =a_1-a_1-2d=-2d=-2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 671. Завдання: 34384

Завдання 48 з 78

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1 = 32$, $b_2 = 8.$

Обчисліть $\frac{b_5}{b_7}.$

А$4$

Б$\frac{1}{16}$

В$7$

Г$\frac{1}{4}$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричної прогресії, уміння застосовувати формулу $n\text{-го}$ члена.

У геометричній прогресії $(b_n)$ за формулою $n\text{-го}$ члена послідовності: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1}. $$ Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{b_5}{b_7}=\frac{b_1\cdot q^4}{b_1\cdot q^6}=\frac{q^4}{q^6}=\frac{1}{q^2},\\[6pt] b_2=b_1\cdot q,\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{8}{32}=\frac 14,\\[6pt] q^2=\left(\frac 14\right)^2=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Отже,

$$ \frac{b_5}{b_7}=\frac{1}{q^2}=1:\frac{1}{16}=1\cdot \frac{16}{1}=16. $$

Відповідь: Д.

Тест 698. Завдання: 35310

Завдання 49 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=–30.$ Знайдіть значення виразу $a_1-a_3.$

А$-12$

Б$6$

В$-6$

Г$30$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

\begin{gather*} a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d=-30. \end{gather*}

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=a_1-a_1-2d=-2d=-2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 700. Завдання: 35354

Завдання 50 з 78

У геометричній прогресії $(b_n)$ $b_1=5$, $b_3=\frac{b_4}{10}.$ Визначте $b_3.$

А$50$

Б$2$

В$0\mathord{,}05$

Г$500$

Д$0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_kq^{n-k},\ n\gt k,\\[7pt] b_4=b_3\cdot q^{4-3}=b_3q,\\[6pt] b_3=\frac{b_4}{q},\ \text{за умовою}\ b_3=\frac{b_4}{10}.\\[6pt] \text{Отже},\ q=10. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^2=5\cdot 10^2=500. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 702. Завдання: 35781

Завдання 51 з 78

За умовами договору позичальник повинен повернути кредит протягом $12$ місяців. Першого місяця він має повернути $1300$ грн, а кожного наступного місяця – на $50$ грн менше, ніж попереднього. Визначте загальну суму (у грн), яку повинен позичальник повернути протягом $12$ місяців.

Впишіть відповідь:

12300

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це $a_1=1300$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $50$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=-50$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $12$ місяців – це $S_{12}.$

За формулою суми $n\text{-перших}$ членів прогресії маємо:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_{12}=\frac{2a_1+d\cdot 11}{2}\cdot 12,\\[6pt] S_{12}=\frac{2\cdot 1300+(-50)\cdot 11}{2}\cdot 12=\frac{2600-550}{2}\cdot 12=12300. \end{gather*}

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – $12300$ грн.

Відповідь: $12300.$

Тест 703. Завдання: 35809

Завдання 52 з 78

Позичальник має віддати кредит протягом $24$ місяців. Перший місяць він віддає $540$ грн, а кожного наступного місяця на $10$ грн менше від попереднього. Скільки всього гривень повинен сплатити позичальник за $24$ місяці?

Впишіть відповідь:

10200

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це $a_1=540$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $10$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=–10$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $24$ місяців – це $S_{24}.$

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1);\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{24}=\frac{2\cdot 540-10(24-1)}{2}\cdot 24=\frac{1080-10\cdot 23}{2}\cdot 24=\\[6pt] =\frac{1080-230}{2}\cdot 24=\frac{850}{2}\cdot 24=425\cdot 24=10200\ \text{(грн)}. \end{gather*}

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – $10200$ грн.

Відповідь: $10200.$

Тест 731. Завдання: 36343

Завдання 53 з 78

Визначте другий член $b_2$ геометричної прогресії $(b_n)$, у якій $b_1=5\sqrt{5}$, $b_6=\frac{b_5}{\sqrt{5}}.$

А$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Б$5$

В$25$

Г$\frac 15$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

\begin{gather*} b_n=b_{n-1}\cdot q;\\[6pt] q=\frac{b_n}{b_{n-1}};\\[6pt] q=\frac{b_6}{b_5}=\frac{\frac{b_5}{\sqrt{5}}}{b_5}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gather*}

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q;\\[6pt] b_2=5\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 732. Завдання: 36361

Завдання 54 з 78

Загальний член геометричної прогресії $(b_n)$ задано формулою $b_n=7\cdot 3^{n-2}.$ Визначте четвертий член $b_4$ цієї прогресії.

А$567$

Б$63$

В$7$

Г$21$

Д$189$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

\begin{gather*} b_n=7\cdot 3^{n-2}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_4=7\cdot 3^{4-2}=7\cdot 3^2=7\cdot 9=63. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 733. Завдання: 36398

Завдання 55 з 78

Визначте восьмий член $a_8$ арифметичної прогресії $(a_n)$, у якої $a_7=11$, $a_9=18.$

А$29$

Б$14{,}5$

В$15$

Г$3{,}5$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

\begin{gather*} a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} a_8=\frac{a_7+a_9}{2}=\frac{11+18}{2}=\frac{29}{2}=14{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 734. Завдання: 36599

Завдання 56 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n){:}\ a_1=4$, $a_3=9.$ Визначте різницю $d$ прогресії.

А$d=-2,5$

Б$d=6,5$

В$d=5$

Г$d=2,5$

Д$d=-5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$-перших членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_3=a_1+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d(3-1);\\[7pt] 9=4+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+4=9;\\[7pt] 2d=9-4;\\[7pt] 2d=5;\\[7pt] d=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 736. Завдання: 37110

Завдання 57 з 78

Визначте перший член геометричної прогресії $(b_n)$, у якої $b_4=3$, а знаменник $q=\dfrac 13.$

А$27$

Б$243$

В$81$

Г$\frac 19$

Д$\frac{1}{27}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

Застосуймо формулу $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=b_1\cdot q^{4-1};\\[7pt] b_4=b_1\cdot q^3;\\[6pt] 3=b_1\cdot \left(\frac 13\right)^3;\\[6pt] b_1\cdot\frac{1}{27}=3;\\[6pt] b_1=3\cdot 27=81. \end{gather*}

Відповідь: B.

Тест 738. Завдання: 37365

Завдання 58 з 78

Студент вивчав японську мову за такою методикою: першого дня він запам'ятав $6$ ієрогліфів, а кожного наступного дня – на $2$ ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав студент за $25$ днів від початку вивчення японської мови?

Впишіть відповідь:

750

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n$ перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
$a_1=6$ (кількість ієрогліфів у перший день);
$d=2$ (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
$n=25$ (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за $n$ днів використаймо формулу суми перших $n$ членів і формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] a_n=a_1+d(n-1).\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{25}=\frac{2\cdot 6+2(25-1)}{2}\cdot 25=\frac{12+2\cdot 24}{2}\cdot 25=\\[6pt] =\frac{12+48}{2}\cdot 25=\frac{60}{2}\cdot 25=30\cdot 25=750. \end{gather*}

Відповідь: $750.$

Тест 739. Завдання: 37396

Завдання 59 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ $a_1=2{,}9$, $a_2=2{,}2.$ Який найменший додатний член цієї прогресії?

А$0{,}1$

Б$0{,}2$

В$0{,}3$

Г$0{,}4$

Д$0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії $(d){:}$

\begin{gather*} d=a_2-a_1=2{,}2-2{,}9=-0{,}7. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1)$ обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії $n=5.$

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

\begin{gather*} a_5=2{,}9+(-0{,}7)(5-1)=2{,}9-0{,}7\cdot 4=2{,}9-2{,}8=0{,}1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 740. Завдання: 37468

Завдання 60 з 78

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1=2$, $b_2=6.$ Визначте $b_4.$

А$54$

Б$72$

В$12$

Г$18$

Д$3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії $(q)$, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

\begin{gather*} q=\frac{b_n}{b_{n-1}}.\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac 62=3. \end{gather*}

Застосуймо формулу $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 741. Завдання: 37519

Завдання 61 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ різниця $d=0{,}5$, п'ятнадцятий член $a_{15}=12.$ Визначте перший член $a_1$ прогресії.

А$12{,}5$

Б$24$

В$6$

Г$4{,}5$

Д$5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми $n$-перших членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_{15}=a_1+d(15-1);\\[7pt] 12=a_1+0{,}5\cdot 14;\\[7pt] a_1+7=12;\\[7pt] a_1=12-7;\\[7pt] a_1=5. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 742. Завдання: 37576

Завдання 62 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n){:}$ $a_1=3$, $a_3=10.$ Визначте різницю $d$ прогресії.

А$d=3{,}5$

Б$d=6{,}5$

В$d=7$

Г$d=-3{,}5$

Д$d=-7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_{3}=a_1+d(n-1);\\[7pt] 10=3+d(3-1);\\[7pt] 10=3+d\cdot 2;\\[7pt] 2d+3=10;\\[7pt] 2d=10-3;\\[7pt] 2d=7;\\[7pt] d=3{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 743. Завдання: 37692

Завдання 63 з 78

Різниця арифметичної прогресії $(a_n)$ дорівнює $4.$ Обчисліть значення виразу $a_5-a_3.$

А$-8$

Б$-4$

В$8$

Г$0$

Д$4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Спростімо вираз:

\begin{gather*} a_5-a_3=a_1+4d-(a_1+2d)=a_1+4d-a_1-2d=2d. \end{gather*}

Отже, $a_5-a_3=2\cdot 4=8.$

Відповідь: B.

Тест 744. Завдання: 37753

Завдання 64 з 78

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=18-1{,}5n.$ Визначте номер члена, значення якого дорівнює $-30.$

А$18$

Б$32$

В$36$

Г$8$

Д$72$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

Арифметичну прогресію задано $a_n=18-1{,}5n.$

Підставмо значення $-30$ у формулу замість $a_n{:}$

\begin{gather*} -30=18-1{,}5n;\\[7pt] 1{,}5n=18+30;\\[7pt] 1{,}5n=48;\\[7pt] n=48:1{,}5;\\[7pt] n=480:15;\\[7pt] n=32. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 745. Завдання: 37839

Завдання 65 з 78

Протягом першого тижня після реєстрації своєї сторінки в соціальній мережі Оленка отримала $7$ запрошень дружити. Кожного наступного тижня вона отримувала на $3$ запрошення більше, ніж попереднього. Скільки всього запрошень стати другом отримала Оленка протягом перших десяти тижнів після реєстрації?

Впишіть відповідь:

205

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

кількість запрошень за 1-й тиждень: $a_1=7$;
різниця прогресії: $d=3$;
кількість тижнів (елементів): $n=10$.

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші $10$ тижнів, використаймо формулу суми перших $n$ членів і формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] a_n=a_1+d(n-1).\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{10}=\frac{2\cdot 7+3(10-1)}{2}\cdot 10=\frac{14+3\cdot 9}{2}\cdot 10=\frac{14+27}{2}\cdot 10=\frac{41}{2}\cdot 10=\\[6pt] =41\cdot 5=205. \end{gather*}

Відповідь: $205.$

Тест 746. Завдання: 38062

Завдання 66 з 78

Число $27$ – член арифметичної прогресії з різницею $d=5.$ Яке число теж може бути членом цієї прогресії?

А$49$

Б$50$

В$51$

Г$52$

Д$53$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, уміння розв’язувати текстові задачі.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії $(d).$

Будь-який інший член прогресії $a_k$ відрізняється від відомого $(a_n)$ на цілу кількість кроків $d{:}$

\begin{gather*} a_k-a_n=m\cdot d, \end{gather*}

де $m$ – це ціле число (кількість кроків).

Різниця між невідомим числом і числом $27$ має націло ділитися на $5.$
А) $49{:}\
49 - 27 = 22$ (число $22$ не ділиться на $5$ без остачі).
Б) $50{:}\
50 - 27 = 23$ (не ділиться на $5$).
В) $51{:}\
51 - 27 = 24$ (не ділиться на $5$).
Г) $52{:}\
52 - 27 = 25$ (число $25$ ділиться на $5$ націло: $25 : 5 = 5$).
Д) $53{:}\
53 - 27 = 26$ (не ділиться на $5$).

Оскільки різниця ділиться на $5$ лише для числа $52$, воно єдиний можливий правильний варіант із запропонованих.

Відповідь: Г.

Тест 747. Завдання: 38150

Завдання 67 з 78

Число $27$ є членом арифметичної прогресії з різницею $d=5.$ Визначте числа з проміжку $(60; 75)$, які є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

Впишіть відповідь:

201

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Будь-який інший член прогресії $(a_n)$ відрізняється від відомого $(a_k)$ на цілу кількість кроків $d{:}$

\begin{gather*} a_n=a_k+d\cdot m, \end{gather*}

де $m$ – це ціле число.

Підставивши відомі значення $a_k=27$ та $d=5$

\begin{gather*} a_n=27+5m. \end{gather*}

Шукані члени прогресії належать інтервалу $(60; 75).$ Складімо подвійну нерівність:

\begin{gather*} 60\lt 27+5m\lt 75;\\[7pt] 60-27\lt 5m\lt 75-27;\\[7pt] 33\lt 5m\lt 48;\\[6pt] \frac{33}{5}\lt m\lt \frac{48}{5};\\[6pt] 6{,}6\lt m\lt 9{,}6;\\[7pt] m=\{7,\ 8,\ 9\} \end{gather*}

Обчислімо відповідні члени арифметичної прогресії:

\begin{gather*} m=7,\ \text{то}\ a_{k+7}=27+5m=27+5\cdot 7=27+35=62;\\[7pt] m=8,\ \text{то}\ a_{k+8}=27+5m=27+5\cdot 8=27+40=67;\\[7pt] m=9,\ \text{то}\ a_{k+9}=27+5m=27+5\cdot 9=27+45=72. \end{gather*}

Обчислімо суму $S$ визначених членів прогресії:

\begin{gather*} S=62+67+72=201. \end{gather*}

Відповідь: $201.$

Тест 748. Завдання: 38221

Завдання 68 з 78

Послідовність задано формулою $n\text{-го}$ члена $b_n=\dfrac{(-1)^n}{n}.$ Обчисліть значення виразу $b_4+b_5.$

А$\dfrac{1}{20}$

Б$\dfrac{2}{9}$

В$-\dfrac{1}{20}$

Г$\dfrac{9}{20}$

Д$-\dfrac{9}{20}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена послідовності та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=\frac{(-1)^n}{n}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_4=\frac{(-1)^4}{4}=\frac 14. \end{gather*}

Обчислімо п’ятий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_5=\frac{(-1)^5}{5}=-\frac 15. \end{gather*}

Обчислімо суму виразу:

\begin{gather*} b_4+b_5=\frac 14+\left(-\frac 15\right)=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 804. Завдання: 38377

Завдання 69 з 78

Послідовність $(b_n)$ задано формулою $n\text{-го}$ члена $b_n=(–1)^n\cdot n.$ Визначте сьомий член $b_7$ цієї послідовності.

А$7$

Б$-49$

В$6$

Г$-7$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n$-го члена послідовності й уміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=(-1)^n\cdot n. \end{gather*}

Обчислімо сьомий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_7=(-1)^7\cdot 7=(-1)\cdot 7=-7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Тест 805. Завдання: 38402

Завдання 70 з 78

Обчисліть суму перших десяти членів арифметичної прогресії $(a_n)$, якщо $a_1+a_{10}=-12.$

А$-120$

Б$-240$

В$-12$

Г$120$

Д$-60$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми $n$ перших членів та $n$-го члена арифметичної прогресії.

За формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n. \end{gather*}

Для суми перших десяти членів $(n=10)$ формула матиме вигляд:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10. \end{gather*}

За умовою задачі відомо, що $a_1+a_{10}=-12.$ Підставмо це значення у формулу:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{-12}{2}\cdot 10=-6\cdot 10=-60. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 806. Завдання: 38605

Завдання 71 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ $a_6–a_1=–30.$ Обчисліть значення виразу $a_1–a_3.$

А$-12$

Б$6$

В$-6$

Г$30$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d. \end{gather*}

Оскільки $a_6-a_1=-30$, складімо рівняння:

\begin{gather*} 5d=-30;\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу $a_1-a_3.$ Оскільки $a_3=a_1+2d$, то:

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=a_1-a_1-2d=-2d. \end{gather*}

Підставмо $d=-6{:}$

\begin{gather*} -2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Тест 809. Завдання: 38837

Завдання 72 з 78

Число $6$ є членом геометричної прогресії зі знаменником $2.$ Членом цієї прогресії може бути число

А$0{,}5$

Б$36$

В$2$

Г$8$

Д$48$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Будь-який член цієї геометричної прогресії можна отримати, помноживши або поділивши відоме число $6$ на знаменник $2$ в певному цілому степені:

\begin{gather*} b_n=6\cdot 2^m, \end{gather*}

де $m\in Z.$

Послідовно помноживши $6$ на $2$, маємо ряд: $12$; $24$; $48$; $96$, а поділивши $6$ на $2$, маємо: $3$; $1{,}5$; $0{,}75.$ Серед запропонованих відповідей у цей ряд потрапляє лише число $48$, оскільки $6\cdot 2^3=48.$

Відповідь: Д.

Тест 810. Завдання: 38886

Завдання 73 з 78

Обчисліть суму перших десяти членів арифметичної прогресії $2$; $1{,}4$; $0{,}8$; ...

А$-3{,}6$

Б$-7$

В$-11$

Г$-10$

Д$-47$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє вміння обчислювати суму $n$-перших членів арифметичної прогресії.

$(a_n)$ – арифметична прогресія $a_1=2$; $a_2=1{,}4$; $a_3=0{,}8.$

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

За формулою суми $n$-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

обчислімо

\begin{gather*} S_{10}=\frac{2\cdot 2+(-0{,}6)\cdot (10-1)}{2}\cdot 10;\\[6pt] S_{10}=(4-0{,}6\cdot 9)\cdot 5;\\[7pt] S_{10}=(4-5{,}4)\cdot 5=-1{,}4\cdot 5=-7. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 811. Завдання: 38940

Завдання 74 з 78

Обчисліть суму перших десяти членів арифметичної прогресії $2$; $1{,}4$; $0{,}8$; ...

А$-3{,}6$

Б$-7$

В$-11$

Г$-10$

Д$47$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми $n$ перших членів і різниці арифметичної прогресії.

Дано арифметичну прогресію $a_n$, у якій перший член $a_1=2$, а другий $a_2=1{,}4.$

Обчислімо різницю прогресії:

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

Формула суми перших $n$ членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо значення для $n=10{:}$

\begin{gather*} S_{10}=\frac{2\cdot 2+(-0{,}6)\cdot (10-1)}{2}\cdot 10;\\[6pt] S_{10}=\frac{4-0{,}6\cdot 9}{2}\cdot 10=\frac{4-5{,}4}{2}\cdot 10=\frac{-1{,}4}{2}\cdot 10=-0{,}7\cdot 10=-7. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Тест 835. Завдання: 38963

Завдання 75 з 78

У фітнес-клубі проходить челендж «Сходи до результату». У перший день учасниця піднялася на $4$ поверхи. Кожного наступного дня вона долала на $1$ поверх більше, ніж попереднього. Челендж тривав $20$ днів. Відомо, що між кожними двома поверхами $8$ сходинок. Скільки всього сходинок учасниця подолала за ці $20$ днів?

Впишіть відповідь:

2160

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння використовувати арифметичну прогресію для розв’язання текстових задач.

Оскільки щодня учасниця долала на ту саму кількість поверхів більше, ніж попереднього дня, задача зводиться до арифметичної прогресії, елементами якої $(a_n)$ є кількість пройдених поверхів. Виділімо основні параметри цієї арифметичної прогресії:

$a_1=4$ – кількість поверхів, які пройшла учасниця першого дня;
$d=1$ – кількість поверхів, на яку щодня збільшувалось навантаження;
$n=20$ – кількість днів челенджу.

Визначмо кількість поверхів, які подолала учасниця за всі дні челенджу. Для цього використаймо формулу суми арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} S=\frac{2\cdot 4+1\cdot (20-1)}{2}\cdot 20=(8+19)\cdot 10=270\ \text{поверхів}. \end{gather*}

Отже, за всі дні челенджу учасниця подолала $270$ поверхів. Визначмо кількість сходинок, які було пройдено за цей час. Для цього зважмо на умову завдання: між двома поверхами $8$ сходинок. Щоб обчислити загальну кількість пройдених сходинок, помножмо визначену кількість поверхів на кількість сходинок, що розділяють два сусідні поверхи:

\begin{gather*} 270\cdot 8=2160\ \text{сходинок}. \end{gather*}

Відповідь: $2160.$

Тест 843. Завдання: 38992

Завдання 76 з 78

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=3-9n.$ Обчисліть різницю цієї прогресії.

А$-9$

Б$-3$

В$3$

Г$9$

Д$-6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Завдання перевіряє вміння визначати різницю арифметичної прогресії, заданої формулою її $n$-го члена.

Обчислімо перші два члени прогресії:

\begin{gather*} a_1=3-9\cdot 1=-6;\\[7pt] a_2=3-9\cdot 2=-15. \end{gather*}

За визначенням різниці $d=a_2-a_1{:}$

\begin{gather*} d=-15-(-6)=-15+6=-9. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 838. Завдання: 39996

Завдання 77 з 78

В арифметичній прогресії $(a_n)$ справджується рівність $a_5-a_3=4{,}8.$ Тоді $a_6-a_3=$

А$7{,}2$

Б$5{,}4$

В$6{,}4$

Г$9{,}6$

Д$8{,}4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє знання формули $n$-го члена арифметичної прогресії і вміння застосовувати її для обчислень.

За формулою $n$-го члена арифметичної прогресії $a_n=a_1+d(n-1)$ виразімо $a_5$ та $a_3{:}$

\begin{gather*} a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Обчислімо різницю $a_5-a_3{:}$

\begin{gather*} a_5-a_3=(a_1+4d)-(a_1+2d)=2d. \end{gather*}

За умовою $a_5-a_3=4{,}8$, тому

\begin{gather*} 2d=4{,}8;\\[7pt] d=2{,}4. \end{gather*}

Виразімо $a_6=a_1+5d$ й обчислімо значення шуканого виразу $a_6-a_3{:}$

\begin{gather*} a_6-a_3=(a_1+5d)-(a_1+2d)=3d=3\cdot 2{,}4=7{,}2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Тест 874. Завдання: 40126

Завдання 78 з 78

Скільки всього цілих членів має геометрична прогресія $(b_n)$, у якої $b_1=\dfrac 83$, а знаменник $q=\dfrac 32$?

Ажодного

Блише один

Влише два

Глише три

Дбільше трьох

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної і геометричної прогресії. Формула $n$-го члена геометричної прогресії.

Завдання перевіряє знання формули $n$-го члена геометричної прогресії і вміння аналізувати члени послідовності на цілочисельність.

Обчислімо послідовно члени геометричної прогресії за формулою $b_n=b_{n-1}\cdot q{:}$

\begin{gather*} b_1=\frac 83\ \text{(не є цілим)};\\[6pt] b_2=\frac 83\cdot \frac 32=4\ -\ \textbf{ціле (}1\textbf{-ше)};\\[6pt] b_3=4\cdot \frac 32=6\ -\ \textbf{ціле (}2\textbf{-ге)};\\[6pt] b_4=6\cdot \frac 32=9\ -\ \textbf{ціле (}3\textbf{-тє)};\\[6pt] b_5=9\cdot \frac 32=\frac{27}{2}=13{,}5\ \text{(не є цілим)}. \end{gather*}

Оскільки $b_4=9$ – непарне число, то внаслідок кожного наступного множення на $q=\dfrac 32$ в знаменнику з'являтиметься додатковий степінь двійки, який не скорочуватиметься із чисельником. Тому всі наступні члени $(n\ge 5)$ будуть дробовими.

Отже, прогресія має лише три цілі члени $(b_2$, $b_3$, $b_4).$

Відповідь: Г.

Тест 875. Завдання: 40280

Новини

МОН пропонує університетам організувати підготовчі курси до НМТ
Вступники зазвичай не чекають останніх днів для подання заяв
Набір студентів на аграрні спеціальності зріс майже на чверть

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Алгебра і початки аналізу – Числові послідовності