Алгебра і початки аналізу – Числові послідовності

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної та геометричної прогресії. Формула \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. За властивістю геометричної прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії, вміння розв’язувати текстові задачі.

Математична модель задачі: дана арифметична прогресія з \(a_1 = 7\), \(d = 2.\) Необхідно знайти \(S_{18}.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n = a_1 + d(n - 1), \end{gather*} знаходимо

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена та суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, вміння розв’язувати текстові задачі.

Розглянемо математичну модель задачі
\(a_1 = 30\) – перший член арифметичної прогресії;
\(a_n = 180\) – \(n\)-й член;
\(d = 25\) – різниця прогресії.

За формулою \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + d(n - 1)\) знаходимо \(n.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної і геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. \(b_9 = 24\), \(b_6 = -\dfrac 19.\)

Знаменник \(q\) геометричної прогресії знаходимо за властивістю \(n\text{-го}\) члена:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Математичною моделлю задачі буде: \((a_n)\) – арифметична прогресія, \(a_1 = 30\), \(d = -3\), знайти \(S_8.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії знаходимо:

Абонент заплатить \(156\) коп = \(1\) грн \(56\) коп = \(1{,}56\) грн.

Відповідь: \(1{,}56.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Математична модель задачі – дано \((a_{n})\) – арифметична прогресія, \(a_{1} = 50\), \(d = 20\), знайти \(S_{12}.\)

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення та властивостей геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії: \begin{gather*} b_{n+1}=b_n\cdot q,\\[7pt] q=\frac{b_{n+1}}{b_n}. \end{gather*}

А) $$ q=\frac{20}{-25}\ne\frac{-15}{20}. $$

Б) $$ q=\frac{-40}{-80}=\frac{-20}{-40}=\frac{-10}{-20}=\frac{1}{2} $$ геометрична прогресія, але \(q\gt 0.\)

В) $$ q=\frac{10}{30}\ne\frac{-10}{10}. $$

Г) $$ q=\frac{-20}{10}=\frac{40}{-20}=\frac{-80}{40}=-2 $$ геометрична прогресія, \(q\lt 0\).

д) $$ q=\frac{-30}{-15}\ne \frac{-45}{-30}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

Математична модель задачі: дана арифметична прогресія з \(a_1 = 15\), \(d = 3.\) Необхідно знайти \(a_7.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії

У сьомому ряду цього кінотеатру \(33\) крісла.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання властивостей арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((a_n)\) – арифметична прогресія, \(a_2 =-9\), \(a_4 = -4.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена

знайдемо різницю \(d\) арифметичної прогресії.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2{,}9\); \(a_2=2{,}2\); \(a_3=1{,}5.\)

\(a_n=a_1+d(n-1)\) знайдемо найбільший від'ємний член

Найбільший від'ємний член

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

\((b_n)\) – геометрична прогресія, \(b_2 = 12\), \(q = -2.\)

За означенням геометричної прогресії:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формула загального члена арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії та вміння за формулою загального \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії визначати її різницю.

Послідовність \((a_n)\) називається арифметичною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, відрізняється від попереднього на одне й те саме число \(d\). Число \(d\) – різниця прогресії. Загальний член арифметичної прогресії визначається за формулою: $$ a_n=a_1+d(n-1)=a_1-d+dn. $$

Оскільки за умовою \(n\text{-й}\) член задано формулою \(a_n=4-8n\), то коефіцієнт біля \(n\) є різницею прогресії: \(d=-8.\)

Різницю прогресії можна визначити ще таким способом. Підставимо у формулу $$ a_n=4-8n $$ значення \(n=1\) і \(n=2\). Отримаємо: \begin{gather*} a_1=4-8\cdot 1=-4,\\[7pt] a_2=4-8\cdot 2=-12. \end{gather*}

Тоді $$ d=a_2-a_1=-12+4=-8 $$ шукана різниця прогресії.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість підійому на попередній на одну й ту саму величину, тоді й повна вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує повну вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину, тобто утворює арифметичну прогресію. Позначимо через \(a_n\) повну вартість підійому меблів на \(n\text{-й}\) поверх. За умовою \(a_4 = 142\ \text{грн}\), \(a_7 = 154\ \text{грн}\). Потрібно визначити \(a_{11}.\)

Оскільки $$ a_n = a_1 + d(n-1), $$ де \(d\) – різниця арифметичної прогресії, то \begin{gather*} a_1 + 3d = 142,\\[7pt] a_1 + 6d = 154. \end{gather*} Звідси отримуємо \begin{gather*} 3d = 154 - 142 = 12,\\[7pt] d = 4. \end{gather*} Тоді

Відповідь: \(170.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити невідомий член і знаменник геометричної прогресії, використовуючи означення та формулу загального члена.

Геометричною прогресією називають числову послідовність \((b_n)\) відмінних від нуля чисел, у якій частка від ділення будь-якого члена, починаючи з другого, на попередній є сталою величиною, яку позначають буквою \(q\) і називають знаменником геометричної прогресії. Отже, за означенням $$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=q, $$ де \(n\in N\), \(q\ne 0.\) Звідси випливає рівність $$ b_{n+1}=b_nq. $$

Знаючи перший член \(b_1\) та знаменник \(q\), можна визначити будь-який член геометричної прогресії за формулою $$ b_n=b_1q^{n-1}. $$

Один з варіантів розв’язання завдання такий. Знайдемо знаменник прогресії:

Тоді \begin{gather*} b_3=b_2\cdot q=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8},\\[6pt] b_4=b_3\cdot q=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Можна також скористатися формулами: \(b_4=b_1\cdot q^3\) або \(b_4=b_2\cdot q^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання властивостей арифметичної прогресії.

Арифметичною прогресією називається послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом.

Отже, з поданих послідовностей тільки \(3\); \(7\); \(11\); \(15\) буде арифметичною прогресією.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми арифметичної прогресії.

Всі дистанції, що долав плавець кожного тренування, поки не досягнув результату \(1000\) м, утворюють арифметичну прогресію. За умовою \(a_{1} = 450\) м, \(d = 50\) м, \(a_{n} = 1000\) м.

Визначимо \(n\) за формулою загального члена $$ a_{n} = a_{1} + d(n - 1). $$ Підставимо в цю формулу \(a_{1} = 450\), \(d = 50\) і \(a_{n} = 1000.\) Отримаємо $$ 1000 = 450 + 50(n - 1), $$ звідки \(n = 12.\)

За ці \(12\) тренувань плавець проплив всього

Оскільки плавець тренувався тричі на тиждень, то за \(10\) тижнів він провів \(30\) тренувань. Під час кожного з останніх \(18\) тренувань плавець пропливав \(1000\) м, тому за ці \(18\) тренувань плавець проплив всього $$ 18 \cdot 1000 = 18000\ \text{м}. $$ Отже, за перші \(10\) тижнів тренувань плавець проплив всього

Відповідь: \(26{,}7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії та вміння її застосовувати до розв’язання завдання із практичним змістом.

Оскільки кількість настою кожного наступного дня на одне й те саме число менша за кількість настою, що приймав пацієнт попереднього дня, то щоденні кількості настою утворюють арифметичну прогресію, перший член якої \(a_1 = 370\) мл, а останній двадцятий член \(a_{20} = 85\) мл.

Сумарну кількість настою, що вип’є пацієнт за ці \(20\) днів, визначаємо як суму перших \(20\) членів арифметичної прогресії:

Відповідь: \(4550.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки кожного наступного дня, починаючи з другого, студент розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня, то кількості задач, які студент розв’язував кожного дня, починаючи з першого, утворюють арифметичну прогресію. Позначимо через \(a_{n}\) кількість задач, які студент розв’язав \(n\text{-го}\) дня, \(n=1; 2; \ldots; 9.\) За умовою \(a_{1}=9\), \(S_{9}=315.\) Потрібно визначити \(a_{9}.\)

Оскільки суму перших \(n\) членів арифметичної прогресії можна визначити за формулою $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n, $$ то згідно умови виконується рівність $$ S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ тобто $$ 315=\frac{11+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 630=(11+a_{9})\cdot 9,\\[7pt] 70=11+a_{9},\\[7pt] a_{9}=70-11=59. \end{gather*}

Отже, дев’ятого дня студент розв’язав \(59\) задач.

Відповідь: \(59.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

тоді для \(15\text{-го}\) члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії \(d=0\mathord{,}5\) та \(a_{15}=12\), отримаємо рівняння відносно \(a_1\mathord{:}\) $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки \(a_1=5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, знання означення арифметичної прогресії.

Використаємо формулу \(n\text{-го}\) члена: \(a_n=a_1+d(n-1).\)

При \(d=-4\) \begin{gather*} a_1+(-4)=9,\\[7pt] a_1=13. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії \(a_{n+1}=a_n+d.\) Так як \(a_5=a_4+3\), то \(d=3.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності \(n=14\), є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою \((b_n)\) – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

Розв'яжемо методом підстановки:

Отже, \(b_2=36\), або \(b_2=9.\)

При \(b_2=36\), \(b_4=9.\)

При \(b_2=9\), \(b_4=36.\)

За умовою прогресія зростаюча, тому \(b_2=9\), \(b_4=36\ (q\gt 1).\)

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній \((q \gt 1).\) Отже, \(q=2.\)

Відповідь: \(4\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Дано: нескінченно спадна геометрична прогресія.

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Непарні натуральні числа складають арифметичну прогресію: \(a_1=1\), \(d=2.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

знаходимо

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай \(a_3=2a_1.\) За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії \(d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії:

За умовою, \(S=190\), тому \(10a_1=190\), \(a_1=19.\)

\(d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(9\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули n-го члена геометричної прогресії, означення геометричної прогресії.

Використаємо формулу \(n\text{-го}\) члена: \begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_4=b_1q^3,\ \ b_3=b_1q^2,\\[7pt] b_1q^3=8b_1,\ \ q^3=8,\ \ q=2,\\[7pt] b_1q^2+b_1q^3=b_1q^2\cdot b_1q^3-14,\\[7pt] 4b_1+8b_1=b_1^2\cdot 32-14,\\[7pt] 32b_1^2-12b_1-14=0,\\[7pt] 16b_1^2-6b_1-7=0,\\[7pt] D=36+4\cdot 16\cdot 7=484,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} b_1=\frac{6+22}{32}=\frac 78=0\mathord{,}875,\\ b_1=\frac{6-22}{32}=-0\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою всі члени прогресії додатні числа, тому \(b_1=0\mathord{,}875.\)

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо \(x-8\), \(3x\) та \(6x\) є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

Ненульове значення \(x=-16.\)

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення \((a_2=1\), \(a_4=9):\) \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів

Відповідь: 1. \(4.\)
                   2. \(700.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

1. Використовуємо формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) та властивість \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\) \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то \(b_3=6.\)

2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

1. \(a_2-a_5=7\mathord{,}8\); \(a_2=a_1+d\); \(a_5=a_1+4d\)
\(a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8\)
\(d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.\)

2. \(a_3=a_1+2d\)
\(-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)\)
\(-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2\)
\(a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4\).

Відповідь: 1. \(-2\mathord{,}6.\)
                   2. \(3\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1).\)

\(a_2=a_1+d\), \(a_6=a_1+5d.\)

Отже, \(a_2-a_6=a_1+d-(a_1+5d)=a_1+d-a_1-5d=-4d=7\mathord{,}2.\)

\(d=7\mathord{,}2:(-4)=-1\mathord{,}8.\)

2. \(a_4=0\mathord{,}7\), \(a_4=a_1+3d\),

\(a_1=a_4-3d=0\mathord{,}7-3\cdot (-1\mathord{,}8)=0\mathord{,}7+5\mathord{,}4=6\mathord{,}1.\)

Відповідь: 1. \(-1\mathord{,}8.\)
                   2. \(6\mathord{,}1.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття «сума n-перших членів арифметичної прогресії», знання формули суми n-перших членів арифметичної прогресії, формули n-го члена арифметичної прогресії.

Сума \(n\)-перших членів арифметичної прогресії: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n $$

1.

2.

Оскільки \(a_1=2,2,\ a_1+a_2=3,6\). Отже, \(a_2=1,4\) $$ d=a_2-a_1=1,4-2,2=-0,8. $$ За формулою \(n\)-го члена арифметичної прогресії,

Відповідь: 1. 1,2. 2. –0,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=2,6n-7\)

1. \(a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2\)

2.

Отже,

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію \(a_n\) задано формулою \(n-\text{го}\) члена: \(a_n=5-3,6n\).

1. \(a_6=5-3,6\cdot 6=5-21,6=-16,6.\)

2.

Відповідь: 1. -16,6. 2. -7,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

За формулою $$ S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$ знаходимо суму перших шести членів.

За формулою \(n\)-го члена $$ a_n=a_1+d(n-1) $$ знаходимо \(a_1:\) \begin{gather*} a_3=a_1+2d,\ \ 20=a_1+2\cdot(-3,2),\\[7pt] 20=a_1-6,4,\ \ a_1=26,4,\\[6pt] S_6=\frac{2\cdot 26,4-3,2(6-1)}{2}\cdot 6=\\[6pt] =\frac{52,8-16}{2}\cdot 6=110,4. \end{gather*}

Відповідь: 110,4.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$ q=\frac{b_4}{b_3}. $$ Отже, \begin{gather*} q=\frac 34:0,2=\frac 34:\frac 15=\\[6pt] = \frac 34\cdot 5=\frac{15}{4}=3\frac 34=3,75. \end{gather*}

Відповідь: 3,75.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

\(a_n=a_1+d(n-1)\) – формула n-го члена арифметичної прогресії. \begin{gather*} a_1=4,\ \ a_2=-1.\\[7pt] d=a_2-a_1=-1-4=-5. \end{gather*}

Підставимо \(a_1\) та \(d\) у формулу

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

Число \(27\) – член арифметичної прогресії, \(d=5.\)

Члени арифметичної прогресії:

Отже, числа з проміжку \(60;\ 75\) – це \(62;\ 67;\ 72.\)

Сума цих чисел: \(62+67+72=201.\)

Відповідь: 201.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

Математичною моделлю задачі є задача на арифметичну прогресію: $$ a_1=6,\ \ d=2,\ \ S_{25}\ -\ ? $$

Отже, за \(25\) днів студент запам'ятав \(750\) ієрогліфів.

Відповідь: 750.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язування текстових задач, зокрема з практичним змістом.

Дерев'яні колоди складені таким чином: \(13;\ 12;\ ...\ 2;\ 1.\) Для того, щоб визначити кількість колод, створимо математичну модель задачі.

В арифметичної прогресії \(a_1=13,\ a_{13}=1.\) Знайдемо суму \(n\text{-перших}\) членів прогресії.

Отже, колод у стосі \(91\).

Відповідь: 91.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

За формулою \(n\text{-го}\) члена

Обчислимо значення виразу \begin{gather*} a_6-a_4=a_1+5d-(a_1+3d)=\\[7pt] =a_1+5d-a_1-3d=2d. \end{gather*}

При \(d=-6,\ \ 2d=2\cdot(-6)=-12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми геометричної прогресії, її властивостей.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. \(S_5=32,\ \ S_4=20.\)

Визначаємо \(b_5.\)

Отже, \(S_5-S_4=b_5=32-20=12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

Арифметрична прогресія \((a_n)\), \(a_6-a_1=-30.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена

Обчислимо значення виразу

Відповідь: A.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричної прогресії, уміння застосовувати формулу \(n\text{-го}\) члена.

У геометричній прогресії \((b_n)\) за формулою \(n\text{-го}\) члена послідовності: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1}. $$ Спростімо вираз:

Отже,

Відповідь: Д.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це \(a_1=1300\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(50\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=-50\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(12\) місяців – це \(S_{12}.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів прогресії маємо:

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – \(12300\) грн.

Відповідь: \(12300.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це \(a_1=540\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(10\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=–10\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(24\) місяців – це \(S_{24}.\)

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – \(10200\) грн.

Відповідь: \(10200.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

Підставмо значення:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Застосуймо формулу \(n\text{-го}\) члена:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
\(a_1=6\) (кількість ієрогліфів у перший день);
\(d=2\) (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
\(n=25\) (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за \(n\) днів використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(750.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Обчислімо різницю арифметичної прогресії \((d){:}\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) обчислімо найменший додатний член прогресії:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9+(-0{,}7)(n-1)\gt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\gt 0;\\[7pt] -0{,}7n\gt -2{,}9-0{,}7;\\[7pt] -0{,}7n\gt -3{,}6;\\[7pt] n\lt -3{,}6:(-0{,}7)\approx 5{,}14;\\[7pt] n\lt 5{,}14. \end{gather*}

Отже, номер найменшого додатного члена прогресії \(n=5.\)

Обчислімо п`ятий член цієї прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії \((q)\), кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

Застосуймо формулу \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Спростімо вираз:

Отже, \(a_5-a_3=2\cdot 4=8.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=18-1{,}5n.\)

Підставмо значення \(-30\) у формулу замість \(a_n{:}\)

\begin{gather*} -30=18-1{,}5n;\\[7pt] 1{,}5n=18+30;\\[7pt] 1{,}5n=48;\\[7pt] n=48:1{,}5;\\[7pt] n=480:15;\\[7pt] n=32. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

• кількість запрошень за 1-й тиждень: \(a_1=7\);
• різниця прогресії: \(d=3\);
• кількість тижнів (елементів): \(n=10\).

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші \(10\) тижнів, використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(205.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв’язувати текстові задачі.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \(a_k\) відрізняється від відомого \((a_n)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_k-a_n=m\cdot d, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число (кількість кроків).

Різниця між невідомим числом і числом \(27\) має націло ділитися на \(5.\)
А) \(49{:}\
49 - 27 = 22\) (число \(22\) не ділиться на \(5\) без остачі).
Б) \(50{:}\
50 - 27 = 23\) (не ділиться на \(5\)).
В) \(51{:}\
51 - 27 = 24\) (не ділиться на \(5\)).
Г) \(52{:}\
52 - 27 = 25\) (число \(25\) ділиться на \(5\) націло: \(25 : 5 = 5\)).
Д) \(53{:}\
53 - 27 = 26\) (не ділиться на \(5\)).

Оскільки різниця ділиться на \(5\) лише для числа \(52\), воно єдиний можливий правильний варіант із запропонованих.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв’язувати задачі на застосування властивостей арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \((a_n)\) відрізняється від відомого \((a_k)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_n=a_k+d\cdot m, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число.

Підставивши відомі значення \(a_k=27\) та \(d=5\)

\begin{gather*} a_n=27+5m. \end{gather*}

Шукані члени прогресії належать інтервалу \((60; 75).\) Складімо подвійну нерівність:

\begin{gather*} 60\lt 27+5m\lt 75;\\[7pt] 60-27\lt 5m\lt 75-27;\\[7pt] 33\lt 5m\lt 48;\\[6pt] \frac{33}{5}\lt m\lt \frac{48}{5};\\[6pt] 6{,}6\lt m\lt 9{,}6;\\[7pt] m=\{7,\ 8,\ 9\} \end{gather*}

Обчислімо відповідні члени арифметичної прогресії:

Обчислімо суму \(S\) визначених членів прогресії:

\begin{gather*} S=62+67+72=201. \end{gather*}

Відповідь: \(201.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена послідовності та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=\frac{(-1)^n}{n}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_4=\frac{(-1)^4}{4}=\frac 14. \end{gather*}

Обчислімо п’ятий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_5=\frac{(-1)^5}{5}=-\frac 15. \end{gather*}

Обчислімо суму виразу:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\)-го члена послідовності й уміння застосовувати її для розв’язування задач.

Послідовність задано формулою:

\begin{gather*} b_n=(-1)^n\cdot n. \end{gather*}

Обчислімо сьомий член цієї послідовності:

\begin{gather*} b_7=(-1)^7\cdot 7=(-1)\cdot 7=-7. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів та \(n\)-го члена арифметичної прогресії.

За формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n. \end{gather*}

Для суми перших десяти членів \((n=10)\) формула матиме вигляд:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10. \end{gather*}

За умовою задачі відомо, що \(a_1+a_{10}=-12.\) Підставмо це значення у формулу:

\begin{gather*} S_{10}=\frac{-12}{2}\cdot 10=-6\cdot 10=-60. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d. \end{gather*}

Оскільки \(a_6-a_1=-30\), складімо рівняння:

\begin{gather*} 5d=-30;\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислімо значення виразу \(a_1-a_3.\) Оскільки \(a_3=a_1+2d\), то:

Підставмо \(d=-6{:}\)

\begin{gather*} -2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Будь-який член цієї геометричної прогресії можна отримати, помноживши або поділивши відоме число \(6\) на знаменник \(2\) в певному цілому степені:

\begin{gather*} b_n=6\cdot 2^m, \end{gather*}

де \(m\in Z.\)

Послідовно помноживши \(6\) на \(2\), маємо ряд: \(12\); \(24\); \(48\); \(96\), а поділивши \(6\) на \(2\), маємо: \(3\); \(1{,}5\); \(0{,}75.\) Серед запропонованих відповідей у цей ряд потрапляє лише число \(48\), оскільки \(6\cdot 2^3=48.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Завдання перевіряє вміння обчислювати суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2\); \(a_2=1{,}4\); \(a_3=0{,}8.\)

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

обчислімо

\begin{gather*} S_{10}=\frac{2\cdot 2+(-0{,}6)\cdot (10-1)}{2}\cdot 10;\\[6pt] S_{10}=(4-0{,}6\cdot 9)\cdot 5;\\[7pt] S_{10}=(4-5{,}4)\cdot 5=-1{,}4\cdot 5=-7. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми \(n\) перших членів і різниці арифметичної прогресії.

Дано арифметичну прогресію \(a_n\), у якій перший член \(a_1=2\), а другий \(a_2=1{,}4.\)

Обчислімо різницю прогресії:

\begin{gather*} d=a_2-a_1=1{,}4-2=-0{,}6. \end{gather*}

Формула суми перших \(n\) членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо значення для \(n=10{:}\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння використовувати арифметичну прогресію для розв’язання текстових задач.

Оскільки щодня учасниця долала на ту саму кількість поверхів більше, ніж попереднього дня, задача зводиться до арифметичної прогресії, елементами якої \((a_n)\) є кількість пройдених поверхів. Виділімо основні параметри цієї арифметичної прогресії:

• \(a_1=4\) – кількість поверхів, які пройшла учасниця першого дня;
• \(d=1\) – кількість поверхів, на яку щодня збільшувалось навантаження;
• \(n=20\) – кількість днів челенджу.

Визначмо кількість поверхів, які подолала учасниця за всі дні челенджу. Для цього використаймо формулу суми арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n. \end{gather*}

Підставмо відомі значення:

Отже, за всі дні челенджу учасниця подолала \(270\) поверхів. Визначмо кількість сходинок, які було пройдено за цей час. Для цього зважмо на умову завдання: між двома поверхами \(8\) сходинок. Щоб обчислити загальну кількість пройдених сходинок, помножмо визначену кількість поверхів на кількість сходинок, що розділяють два сусідні поверхи:

\begin{gather*} 270\cdot 8=2160\ \text{сходинок}. \end{gather*}

Відповідь: \(2160.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Завдання перевіряє вміння визначати різницю арифметичної прогресії, заданої формулою її \(n\)-го члена.

Обчислімо перші два члени прогресії:

\begin{gather*} a_1=3-9\cdot 1=-6;\\[7pt] a_2=3-9\cdot 2=-15. \end{gather*}

За визначенням різниці \(d=a_2-a_1{:}\)

\begin{gather*} d=-15-(-6)=-15+6=-9. \end{gather*}

Відповідь: A.