Числові послідовності – тести ЗНО/НМТ – завдання з математики

Предмет: Алгебра і початки аналізу
Розділ: Функції
Тема: Числові послідовності
Кількість завдань: 55

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 55

Визначте восьмий член $a_8$ арифметичної прогресії $(a_n)$, у якої $a_7=11$, $a_9=18.$

А$29$

Б$14{,}5$

В$15$

Г$3{,}5$

Д$7$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

\begin{gather*} a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} a_8=\frac{a_7+a_9}{2}=\frac{11+18}{2}=\frac{29}{2}=14{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 734. Завдання: 36599

Завдання 2 з 55

Загальний член геометричної прогресії $(b_n)$ задано формулою $b_n=7\cdot 3^{n-2}.$ Визначте четвертий член $b_4$ цієї прогресії.

А$567$

Б$63$

В$7$

Г$21$

Д$189$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії та вміння застосовувати її для розв’язування задач.

Геометричну прогресію задано формулою:

\begin{gather*} b_n=7\cdot 3^{n-2}. \end{gather*}

Обчислімо четвертий член цієї прогресії:

\begin{gather*} b_4=7\cdot 3^{4-2}=7\cdot 3^2=7\cdot 9=63. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 733. Завдання: 36398

Завдання 3 з 55

Визначте другий член $b_2$ геометричної прогресії $(b_n)$, у якій $b_1=5\sqrt{5}$, $b_6=\frac{b_5}{\sqrt{5}}.$

А$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Б$5$

В$25$

Г$\frac 15$

Д$\sqrt{5}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

\begin{gather*} b_n=b_{n-1}\cdot q;\\[6pt] q=\frac{b_n}{b_{n-1}};\\[6pt] q=\frac{b_6}{b_5}=\frac{\frac{b_5}{\sqrt{5}}}{b_5}=\frac{1}{\sqrt{5}}. \end{gather*}

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q;\\[6pt] b_2=5\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 732. Завдання: 36361

Завдання 4 з 55

Позичальник має віддати кредит протягом $24$ місяців. Перший місяць він віддає $540$ грн, а кожного наступного місяця на $10$ грн менше від попереднього. Скільки всього гривень повинен сплатити позичальник за $24$ місяці?

Впишіть відповідь:

10200

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це $a_1=540$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $10$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=–10$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $24$ місяців – це $S_{24}.$

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1);\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\[6pt] S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n;\\[6pt] S_{24}=\frac{2\cdot 540-10(24-1)}{2}\cdot 24=\frac{1080-10\cdot 23}{2}\cdot 24=\\[6pt] =\frac{1080-230}{2}\cdot 24=\frac{850}{2}\cdot 24=425\cdot 24=10200\ \text{(грн)}. \end{gather*}

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – $10200$ грн.

Відповідь: $10200.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 731. Завдання: 36343

Завдання 5 з 55

За умовами договору позичальник повинен повернути кредит протягом $12$ місяців. Першого місяця він має повернути $1300$ грн, а кожного наступного місяця – на $50$ грн менше, ніж попереднього. Визначте загальну суму (у грн), яку повинен позичальник повернути протягом $12$ місяців.

Впишіть відповідь:

12300

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена, суми $n\text{-перших}$ членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це $a_1=1300$ в арифметичній прогресії $(a_n).$

Кожного наступного місяця сума зменшується на $50$ грн – це знаменник арифметичної прогресії $d=-50$, а загальна сума, яку має повернути позичальник за $12$ місяців – це $S_{12}.$

За формулою суми $n\text{-перших}$ членів прогресії маємо:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_{12}=\frac{2a_1+d\cdot 11}{2}\cdot 12,\\[6pt] S_{12}=\frac{2\cdot 1300+(-50)\cdot 11}{2}\cdot 12=\frac{2600-550}{2}\cdot 12=12300. \end{gather*}

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – $12300$ грн.

Відповідь: $12300.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 703. Завдання: 35809

Завдання 6 з 55

У геометричній прогресії $(b_n)$ $b_1=5$, $b_3=\frac{b_4}{10}.$ Визначте $b_3.$

А$50$

Б$2$

В$0\mathord{,}05$

Г$500$

Д$0\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_kq^{n-k},\ n\gt k,\\[7pt] b_4=b_3\cdot q^{4-3}=b_3q,\\[6pt] b_3=\frac{b_4}{q},\ \text{за умовою}\ b_3=\frac{b_4}{10}.\\[6pt] \text{Отже},\ q=10. \end{gather*}

За формулою $n\text{-го}$ члена:

\begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_3=b_1\cdot q^{3-1}=b_1\cdot q^2=5\cdot 10^2=500. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 702. Завдання: 35781

Завдання 7 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=–30.$ Знайдіть значення виразу $a_1-a_3.$

А$-12$

Б$6$

В$-6$

Г$30$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її $n\text{-го}$ члена.

За формулою $n\text{-го}$ члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

\begin{gather*} a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_6-a_1=a_1+5d-a_1=5d=-30. \end{gather*}

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=a_1-a_1-2d=-2d=-2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 700. Завдання: 35354

Завдання 8 з 55

У геометричній прогресії $(b_n)$ відомо, що $b_1 = 32$, $b_2 = 8.$

Обчисліть $\frac{b_5}{b_7}.$

А$4$

Б$\frac{1}{16}$

В$7$

Г$\frac{1}{4}$

Д$16$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричної прогресії, уміння застосовувати формулу $n\text{-го}$ члена.

У геометричній прогресії $(b_n)$ за формулою $n\text{-го}$ члена послідовності: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1}. $$ Спростімо вираз:

\begin{gather*} \frac{b_5}{b_7}=\frac{b_1\cdot q^4}{b_1\cdot q^6}=\frac{q^4}{q^6}=\frac{1}{q^2},\\[6pt] b_2=b_1\cdot q,\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{8}{32}=\frac 14,\\[6pt] q^2=\left(\frac 14\right)^2=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Отже,

$$ \frac{b_5}{b_7}=\frac{1}{q^2}=1:\frac{1}{16}=1\cdot \frac{16}{1}=16. $$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 698. Завдання: 35310

Завдання 9 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=-30.$ Обчисліть значення виразу $a_1-a_3.$

А$12$

Б$10$

В$-15$

Г$-10$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

Арифметрична прогресія $(a_n)$, $a_6-a_1=-30.$

За формулою $n\text{-го}$ члена

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1),\\[7pt] a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_1+5d-a_1=-30,\\[7pt] 5d=-30,\\[7pt] d=-6. \end{gather*}

Обчислимо значення виразу

\begin{gather*} a_1-a_3=a_1-(a_1+2d)=\\[7pt] =a_1-a_1-2d=-2d=-2\cdot (-6)=12. \end{gather*}

Відповідь: A.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 671. Завдання: 34384

Завдання 10 з 55

Сума перших п’яти членів геометричної прогресії $(b_n)$ дорівнює $32,$ а сума перших чотирьох її членів дорівнює $20.$ Визначте $b_5.$

А$1,6$

Б$52$

В$11,4$

Г$-12$

Д$12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми геометричної прогресії, її властивостей.

$(b_n)$ – геометрична прогресія. $S_5=32,\ \ S_4=20.$

Визначаємо $b_5.$

\begin{gather*} S_5=b_1+b_2+b_3+b_4+b_5,\\[7pt] S_4=b_1+b_2+b_3+b_4. \end{gather*}

Отже, $S_5-S_4=b_5=32-20=12.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 606. Завдання: 28387

Завдання 11 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=-30.$ Обчисліть значення виразу $a_6-a_4.$

А$12$

Б$10$

В$-15$

Г$-10$

Д$-12$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

За формулою $n\text{-го}$ члена

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1),\ \ a_6=a_1+5d,\\[7pt] a_1+5d-a_1=-30,\ \ 5d=-30,\ \ d=-6. \end{gather*}

Обчислимо значення виразу \begin{gather*} a_6-a_4=a_1+5d-(a_1+3d)=\\[7pt] =a_1+5d-a_1-3d=2d. \end{gather*}

При $d=-6,\ \ 2d=2\cdot(-6)=-12.$

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 585. Завдання: 28365

Завдання 12 з 55

На рисунку зображено фрагмент частини поперечного перерізу стосу дерев’яних колод. У нижньому ряду стосу $13$ колод, а у верхньому – одна. Визначте загальну кількість колод у цьому стосі.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язування текстових задач, зокрема з практичним змістом.

Дерев'яні колоди складені таким чином: $13;\ 12;\ ...\ 2;\ 1.$ Для того, щоб визначити кількість колод, створимо математичну модель задачі.

В арифметичної прогресії $a_1=13,\ a_{13}=1.$ Знайдемо суму $n\text{-перших}$ членів прогресії.

\begin{gather*} S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13=\frac{13+1}{2}\cdot 13=7\cdot 13=91. \end{gather*}

Отже, колод у стосі $91$.

Відповідь: 91.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 570. Завдання: 27703

Завдання 13 з 55

Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам’ятав $6$ ієрогліфів, а кожного наступного дня – на $2$ ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам’ятав цей студент за $25$ днів від першого дня вивчення японської мови?

Впишіть відповідь:

750

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

Математичною моделлю задачі є задача на арифметичну прогресію: $$ a_1=6,\ \ d=2,\ \ S_{25}\ -\ ? $$

\begin{gather*} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,\ \ S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25\\[6pt] a_{25}=a_1+24d=6+24\cdot 2=6+48=54\\[6pt] S_{25}=\frac{6+54}{2}\cdot 25=30\cdot 25=750. \end{gather*}

Отже, за $25$ днів студент запам'ятав $750$ ієрогліфів.

Відповідь: 750.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 547. Завдання: 26842

Завдання 14 з 55

Число $27$ є членом арифметичної прогресії з різницею $d = 5.$ Визначте числа з проміжку $(60; 75),$ що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

Впишіть відповідь:

201

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

Число $27$ – член арифметичної прогресії, $d=5.$

Члени арифметичної прогресії:

\begin{gather*} ...27;\ 32;\ 37;\ 42;\ 47;\ 52;\ 57;\ 62;\ 67;\ 72;\ 77;\ 82;\ ... \end{gather*}

Отже, числа з проміжку $60;\ 75$ – це $62;\ 67;\ 72.$

Сума цих чисел: $62+67+72=201.$

Відповідь: 201.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 546. Завдання: 26817

Завдання 15 з 55

В арифметичній прогресії $a_1=4,\ a_2=-1.$ Укажіть формулу для визначення $n – \text{го}$ члена цієї прогресії.

А$a_n=9-5n$

Б$a_n=7-3n$

В$a_n=5-n$

Г$a_n=1+3n$

Д$a_n=-1+5n$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

$a_n=a_1+d(n-1)$ – формула n-го члена арифметичної прогресії. \begin{gather*} a_1=4,\ \ a_2=-1.\\[7pt] d=a_2-a_1=-1-4=-5. \end{gather*}

Підставимо $a_1$ та $d$ у формулу

$$ a_n=4-5(n-1)=4-5n+5=9-5n. $$

Відповідь: А.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 523. Завдання: 26196

Завдання 16 з 55

У геометричній прогресії $(b_n)\ b_3 = 0,2,\ b_4 =\frac 34.$ Визначте знаменник цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

3.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$ q=\frac{b_4}{b_3}. $$ Отже, \begin{gather*} q=\frac 34:0,2=\frac 34:\frac 15=\\[6pt] = \frac 34\cdot 5=\frac{15}{4}=3\frac 34=3,75. \end{gather*}

Відповідь: 3,75.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 521. Завдання: 26132

Завдання 17 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ третій член дорівнює $20$, різниця прогресії $d=-3,2.$ Обчисліть суму перших шести членів цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

110.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

За формулою $$ S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$ знаходимо суму перших шести членів.

За формулою $n$-го члена $$ a_n=a_1+d(n-1) $$ знаходимо $a_1:$ \begin{gather*} a_3=a_1+2d,\ \ 20=a_1+2\cdot(-3,2),\\[7pt] 20=a_1-6,4,\ \ a_1=26,4,\\[6pt] S_6=\frac{2\cdot 26,4-3,2(6-1)}{2}\cdot 6=\\[6pt] =\frac{52,8-16}{2}\cdot 6=110,4. \end{gather*}

Відповідь: 110,4.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 516. Завдання: 26012

Завдання 18 з 55

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n$-го члена: $a_n=5-3,6n$.

1. Визначте шостий член цієї прогресії.

2. Визначте різницю $a_4-a_2$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-16.6			-7.2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію $a_n$ задано формулою $n-\text{го}$ члена: $a_n=5-3,6n$.

1. $a_6=5-3,6\cdot 6=5-21,6=-16,6.$

\begin{gather*} a_4=5-3,6\cdot 4=5-14,4=-9,4\\[7pt] a_2=5-3,6\cdot 2=5-7,2=-2,2\\[7pt] a_4-a_2=-9,4-(-2,2)=\\[7pt] =-9,4+2,2=-7,2 \end{gather*}

Відповідь: 1. -16,6. 2. -7,2.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 489. Завдання: 24705

Завдання 19 з 55

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n-\text{го}$ члена $a_n=2,6n-7$.

1. Визначте сьомий член цієї прогресії.

2. Визначте різницю $a_4-a_1$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	11.2			7.8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Арифметичну прогресію задано $a_n=2,6n-7$

1. $a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2$

\begin{gather*} a_4=2,6\cdot 4-7=3,4\\[7pt] a_1=2,6\cdot 1-7=-4,4 \end{gather*}

Отже,

$$ a_4-a_1=3,4-(-4,4)=3,4+4,4=7,8 $$

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 469. Завдання: 23683

Завдання 20 з 55

Суму $n$ перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$ задано формулою: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n. $$

1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.

2. Визначте четвертий член цієї прогресії.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	1.2			-0.2

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття «сума n-перших членів арифметичної прогресії», знання формули суми n-перших членів арифметичної прогресії, формули n-го члена арифметичної прогресії.

Сума $n$-перших членів арифметичної прогресії: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n $$

\begin{gather*} S_6=\frac{5,2-0,8\cdot 6}{2}\cdot 6=\frac{5,2-4,8}{2}\cdot 6=\frac{0,4}{2}\cdot 6=1,2. \end{gather*}

\begin{gather*} S_1=a_1=\frac{5,2-0,8\cdot 1}{2}\cdot 1=2,2\\[6pt] S_2=a_1+a_2=\frac{5,2-0,8\cdot 2}{2}\cdot 2=5,2-1,6=3,6. \end{gather*}

Оскільки $a_1=2,2,\ a_1+a_2=3,6$. Отже, $a_2=1,4$ $$ d=a_2-a_1=1,4-2,2=-0,8. $$ За формулою $n$-го члена арифметичної прогресії,

$$ a_4=a_1+3d=2,2+3\cdot(-0,8)=2,2-2,4=-0,2. $$

Відповідь: 1. 1,2. 2. –0,2.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 455. Завдання: 22923

Завдання 21 з 55

Другий член арифметичної прогресії $(a_n)$ на $7\mathord{,}2$ більший за її шостий член.

1. Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

2. Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії, якщо $a_4=0\mathord{,}7.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-1.8			6.1

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

1. За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1).$

$a_2=a_1+d$, $a_6=a_1+5d.$

Отже, $a_2-a_6=a_1+d-(a_1+5d)=a_1+d-a_1-5d=-4d=7\mathord{,}2.$

$d=7\mathord{,}2:(-4)=-1\mathord{,}8.$

2. $a_4=0\mathord{,}7$, $a_4=a_1+3d$,

$a_1=a_4-3d=0\mathord{,}7-3\cdot (-1\mathord{,}8)=0\mathord{,}7+5\mathord{,}4=6\mathord{,}1.$

Відповідь: 1. $-1\mathord{,}8.$
2. $6\mathord{,}1.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 425. Завдання: 21233

Завдання 22 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2-a_5=7\mathord{,}8.$

1. Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

2. Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії, якщо її третій член $a_3=-1\mathord{,}8.$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-2.6			3.4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

1. $a_2-a_5=7\mathord{,}8$; $a_2=a_1+d$; $a_5=a_1+4d$
$a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8$
$d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.$

2. $a_3=a_1+2d$
$-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)$
$-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2$
$a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4$.

Відповідь: 1. $-2\mathord{,}6.$
2. $3\mathord{,}4.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 400. Завдання: 19971

Завдання 23 з 55

Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює $36.$ Усі члени цієї прогресії є додатними.

1. Визначте третій член цієї прогресії.

2. Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	6			24

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

1. Використовуємо формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ та властивість $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то $b_3=6.$

2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}

Відповідь: 1. $6.$
2. $24.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 390. Завдання: 19512

Завдання 24 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2=1$, $a_4=9.$

1. Визначте різницю цієї прогресії.

2. Обчисліть суму $S_{20}$ двадцяти перших членів цієї прогресії.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	4			700

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n\text{-перших}$ членів арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії.

1. За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення $(a_2=1$, $a_4=9):$ \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми $n\text{-перших}$ членів

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot 2,\ \ S_{20}=\frac{2a_1+4\cdot 19}{2}\cdot 20,\\[6pt] a_1=a_2-d=1-4=-3,\ \ S_{20}=\frac{-6+76}{2}\cdot 20=700. \end{gather*}

Відповідь: 1. $4.$
2. $700.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 384. Завдання: 18998

Завдання 25 з 55

Укажіть ненульове значення $x$, за якого значення виразів $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії.

Впишіть відповідь:

-16

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо $x-8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_2^2=b_1\cdot b_3;\ \ (3x)^2=6x(x-8);\\[7pt] 9x^2=6x^2-48;\ \ 9x^2-6x^2+48x=0;\\[7pt] 3x^2+48x=0;\ \ 3x(x+16)=0.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x+16=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=-16. \end{array}\right. \end{gather*}

Ненульове значення $x=-16.$

Відповідь: $-16.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 357. Завдання: 17668

Завдання 26 з 55

За якого від'ємного значення $x$ значення виразів $x^2-4$, $3-5x$ та $2-3x$ будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Впишіть відповідь:

-8

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення $x=-8.$

Відповідь: $-8.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 346. Завдання: 17087

Завдання 27 з 55

Четвертий член геометричної прогресії у $8$ разів більший за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на $14$ менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.

Впишіть відповідь:

0.875

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули n-го члена геометричної прогресії, означення геометричної прогресії.

$$ \left\{\begin{array}{l} b_4=8b_1,\\ b_3+b_4=b_3b_4-14. \end{array}\right. $$

Використаємо формулу $n\text{-го}$ члена: \begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_4=b_1q^3,\ \ b_3=b_1q^2,\\[7pt] b_1q^3=8b_1,\ \ q^3=8,\ \ q=2,\\[7pt] b_1q^2+b_1q^3=b_1q^2\cdot b_1q^3-14,\\[7pt] 4b_1+8b_1=b_1^2\cdot 32-14,\\[7pt] 32b_1^2-12b_1-14=0,\\[7pt] 16b_1^2-6b_1-7=0,\\[7pt] D=36+4\cdot 16\cdot 7=484,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} b_1=\frac{6+22}{32}=\frac 78=0\mathord{,}875,\\ b_1=\frac{6-22}{32}=-0\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою всі члени прогресії додатні числа, тому $b_1=0\mathord{,}875.$

Відповідь: $0\mathord{,}875.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 337. Завдання: 16624

Завдання 28 з 55

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Визначте різницю цієї прогресії, якщо сума перших п’яти її членів дорівнює $190.$

Впишіть відповідь:

9.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$ перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай $a_3=2a_1.$ За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії $d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.$

За формулою суми $n\text{-перших}$ членів арифметичної прогресії:

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n,\\[6pt] S_5=\frac{2a_1+0\mathord{,}5a_1\cdot 4}{2}\cdot 5=\\[6pt] =\frac{2a_1+2a_1}{2}\cdot 5=10a_1. \end{gather*}

За умовою, $S=190$, тому $10a_1=190$, $a_1=19.$

$d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.$

Відповідь: $9\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 310. Завдання: 15261

Завдання 29 з 55

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $\frac 23$ а сума чотирьох перших її членів дорівнює $65.$ Знайдіть перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

\begin{gather*} S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q},\ \ \ \ S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q},\\[6pt] \frac{b_1\left(1-\left(\frac 23\right)^4\right)}{1-\frac 23}=65,\ \ \ \ \frac{b_1\left(1-\frac{16}{81}\right)}{\frac 13}=65,\\[6pt] b_1\cdot \frac{65}{81}:\frac 13=65,\ \ \ \ b_1=\frac{65\cdot 81}{65\cdot 3}=27. \end{gather*}

Відповідь: $27.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 298. Завдання: 14622

Завдання 30 з 55

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 296. Завдання: 14544

Завдання 31 з 55

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 292. Завдання: 14332

Завдання 32 з 55

Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює $45$, а їхній добуток – $324.$ Визначте перший член цієї прогресії.

Впишіть відповідь:

4.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою $(b_n)$ – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

$$ \left[\begin{array}{l} b_2+b_4=45,\\ b_2\cdot b_4=324. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо методом підстановки:

$$ \left\{\begin{array}{l} b_4=45-b_2,\\ b_2(45-b_2)=324, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} b_4=45-b_2,\\ b_2^2-45b_2+324=0. \end{array}\right. $$

Отже, $b_2=36$, або $b_2=9.$

При $b_2=36$, $b_4=9.$

При $b_2=9$, $b_4=36.$

За умовою прогресія зростаюча, тому $b_2=9$, $b_4=36\ (q\gt 1).$

\begin{gather*} b_4=b_2\cdot q^2,\\[7pt] q^2=b_4:b_2=36:9=4,\\[7pt] q=\pm 2. \end{gather*}

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній $(q \gt 1).$ Отже, $q=2.$

\begin{gather*} b_2=b_1\cdot q\ (\text{за формулою}\ n\text{-го члена}),\\[7pt] 9=b_1\cdot 2,\\[7pt] b_1=4\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $4\mathord{,}5.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 290. Завдання: 14261

Завдання 33 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)$ перший член $a_1=-21$, різниця $d=1\mathord{,}5.$ Скільки всього від'ємних членів має ця прогресія?

А$13$

Б$14$

В$15$

Г$16$

Д$18$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=a_1+d(n-1)$ знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

\begin{gather*} a_n=-21+1\mathord{,}5(n-1)\lt 0\\[7pt] -21+1\mathord{,}5n-1\mathord{,}5\lt 0\\[7pt] 1\mathord{,}5n\lt 22\mathord{,}5\\[7pt] n\lt 15. \end{gather*}

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності $n=14$, є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 256. Завдання: 12517

Завдання 34 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)\mathord{:}$ $a_1=-4$, $a_5=a_4+3.$ Визначте десятий член $a_{10}$ цієї прогресії.

А$-31$

Б$-27$

В$26$

Г$27$

Д$23$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули $n\text{-го}$ члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії $a_{n+1}=a_n+d.$ Так як $a_5=a_4+3$, то $d=3.$

За формулою $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

\begin{gather*} a_{10}=a_1+9d=-4+9\cdot 3=-4+27=23. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 247. Завдання: 12077

Завдання 35 з 55

В арифметичній прогресії $(a_n)\ a_1+a_3=18$, різниця $d=-4.$ Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії

А$5$

Б$10$

В$13$

Г$15$

Д$22$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії, знання означення арифметичної прогресії.

Використаємо формулу $n\text{-го}$ члена: $a_n=a_1+d(n-1).$

\begin{gather*} a_3=a_1+2d,\\[7pt] a_1+a_3=18,\\[7pt] a_1+a_1+2d=18,\\[7pt] 2a_1+2d=18,\\[7pt] a_1+d=9. \end{gather*}

При $d=-4$ \begin{gather*} a_1+(-4)=9,\\[7pt] a_1=13. \end{gather*}

Відповідь: B.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 221. Завдання: 10842

Завдання 36 з 55

Задано арифметичну прогресію $(a_n)$, у якій різниця $d=0\mathord{,}5$, п'ятнадцятий член $a_{15}=12.$ Визначте перший член прогресії $a_1.$

А$24$

Б$12\mathord{,}5$

В$6$

Г$5$

Д$4\mathord{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули $n\text{-го}$ члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії:

$$ a_n=a_1+d(n-1), $$

тоді для $15\text{-го}$ члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії $d=0\mathord{,}5$ та $a_{15}=12$, отримаємо рівняння відносно $a_1\mathord{:}$ $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки $a_1=5.$

Відповідь: Г.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 191. Завдання: 9435

Завдання 37 з 55

Під час підготовки до заліку з вищої математики студент розв'язав за $9$ днів $315$ задач. У перший день він розв'язав $11$ задач, а кожного наступного дня розв'язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня. Визначте кількість задач, які студент розв'язав дев'ятого дня.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки кожного наступного дня, починаючи з другого, студент розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня, то кількості задач, які студент розв’язував кожного дня, починаючи з першого, утворюють арифметичну прогресію. Позначимо через $a_{n}$ кількість задач, які студент розв’язав $n\text{-го}$ дня, $n=1; 2; \ldots; 9.$ За умовою $a_{1}=9$, $S_{9}=315.$ Потрібно визначити $a_{9}.$

Оскільки суму перших $n$ членів арифметичної прогресії можна визначити за формулою $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n, $$ то згідно умови виконується рівність $$ S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ тобто $$ 315=\frac{11+a_{9}}{2}\cdot 9, $$ звідки отримуємо: \begin{gather*} 630=(11+a_{9})\cdot 9,\\[7pt] 70=11+a_{9},\\[7pt] a_{9}=70-11=59. \end{gather*}

Отже, дев’ятого дня студент розв’язав $59$ задач.

Відповідь: $59.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 187. Завдання: 9258

Завдання 38 з 55

В інструкції з медичного застосування настою лікарської рослини зназначено, що його рекомендовано приймати щоденно упродовж $20$ діб. Протягом першої доби пацієнт має випити $370$ мл настою, а кожної наступної доби – на одну й ту саму кількість настою менше, ніж попередньої. Останньої доби прийом має становити $85$ мл цього лікарського засобу. Яку кількість настою (у мл) вип'є пацієнт за ці $20$ діб, якщо дотримуватиметься інструкції?

Впишіть відповідь:

4550

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формули суми $n$ перших членів арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули суми $n$ перших членів арифметичної прогресії та вміння її застосовувати до розв’язання завдання із практичним змістом.

Оскільки кількість настою кожного наступного дня на одне й те саме число менша за кількість настою, що приймав пацієнт попереднього дня, то щоденні кількості настою утворюють арифметичну прогресію, перший член якої $a_1 = 370$ мл, а останній двадцятий член $a_{20} = 85$ мл.

Сумарну кількість настою, що вип’є пацієнт за ці $20$ днів, визначаємо як суму перших $20$ членів арифметичної прогресії:

$$ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{370 + 85}{2} \cdot 20 = 4550 \text{ мл настою}. $$

Відповідь: $4550.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 166. Завдання: 8194

Завдання 39 з 55

Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у $450$ м. Кожного наступного тренування він пропливав на $50$ м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату – $1000$ м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав $1000$ м.

Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші $10$ тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня?

Впишіть відповідь:

26.7

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання формули суми арифметичної прогресії.

Всі дистанції, що долав плавець кожного тренування, поки не досягнув результату $1000$ м, утворюють арифметичну прогресію. За умовою $a_{1} = 450$ м, $d = 50$ м, $a_{n} = 1000$ м.

Визначимо $n$ за формулою загального члена $$ a_{n} = a_{1} + d(n - 1). $$ Підставимо в цю формулу $a_{1} = 450$, $d = 50$ і $a_{n} = 1000.$ Отримаємо $$ 1000 = 450 + 50(n - 1), $$ звідки $n = 12.$

За ці $12$ тренувань плавець проплив всього

$$ S_{12} = \frac{a_{1} + a_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{450 + 1000}{2} \cdot 12 = 8700\ \text{ м}. $$

Оскільки плавець тренувався тричі на тиждень, то за $10$ тижнів він провів $30$ тренувань. Під час кожного з останніх $18$ тренувань плавець пропливав $1000$ м, тому за ці $18$ тренувань плавець проплив всього $$ 18 \cdot 1000 = 18000\ \text{м}. $$ Отже, за перші $10$ тижнів тренувань плавець проплив всього

$$ 8700\ \text{м} + 18000\ \text{м} = 26700\ \text{м} = 26{,}7\ \text{км}. $$

Відповідь: $26{,}7.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 154. Завдання: 7649

Завдання 40 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 151. Завдання: 7483

Завдання 41 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 144. Завдання: 7176

Завдання 42 з 55

Повна вартість доставки великогабаритних меблів у фірмі із перевезень складається з вартості їх доставки на $1$-й поверх будинку і вартості підйому меблів на потрібний поверх. Вартість підйому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину. Визначте повну вартість (у грн) доставки меблів на $11$-й поверх будинку, якщо повна вартість доставки меблів на $4$-й та $7$-й поверхи цього будинку становить $142$ грн та $154$ грн відповідно.

Впишіть відповідь:

170

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати практичні задачі на арифметичну прогресію.

Оскільки вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість підійому на попередній на одну й ту саму величину, тоді й повна вартість підійому меблів на кожен наступний поверх перевищує повну вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину, тобто утворює арифметичну прогресію. Позначимо через $a_n$ повну вартість підійому меблів на $n\text{-й}$ поверх. За умовою $a_4 = 142\ \text{грн}$, $a_7 = 154\ \text{грн}$. Потрібно визначити $a_{11}.$

Оскільки $$ a_n = a_1 + d(n-1), $$ де $d$ – різниця арифметичної прогресії, то \begin{gather*} a_1 + 3d = 142,\\[7pt] a_1 + 6d = 154. \end{gather*} Звідси отримуємо \begin{gather*} 3d = 154 - 142 = 12,\\[7pt] d = 4. \end{gather*} Тоді

$$ a_{11} = a_1 + 10d = a_4 + 6d + 4d = a_7 + 4d = 154 + 4 \cdot 4 = 170\ \text{грн}. $$

Відповідь: $170.$

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 142. Завдання: 7154

Завдання 43 з 55

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n\text{-го}$ члена $a_n=4-8n.$ Знайдіть різницю цієї прогресії.

А$8$

Б$4$

В$-2$

Г$-4$

Д$-8$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Формула загального члена арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії та вміння за формулою загального $n\text{-го}$ члена арифметичної прогресії визначати її різницю.

Послідовність $(a_n)$ називається арифметичною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, відрізняється від попереднього на одне й те саме число $d$. Число $d$ – різниця прогресії. Загальний член арифметичної прогресії визначається за формулою: $$ a_n=a_1+d(n-1)=a_1-d+dn. $$

Оскільки за умовою $n\text{-й}$ член задано формулою $a_n=4-8n$, то коефіцієнт біля $n$ є різницею прогресії: $d=-8.$

Різницю прогресії можна визначити ще таким способом. Підставимо у формулу $$ a_n=4-8n $$ значення $n=1$ і $n=2$. Отримаємо: \begin{gather*} a_1=4-8\cdot 1=-4,\\[7pt] a_2=4-8\cdot 2=-12. \end{gather*}

Тоді $$ d=a_2-a_1=-12+4=-8 $$ шукана різниця прогресії.

Відповідь: Д.

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 138. Завдання: 6879

Завдання 44 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 131. Завдання: 6430

Завдання 45 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 129. Завдання: 6389

Завдання 46 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 128. Завдання: 6364

Завдання 47 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 126. Завдання: 6292

Завдання 48 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 125. Завдання: 6250

Завдання 49 з 55

Впишіть відповідь:

1920

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 124. Завдання: 6240

Завдання 50 з 55

Впишіть відповідь:

1.56

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 123. Завдання: 6186

Завдання 51 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 122. Завдання: 6134

Завдання 52 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 121. Завдання: 6100

Завдання 53 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 3. Завдання: 6084

Завдання 54 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Продовжити пізніше

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 2. Завдання: 5318

Завдання 55 з 55

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Побажання та зауваження щодо роботи розділу пишіть, будь ласка, на адресу

Тест 1. Завдання: 4307

Новини

Як розрахувати конкурсний бал при вступі до вишу
Таблиця переведення балів НМТ 2026 у шкалу 100-200 балів
Мінімальні бали для вступу на бюджет

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра

Facebook

Twitter

Алгебра і початки аналізу – Числові послідовності