Алгебра і початки аналізу – Числові послідовності

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це \(a_1=540\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(10\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=–10\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(24\) місяців – це \(S_{24}.\)

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – \(10200\) грн.

Відповідь: \(10200.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовностей.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця, – це \(a_1=1300\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(50\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=-50\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(12\) місяців – це \(S_{12}.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів прогресії маємо:

Загальна сума, яку повинен повернути позичальник – \(12300\) грн.

Відповідь: \(12300.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена: $$ a_n=a_1+d(n-1), $$

Отже, $$ d=-30:5=-6. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння геометричної прогресії, уміння застосовувати формулу \(n\text{-го}\) члена.

У геометричній прогресії \((b_n)\) за формулою \(n\text{-го}\) члена послідовності: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1}. $$ Спростімо вираз:

Отже,

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

Арифметрична прогресія \((a_n)\), \(a_6-a_1=-30.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена

Обчислимо значення виразу

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули суми геометричної прогресії, її властивостей.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. \(S_5=32,\ \ S_4=20.\)

Визначаємо \(b_5.\)

Отже, \(S_5-S_4=b_5=32-20=12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

За формулою \(n\text{-го}\) члена

Обчислимо значення виразу \begin{gather*} a_6-a_4=a_1+5d-(a_1+3d)=\\[7pt] =a_1+5d-a_1-3d=2d. \end{gather*}

При \(d=-6,\ \ 2d=2\cdot(-6)=-12.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язування текстових задач, зокрема з практичним змістом.

Дерев'яні колоди складені таким чином: \(13;\ 12;\ ...\ 2;\ 1.\) Для того, щоб визначити кількість колод, створимо математичну модель задачі.

В арифметичної прогресії \(a_1=13,\ a_{13}=1.\) Знайдемо суму \(n\text{-перших}\) членів прогресії.

Отже, колод у стосі \(91\).

Відповідь: 91.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

Математичною моделлю задачі є задача на арифметичну прогресію: $$ a_1=6,\ \ d=2,\ \ S_{25}\ -\ ? $$

Отже, за \(25\) днів студент запам'ятав \(750\) ієрогліфів.

Відповідь: 750.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

Число \(27\) – член арифметичної прогресії, \(d=5.\)

Члени арифметичної прогресії:

Отже, числа з проміжку \(60;\ 75\) – це \(62;\ 67;\ 72.\)

Сума цих чисел: \(62+67+72=201.\)

Відповідь: 201.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

\(a_n=a_1+d(n-1)\) – формула n-го члена арифметичної прогресії. \begin{gather*} a_1=4,\ \ a_2=-1.\\[7pt] d=a_2-a_1=-1-4=-5. \end{gather*}

Підставимо \(a_1\) та \(d\) у формулу

Відповідь: А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$ q=\frac{b_4}{b_3}. $$ Отже, \begin{gather*} q=\frac 34:0,2=\frac 34:\frac 15=\\[6pt] = \frac 34\cdot 5=\frac{15}{4}=3\frac 34=3,75. \end{gather*}

Відповідь: 3,75.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

За формулою $$ S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$ знаходимо суму перших шести членів.

За формулою \(n\)-го члена $$ a_n=a_1+d(n-1) $$ знаходимо \(a_1:\) \begin{gather*} a_3=a_1+2d,\ \ 20=a_1+2\cdot(-3,2),\\[7pt] 20=a_1-6,4,\ \ a_1=26,4,\\[6pt] S_6=\frac{2\cdot 26,4-3,2(6-1)}{2}\cdot 6=\\[6pt] =\frac{52,8-16}{2}\cdot 6=110,4. \end{gather*}

Відповідь: 110,4.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію \(a_n\) задано формулою \(n-\text{го}\) члена: \(a_n=5-3,6n\).

1. \(a_6=5-3,6\cdot 6=5-21,6=-16,6.\)

2.

Відповідь: 1. -16,6. 2. -7,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано \(a_n=2,6n-7\)

1. \(a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2\)

2.

Отже,

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття «сума n-перших членів арифметичної прогресії», знання формули суми n-перших членів арифметичної прогресії, формули n-го члена арифметичної прогресії.

Сума \(n\)-перших членів арифметичної прогресії: $$ S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n $$

1.

2.

Оскільки \(a_1=2,2,\ a_1+a_2=3,6\). Отже, \(a_2=1,4\) $$ d=a_2-a_1=1,4-2,2=-0,8. $$ За формулою \(n\)-го члена арифметичної прогресії,

Відповідь: 1. 1,2. 2. –0,2.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1).\)

\(a_2=a_1+d\), \(a_6=a_1+5d.\)

Отже, \(a_2-a_6=a_1+d-(a_1+5d)=a_1+d-a_1-5d=-4d=7\mathord{,}2.\)

\(d=7\mathord{,}2:(-4)=-1\mathord{,}8.\)

2. \(a_4=0\mathord{,}7\), \(a_4=a_1+3d\),

\(a_1=a_4-3d=0\mathord{,}7-3\cdot (-1\mathord{,}8)=0\mathord{,}7+5\mathord{,}4=6\mathord{,}1.\)

Відповідь: 1. \(-1\mathord{,}8.\)
                   2. \(6\mathord{,}1.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.

1. \(a_2-a_5=7\mathord{,}8\); \(a_2=a_1+d\); \(a_5=a_1+4d\)
\(a_1-a_5=a_1+d-(a_1+4d)=a_1+d-a_1-4d=-3d=7\mathord{,}8\)
\(d=7\mathord{,}8:(-3)=-2\mathord{,}6.\)

2. \(a_3=a_1+2d\)
\(-1\mathord{,}8=a_1+2\cdot (-2\mathord{,}6)\)
\(-1\mathord{,}8=a_1-5\mathord{,}2\)
\(a_1=-1\mathord{,}8+5\mathord{,}2=3\mathord{,}4\).

Відповідь: 1. \(-2\mathord{,}6.\)
                   2. \(3\mathord{,}4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію.

1. Використовуємо формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\) та властивість \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\) \begin{gather*} b_2\cdot b_4=36,\\[7pt] b_1q\cdot b_1q^3=36,\\[7pt] b_1^2q^4=36,\\[7pt] (b_1q^2)^2=36,\ \ b_3^2=36. \end{gather*} Оскільки всі члени прогресії додатні, то \(b_3=6.\)

2. \begin{gather*} b_1=2b_2,\ \ b_2=b_1\cdot \frac 12\rightarrow q=\frac 12,\\[6pt] b_3=b_1\cdot q^2,\ \ 6=b_1\cdot \frac 14,\ \ b_1=24. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(6.\)
                   2. \(24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

1. За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії \begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1). \end{gather*} Маємо: \begin{gather*} a_2=a_1+d,\\[7pt] a_4=a_1+3d. \end{gather*} Віднімемо від другого рівняння перше: \begin{gather*} a_4-a_2=2d. \end{gather*} Підставимо відомі значення \((a_2=1\), \(a_4=9):\) \begin{gather*} 9-1=2d,\\[7pt] 2d=8,\\[7pt] d=4. \end{gather*}

2. За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів

Відповідь: 1. \(4.\)
                   2. \(700.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання властивостей геометричної прогресії, уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Якщо \(x-8\), \(3x\) та \(6x\) є послідовними членами геометричної прогресії, то \begin{gather*} b_1=x-8\\[7pt] b_2=3x\\[7pt] b_3=6x. \end{gather*}

За властивістю геометричної прогресії:

Ненульове значення \(x=-16.\)

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Рівняння.

Це завдання перевіряє знання основної властивості арифметичної прогресії; уміння розв'язувати квадратні рівняння.

Задана арифметична прогресія: \begin{gather*} a_1=x^2-4,\\[7pt] a_2=3-5x,\\[7pt] a_3=2-3x. \end{gather*}

За властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2},\\[6pt] 3-5x=\frac{x^2-4+2-3x}{2},\\[6pt] 6-10x=x^2-3x-2,\\[7pt] x^2+7x-8=0,\\[6pt] x_1=\frac{-7+9}{2}=1,\\[6pt] x_2=\frac{-7-9}{2}=-8. \end{gather*} Від'ємне значення \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули n-го члена геометричної прогресії, означення геометричної прогресії.

Використаємо формулу \(n\text{-го}\) члена: \begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_4=b_1q^3,\ \ b_3=b_1q^2,\\[7pt] b_1q^3=8b_1,\ \ q^3=8,\ \ q=2,\\[7pt] b_1q^2+b_1q^3=b_1q^2\cdot b_1q^3-14,\\[7pt] 4b_1+8b_1=b_1^2\cdot 32-14,\\[7pt] 32b_1^2-12b_1-14=0,\\[7pt] 16b_1^2-6b_1-7=0,\\[7pt] D=36+4\cdot 16\cdot 7=484,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} b_1=\frac{6+22}{32}=\frac 78=0\mathord{,}875,\\ b_1=\frac{6-22}{32}=-0\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

За умовою всі члени прогресії додатні числа, тому \(b_1=0\mathord{,}875.\)

Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули суми \(n\) перших членів арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

Нехай \(a_3=2a_1.\) За характеристичною властивістю арифметичної прогресії: \begin{gather*} a_2=\frac{a_1+a_3}{2}, \end{gather*} тому $$ a_2=\frac{3a_1}{2}=1\mathord{,}5a_1. $$

Різниця арифметичної прогресії \(d=a_2-a_1=1\mathord{,}5a_1-a_1=0\mathord{,}5a_1.\)

За формулою суми \(n\text{-перших}\) членів арифметичної прогресії:

За умовою, \(S=190\), тому \(10a_1=190\), \(a_1=19.\)

\(d=0\mathord{,}5a_1=0\mathord{,}5\cdot 19=9\mathord{,}5.\)

Відповідь: \(9\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Функції. Числові послідовності. Геометрична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули суми n перших членів геометричної прогресії, уміння розв'язувати задачі на геометричну прогресію..

За умовою \begin{gather*} q=\frac 23,\\[6pt] S_4=65. \end{gather*}

Знаходимо перший член цієї прогресії за формулою

Відповідь: \(27.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії, вміння розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії.

За умовою \((b_n)\) – геометрична зростаюча прогресія. Складемо систему рівнянь:

Розв'яжемо методом підстановки:

Отже, \(b_2=36\), або \(b_2=9.\)

При \(b_2=36\), \(b_4=9.\)

При \(b_2=9\), \(b_4=36.\)

За умовою прогресія зростаюча, тому \(b_2=9\), \(b_4=36\ (q\gt 1).\)

Знаменник зростаючої геометричної прогресії завжди додатній \((q \gt 1).\) Отже, \(q=2.\)

Відповідь: \(4\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв'язувати задачі на арифметичні прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена \(a_n=a_1+d(n-1)\) знаходимо кількість від'ємних членів прогресії:

Найбільше ціле, яке є розв'язком нерівності \(n=14\), є розв'язком задачі.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена та вміння розв'язувати задачі на арифметичну прогресію.

З означення арифметичної прогресії \(a_{n+1}=a_n+d.\) Так як \(a_5=a_4+3\), то \(d=3.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії $$ a_n=a_1+(n-1)d, $$ знаходимо:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, знання означення арифметичної прогресії.

Використаємо формулу \(n\text{-го}\) члена: \(a_n=a_1+d(n-1).\)

При \(d=-4\) \begin{gather*} a_1+(-4)=9,\\[7pt] a_1=13. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

тоді для \(15\text{-го}\) члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії \(d=0\mathord{,}5\) та \(a_{15}=12\), отримаємо рівняння відносно \(a_1\mathord{:}\) $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки \(a_1=5.\)

Відповідь: Г.