Розділ: Мультитести
Тест: Тренувальний мультитест (2 варіант)
Блок: Математика
Кількість завдань: 22
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.
На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів.
Оцінку, вищу за \(8\) балів, поставили \(75\) та \(25\) опитуваних, які визначили якість на \(9\) та \(10\) балів.
Отже, правильна відповідь Б – \(75+25=100\ \text{опитуваних}.\)
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
Набір із двох ручок коштує \(10\) гривень. На \(58\) гривень можна купити \(5\) наборів. На це буде витрачень \(50\) гривень. На \(8\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(6\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити, \(11.\)
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.
Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.
\(\angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ.\)
\(\angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ.\)
Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
Розв'яжемо лінійне рівняння \(0,01x=-1,\) \begin{gather*} x=-1:0,01;\\[7pt] x=-100. \end{gather*}
Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.
Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.
\begin{gather*} \overline{a}(2;\ 1;\ -5),\ \overline{b}(-7;\ 0;\ 3),\ \overline{c}=\overline{b}-\overline{a}\\[7pt] \overline{c}\left(-7-2;\ 0-1;\ 3-(-5)\right),\ \overline{c}(-9;\ -1;\ 8). \end{gather*}Відповідь: A.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.
Точка перетину графіка функції з віссю \(x\) має координати \((3;\ 0).\)
Отже, правильна відповідь – Г.
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні рівняння.
Розв'яжемо рівняння застосувавши основну властивість пропорції:
\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14,\ \ x\cdot 4=18-2x,\ \ 4x+2x=18,\\[6pt] 6x=18,\ \ x=18:6,\ \ x=3. \end{gather*}Корінь рівняння належить проміжку \([0;\ 4).\)
Відповідь: B.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.
Об'єм піраміди знаходимо за формулою $$ V=\frac 13 S_\text{осн}\cdot H. $$
Піраміда правильна, тому в основі лежить квадрат. Сторона квадрата – \(a.\) \(S_\text{кв}=S_\text{осн}=a^2.\) Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою \(H=a.\)
Отже, \(V=\frac 13\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.\)
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.
\(\left(\frac 14\right)^{-2}=\left(\frac 41\right)^2=16.\) Значення виразу належить проміжку \((10;\ +\infty).\)
Використали властивість степенів:
$$ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \ \text{для}\ \ a\ne 0,\ \ n\in \mathbb{N}. $$Відповідь: Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.
Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.
I. Пряма, що проходить через центр кола, містить діаметр кола. Отже, має з ним дві спільні точки.
II. \(AB\perp CD.\) \(\Delta COD\) – рівнобедрений, \(OC=OD.\) Отже, висота \(OK,\) проведена до основи, є медіаною. \(K\) – середина хорди \(CD.\)
III. Діаметри кола проходять через центр кола, а отже, мають завжди спільну точку – центр кола.
Правильні твердження лише І та ІІ, тому відповідь Г.
Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.
Завдання перевіряє знання означення первісної функції.
За означенням первісної функції \(F'(x)=f(x).\)
Отже,
$$ f(x)=(x^3+4)'=(x^3)'+4'=3x^2. $$Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей степенів.
За властивістю степенів:
\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\ \ (a^n)^m=a^{nm},\\[7pt] (-2x^4)^3=(-2)^3\cdot (x^4)^3=-8x^{12}. \end{gather*}Відповідь: Б.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє знання прямокутника та трикутника, їхніх властивостей.
\(AB=4\ \text{см},\ \angle AOB=60^\circ.\)
\(\Delta AOB\) – рівносторонній. \(AB=BO=OA=4\ \text{см}.\) За властивістю прямокутника \(AC=BD=2BO=8\ \text{см}.\)
Площа прямокутника $$ S=\frac 12\cdot d^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 8^2\cdot \sin 60^\circ=\frac 12\cdot 64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). $$
Або іншим способом:
\begin{gather*} \Delta ABC\ (\angle B=90^\circ),\ \angle A=60^\circ,\ AB=4\ \text{см}\\[7pt] BC=AB\cdot \mathrm{tg}60^\circ=4\sqrt{3}\ \text{см}\\[7pt] S=AB\cdot BC=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ (\text{см}^2). \end{gather*}Відповідь: B.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.
\begin{gather*} (\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\cos x\cdot \sin x+\sin^2 x=\\[7pt] =1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x. \end{gather*}Застосували формули скороченого множення $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$ та тригонометрії
\begin{gather*} \sin^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=1\\[7pt] \sin 2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=2\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}Відповідь: Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.
Розв'яжемо тригонометричну нерівність \(\log_{0,3}(x+3)\gt \log_{0,3}4.\)
Функція є спадною, бо основа логарифма \(0,3\lt 1.\) Отже, \(x+3\lt 4\) та за ОДЗ \(x+3\gt 0.\)
Розв'язком нерівності буде розв'язок системи лінійних нерівностей:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x+3\lt 4,\\ x+3\gt 0, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 4-3,\\ x\gt -3, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -3. \end{array} \right. \end{gather*}
\(x\in (-3;\ 1).\)
Відповідь: Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.
Графіки функцій схематично виглядають таким чином:
1. \(y=\sqrt{x+1}\) зростає на всій області визначення – Г.
2. \(y=4-x^2\) має точку локального максимуму при \(x=0,\ f_{max}(0)=4\) – A.
3. \(y=3^{-x}\) функція набуває лише додатних значень – Д.
Відповідь: 1Г 2А 3Д.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.
Спростимо вирази:
1. – В. \(\frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-9}=\sqrt{10}+3.\)
2. – A. \(|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3.\) Вираз \(3-\sqrt{10}\lt 0,\) тому \(|3-\sqrt{10}|=-(3-\sqrt{10})=-3+\sqrt{10}.\)
3. – Г. \(\log_5125=\log_55^3=3\log_55=3.\)
Відповідь: 1В, 2А, 3Г.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора, наслідків з теореми синусів.
\(P=32\ \text{см},\ AB=BC=10\ \text{см}.\)
1 – Г. \(P=AB+BC+AC=10+10+AC=32,\ \ AC=12\ \text{см}.\)
2 – B. Висота \(BH\perp AC,\ \ BH\) – медіана, \(AH=HC=\frac 12AC=6\ \text{см}.\) \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BH=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{см}.\)
3 – A. \(\Delta ABH\ (\angle H=90^\circ)\) \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{8}{10}=0,8.\) За наслідком із теореми синусів:
\begin{gather*} \frac{BC}{\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=2R,\ \ \frac{10}{0,8}=2R,\\[6pt] R=\frac{10}{1,6}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}=6,25. \end{gather*}Відповідь: 1Г, 2В, 3А.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.
Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.
Математичною моделлю задачі є задача на арифметичну прогресію: $$ a_1=6,\ \ d=2,\ \ S_{25}\ -\ ? $$
Отже, за \(25\) днів студент запам'ятав \(750\) ієрогліфів.
Відповідь: 750.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.
Завдання перевіряє здатність застосування формул комбінаторики, зокрема сполук, до розв’язування комбінаторних задач.
Склад музичного квартету – \(4\) будь-які учасники (хлопці чи дівчата). Отже, вибирають з \(6\) учасників, порядок вибору неважливий, тому застосуємо формулу сполук: $$ \mathrm{C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}. $$
\begin{gather*} \mathrm{C_6^4}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15. \end{gather*}Відповідь: 15.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.
Осьовим перерізом циліндра \(ABCD\) є квадрат. \(AB=BC=CD=AD=8\ \text{см}.\)
\begin{gather*} S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}RH,\ \ \text{де} R=\frac 12AD=4\ \text{см},\\[6pt] H=AB=8\ \text{см},\\[6pt] S_\text{б}=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\cdot 4\cdot 8=64\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\ \text{см}^2,\\[6pt] \frac{S}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=\frac{64\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}=64. \end{gather*}Відповідь: 64.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
\(x^2-(2m-4)x+16=0,\ \ x_1\gt x_2\ \text{на}\ 6.\)
Знайдемо дискримінант рівняння:
Додатнє значення \(m,\) при якому рівняння має два різних кореня \(m\gt 6.\)
За теоремою Вієта і враховуючи умову завдання:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=2m-4,\\ x_1\cdot x_2=16,\\ x_1-x_2=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x_2+6+x_2=2m-4,\\ (x_2+6)x_2=16,\\ x_1=x_2+6, \end{array} \right. \\[7pt] 2x_2=2m-10,\ \ x_2=m-5. \end{gather*}Підставимо значення \(x_2\) у друге рівняння:
\begin{gather*} (m-5+6)(m-5)=16,\ \ (m+1)(m-5)=16,\\[7pt] m^2-5m+m-5-16=0,\ \ m^2-4m-21=0. \end{gather*}Корені рівняння:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} m_1=7,\\ m_2=-3\ \ne\ m\gt 6. \end{array} \right. \end{gather*}Отже, додатнє значення \(m=7.\)
Відповідь: 7.
Побажання та зауваження будь ласка пишіть на