Розділ: Національний мультитест з математики
Тест: НМТ 2023
Блок: Демоваріант
Кількість завдань: 22
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
\(\log_2^2x-(a-1)\log_2x-a=0.\)
ОДЗ: \(x\gt 0.\)
Зробимо заміну: \(\log_2x=t.\)
Корені квадратного рівняння:
\begin{gather*} t_1=\frac{(a-1)+(a+1)}{2}=a\\[6pt] t_2=\frac{a-1-(a+1)}{2}=-1. \end{gather*}
Повертаємось до заміни:
\begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \log_2x=-1,\\ \log_2x=a; \end{array} \right. \ \ \ \left[ \begin{array}{l} x_1=\frac 12,\\ x_2=2^a. \end{array} \right. \end{gather*}
\(x_1\notin (30;\ 100),\) тому даному проміжку повинен належати \(x_2.\)
\begin{gather*} 30\lt x_2\lt 100,\ \ 30\lt 2^a\lt 100.\\[7pt] \text{при}\ a=5\ (a\in \mathbb{Z}). \end{gather*}
Наймеше значення \(a=5.\)
Відповідь: 5.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.
Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.
Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.
Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$
Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)
Відповідь: 8.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Нехай Михайлу треба отримати \(x\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)
Середнє арифметичне значень:
\begin{gather*} \frac{8+7+9+8+10\cdot x}{x+4}=9,5\\[6pt] 32+10x=9,5(x+4)\\[6pt] 32+10x=9,5x+38\\[7pt] 0,5x=6\\[7pt] x=12. \end{gather*}Отже, Михайлу треба отримати \(12\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)
Відповідь: 12.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.
Завдання перевіряє знання означення геометричного змісту визначеного інтеграла, вміння обчислювати площу плоских фігур.
\(\int_0^{7}f(x)dx.\) Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа фігури, обмеженої лініями: графіком \(f(x),\) \(x=0,\) \(x=7\) та віссю \(x.\)
Відповідь: 38,5.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні перетворення.
Завдання перевіряє знання геометричних перетворень на площині: симетрії відносно прямої та точки.
1 – Б. симетрія відносно осі \(x.\)
2 – Г. симетрія відносно осі \(y.\)
3 – Д. симетрія відносно точки \(O.\)
Відповідь: 1Б, 2Г, 3Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання властивостей дійсних чисел.
1. Дільником числа \(8\) є числа, на які \(8\) ділиться без остачі. Серед наведених чисел – це \(8.\) Отже, правильна відповіль – A.
2. Просте число – це число, яке має тільки два дільники – \(1\) та саме число. Серед наведених – це \(17.\) Отже, правильна відповідь – B.
3. Квадратом натурального числа є число \(16=4^2.\) Отже, правильна відповідь – Б.
Відповідь: 1А, 2В, 3Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою чи графіком.
1. \(y=\mathrm{tg}x\) – Г.
2. \(y=\left(\frac 12\right)^x\) показникова функція – Д.
3. \(y=\frac 1x\) обернена пропорційність – А.
Відповідь: 1Г 2Д 3А.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.
\(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) найпростіше тригонометричне рівняння. Корені знаходимо за формулою:
\begin{gather*} x=(-1)^k\mathrm{arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}.\\[6pt] x=(-1)^k\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{3}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}k,\ \ k\in\mathbb{Z}. \end{gather*}На відрізку \(x\in [0;\ 3\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}]\) знаходимо корені:
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі на обчислення невідомих елементів піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.
\(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда, тому \(ABCD\) – квадрат, \(O\) – точка перетину діагоналей, \(PO\) – висота.
\(P_{ABCD}=4AB=72\ \text{см},\ \ AB=18\ \text{см}.\)
\(PK\) – апофема (висота бічної грані). \(OK\perp AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).
\begin{gather*} OK=\frac 12 AB=9\ \text{см}.\\[7pt] \Delta POK\ (\angle O=90^\circ) \end{gather*} за теоремою Піфагора:
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції Числові послідовності.
Завдання перевіряє знання формули n-го члена арифметичної прогресії, вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію.
\(a_n=a_1+d(n-1)\) – формула n-го члена арифметичної прогресії. \begin{gather*} a_1=4,\ \ a_2=-1.\\[7pt] d=a_2-a_1=-1-4=-5. \end{gather*}
Підставимо \(a_1\) та \(d\) у формулу
Відповідь: А.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості трикутників, прямокутника до розв’язування планіметричних задач.
За умовою завдання більша сторона прямокутника дорівнює \(5\sqrt{3}.\)
У прямокутному трикутнику \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) гострі кути \(60^\circ\) (із умови завдання) і \(30^\circ\ (180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ).\) Напроти більшої сторони \(BC\) лежить більший кут, тому \(\angle A = 60^\circ,\) тоді \(\angle C = 30^\circ.\)
У \(\Delta ABC\) \begin{gather*} \frac{BC}{AC}=\sin A,\\[6pt] AC=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=10. \end{gather*}
Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точка перетину діагоналей – середина діагоналі \(AC.\ \ R=\frac 12 AC=5.\)
Довжина кола \(L=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}R=10\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, нерівності з модулем.
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt 81,\\ |x|\le 5; \end{array} \right. \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac 13\right)^x\lt \left(\frac 13\right)^{-4},\\ -5\le x\le 5; \end{array} \right. \end{gather*} функція \(y=\left(\frac 13\right)^x\) складна, оскільки основа степені \(\frac 13\lt 1.\)
Отже, \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x\gt -4,\\ -5\le x\le 5. \end{array} \right. \end{gather*}
Розв'язок системи – спільний розв'язок двох нерівностей. Отже, \(x\in (-4;\ 5].\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
\begin{gather*} \frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}=\frac{a^2+16-8a}{a-4}=\\[6pt] =\frac{(a-4)^2}{a-4}=a-4. \end{gather*}
Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.
I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл (властивість ромба).
IІ. Неправильне твердження.
IІІ. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні (це властивість ромба, а квадрат є ромбом із прямими кутами).
Отже, правильна відповідь – Д.
Відповідь: Д.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.
$$ \log_2(8a)=\log_28+\log_2a=3+4=7. $$
Застосували властивість логарифма $$ \log_a(b\cdot c)=\log_ab+\log_ac. $$
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.
Графіком лінійної функції є пряма. Всі точки прямої, паралельної осі абсцис, мають однакові ординати.
Якщо пряма проходить через \(\text{т.}\ A(-2;\ 3),\) то функція задається формулою: \(y=3.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
$$ \frac x2 +\frac x3= 2, $$ зведемо до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac{3x+2x}{6}=2,\\[6pt] \frac{5x}{6}=2,\\[6pt] 5x=12,\\[6pt] x=2,4. \end{gather*}
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.
$$ \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{128}{2}}=\sqrt[3]{64}=4. $$ Застосували властивість: $$ \sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\ \ a,\ b \gt 0. $$
Відповідь: Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.
Завдання перевіряє знання властивості трикутника про суму кутів.
Сума кутів трикутника – \(180^\circ .\) Сума гострих кутів – \(90^\circ .\)
Отже, \(115^\circ \) – це сума прямого та гострого кута. Тоді гострий кут \(115^\circ -90^\circ =25^\circ .\) Другий гострий кут трикутника.
Гострі кути \(65^\circ\) та \(25^\circ .\)
Найменший кут цього трикутника \(25^\circ .\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.
У трикутної призми \(3\) бічні грані та \(2\) грані основ.
Отже, кількість граней призми – \(5.\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
За \(220\ \text{грн}\) можна купити \(6\) шоколадок \((220 : 35 = 6\ \text{і}\ 10\ \text{грн остача}),\) а за кожні три шоколадки отримати по одній безкоштовно, це ще дві шоколадки \((6 : 3 = 2).\)
Отже, за \(220\ \text{грн}\) можна купити \(6\) шоколадок і ще дві шоколадки отримати безкоштовно, тобто разом \(8\) шоколадок.
Отже, правильна відповідь – Г.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.
Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.
На графіках відображено залежність температури повітря від часу. Правильно відображено цю залженість на графіку Д.
Табличні дані показують п’ять фіксацій температури впродовж певного часу. Температура кожної фіксації почергово збільшувалася і зменшувалася, що графічно правильно відображено на графіку Д.
Відповідь: Д.