Розділ: Національний мультитест з математики
Тест: Тренувальні мультитести НМТ 2026
Блок: Варіант 5
Кількість завдань: 22
ТЕМА: Елементи статистики. Вибіркові характеристики.
Це завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).
Для того, щоб знайти скільки часу на день у середньому учень користується Інтернетом, необхідно знайти середнє арифметичне значень
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.
Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.
Використаємо основну властивість пропорції: \begin{gather*} \frac ab=\frac cd\ =\gt\ a\cdot d=b\cdot c\\[6pt] E=\frac{mv^2}{2}\\[6pt] 2E=mv^2\\[6pt] m=\frac{2E}{v^2}. \end{gather*}
Відповідь: A.
ТЕМА: Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.
Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач, знання властивості вертикальних кутів.
\(\angle \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=60^\circ\) як вертикальний з даним кутом \(60^\circ.\)
\(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}+40^\circ=180^\circ\) оскільки складають розгорнутий кут.
Тому \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=180^\circ-40^\circ-\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.
Розв'яжемо рівняння:
\begin{gather*} x^2=25x,\\[7pt] x^2-25x=0,\\[7pt] x(x-25)=0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=0,\\ x_2=25. \end{array}\right. \end{gather*}Відповідь: Б.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання властивостей піраміди, означення кута між прямою та площиною.
Висота піраміди \(AO=24.\) За означенням кута між прямою та площиною,
\(AO\perp (DOC)\)
\(AB\) – похила
\(OB\) – проекція похилої на площину.
Отже, \(\angle ABO=45^\circ.\) \(\Delta AOB\ (\angle O=90^\circ)\) – рівнобедрений.
\(OB=OA=24.\)
\(OB=\frac 12CE\), \(CE=48.\)
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
За умовою, абсциса точки від'ємна, а ордината – додатна. З наведених варіантів відповідей задовольняє Б і Г. Після перевірки за графіком встановлюємо, що \((-1; 2)\) належить графіку.
Відповідь: Б.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.
Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.
Нехай \(x\) грн – коштує \(1\) кг яблук, а \(y\) – \(1\) кг груш.
Тоді \(9\lt x\lt 12\), \(19\lt y\lt 25\),
\(18\lt 2x\lt 24\), \(57\lt 3y\lt 75.\)
\(2x+3y=m\), тому
\(18+57\lt m\lt 24+75\),
\(75\lt m\lt 99.\)
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання властивостей степенів.
Відповідь: A.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.
Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів, нерівності трикутника.
I. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні (властивість параллелограма).
II. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших сторін (нерівність трикутника).
III. Твердження неправильне. \(P=4a\) – периметр квадрата, де \(a\) – сторона квадрата.
Відповідь: B.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати дійсні числа.
За означенням логарифма $$ x=64^{\frac 12}=\sqrt{64}=8 $$ \(6\lt 8\lt 32\) – проміжок, якому належить корінь.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.
Завдання перевіряє знання означення первісної функції.
Функція \(F(x)=5x^4-1\) є первісною функції \(f(x).\)
Формула, яка задає всі первісні функції \(f(x)\) $$ F(x)=5x^4+C, $$ де \(C\) – будь-яке число.
Відповідь: Г.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь.
Розв'яжемо систему лінійних рівнянь методом додавання: \begin{gather*} +\left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6, \end{array}\right.\\[0pt] \ \ \ \ \ \ \overline{16x=32,}\\[7pt] x=32:16,\ \ x=2. \end{gather*}
Підставимо значення \(x=2\) в друге рівняння: \begin{gather*} 6\cdot 2+4y=6,\\[7pt] 12+4y=6,\\[7pt] 4y=6-12,\\[7pt] 4y=-6,\\[7pt] y=-6: 4,\\[7pt] y=-1\mathord{,}5. \end{gather*}
Розв'язок системи \((2; -1\mathord{,}5).\)
Обчислимо добуток \(x_0\cdot y_0=2\cdot (-1\mathord{,}5)=-3.\)
Відповідь: A.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, досліджувати на парність (непарність) функції.
1.
Симетричний відносно початку координат. Отже, 1 - Г.
2.
Має з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\) лише одну спільну точку. Отже, 2 - Б.
3.
Симетричний відносно осі \(y\). Отже, 3 - В.
Відповідь: 1Г, 2Б, 3В.
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази, вирази з модулем та їх перетворення.
Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.
1. $$ |x-\sqrt{5}|=|\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|=|-1|=1 $$ Oтже, 1 - Б.
2. \begin{gather*} (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=\\[7pt] =5-1=4 \end{gather*} використали формулу $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ Отже, 2 - B.
3. \begin{gather*} x^2+2x+1=(x+1)^2=\\[7pt] =(\sqrt{5}-1+1)^2=(\sqrt{5})^2=5 \end{gather*} використали формулу $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ Отже, 3 - Г.
Відповідь: 1Б, 2В, 3Г.
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.
Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, трапеції; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.
\(S_{ABCD}=S_{BMNC}=36\ \text{см}^2,\ \ AM=15\ \text{см}\).
1. \(S_{ABCD}=AB^2=36\ \text{см}^2,\ AB=6\ \text{см}\) – сторона квадрата, отже, 1 - Г.
2. У прямокутній трапеції \(BM\) – висота.
\(BM=AM-AB=15-6 = 9\ \text{см}\), отже, 2 - Д.
3. \begin{gather*} S_{BMNC}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BM,\\[6pt] 36=\frac{MN+6}{2}\cdot 9,\\[6pt] 72 = (MN+6)\cdot 9\\[7pt] MN =2\ \text{см}. \end{gather*} отже, 3 - A
Відповідь: 1Г, 2Д, 3A.
ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.
Це завдання перевіряє знання формули n-го члена геометричної прогресії, означення геометричної прогресії.
$$ \left\{\begin{array}{l} b_4=8b_1,\\ b_3+b_4=b_3b_4-14. \end{array}\right. $$Використаємо формулу \(n\text{-го}\) члена: \begin{gather*} b_n=b_1q^{n-1},\\[7pt] b_4=b_1q^3,\ \ b_3=b_1q^2,\\[7pt] b_1q^3=8b_1,\ \ q^3=8,\ \ q=2,\\[7pt] b_1q^2+b_1q^3=b_1q^2\cdot b_1q^3-14,\\[7pt] 4b_1+8b_1=b_1^2\cdot 32-14,\\[7pt] 32b_1^2-12b_1-14=0,\\[7pt] 16b_1^2-6b_1-7=0,\\[7pt] D=36+4\cdot 16\cdot 7=484,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} b_1=\frac{6+22}{32}=\frac 78=0\mathord{,}875,\\ b_1=\frac{6-22}{32}=-0\mathord{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}
За умовою всі члени прогресії додатні числа, тому \(b_1=0\mathord{,}875.\)
Відповідь: \(0\mathord{,}875.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.
Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовiрностi події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.
У шухляді олівці та ручки.
Нехай ручок було \(x\) штук, тоді олівців: \(x-12\) шт. Всього ручок та олівців було $$ x+x-12=2x-12. $$
Відомо, що ймовірність вибрати навмання одну ручку \(P(A)=\frac 58.\) Тобто відношення кількості ручок до кількості всіх елементів дорівнює \(\frac 58.\)
\begin{gather*} \frac{x}{2x-12}=\frac 58,\ \ 5(2x-12)=x\cdot 8,\\[6pt] 10x-60=8x,\ \ 2x=60,\ \ x=30. \end{gather*}
Олівців лежить у шухляді \(30-12=18\) шт.
Відповідь: \(18.\)
