Національний мультитест з математики – Варіант 7

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо задані графіки функцій

1. \(y=\log_2 x\)

Не перетинає вісь \(y\). Отже, 1 – А.

2. \(y=x^2+3\)

Має лише одну спільну точку з графіком рівняння \(x^2+y^2=9\). Отже, 2 - Г.

3. \(y=\cos x\).

Розташований у всіх координатних чвертях. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, логарифмічні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$ a^2=\left(-2\frac 13\right)^2=\left(-\frac 73\right)^2=\frac{49}{9}=5\frac 49 $$ число більше від 5, отже, 1 - А.

2. \begin{gather*} a+|a|=a+(-a)=0,\ \text{оскільки}\ a\lt 0.\\[6pt] |a|= \left\{ \begin{array}{l l} a,\ \text{якщо}\ a\geq 0, & \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0,& \end{array}\right. \end{gather*} Отже, 2 - Д.

3. \begin{gather*} \log_5 5^a=a\log_5 5=a\cdot 1=a=-2\frac 13, \end{gather*} є від'ємним числом, отже, 3 - В.

Відповідь: 1A, 2Д, 3В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання видів трикутників та їх основних властивостей, кола, описаного навколо трикутника, теореми синусів.

1. Рис. 1 – рівносторонній трикутник, отже, центри вписаного та описаного кіл збігаються, 1 - А.

2. Рис. 3 – оскільки катет прямокутного трикутника в 2 рази менше гіпотенузи, то він лежить напроти кута 30°. Отже, 2 - В.

3. Рис. 5 – за теоремою синусів: \begin{gather*} \frac{6}{\sin 150^\circ}=2R,\ \frac{6}{\sin 30^\circ}=2R,\\[6pt] R=\frac{6}{2\cdot 1/2}=6\ (\text{см}), \end{gather*} радіус більший за 5 см, отже, 3 - Д.

Відповідь: 1A, 2В, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),

\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.

У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(400.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання паралелограма, ромба, квадрата та їх властивостей.

I правильне. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

II неправильне. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл – властивість паралелограма.

III правильне. Діагоналі перпендикулярні – властивість будь-якого квадрата.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Первісна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання означення первісної.

\(F(x)=2x^3-1.\)

За означенням первісної \(F'(x)=f(x).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічн рівняння.

\begin{gather*} 4+\log_{\frac 12}x=0,\\[6pt] \log_{\frac 12}x=-4. \end{gather*} За означенням логарифма $$ x=\left(\frac 12\right)^{-4}=2^4=16. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

$$ a^n:a^m=a^{n-m}. $$ Отже, $$ \frac{3x^2y}{9xy^3}=\frac{1\cdot x\cdot 1}{3\cdot 1\cdot y^2}=\frac{x}{3y^2}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування тригонометричних рівнянь.

Рівняння \(\cos x=a\) при \(|a|\lt 1\) має розв'язок \(x\pm\mathrm{arccos}\ a+2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n\), \(n\in Z.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їx системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

Почленно додамо рівняння: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5\\ x-2y=7\ |\ \cdot (-2) \end{array}\right.\\[7pt] \ +\ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y=5\\ \underline{-2x+4y=-14} \end{array}\right.\\[7pt] 9y=-9,\ y=-1 \end{gather*} Підставимо \(y=-1\) у друге рівняння: \begin{gather*} x-2(-1)=7,\\[7pt] x+2=7,\\[7pt] x=5. \end{gather*}

Розв'язок системи \((x_0; y_0)\) це \((5; -1).\) Сума \(x_0+y_0=5+(-1)=4.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

За \(220\) грн можна купити шоколадок по \(35\) грн: $$ 220:35=6\frac{10}{35}. $$

Отже, \(6\) шоколадок зможе купити покупець маючи \(220\) грн і матиме решту \(10\) грн.

За кожні \(3\) шоколадки супермаркет надає одну безкоштовно.

\(6:3=2\) (рази).

Отже, \(2\) рази можна скористатися акцією і отримати \(+2\) шоколадки. Тоді

\(6+2=8\) шоколадок отримає покупець.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Графік функції перетинає вісь \(y\) в одній точці \(Д\ (0; 4).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} 2x-3=4,\\[7pt] 2x=4+3,\\[7pt] 2x=7,\\[7pt] x=7:2,\\[7pt] x=3\mathord{,}5. \end{gather*}

Значення \(x\) належить проміжку \([2; 4).\)

Відповідь: Г.