ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку розуміння того, які сили діють на тіло, уміння описати стан тіла за допомогою другого закону Ньютона.

Зображена система зв’язаних брусків не рухатиметься, якщо сили натягу нитки на обох її кінцях, створені кожним бруском, однакові.

Зобразімо на рисунку сили, що діють уздовж поверхонь похилих площин і які впливатимуть на стан системи брусків. Це проєкції сил тяжіння \((m_1\overrightarrow{g}\ \text{i}\ m_2\overrightarrow{g})\) і сил натягу нитки (\(\overrightarrow{T}_1=\overrightarrow{T}_2=\overrightarrow{T},\) оскільки бруски з’єднано спільною ниткою). Проєкції сил, перпендикулярних до поверхонь похилих площин (сили нормальної реакції опори \(\overrightarrow{N}_1\ \text{i}\ \overrightarrow{N}_2\) і вага \(\overrightarrow{P}_1\ \text{i}\ \overrightarrow{P}_2\)), скомпенсовані й на рух системи тіл не впливають.

Запишімо другий закон Ньютона для обох брусків у проєкціях на осі вздовж поверхонь похилих площин:

Прирівняймо вирази для сили натягу нитки й визначімо співвідношення мас:

Відповідь: B.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Закон збереження імпульсу.

Завдання скеровано на перевірку знання і вміння застосовувати закон збереження імпульсу.

Скористаймося законом збереження імпульсу для системи двох куль: $$ \overrightarrow{p}_1+\overrightarrow{p}_2=\overrightarrow{p}^{\ \ '}_1+\overrightarrow{p}^{\ \ '}_2, $$ де \(\overrightarrow{p}_1\) і \(\overrightarrow{p}_2\) ‒ імпульси куль до зіткнення, \(\overrightarrow{p}^{\ \ '}_1\) і \(\overrightarrow{p}^{\ \ '}_2\) ‒ імпульси куль після зіткнення відповідно.

Якщо після зіткнення частина кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію і нагрівання тіл), таке зіткнення називають непружним. Непружне зіткнення, після якого тіла рухаються як єдине ціле, називають абсолютно непружним.

Спроєктуймо вектори імпульсів цього рівняння на горизонтальну вісь, що напрямлена вздовж напрямку руху, наприклад, першої кулі й, відповідно, руху криголама разом із крижиною після зіткнення: $$ p_1-p_2=0, $$ \(p'_1+p'_2=(m_1+m_2)\cdot v'=0,\) оскільки після зіткнення обидві кулі зупинилися за умовою (швидкість після зіткнення \(v'=0\)).

Запишімо загальний імпульс системи куль до зіткнення:

Отже, зміна загального імпульсу системи куль унаслідок зіткнення дорівнюватиме нулю.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Кількість теплоти.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння перетворення кількості теплоти в інший вид енергії.

Унаслідок утраченої мідною кулькою внутрішньої енергії виділилася певна кількість теплоти \(Q:\) \begin{gather*} Q=cm\Delta t, \end{gather*} де \(c\) ‒ питома теплоємність міді, з якої зроблена кулька, \(m\) ‒ маса кульки, \(\Delta t\) ‒ зміна температури.

Під час підняття кульки на певну висоту \(h\) збільшиться її потенціальна енергія \(E_p\) від нуля до якогось значення: $$ E_p=mgh, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

За умовою на підняття кульки витратиться \(1\ \text{%}\) від кількості теплоти, що виділиться: \begin{gather*} 0,01\cdot Q=E_p,\\[7pt] 0,01\cdot cm\Delta t=mgh,\\[7pt] 0,01\cdot c\Delta t=gh. \end{gather*}

Виразімо звідси \(h\) й обчислімо її:

Відповідь: A.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння ізопроцесів в газах і вміння будувати й читати графіки відповідних ізопроцесів.

В умові завдання є графік ізобарного процесу ‒ для газу деякої маси відношення об’єму газу до температури є незмінним, якщо тиск газу не змінюється \((p=\mathrm{const}):\) \begin{gather*} \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2},\\[6pt] \text{або}\ \frac VT=\mathrm{const}=\frac mM\cdot \frac Rp. \end{gather*}

Збільшуючи чисельник (об’єм), треба в стільки ж разів збільшувати знаменник (абсолютну температуру), щоб значення дробу було незмінним.

Графік ізобарного процесу називають ізобарою. Як випливає із закону Ґей-Люссака, за незмінного тиску об’єм газу даної маси прямо пропорційний його температурі: \begin{gather*} V=\mathrm{const}\cdot T,\\[6pt] \text{або}\ T=\mathrm{const}\cdot V. \end{gather*}

Графіком цієї залежності в координатах \(T,\ V\) є пряма, що проходить через початок координат (див. рисунок в умові). Аналізуючи графік, доходимо висновку, що з наближенням до абсолютного нуля об’єм ідеального газу має зменшитися до нуля. Зрозуміло, що це неможливо, оскільки реальні гази за низьких температур перетворюються на рідини.

У координатах \(p,\ V\) і \(p,\ T\) ізобари перпендикулярні до осі тиску. Єдиний рисунок із варіантів відповіді, на якому зображено графік \(p=\mathrm{const}\) ‒ варіант В:

Відповідь: B.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Змочування.

Завдання скеровано на розуміння того, як поводиться змочувальна або незмочувальна рідина в капілярах.

Унаслідок зіткнення з твердим тілом сферична форма краплі здебільшого не зберігається. Форма вільної поверхні рідини залежить від сил взаємодії молекул чи інших структурних частинок рідини зі структурними частинками твердого тіла.

Якщо сили взаємодії між структурними частинками рідини більші, ніж сили взаємодії між структурними частинками рідини та твердого тіла, рідина не змочує поверхню твердого тіла. Наприклад, ртуть не змочує скло, а вода не змочує вкриту сажею поверхню.

Крапелька ртуті розтечеться по поверхні цинкової пластинки, а крапелька води – на скляній поверхні. Отже, якщо сили взаємодії між структурними частинками рідини менші від сил взаємодії між молекулами рідини і твердого тіла, то рідина змочує поверхню твердого тіла.

За умовою крапля рідини розпливається тонким шаром по скляній поверхні, отже, змочує цю поверхню. Тому змочуватиме й вертикальний скляний капіляр.

Що тонший капіляр, то вище підніматиметься в ньому рідина. Рівень рідини в капілярі не може бути нижчим від загального рівня рідини в посудині, у яку капіляр уставлено.

Оскільки рідина змочує стінки капіляра, то біля його стінок вона набуватиме ввігнутої форми і ззовні, і зсередини.

Отже, єдиний правильний із-поміж наведених – рисунок А: рідина в капілярі піднялася вище від загального рівня, а вода і ззовні, і зсередини змочує скло.

Відповідь: A.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон збереження електричного заряду.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження електричного заряду.

Закон збереження електричного заряду: повний заряд електрично замкненої системи тіл залишається незмінним під час усіх взаємодій, які відбуваються в цій системі: $$ q_1+q_2+\dots +q_n=\mathrm{const}, $$ де \(q_1,\ q_2,\ \dots ,\ q_n\) ‒ заряди тіл, які утворюють систему; \(n\) ‒ кількість тіл.

За умовою

Отже, після з’єднання кульок тонким провідником заряд перерозподілиться порівну між кульками, і заряд кульки \(1\) дорівнюватиме заряду кульки \(2:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. З’єднання конденсаторів.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння з’єднання конденсаторів, уміння визначати їхні характеристики.

Енергію \(W\) зарядженого до напруги \(U\) конденсатора (батареї конденсатора), який має електроємність \(C_\text{заг}\) і заряд \(Q,\) обчислюють так: $$ W=\frac{Q^2}{2C_\text{заг}}. $$

Визначімо загальний заряд \(Q\) і загальну електроємність \(C_\text{заг}\) батареї двох конденсаторів (саме ці величини зазначено в умові).

У разі паралельного з’єднання конденсаторів позитивно заряджені обкладки всіх конденсаторів з’єднують в один вузол, а негативно заряджені ‒ в інший вузол (див. рисунок).

У такому разі загальний заряд \(Q\) батареї конденсаторів дорівнює алгебричній сумі зарядів окремих конденсаторів: $$ Q=q_1+q_2, $$ де \(q_1\) і \(q_2\) ‒ заряд першого і другого конденсаторів відповідно.

За умовою заряд першого конденсатора дорівнює \(q_1=q,\) а другий конденсатор незаряджений, тобто \(q_2=0.\) Тоді загальний заряд батареї $$ Q=q. $$

З’єднані в один вузол обкладки є одним провідником, тому потенціали обкладок і різниця потенціалів (напруга \(U\)) між обкладками всіх конденсаторів однакові: $$ U=U_1=U_2. $$

Отже, за паралельного з’єднання конденсаторів допустима робоча напруга батареї визначена робочою напругою одного конденсатора. Візьмемо до уваги, що \begin{gather*} Q=C_\text{заг}U,\\[7pt] q_1=C_1U,\\[7pt] q_2=C_2U. \end{gather*}

Тому $$ C_\text{заг}U=C_1U+C_2U. $$

А загальна електроємність \(C_\text{заг}\) батареї з двох паралельно з’єднаних конденсаторів $$ C_\text{заг}=C_1+C_2. $$

Зважаючи, що електроємності конденсаторів рівні $$ C_1=C_2=C, $$ загальна електроємність $$ C_\text{заг}=2C. $$

Визначімо енергію електричного поля утвореної системи конденсаторів: $$ W=\frac{Q^2}{2C_\text{заг}}=\frac{q^2}{2\cdot 2C}=\frac{q^2}{4C}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Закони постійного струму. Джерела струму.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння будови та принципу дії гальванічного елемента.

Гальванічний елемент – це хімічне джерело живлення, у якому використовують різницю електродних потенціалів двох металів (варіант В неправильний), занурених в електроліт.

Гальванічний елемент з лимона й двох дротів ‒ це простий пристрій, у якому використовують хімічну реакцію між металами та лимонною кислотою для створення електричного струму.

Хімічна реакція розпочинається не відразу, тож є змога виміряти і напругу, і силу струму. Тому цей гальванічний елемент миттєво не розрядиться.

З експериментів відомо, що такий саморобний гальванічний елемент дає дуже малу силу струму, \(\sim 10^{-3}\ \text{А}.\)

За умовою лампа не засвітилася, тобто сила струму була замалою для роботи лампи розжарювання.

Із запису закону Ома для повного кола $$ I=\frac{\mathbf{\varepsilon}}{R+r} $$ випливає, що сила струму \(I\) в такому джерелі невелика, бо дуже великий внутрішній опір \(r\) лимона.

Через великий внутрішній опір джерела живлення напруга, тобто електрорушійна сила ε не могла бути настільки високою, щоб перегоріла лампа розжарювання. Треба ще долати досить великий внутрішній опір лимона, тому лампа навіть не засвітилася.

Отже, єдиною причиною того, що лампа не засвітилася, є завеликий внутрішній опір гальванічного елемента.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах.

Завдання скеровано на перевірку розуміння фізичної природи електричного струму в різних середовищах, а також залежності сили струму від температури.

Електроліти ‒ тверді або рідкі речовини, які мають йонну провідність. Якщо в розчин або розплав помістити електроди, приєднані до різнойменних полюсів джерела струму, то, подібно до вільних електронів у металах, йони дрейфуватимуть у певному напрямку: позитивні йони (катіони) ‒ до негативного електрода (катода); негативні йони (аніони) ‒ до позитивного електрода (анода). Тобто в розчині виникне електричний струм. З підвищенням температури кількість йонів в електроліті значно збільшується, тому попри збільшення кількості ефективних зіткнень опір електроліту зменшується (див. графік), відповідно сила струму збільшується.

Напівпровідники, як це випливає з їхньої назви, за своєю провідністю посідають проміжне місце між провідниками й діелектриками. Серед валентних електронів обов’язково є електрони, кінетична енергія яких достатня, щоб покинути зв’язки й стати вільними. Якщо напівпровідниковий кристал помістити в електричне поле, то вільні електрони рухатимуться до позитивного полюса джерела струму, тому в напівпровіднику виникне електричний струм. Якщо напівпровідник нагріти або опромінити світлом, кількість вільних електронів і дірок збільшиться, відповідно збільшиться і провідність напівпровідника. На відміну від металевих провідників питомий опір напівпровідників зазвичай зменшується з підвищенням температури (див. графік), а отже, сила струму збільшується.

Згідно з класичною електронною теорією модель внутрішньої будови металу – це утворена позитивно зарядженими йонами кристалічна ґратка, яка перебуває в «газі» вільних електронів. Якщо в металевому провіднику створити електричне поле, то на хаотичний рух електронів накладеться дрейф електронів у напрямку сили, що діє на електрони з боку електричного поля. Цей дрейф електронів і є електричним струмом у металах. Якщо підвищувати температуру металевого провідника, то йони у вузлах кристалічної ґратки коливатимуться з більшою амплітудою, хаотичність руху електронів збільшиться, тож вони частіше зіштовхуватимуться з йонами. Відповідно опір (питомий опір) збільшуватиметься (див. графік), а сила струму зменшуватиметься за законом Ома для ділянки кола: $$ I=\frac UR, $$ де \(I\sim \frac 1R\) ‒ сила струму \(I,\) що обернено пропорційна до електричного опору \(R.\)

У природних умовах гази складаються з нейтральних атомів і молекул, тому вони є діелектриками. Для створення вільних електричних зарядів гази піддають зовнішнім впливам (впливу зовнішнього йонізатора). Під впливом йонізатора (нагрівання або опромінення) нейтральні молекули діляться на позитивний йон і вільний електрон (див. рисунок). Далі електрон може об’єднатися з нейтральною молекулою, утворюючи тим самим негативний йон.

Описані вище процеси називають йонізацією газу.

За наявності електричного поля йони й електрони рухаються впорядковано, утворюючи електричний струм.

Отже, у газах електричний струм зумовлений спрямованим рухом позитивних і негативних йонів і вільних електронів.

Під час збільшення температури концентрація носіїв струму в газах зростає, що приводить до зменшення опору (див. рисунок). Відповідно сила струму зростатиме.

Єдине з наведених середовище, у якому підвищення температури спричиняє зменшення сили струму, ‒ метал.

Відповідь: B.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Магнітне поле. Магнітна індукція.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння магнітної індукції, уміння визначати полюси котушки за правилом правої руки.

Алюмінієвий дріт, намотаний на каркас, називають котушкою. Якщо цим дротом пропустити електричний струм, котушка стане штучним магнітом. Треба визначити полюси такого магніту, тоді зможемо визначити, як поводитимуться магніти, підвішені з ним поруч на нитках.

За напрямок струму в замкненому електричному колі прийнято напрямок, у якому частинки, що мають позитивний заряд, рухаються по колу, тобто напрямок від позитивного полюса джерела струму до негативного (див. рисунок).

Котушка зі струмом має два полюси ‒ південний \(S\) і північний \(N.\) Полюси котушки розташовані на її торцях, і їх легко визначити за допомогою правила правої руки:
якщо чотири зігнуті пальці правої руки спрямувати за напрямком струму \(I\) в котушці, то відігнутий на \(90^\circ\) великий палець укаже напрямок на північний полюс котушки, тобто напрямок вектора магнітної індукції всередині котушки (див. рисунок).

Отже, ліворуч у котушки північний полюс, а праворуч ‒ південний. Підвішені магніти зорієнтовані різнойменними полюсами до полюсів котушки, тому притягуватимуться і зліва, і справа до котушки.

Відповідь: A.

Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Нитяний маятник, період коливань нитяного маятника.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння параметрів, від яких залежить період коливань нитяного маятника.

Період коливань \(T\) нитяного (математичного) маятника визначають за формулою $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{\frac lg}, $$ де \(l\) ‒ довжина маятника; \(g\) ‒ прискорення вільного падіння.

За умовою довжини обох ниток однакові: $$ l_1=l_2. $$

У формулу також входить прискорення вільного падіння, але в умові не зазначено, що кульки в різних місцях, тому вважаємо, що прискорення вільного падіння однакове для обох кульок.

З формули зрозуміло, що період коливань нитяного маятника не залежить від маси тіла. Тож ні від густини (у металу й дерева значення густини різні), ні від об’єму (за умовою радіуси кульок однакові) період коливань також не залежить.

Період коливань математичного маятника не залежить від маси маятника, а визначається лише довжиною нитки та прискоренням вільного падіння в тому місці, де розташований цей маятник.

Отже, періоди малих коливань кульок із різних матеріалів на нитках однакової довжини будуть однакові: $$ T_1=T_2. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Механічні коливання і хвилі. Коливання вантажу на пружині.

Завдання скеровано на перевірку знання суті і розуміння закономірностей коливань тіла на пружині, сил, що діють на тіло в певній ситуації.

Позначмо на рисунку сили, які діють на кульку, що підвішена до пружини й поки не коливається на ній (див. рисунок ліворуч). На кульку діє сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) і сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж с}.\) Кулька перебуває в положенні рівноваги: у середній точці, сили врівноважені, рівнодійна сил дорівнює нулю.

Коли кулька переміститься у верхню точку (див. рисунок посередині), сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж в}\) зменшиться (може зменшитися навіть до нуля), натомість сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) змін не зазнає. У цьому разі рівнодійна обох сил буде відмінна від нуля і напрямлена вертикально вниз.

У нижній точці навпаки: сила пружності \(\overrightarrow{F}_\text{пруж н}\) збільшиться (можливо, що й до максимального значення), а сила тяжіння \(\overrightarrow{F}_\text{тяж}\) не зміниться. Рівнодійна сил, відмінна від нуля, буде напрямлена вгору.

Отже, сили, що діють на кульку, будуть урівноважені лише в положенні рівноваги, тобто в середній точці.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Електромагнітні коливання і хвилі. Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі.

Завдання скеровано на перевірку знання суті і розуміння закономірностей коливального процесу в коливальному контурі, а також уміння описувати цей процес відповідним рівнянням.

Коливання в коливальному контурі (у котушці зокрема) відбуваються за гармонічним законом (законом косинуса або синуса): \begin{gather*} i=I_{max}\cos\mathbf{\omega}t,\\[7pt] \text{або}\\[7pt] i=I_{max}\sin\mathbf{\omega}t, \end{gather*} де \(i\) – миттєве значення сили струму, \(I_{max}\) – амплітудне значення сили струму, \(\mathbf{\omega}\) – циклічна частота змінного струму, \(t\) – час.

У будь-якій реальній коливальній системі завжди є втрати енергії. Під час електромагнітних коливань – на нагрівання провідників, випромінювання електромагнітних хвиль. Частина енергії електромагнітного поля під час кожного коливання перетворюється на внутрішню (теплову) енергію тощо. Унаслідок цього амплітуда коливань із часом зменшується. А через певний інтервал часу, якщо немає надходжень енергії від зовнішнього джерела, коливання припиняються (згасають). Тому вільні коливання завжди є згасними. Але в умові зазначено, що амплітуда коливань не змінюється, отже, вважатимемо коливання незгасними.

В умові не задано амплітудне значення сили струму, тож зосередимося на визначенні циклічної частоти \(\mathbf{\omega}:\) $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}, $$ де \(T\) – період коливань.

Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) – індуктивність котушки, \(C\) – електроємність конденсатора.

Отже, за цих умов єдиним рівнянням, що описує залежність сили струму \(i\) в котушці від часу \(t,\) може бути рівняння $$ i=0,15\sin250t. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Побудова зображень, які дає тонка лінза.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння законів поширення променя в збиральній лінзі, уміння схематично зобразити його хід.

Спочатку добудуймо фокальну площину, яка проходить через фокус лінзи точку \(F,\) перпендикулярно до головної оптичної осі, що перпендикулярна до лінзи.

Далі побудуймо додаткову оптичну вісь, що проходить так само, як і головна, крізь оптичний центр лінзи точку \(O,\) але паралельно променям, що падають на лінзу. Пам’ятаймо, що промінь, який проходить крізь оптичний центр лінзи, не заломлюється.

Отримуємо точку перетину додаткової оптичної осі і фокальної площини (див. схематичний рисунок). Ця точка збіглася з точкою \(2\) з умови. Це є додатковий фокус.

Будь-який пучок паралельних променів, навіть якщо ці промені не паралельні головній оптичній осі, після заломлення в збиральній лінзі завжди перетинаються в одній точці ‒ у головному фокусі \(F\) або додатковому (лежить на фокальній площині).

Тож після проходження крізь збиральну лінзу промені перетнуться в точці \(2.\)

Відповідь: Б.