ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Магнітний потік. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння поняття індукційного струму, електрорушійної сили (ЕРС) індукції, магнітного потоку й уміння застосувати аналітичні зв'язки між цими поняттями.

Силу індукційного струму \(I_\text{i}\) в контурі опором \(R\) визначають за законом Ома: $$ I_\text{i}=\frac{\mathbf{\varepsilon}_\text{i}}{R}. $$

За законом електромагнітної індукції визначімо електрорушійну силу (ЕРС) індукції \(\mathbf{\varepsilon}_\text{i}.\) ЕРС індукції дорівнює швидкості зміни магнітного потоку \(\text{Ф},\) який пронизує поверхню, обмежену контуром: $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=-\frac{\Delta \text{Ф}}{\Delta t}. $$

Знак мінус відображає правило Ленца: індукційний струм, який виникає в замкненому провідному контурі, має такий напрямок, що створений цим струмом магнітний потік перешкоджає зміні магнітного потоку, який спричинив появу індукційного струму.

Потік магнітної індукції (магнітний потік) \(\text{Ф}\) ‒ це фізична величина, яка дорівнює добуткові магнітної індукції \(B\) на площу \(S\) поверхні та на косинус кута \(\mathbf{\alpha}\) між вектором магнітної індукції і нормаллю \(n\) до поверхні: $$ \text{Ф}=BS\cos\mathbf{\alpha}. $$

В умові кут між вектором магнітної індукції й горизонтом \(\mathbf{\varphi}=30^\circ .\) Тоді кут $$ \mathbf{\alpha}=90^\circ-\mathbf{\varphi}=90^\circ-30^\circ=60^\circ, $$ оскільки нормаль \(n\) ‒ це перпендикуляр до поверхні.

За умовою завдання магнітне поле, у якому перебуває контур (горизонтальне кільце), змінюється, тому маємо: $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=\frac{\Delta BS\cos\mathbf{\alpha}}{\Delta t}. $$

Тоді силу індукційного струму \(I_\text{i}\) в контурі можна визначити за формулою

Відповідь: 0,6.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Механічні коливання і хвилі. Гармонічні коливання.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння характеристик механічних коливань, уміння читати рівняння гармонічних коливань і брати з них потрібну інформацію.

Кількість \(N\) коливань за одиницю часу \(t\) ‒ це частота коливань \(\mathbf{\nu}:\) \begin{gather*} \mathbf{\nu}=\frac Nt,\ \text{звідки}\ N=\mathbf{\nu}t. \end{gather*}

Частоту \(\mathbf{\nu}\) можна визначити з рівняння гармонічних коливань. Коливання, під час яких координата \(x\) тіла, що коливається, змінюється із часом \(t\) за законом косинуса (або синуса), називають гармонічними коливаннями: \begin{gather*} x=A\cos(\mathbf{\omega}t+\mathbf{\varphi}_0), \end{gather*} де \(A\) ‒ амплітуда коливань, \(\mathbf{\omega}\) ‒ циклічна частота, \(\mathbf{\varphi}_0\) ‒ початкова фаза; $$ \mathbf{\omega}=\frac{2\mathbf{\pi}}{T}=2\mathbf{\pi}\mathbf{\nu}, $$ де \(T\) ‒ період коливань, звідки $$ \mathbf{\nu}=\frac{\mathbf{\omega}}{2\mathbf{\pi}}. $$

Циклічну частоту визначімо з рівняння в умові завдання ‒ це множник перед \(t:\) \begin{gather*} x=0,06\cos 4\mathbf{\pi}t,\\[7pt] \mathbf{\omega}=4\mathbf{\pi}. \end{gather*}

Отже,

Визначімо тепер кількість коливань за \(10\ \text{с:}\) $$ N=\mathbf{\nu}t=2\ \text{Гц}\cdot 10\ \text{с}=20. $$

Відповідь: 20.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Формула тонкої лінзи.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння формули тонкої лінзи й побудови зображень у тонкій лінзі.

Оптичну силу \(D\) лінзи (об’єктива) ‒ фізичну величину, яка характеризує заломні властивості лінзи й обернена до її фокусної відстані \(F\) можна визначити за формулою: $$ D=\frac 1F. $$

Математична залежність між відстанню d від предмета до лінзи, відстанню f від зображення предмета до лінзи і фокусною відстанню F лінзи представлена формулою тонкої лінзи: \begin{gather*} \frac 1F=\frac 1d+\frac 1f. \end{gather*}

Розгляньмо схематичну побудову зображення \(A_1B_1\) дерева \(AB\) в збиральній лінзі об’єктива фотоапарата: дерево \(AB\) розташоване за подвійним фокусом об’єктива, тому зображення \(A_1B_1\) виходить дійсним, зменшеним, перевернутим.

За умовою об᾽єктив фотоапарата дає зображення дерева, зменшене в \(600\) разів, тобто (див. рисунок) $$ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac Hh=\frac{1}{600}. $$

Відношення лінійного розміру \(H\) зображення предмета до розміру \(h\) самого предмета називають лінійним збільшенням \(\text{Г}\) лінзи: $$ \text{Г}=\frac Hh=\frac fd $$ (це співвідношення можна отримати з подібних трикутників \(OAB\) і \(OA_1B_1).\)

Відстань \(d\) від дерева до лінзи дано в умові ‒ \(15\ \text{м.}\) А відстань \(f\) від зображення дерева до лінзи можна визначити із співвідношення

Тепер можна визначити оптичну силу об᾽єктива фотоапарата:

Відповідь треба округлити до цілого числа (до одиниць), отже, $$ D=40,0(6)\ \text{м}\approx 40\ \text{м}. $$

Відповідь: 40.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Світлові кванти. Рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

Для описання фотоефекту скористаймося рівнянням Ейнштейна: $$ h\mathbf{\nu}=A_\text{вих}+E_{kmax}. $$

Унаслідок поглинання фотона металом енергія фотона $$ E_\text{ф}=h\mathbf{\nu}, $$ де \(h\) ‒ стала Планка, \(\mathbf{\nu}\) ‒ частота випромінювання може бути повністю передана електрону й витратитися на здійснення роботи виходу \(A_\text{вих}\) й надання електрону кінетичної енергії \(E_{kmax}.\)

Запишімо рівняння до підвищення частоти за умови, що \(E_{k1max}=\frac 12A_\text{вих}:\)

Після підвищення частоти випромінювання максимальна кінетична енергія фотоелектронів збільшилася в \(7\) разів:

Визначімо, у скільки разів збільшилася частота випромінювання:

Отже, частота випромінювання збільшилася в \(3\) рази.

Відповідь: 3.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Вільне падіння.

Завдання скеровано на перевірку розуміння вільного падіння тіл.

Якщо б у трубці було повітря, то найважче тіло (дробинка) упало б на дно трубки найшвидше. За умовою завдання повітря з трубки відкачано, тіла падають вільно з однакової висоти.

Вільним називають падіння тіл у безповітряному просторі, тобто це падіння лише під дією сили тяжіння.

Експериментально було доведено, що швидкість будь-якого тіла, яке вільно падає, щосекунди збільшується приблизно на \(9,8\ \text{м/с}\). Тож усі тіла, що рухаються вертикально вгору або вниз, рухатимуться прямолінійно рівноприскорено із прискоренням вільного падіння \(9,8\ \text{м/с}^2.\)

Тобто в безповітряному просторі (вакуумі) усі тіла ‒ дробинка, корок і пташине перо ‒ незалежно від їхньої маси, об’єму, форми ‒ упадуть на дно трубки одночасно.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Графіки залежності кінематичних величин від часу за рівномірного й рівноприскореного рухів.

Завдання скеровано на перевірку вміння інтерпретувати графіки, переходити від однієї до другої залежності величин.

Розгляньмо щосекунди наведений в умові завдання графік залежності координати \(x\) тіла від часу \(t.\)

Ділянка графіка від початку відліку часу до першої секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху. Адже графіком є частина параболи (вітки вниз), початкова координата \(x_0=0,\) кінцева координата \(x=-2\ \text{м}.\) На графіку точка початку відліку є вершиною параболи ‒ точкою розвороту. Тож до початку відліку часу тіло рухалося вздовж осі \(Ox.\) Із початком відліку часу тіло розвернулося (початкова швидкість \(v_0=0)\) і протягом \(1\ \text{с}\) прискорювало свій рух, рухаючись у протилежному до осі \(Ox\) напрямку. Запишімо рівняння координати й визначмо прискорення руху тіла: $$ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. $$

Оскільки \(x_0=0\) і \(v_0=0,\) то \(x=\frac{at^2}{2}.\) Звідси $$ a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2\cdot(-2)\ \text{м}}{1\ \text{с}^2}=-4\ \text{м/с}^2. $$

Знаючи прискорення руху тіла, знайдімо кінцеву швидкість руху тіла наприкінці першої секунди: $$ v=v_0+at=-4\ \text{м/с}^2\cdot 1\ \text{с}=-4\ \text{м/с}. $$

Знак «мінус» указує на те, що тіло рухалося в напрямку, протилежному до напрямку осі \(Ox.\)

Значення початкової і кінцевої швидкості руху тіла за першу секунду відповідають лише варіанту відповіді A. Щоб упевнитися в правильності варіанта відповіді A, проаналізуймо рух тіла в наступні секунди.

Від 1-ї до 2-ї секунди: ділянка графіка залежності координати тіла від часу прямолінійна, отже, рух рівномірний, швидкість стала.

Від 2-ї до 3-ї секунди: це графік прямолінійного рівноприскореного руху, оскільки графіком є частина параболи (вітки вгору), тіло гальмує, швидкість руху тіла зменшується до нуля, тіло зупиняється.

Від 3-ї до 4-ї секунди: координата тіла не змінюється, отже, швидкість тіла дорівнює нулю ‒ тіло не рухається.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи кінематики. Прямолінійний рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закономірностей прямолінійного рівномірного і рівноприскореного рухів.

Розгляньмо рух парашутиста і рух монети.

За умовою завдання парашутист опускався зі сталою швидкістю \(v=5\ \text{м/с,}\) оскільки дія сили тяжіння була скомпенсована дією сили опору повітря. Отже, відстань \(h=100\ \text{м}\) він подолав за \(20\ \text{с:}\) $$ t_{\text{пар}}=\frac hv=\frac{100\ \text{м}}{5\ \text{м/с}}=20\ \text{с}. $$

Монета пройшла той самий шлях \(h=100\ \text{м},\) але рухалася рівноприскорено. Власна початкова швидкість монети, що просто випала з кишені, дорівнювала нулю. Але до того монета була в кишені парашутиста, який рухався зі швидкістю \(5\ \text{м/с},\) тому початкова швидкість монети \(v_0\) становила \(5\ \text{м/с}.\) За умовою впливом опору повітря на монету нехтуємо, тож можемо визначити час її падіння з кінематичного рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2}, $$ де \(g\) ‒ прискорення вільного падіння (усі векторні величини записано в проєкціях на вісь \(Oy,\) напрямлену вертикально вниз, так само, як і вектор прискорення вільного падіння).

Підставмо значення величин у рівняння: $$ h=v_0t+\frac{>^2}{2} \Rightarrow 100=5t+\frac{10t^2}{2}. $$

Поділімо ліву і праву частину рівняння на \(5\) і дістанемо зведене квадратне рівняння: $$ t^2+t-20=0. $$

За теоремою Вієта визначмо корені рівняння: $$ t_1=-5,\ \ t_2=4. $$

Час не може бути від’ємним, тому умову задовольняє корінь \(t_2=4\ \text{с},\) тобто монета впала за \(4\ \text{с},\) а парашутист, відповідно, приземлився на \(16\ \text{с}\) пізніше: $$ \Delta t = t_\text{пар}-t_2=20\ \text{с}-4\ \text{с}=16\ \text{с}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Імпульс тіла. Кінетична енергія.

Завдання скеровано на перевірку знання формул для визначення імпульсу й кінетичної енергії тіла.

Імпульс тіла \(\overrightarrow{p}\) – це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку маси \(m\) тіла на швидкість \(\overrightarrow{v}\) його руху: $$ \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. $$

Обчислімо значення імпульсу автомобіля: $$ p=1000\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}=10^4\ \text{кг}\cdot \text{м/с}. $$

Кінетична енергія \(E_k\) ‒ це фізична величина, якою характеризують механічний стан рухомого тіла. Кінетична енергія дорівнює половині добутку маси \(m\) тіла на квадрат швидкості \(v\) його руху: \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2}. \end{gather*}

Обчислімо значення кінетичної енергії автомобіля: $$ E_k=\frac{1000\ \text{кг}\cdot (10\ \text{м/с})^2}{2}=5\cdot 10^4\ \text{Дж}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Механіка. Елементи механіки рідин і газів. Умови плавання тіл.

Завдання скеровано на перевірку розуміння умов плавання тіл.

Розгляньмо два варіанти плавання бруска: у гасі й у воді. Силу тяжіння \(F_\text{тяж},\) що діє на брусок, урівноважує сила Архімеда \(F_А\) (за модулем).

Варіант перший – брусок плаває у гасі: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АГ},\\[7pt] mg=\mathbf{\rho}_\text{Г}gV_\text{Гзан}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса бруска, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\rho}_\text{Г}\) ‒ густина гасу, \(V_\text{Гзан}\) ‒ об’єм зануреної в гас частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: $$ m=\mathbf{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}, $$ де \(S\) ‒ площа основи (нижньої грані) бруска, \(h_\text{Г}\) ‒ глибина занурення бруска в гас.

Варіант другий – брусок плаває у воді: \begin{gather*} F_\text{тяж}=F_\text{АВ},\\[7pt] mg=\mathbf{\rho}_\text{В}gV_\text{Взан}, \end{gather*} де \(\mathbf{\rho}_\text{В}\) ‒ густина води, \(V_\text{Взан}\) ‒ об’єм зануреної у воду частини бруска.

Після перетворень дістанемо вираз: \begin{gather*} m=\mathbf{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}, \end{gather*} де \(h_\text{В}\) – глибина занурення бруска у воду.

Прирівняймо вирази для визначення маси \(m\) бруска: \begin{gather*} \mathbf{\rho}_\text{В}Sh_\text{В}=\mathbf{\rho}_\text{Г}Sh_\text{Г}. \end{gather*}

Визначмо й обчислімо шукану величину \(h_\text{В}\) ‒ глибину занурення бруска у воду: \begin{gather*} h_\text{В}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{Г}h_\text{Г}}{\mathbf{\rho}_\text{В}},\\[6pt] h_\text{В}=\frac{800\ \text{кг/м}^3\cdot 60\ \text{мм}}{1000\ \text{кг/м}^3}=48\ \text{мм}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Кількість речовини.

Завдання скеровано на перевірку розуміння основних понять молекулярно-кінетичної теорії (кількість речовини, стала Авогадро, а також на перевірку вміння обчислювати кількість молекул газу).

Кількість структурних частинок у макроскопічних тілах величезна. Структурними частинками можуть бути атоми, молекули, йони, електрони або інші частинки чи певні групи частинок.

Для зручності обчислень використовують одиницю кількості речовини – моль. Будь-яка речовина кількістю \(1\ \text{моль}\) містить \(6\cdot 10^{23}\) (число Авогадро) структурних частинок.

Стала Авогадро \(N_A\approx 6\cdot 10^{23}\ \text{моль}^{‒1}\) – кількість структурних частинок \(N\) у речовині кількістю \(1\ \text{моль}.\) Кількість речовини позначають буквою \(\mathbf{\nu}\) грецької абетки й обчислюють за формулою: $$ \mathbf{\nu}=\frac{N}{N_A}. $$

Відповідно

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів. Адіабатний процес.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змін макроскопічних фізичних параметрів газу під час адіабатного процесу.

Адіабатний процес відбувається без теплообміну з навколишнім середовищем. За адіабатного процесу кількість теплоти, передана системі, дорівнює нулю. Тож умову завдання не задовольняють варіанти відповіді, у яких зазначено, що газ отримує тепло.

Перший закон термодинаміки для адіабатного процесу запишімо так: \begin{gather*} \Delta U+A=0,\\[7pt] A=-\Delta U. \end{gather*}

Це означає, що під час адіабатного розширення газ виконує додатну роботу \(A\) за рахунок зменшення внутрішньої енергії \(\Delta U,\) одночасно температура й тиск газу зменшуються, а об’єм збільшується.

Тобто за адіабатного розширення газ не отримує тепла, а його внутрішня енергія зменшується.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи термодинаміки. Робота в термодинаміці.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати термодинамічну роботу.

За ізобарного процесу передана газу кількість теплоти йде як на збільшення внутрішньої енергії газу, так і на виконання механічної роботи. За умовою азот розріджений, тобто відстань між молекулами набагато більша за розміри самих молекул, тому ці молекули можна вважати матеріальними точками, а їхньою взаємодією, окрім моментів зіткнення, можна знехтувати. Тобто азот можна вважати ідеальним газом, а роботу газу \(A\) визначити за формулою $$ A=p\Delta V, $$ де \(p\) ‒ тиск газу, \(\Delta V\) ‒ зміна об’єму газу.

Для визначення виконаної азотом роботи скористаймося рівнянням стану ідеального газу (рівнянням Менделєєва – Клапейрона): \begin{gather*} p\Delta V=\frac mM R\Delta T,\\[6pt] A=\frac mM R\Delta T, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса газу, \(M\) ‒ молярна маса газу, \(R\) ‒ універсальна газова стала, \(\Delta T\) ‒ зміна температури газу.

Обчислімо шукану величину:

Відповідь: В.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку розуміння теплових процесів і вміння складати рівняння теплового балансу.

Під час згоряння паливо віддаватиме тепло, яке потрібне, щоб розтопити лід.

В ізольованій системі тіл, у якій внутрішня енергія тіл змінюється лише внаслідок теплопередачі, загальна кількість теплоти, віддана одними тілами системи, дорівнює загальній кількості теплоти, одержаної іншими тілами цієї системи.

Загальний вигляд рівняння теплового балансу такий:

Запишімо рівняння теплового балансу відповідно до умови завдання: \begin{gather*} Q^-_\text{згоряння}=Q^+_\text{плавлення};\\[7pt] qm_\text{п}=\mathbf{\lambda}m_\text{л}, \end{gather*} де \(q\) ‒ питома теплота згоряння палива, \(m_\text{п}\) ‒ маса палива, \(\mathbf{\lambda}\) ‒ питома теплота плавлення льоду, \(m_\text{л}\) ‒ маса льоду.

В умові йдеться про лід за температури його плавлення – \(0\ ^\circ \mathrm{C}.\) Тож уся отримана від згоряння палива кількість теплоти буде витрачена на зміну агрегатного стану льоду з твердого на рідкий.

Обчислімо необхідну масу палива:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон збереження електричного заряду. Напруженість електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону збереження електричного заряду й силової характеристики електричного поля ‒ напруженості.

Модуль напруженості \(\overrightarrow{E}\) електричного поля, створеного точковим зарядом \(Q\) на відстані \(r\) від цього заряду, обчислюють за формулою $$ E=k\frac{|Q|}{r^2}, $$ де \(k\) ‒ коефіцієнт пропорційності.

Запишімо формулу для визначення модуля напруженості електричного поля дощової краплі із зарядом \(q_1=+1,5\ \text{нКл}\) на відстані \(10\ \text{см}\) від неї: $$ E_1=k\frac{|q_1|}{r^2}=\frac{1,5k}{r_2}. $$

Визначмо заряд \(Q_2\) краплі, якого вона набуде після злиття з краплею, заряд \(q_2\) якої становив \(-0,5\ \text{нКл.}\)

За законом збереження електричного заряду повний заряд електрично замкненої системи тіл залишається незмінним під час усіх узаємодій, які відбуваються в цій системі: $$ q_1+q_2+\cdots +q_n=const, $$ де \(q_1, q_2, ..., q_n\) ‒ заряди тіл, що створюють електрично замкнену систему (\(n\) ‒ кількість таких тіл).

Тобто

Запишімо формулу для визначення модуля напруженості електричного поля на тій самій відстані \(10\ \text{см}\) після того, як краплі злилися: $$ E_2=k\frac{|Q_2|}{r^2}=\frac{k}{r^2}. $$

Визначмо відношення модулів напруженості: $$ \frac{E_2}{E_1}=\frac{kr^2}{1,5kr^2}=\frac{1}{1,5}. $$

Отже, напруженість \(E_2\) зменшиться в \(1,5\) раза.

Відповідь: Г.