ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Ядерні реакції.

Завдання скеровано на перевірку вміння записувати рівняння ядерної реакції та визначати її результати.

Запишімо рівняння ядерної реакції, описаної в умові завдання: $$ \mathrm{^3_2He\ +\ ^3_1H\ \rightarrow\ ^4_2He\ +\ }^A_Z\mathrm{X}, $$ де \(\mathrm{X}\) ‒ невідома частинка, що утворилася внаслідок реакції.

У лівій і правій частинах рівняння реакції суми зарядів, як і суми мас, мають збігатися. Із відповідних рівнянь визначмо зарядове \(Z\) та масове \(A\) числа невідомого елемента \(\mathrm{X}.\)

Запишімо суму мас і суму зарядів для обох частин рівняння реакції: \begin{gather*} 3+3=4+A,\\[7pt] 2+1=2+Z. \end{gather*}

Із цих рівнянь маємо: \begin{gather*} A=2,\\[7pt] Z=1. \end{gather*}

Невідомий елемент \(^2_1\mathrm{X}\) ‒ це ізотоп Гідрогену Дейтерій \(^2_1\mathrm{H}.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Квантова фізика. Елементи теорії відносності. Атом та атомне ядро. Утворення лінійчастого спектра.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування знань про спектральний аналіз речовин.

Кожен газ в атомарному стані дає власний набір ліній спектра (власний чітко визначений набір довжин хвиль). Ці лінії завжди розташовані в тих самих місцях спектра, незалежно від способу збудження атомів.

Лінійчастий спектр будь-якого хімічного елемента не збігається з лінійчастим спектром інших хімічних елементів, тож є своєрідною «візитівкою» атомів із тим самим зарядом ядра.

Порівняймо за рисунком, наведеним в умові завдання, лінії спектра зразка невідомої речовини зі спектрами випромінювання Стронцію і Кальцію. Усі лінії спектра Стронцію є в зразку невідомої речовини, а ліній спектра Кальцію немає. Отже, у невідомій речовині є атоми Стронцію, але немає атомів Кальцію.

Відповідь: A.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Другий закон Ньютона. Основи кінематики. Рівномірний і рівноприскорений рухи.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати напрямок рівнодійної сил і напрямок швидкості руху тіл під час різних видів руху.

Розгляньмо приклад A. Коли автобус гальмує, то рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на автобус, буде напрямлена протилежно до напрямку руху, тобто до напрямку швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху автобуса (див. рисунок). Отже, ситуації А відповідає опис 1 рівнодійної сил.

Коли футбольний м’яч, спрямований воротарем на іншу половину футбольного поля, піднімається, то рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на м’яч, напрямлена вертикально вниз, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху м’яча ‒ по дотичній до траєкторії руху м’яча вгору, тож кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) – тупий. Отже, жоден опис 1–4 не відповідає прикладу Б.

Напрямок рівнодійної \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на снаряд, який рухається всередині ствола гармати під час пострілу, збігається з напрямком швидкості \(\overrightarrow{v}\) руху снаряда. Отже, прикладу B відповідає опис 2 рівнодійної сил.

Коли електрон улітає в магнітне поле під певним кутом до ліній магнітної індукції, то траєкторією його руху є гвинтова лінія. Рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) сил, що діють на електрон, буде напрямлена до центру витків гвинтової лінії, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху електрона ‒ по дотичній до траєкторії руху, тому кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) прямий. Отже, Прикладу Г відповідає опис 3 рівнодійної сил.

У прикладі з падінням камінця, кинутого під кутом до горизонту, рівнодійна \(\overrightarrow{F}\) усіх сил, що діють на камінець, напрямлена вертикально вниз, а швидкість \(\overrightarrow{v}\) руху камінця ‒ по дотичній до його траєкторії руху вниз. Тобто кут між векторами \(\overrightarrow{F}\) і \(\overrightarrow{v}\) гострий. Прикладу Д відповідає опис 4 рівнодійної сил.

Відповідь: 1А, 2В, 3Г, 4Д.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Основи молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси.

Завдання скеровано на перевірку розуміння ізопроцесів та їхньої графічної інтерпретації.

Розгляньмо ізохорний процес 1–2 \((V=const),\) за якого тиск \(p\) зростає (див. рисунок). Отже, відповідно до рівняння Клапейрона температура \(T\) теж зростатиме (стрілочка, напрямлена вгору, означає зростання значення величини): $$ \frac pT=const\Rightarrow \frac{p\uparrow}{T\uparrow}=const. $$ Отже, процес 1–2 ‒ це ізохорне нагрівання (Б).

Розгляньмо ізобарний процес 2‒3 \((p=const),\) за якого об’єм \(V\) збільшується (див. рисунок). Отже, відповідно до рівняння Клапейрона, температура \(T\) теж зростатиме: $$ \frac VT=const\Rightarrow\frac{V\uparrow}{T\uparrow}=const. $$ Отже, процес 2‒3 ‒ це ізобарне нагрівання (А).

Розгляньмо ізотермічний процес 3‒4 \((T=const),\) за якого тиск \(p\) падає, а об’єм \(V\) збільшується (див. рисунок). Відповідно до рівняння Клапейрона: $$ pV=const\Rightarrow p\downarrow V\uparrow = const. $$ Отже, процес 3‒4 ‒ це ізотермічне розширення (Г).

Розгляньмо ізобарний процес 4‒1 \((p=const),\) за якого об’єм \(V\) зменшується (див. рисунок). Отже, відповідно до рівняння Клапейрона температура \(T\) теж зменшуватиметься (стрілочка, напрямлена вниз, означає зменшення значення величини): $$ \frac VT=const\Rightarrow\frac{V\downarrow}{T\downarrow}=const. $$ Отже, процес 4‒1 ‒ це ізобарне охолодження (Д).

Відповідь: 1Б, 2А, 3Г, 4Д.

ТЕМА: Електродинаміка. Електричний струм у різних середовищах. Магнітне поле, електромагнітна індукція.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати теоретичні знання з електродинаміки для пояснення принципу дії відповідних технічних пристроїв.

На взаємодії магнітного поля постійних магнітів компаса з горизонтальним складником магнітного поля Землі заснований принцип дії цього приладу. Вільно обертова магнітна стрілка повертається навколо осі, розташовуючись уздовж силових ліній магнітного поля. Тож стрілка завжди вказує одним кінцем у напрямку ліній магнітної індукції, що йдуть до Південного магнітного (Північного географічного) полюса.

Посудину з високою стійкістю до впливів кислот, лугів і розчинників, у якій відбувається електроліз, називають електролітичною ванною (електролізером). Проходження електричного струму крізь розчин або розплав електроліту зумовлює хімічні реакції на поверхні поділу електрод ‒ розчин (розплав електроліту). Отже, хімічну дію електричного струму спостерігають під час проходження його крізь розчин електроліту в електролітичній ванні.

Електромагнітна індукція ‒ явище створення в просторі вихрового електричного поля змінним магнітним потоком. Один із наслідків електромагнітної індукції, практично важливий для генерації електричного струму, ‒ виникнення електрорушійної сили в провідному контурі, магнітний потік через який змінюється. Саме генератори змінного струму (ГЗС) ‒ це джерела електричної енергії, які створюють електрорушійну силу (ЕРС), що періодично змінюється.

Робота всіх електричних нагрівачів ґрунтується на тепловій дії струму: у таких пристроях енергія електричного струму перетворюється на внутрішню енергію нагрівача. Під час проходження електричного струму спіраль лампи розжарювання сильно нагрівається завдяки тепловій дії струму.

Будь-який напівпровідниковий діод складений із двох контактних напівпровідникових ділянок із різними типами провідності ‒ електронною і дірковою; до кожної ділянки приєднано виводи. Основна властивість напівпровідникового діода ‒ пропускати електричний струм переважно в одному напрямку.

Відповідь: 1Б, 2Г, 3А, 4В.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика.

Завдання скеровано на перевірку знання і розуміння явищ геометричної і хвильової оптики.

Заломлення ‒ це явище зміни напрямку поширення хвилі під час її проходження через плоску межу двох однорідних середовищ.

Дифракція ‒ це явище потрапляння світлових хвиль в область геометричної тіні, тобто відхилення їх від прямолінійного поширення.

Дисперсія ‒ це явище залежності показника заломлення середовища від довжини електромагнітної хвилі.

Інтерференція ‒ це явище накладання когерентних хвиль, унаслідок якого спостерігається стійка в часі картина посилення їх та послаблення в різних точках простору.

Відповідь: 1Б, 2Д, 3А, 4Г.

ТЕМА: Механіка. Основи динаміки. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування закону всесвітнього тяжіння, а також розуміння руху штучних супутників.

1. Для того, щоб об’єкт рухався біля планети коловою орбітою, йому необхідно надати швидкість, яку називають першою космічною швидкістю.

Візьмемо до уваги, що саме сила тяжіння \(F_\text{тяж}\) надає тілу масою \(m\) доцентрового прискорення \(a_\text{доц}\) (див. рисунок).

За другим законом Ньютона \(F_\text{тяж}=ma_\text{доц,}\) де за законом всесвітнього тяжіння $$ F_\text{тяж}=G\frac{mM}{(R + h)^2}, $$ отже, $$ a_\text{доц}=\frac{GM}{(R + h)^2} $$ (\(G\) ‒ гравітаційна стала, \(M\) ‒ маса планети, \(R\) ‒ радіус планети, \(h\) ‒ висота над поверхнею планети). Позначмо буквою \(r\) відстань від центра планети до супутника \((R+h)\) і запишімо формули для визначення доцентрового прискорення обох супутників: \begin{gather*} a_{1\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_1},\\[6pt] a_{2\text{доц}}=\frac{GM}{r^2_2}. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів прискорення руху першого супутника більше за прискорення руху другого супутника, урахувавши співвідношення їхніх радіусів: $$ \frac{a_{1\text{доц}}}{a_{2\text{доц}}}=\frac{GM}{r_1^2}:\frac{GM}{r^2_2}=\frac{GM\cdot 16r^2_1}{r^2_1\cdot GM}=16. $$

Отже, \(a_\text{1доц}\gt a_\text{2доц}\) у \(16\) разів.
Відповідь: 16.

2. Формули для обчислення перших космічних швидкостей руху супутників виведемо з формул для їхніх доцентрових прискорень: \begin{gather*} a_\text{1доц}=\frac{v^2_1}{r_1}\Rightarrow v^2_1=a_\text{1доц}\cdot r_1,\\[6pt] a_\text{2доц}=\frac{v^2_2}{r_2}\Rightarrow v^2_2=a_\text{2доц}\cdot r_2. \end{gather*}

Обчислімо, у скільки разів швидкість \(v_1\) руху першого супутника більша за швидкість \(v_2\) руху другого супутника:

Отже, \(v_1\gt v_2\) у \(2\) рази.
Відповідь: 2.

Відповідь: 1. 16. 2. 2.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Електроємність плоского конденсатора. Енергія електричного поля.

Завдання скеровано на перевірку знання і застосування формул для обчислення електроємності плоского конденсатора й енергії електричного поля конденсатора.

1. Конденсатор, складений із двох паралельних металевих пластин (обкладок), розділених шаром діелектрика, називають плоским. Електроємність \(C\) плоского конденсатора обчислюють за формулою $$ C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}, $$ де \(\varepsilon_0\) ‒ електрична стала; \(\varepsilon\) ‒ діелектрична проникність діелектрика; \(S\) ‒ площа пластини конденсатора; \(d\) ‒ відстань між пластинами.

Підставмо у формулу значення величин, виражених у системі СІ, й обчислімо електроємність конденсатора:

Відповідь: 45.

2. Заряджений конденсатор має енергію. Цю енергію точніше було б назвати енергією електростатичного поля, яке існує між обкладками зарядженого конденсатора, оскільки енергія будь-яких заряджених тіл зосереджена в електричному полі, створюваному цими тілами.

Отже, обчислімо енергію \(W,\) що виділиться під час розряджання конденсатора. Вона дорівнює половині добутку електроємності \(C\) і квадрата напруги \(U\) на конденсаторі:

Відповідь: 36.

Відповідь: 1. 45. 2. 36.

ТЕМА: Механіка. Закони збереження в механіці. Механічна робота. Закон збереження енергії в механічних процесах.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати закон збереження механічної енергії під час розв’язування задач про рух тіла під дією кількох сил.

Якщо тілу надати певної швидкості, то воно матиме кінетичну енергію \(E_\mathrm{k}.\) Цієї енергії повинно вистачити, щоб тіло змогло піднятися вздовж похилої площини (кінетична енергія перейде в потенціальну енергію \(E_\mathrm{p}\)), долаючи під час цього силу тертя ковзання. Запишімо закон збереження механічної енергії для руху: $$ E_\mathrm{k}-A=E_\mathrm{p}, $$ де \(A\) ‒ робота сили тертя ковзання, яка є від’ємною, тому що напрямок сили тертя ковзання протилежний до напрямку руху тіла. Робота сили тертя ковзання дорівнює добутку модуля сили тертя ковзання \(F_\text{тер ковз}\) і модуля переміщення \(l\) (де \(l\) ‒ довжина дошки): $$ A=F_\text{тер ковз}\cdot l=\mathbf{\mu}N\cdot l=\mathbf{\mu}mg\cos\mathbf{\alpha}\cdot l, $$ де \(\mathbf{\mu}\) ‒ коефіцієнт тертя, \(N\) ‒ модуль сили нормальної реакції опори, \(m\) ‒ маса тіла, \(g\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\mathbf{\alpha}\) ‒ кут нахилу похилої площини (під час руху похилою площиною сила нормальної реакції опори дорівнює проєкції сили тяжіння на вісь \(Oy\)). Щоб унаочнити умову завдання і дібрати спосіб розв’язання, скористаймося схематичним рисунком.

Отже,

Відповідь: 6.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Завдання скеровано на перевірку вміння складати рівняння теплового балансу.

Запишімо в загальному вигляді рівняння теплового балансу:

де \(n\) – кількість тіл, що віддають енергію; \(k\) – кількість тіл, що отримують енергію. Формулюють його так: в ізольованій системі тіл, у якій внутрішня енергія тіл змінюється лише внаслідок теплопередачі, загальна кількість теплоти, віддана одними тілами системи, дорівнює загальній кількості теплоти, отриманої іншими тілами цієї системи.

Запишімо рівняння теплового балансу відповідно до умови завдання, де гаряча вода віддає певну кількість теплоти \(Q_\text{г}\) холодній воді, відповідно холодна вода таку саму кількість теплоти \(Q_\text{х}\) отримає: \begin{gather*} Q_\text{г}^-=Q_\text{х}^+,\\[7pt] Q_\text{г}=cm_\text{г}(t_\text{г}-t_\text{к}), \end{gather*} де \(c\) ‒ питома теплоємність води, \(m_\text{г}\) ‒ маса гарячої води, \(t_\text{г}\) ‒ початкова температура гарячої води, \(t_\text{к}\) ‒ кінцева температура води, що встановилася в калориметрі: $$ Q_\text{х}=cm_\text{х}(t_\text{к}-t_\text{х}), $$ де \(c\) ‒ питома теплоємність води, \(m_\text{х}\) ‒ маса холодної води, \(t_\text{х}\) ‒ початкова температура холодної води, \(t_\text{к}\) ‒ кінцева температура води, що встановилася в калориметрі:

Відповідь: 64.

ТЕМА: Молекулярна фізика і термодинаміка. Властивості газів, рідин і твердих тіл. Відносна вологість повітря та вимірювання її.

Завдання скеровано на перевірку розуміння і застосування формул абсолютної і відносної вологості.

Відносна вологість \(\mathbf{\varphi}\) ‒ фізична величина, якою характеризують ступінь насиченості водяної пари. Вона дорівнює відношенню абсолютної вологості \(\mathbf{\rho}_\text{а}\) до густини \(\mathbf{\rho}_\text{н.п.}\) насиченої водяної пари за певної температури. Зазвичай відносну вологість подають у відсотках: $$ \mathbf{\varphi}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{а}}{\mathbf{\rho}_\text{н.п.}}\cdot 100\ \text{%} $$

Абсолютна вологість \(\mathbf{\rho}_\text{а}\) ‒ фізична величина, якою характеризують уміст водяної пари в повітрі. Абсолютна вологість чисельно дорівнює масі \(m_{\mathrm{Н_2О}}\) водяної пари, що міститься в повітрі об’ємом \(V=1\ \text{м}^3:\) $$ \mathbf{\rho}_\text{а}=\frac{m_{\mathrm{Н_2О}}}{V}. $$

Запишімо формули відносної вологості \(\mathbf{\varphi}_1\) і \(\mathbf{\varphi}_2\) окремо для кожної кімнати до і після того, як між кімнатами розчахнули двері \((\mathbf{\varphi}):\)

де \(m_1\) і \(m_2\) ‒ маса води в першій і другій кімнатах відповідно, \(V_1\) і \(V_2\) ‒ об’єми першої і другої кімнати відповідно.

За умовою завдання температура повітря в кімнатах була однакова і не змінилася після розчахування дверей. Це означає, що густина \(\mathbf{\rho}_\text{н.п.}\) насиченої водяної пари за цієї температури ‒ величина незмінна.

Виразімо маси \(m_1\) і \(m_2\) з формул відносної вологості для окремих кімнат, і підставимо ці вирази у формулу загальної вологості після розчахування дверей:

Відповідь: 72.

ТЕМА: Електродинаміка. Основи електростатики. Закон Кулона. Механіка. Основи динаміки. Рух тіл під дією кількох сил.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати комбіновані задачі з різних розділів фізики.

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат для початкового стану: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}_\text{K},\\[6pt] Ox:\ \ \ 0=-T\sin\frac{\mathbf{\alpha}}{2}+F_\text{K},\\[6pt] Oy:\ \ \ 0=-mg+T\cos\frac{\mathbf{\alpha}}{2}, \end{gather*} де \(m\) ‒ маса кульки, \(\overrightarrow{a}\) ‒ прискорення руху кульки, \(\overrightarrow{g}\) ‒ прискорення вільного падіння, \(\overrightarrow{T}\) ‒ сила натягу нитки, \(\overrightarrow{F}_\text{K}\) ‒ сила Кулона.

Дістаємо систему рівнянь: $$ \left\{ \begin{array}{l} T=\frac{F_\text{K}}{\sin\frac{\mathbf{\alpha}}{2}}\\ mg=T\cos\frac{\mathbf{\alpha}}{2} \end{array} \right. $$

Звідси \begin{gather*} mg=\frac{F_\text{K}\cos\frac{\mathbf{\alpha}}{2}}{\sin\frac{\mathbf{\alpha}}{2}}=F_\text{K}\operatorname{ctg}\frac{\mathbf{\alpha}}{2}. \end{gather*}

Запишімо рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та в проєкціях на осі координат, коли кульки занурили в гас: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_\text{А}+\overrightarrow{T}_\text{г}+\overrightarrow{F}_\text{гК},\\[6pt] Ox:\ \ \ 0=-\overrightarrow{T}_\text{г}\sin\frac{\mathbf{\alpha}}{2}+\frac{F_\text{K}}{\mathbf{\varepsilon}},\\[6pt] Oy:\ \ \ 0=-mg+F_\text{А}+T_\text{г}\cos\frac{\mathbf{\alpha}}{2}, \end{gather*} де \(\overrightarrow{T}_\text{г}\) ‒ сила натягу нитки в гасі, \(\overrightarrow{F}_\text{гК}\) ‒ сила Кулона, що діє між кульками в гасі, \(\mathbf{\varepsilon}\) ‒ діелектрична проникність гасу, \(\overrightarrow{F}_\text{А}\) ‒ сила Архімеда.

Сила Кулона в гасі зміниться від того, що в іншого середовища інша діелектрична проникність. За умовою кут між нитками не змінився після занурення в гас. Тож відстань між кульками не змінилася. Але на кульки в гасі діє сила Архімеда. Узявши до уваги всі ці умови, дістаємо систему рівнянь: $$ \left\{ \begin{array}{l} T_\text{г}=\frac{F_\text{K}}{\mathbf{\varepsilon}\cdot \sin\frac{\mathbf{\alpha}}{2}}\\ mg=F_\text{А}+T_\text{г}\cos\frac{\mathbf{\alpha}}{2} \end{array} \right. $$

Звідси

Складімо систему з отриманих для обох ситуацій рівнянь і розв’яжімо її:

де \(\mathbf{\rho}_\text{к}\) ‒ густина матеріалу кульок, \(V_\text{к}\) ‒ об’єм кульки, \(\mathbf{\rho}_\text{г}\) ‒ густина гасу.

Тобто \begin{gather*} \mathbf{\rho}_\text{к}=\mathbf{\rho}_\text{г}+\frac{\mathbf{\rho}_\text{к}}{\mathbf{\varepsilon}},\\[6pt] \mathbf{\rho}_\text{к}=\frac{\mathbf{\rho}_\text{г}}{1-\frac{1}{\mathbf{\varepsilon}}}\\[6pt] \mathbf{\rho}_\text{к}=\frac{800\ \text{кг/м}^3}{1-\frac 12}=1600\ \text{кг/м}^3. \end{gather*}

Відповідь: 1600.

ТЕМА: Електродинаміка. Магнітне поле, електромагнітна індукція. Закон електромагнітної індукції.

Завдання скеровано на перевірку розуміння закону електромагнітної індукції.

Силу індукційного струму \(I_\text{i}\) в контурі опором R визначають за законом Ома: $$ I_\text{i}=\frac{\mathbf{\varepsilon}_\text{i}}{R}. $$

Закон залежності електрорушійної сили \(\mathbf{\varepsilon}_\text{i}\) (ЕРС) індукції від швидкості зміни магнітного потоку експериментально вивів М. Фарадей: електрорушійна сила індукції дорівнює швидкості зміни магнітного потоку, який пронизує поверхню, обмежену контуром: $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=-\frac{\Delta\mathrm{\text{Ф}}}{\Delta t}, $$ де \(\Delta\mathrm{\text{Ф}}\) ‒ зміна магнітного потоку, \(\Delta t\) ‒ проміжок часу (знак «мінус» відображає правило Ленца).

Оскільки за умовою змінюється площа, обмежена контуром, маємо: $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=B\frac{\Delta S}{\Delta t}\cos\mathbf{\alpha}, $$ де \(B\) ‒ індукція магнітного поля, \(\Delta S\) ‒ зміна площі, обмеженої контуром.

За умовою завдання провідник постійно перебуває в горизонтальній площині перпендикулярно до ліній індукції магнітного поля. Це означає, що лінії індукції магнітного поля паралельні з нормаллю до площини поверхні контуру, тобто кут \(\mathbf{\alpha}\) між ними дорівнює нулю, \(\cos\ 0^\circ=1,\) тоді $$ \mathbf{\varepsilon}_\text{i}=B\frac{\Delta S}{\Delta t}. $$

Розпишімо, чому дорівнює сила струму й опір, і підставимо всі вирази в першу формулу:

де \(q\) ‒ електричний заряд, що пройде через поперечний переріз провідника за час \(\Delta t,\ \ \mathbf{\rho}\) ‒ питомий опір провідника, \(l\) ‒ довжина провідника, \(S_\text{пп}\) ‒ площа поперечного перерізу провідника.

Визначмо зміну площі \(\Delta S\) обмеженої контуром, що дорівнює різниці площі круга \(S_\text{к}\) і площі квадрата \(S_\text{кв},\) обмежених тим самим провідником довжиною \(l:\) $$ \Delta S=S_\text{к}-S_\text{кв}. $$

Довжина кола \(l=2\mathbf{\pi}r,\) де \(r\) ‒ радіус кола. Отже, площа круга, обмежена цим колом, дорівнюватиме $$ S_\text{к}=\mathbf{\pi}r^2=\frac{\mathbf{\pi}l^2}{4\mathbf{\pi}^2}=\frac{l^2}{4\mathbf{\pi}}. $$

Якщо з провідника довжиною \(l\) утворити квадрат, то сторона квадрата дорівнює \(\frac l4,\) а площа \begin{gather*} S_\text{кв}=\left(\frac{l}{4}\right)^2=\frac{l^2}{16}.\\[6pt] \Delta S=S_\text{к}-S_\text{кв}=\frac{l^2}{4\mathbf{\pi}}-\frac{l^2}{16}=l^2\left(\frac{4-\mathbf{\pi}}{16\mathbf{\pi}}\right). \end{gather*}

Обчислімо шукану величину:

Відповідь: 62,5.

ТЕМА: Коливання і хвилі. Оптика. Електромагнітні коливання і хвилі. Власна частота й період електромагнітних коливань. Формула Томсона.

Завдання скеровано на перевірку розуміння принципу дії коливального контуру.

Електромагнітну хвилю характеризують довжиною \(\mathbf{\lambda},\) частотою \(\mathbf{\nu}\) (періодом \(T\)) і швидкістю \(c\) поширення у вакуумі: $$ \mathbf{\lambda}=\frac{c}{\mathbf{\nu}}=cT. $$

Для того, щоб коливальний контур міг уловити випромінювані хвилі, його треба настроїти на частоту коливань випромінювача. Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначають за формулою Томсона: $$ T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}, $$ де \(L\) ‒ індуктивність котушки контуру, \(C\) ‒ електроємність конденсатора контуру.

Ураховуючи, що коливальний контур настроєний на таку саму частоту, із якою поширюється хвиля, і що частота і період взаємно обернені величини, дістанемо формулу для обчислення електроємності: \begin{gather*} \mathbf{\lambda}=cT=c2\mathbf{\pi}\sqrt{LC},\\[6pt] C=\frac{\mathbf{\lambda}^2}{c^2 4\mathbf{\pi}^2\cdot L}. \end{gather*}

Оскільки електроємність прямо пропорційна квадрату довжини хвилі, то електроємність конденсатора буде максимальною за максимального значення довжини хвилі, на яку може налаштуватися коливальний контур: \begin{gather*} C=\frac{540^2}{9\cdot 10^{16}\ \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2\cdot 4\cdot 10\cdot 0,27\cdot 10^{-3}\ \text{Гн}}=\\[6pt] =\frac{3}{10^{10}}\ \text{Ф}=300\cdot 10^{-12}\ \text{Ф}=300\ \text{пФ}. \end{gather*}

Відповідь: 300.