Діагональним перерізом правильної чотирикутної піраміди є рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює \(12\sqrt{3}\ \text{см}^2.\) Обчисліть об’єм піраміди \((\text{см}^3).\)

Двоє мандрівників під час подорожі в гори зустріли двох пастухів. У першого пастуха було \(10\ \text{яблук,}\) у другого – \(6\) таких же яблук, у мандрівників не було жодного. Під час обіду вони разом з’їли всі яблука, розділивши їх порівну між усіма. За свої яблука мандрівники заплатили пастухам \(24\ \text{монети.}\) Скільки монет отримали перший і другий пастухи за умови, що під час розподілу яблука не розрізали на частини?

Функція \(F(x)=24x^2–x^4+15\) є первісною функції \(f(x).\) Укажіть найбільше значення функції \(f(x)\) на проміжку \([0;\ 4].\)

Чому дорівнює довжина більшої діагоналі правильного шестикутника (см), якщо радіус уписаного в нього кола дорівнює \(6\ \text{см?}\)

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} \log_x y+4\log_y x=4,\\ y-3x=4. \end{array} \right. $$ Для одержаного розв’язку \((x_0;\ y_0)\) знайдіть суму \(x_0+y_0.\)

Щоб збільшити кількість клієнтів, у магазині вирішили надати знижку \(20\ \text{%}\) на всі футболки в асортименті. Яку ціну без урахування знижки мають установити в магазині для покупців, якщо собівартість однієї футболки становить \(200\ \text{грн,}\) а магазин має зберегти \(10\ \text{%}\) прибутку з кожної проданої футболки?

Укажіть область значень функції $$ y=\frac{x}{4x^2+1}. $$

Перерізом куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) площиною, яка проходить через точки \(K,\ L,\ M\) (див. рисунок), є \(n\text{-кутник.}\) Укажіть \(n.\)

Визначте кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції \(y=g(f(x))\) у точці з абсцисою \(x_0=3,\) якщо \(f(x)=\frac 13x–2,\) \(g(x)=x^4.\)

Розв’яжіть нерівність $$ \frac{x^2+3x-4}{|x+1|}\le 0. $$

Обчисліть значення виразу $$ \log_{\sqrt{5}-2}(2+\sqrt{5}). $$

На рисунку зображено вписаний у коло й описаний навколо кола квадрати. Яке з наведених тверджень є правильним?

І. Діагональ квадрата, уписаного в коло, дорівнює стороні квадрата, описаного навколо нього.

ІІ. Площа квадрата, описаного навколо кола, у 4 рази більша за площу квадрата, уписаного в коло.

ІІІ. Периметр квадрата, уписаного в коло, дорівнює сумі діагоналей квадрата, описаного навколо кола.

Деяку функцію \(f(n)\) задано описом: кожному натуральному числу n ставиться у відповідність сума подвоєного натурального числа \(n\) та квадрата числа \(3.\) Укажіть цю функцію.

Градусні міри кутів трикутника відносяться як \(5:2:3.\) Обчисліть градусну міру найменшого кута цього трикутника.