ЗНО онлайн 2013 року з математики – 1 сесія

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх тотожні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння множити многочлени, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Розкриємо дужки:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі.

Згідно з умовою, пряма \(b\) не має спільних точок з площиною \(\alpha\), звідси випливає \(b\ ||\ \alpha\), отже, твердження I – правильне.

Твердження II – правильне.

У площині \(\alpha\) можна провести безліч прямих, паралельних \(b.\) Отже, твердження III – неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Степенева функція та її властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Використаємо елементарні перетворення графіків, перенесемо графік функції \(y = x^3\) вниз на \(1\) одиницю вздовж осі \(y.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степенів з раціональними показниками, знання властивостей степенів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання означення бісектриси кута, теореми про суму кутів трикутника.

\(BD\) – бісектриса \(\angle B\), тому $$ \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 70^\circ. $$

У \(\Delta ABC\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Послідовності.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, означення арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y = f(x)\) зростає при \(x \in [-5; 1].\) Більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння та їхні системи.

Одержали розв’язок \((5; -1)\). Його сума \(5 + (-1) = 4.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розуміти табличну, текстову та графічну форми подання статистичної інформації.

Загальна сума заробітної плати в січні була \(30000\) грн. На фірмі в січні працювало \(15\) робітників. Отже, середня заробітна плата становила $$ 30000 : 15 = 2000\ \text{грн}. $$

У березні середня заробітна плата становила $$ 70000 : 25 = 2800\ \text{грн}. $$

Отже, середня заробітна плата збільшилась у березні порівняно з січнем менше ніж на \(1000\) грн: $$ 2800 - 2000 = 800\ \text{грн}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл, знання теореми Піфагора.

\(B_1D = 2\sqrt{3}\) см.

Нехай ребро куба дорівнює \(a.\)

\(AB = AD = a\) см, \(BD = a\sqrt{2}\) см.

У \(\Delta BB_1D\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Площа повної поверхні куба

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

Корінь належить проміжку \((-20; -10).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат, координати точки, кола на площині.

Центр кола знаходиться у точці \(N.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей елементарних функцій, заданих формулою, парності та непарності функцій.

Для того, щоб функція була парна, необхідно виконання двох умов:
1) \(D(y)\) – симетрична відносно \((0; 0){;}\)
2) \(f(-x) = f(x)\).

А \(y = 4^x\), \(y(-x) = 4^{-x} = \dfrac{1}{4^x} \ne y(x).\)

Б \(y = x\), \(y(-x) = -x \ne y(x).\)

В \(y = \sqrt{x},\) \(D(y)\) несиметрична відносно \((0; 0).\)

Г \(y = \mathrm{tg}\ x\), \(y(-x) = \mathrm{tg}\ (-x) = -\mathrm{tg}\ x = -y(x).\)

Д \(y = |x|\), \( y(-x) = \lvert -x\rvert = |x| = y(x)\) – парна.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника, ромба, середньої лінії трикутника; вміння знаходити площу ромба, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\), \(AB = 16\ \text{м}.\)

За властивістю прямокутника \(AC = BD.\)

\(\Delta ABC\ EF\) – середня лінія. Отже, \(EF = \dfrac{1}{2}AC.\)

Аналогічно,

$$ FK = EM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC. $$

\(EFKM\) – ромб.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності, знання основної логарифмічної тотожності.

(\(3 = 2^{\log_2 3}\) за основною логарифмічною тотожністю).

Функція \(y = 2^x\) – зростаюча, тому $$ x \le \log_2 3. $$ Отже, \(x \in (-\infty; \log_2 3].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кулі до розв'язування стереометричних задач, уміння знаходити відстані та кути у просторі.

\(OO_1\) – відстань від центра кулі точки \(O\) до перерізу, тому \(OO_1\ \perp\ O_1A.\)

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа. Числові множини та співвідношення між ними. Функції.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів, знання властивостей тригонометричних функцій.

Спростимо вираз зліва:

А \(1 - \sin^2 \alpha \lt 0\), \(\cos^2 \alpha \lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Б \begin{gather*} \cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\ \alpha \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} не виконується.

В \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \lt 0\), \(1\lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Г \(1 - \cos^2 \alpha \lt 0\), \(\sin^2 \alpha \lt 0\) не виконується ні при якому значенні \(\alpha.\)

Д \begin{gather*} \sin \alpha \cdot \mathrm{ctg}\ \alpha\lt 0,\\[6pt] \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \lt 0,\\[6pt] \cos \alpha \lt 0\ \text{при}\ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) \end{gather*} виконується.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання ознак та властивостей подібних трикутників, уміння знаходити периметр фігур.

\(KL\ ||\ AC \Rightarrow \Delta ABC\) подібний \(\Delta KBL.\)

Нехай сторона квадрата \(KL=KN=NM=ML=x\) см.

Тоді,

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати за розгорткою поверхні вид тіла обертання.

1.

Отже, 1 – Г.

2.

Отже, 2 – А.

3.

Отже, 3 – В.

4.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – В, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат вектора, властивостей трикутника, вписаного в коло; вміння знаходити довжину вектора, відстані від точки до прямої.

1. \(\overrightarrow{OA}(6-0;\ 8-0)\), \(\overrightarrow{OA}(6;\ 8).\) Довжина вектора \(\overrightarrow{OA}{:}\) $$ \left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10. $$ Отже, 1 – Д.

2. \(AB\ \perp\ OB.\) Відстань від точки \(A\) до осі \(x\) – це координата точки \(A\), \(\rho(A,\ Ox)=8.\)

Отже, 2 – Г.

3. \(B(6;\ 0)\), ордината дорівнює \(0.\)

Отже, 3 – А.

4. \(\Delta AOB\ (\angle B=90^\circ).\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – А, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

1. Дві лінії виготовляють \(4\) т за \(1\) день, за \(3\) дні вони виготовляють \(12\) т.
Отже, 1 – Д.

2. Одна лінія виготовляє \(8\) т за \(4\) дні, \(16\) т одна лінія виготове за \(8\) днів.
Отже, 2 – Г.

3. Одна лінія виготовляє за \(2\) дні \(4\) т.
Отже, 3 – Б.

4. Дві лінії виготовляють \(16\) т за \(4\) дні, для виготовлення \(48\) т за \(4\) дні знадобиться \(6\) ліній.
Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіком, знання геометричного змісту визначеного інтеграла.

1. При \(x=8\) значення функції \(f(8)=3{,}5.\) Число \(3{,}5\) належить проміжку \((2; 4]\).
Отже, 1 – Г.

2. Дотична до графіка функції \(f(x)\) в точці \(x=7\) паралельна осі \(Ox.\) Тоді \(f'(7)=k=\mathrm{tg}\ 90^\circ=0.\) Число \(0\) належить проміжку \((-0{,}5; 2].\)
Отже, 2 – В.

3. Найменше значення функції \(f(x)\) на її області визначення дорівнює \(f(0)=-3{,}5.\) Число \(-3{,}5\) належить проміжку \((-\infty; -2].\)
Отже, 3 – А.

4. Геометричний зміст визначеного інтеграла – площа криволінійної трапеції. З рисунка бачимо, що $$ -2\lt \mathop{\int}\limits_{1}^{3} f(x)\ dx \lt 0. $$

Тобто

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Додатне число \(A\) більше за додатне число \(B\) у \(3{,}8\) раза.

Отже, число \(A\) більше за число \(B\) на \(280\ \%.\)

Відповідь: \(280.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Якщо \(a=10{,}2\), \(b=-0{,}2\), то

Відповідь: \(-0{,}204.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Pозкладемо на множники чисельник

Розв'язуємо нерівність методом інтервалів:

\(x=8\), \(x=1\), \(x\ne 0\), \(x\ne 2\), \(x\in (0; 1]\cup (2; 8].\)

Сума цілих розв'язків: \(1+3+4+5+6+7+8=34.\)

Відповідь: \(34.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Тригонометричні функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою, знаходити період даної функції.

Найменший період функції $$ T=\frac{T_1}{|k|}. $$

\(k=20\pi\), \(T_1=2\pi\) – найменший період функції \(y=\cos x.\)

Відповідь: \(0{,}1.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівняння.

В автобусному парку \(n\) автобусів. Обладнано інформаційним табло: \(\dfrac{1}{6}n\) та \(4\) автобуси.

Усього автобусів з інформаційним табло \(\left(\dfrac{1}{6}n + 4\right)\).

Імовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло становить \(0{,}25.\)

Отже,

Відповідь: \(48.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, кола та його частин; уміння знаходити площу трикутника.

Дуга \(AB\) є четвертою частиною кола. \(ACBK\) – квадрат. \(AK = KB = BC = AC = 1{,}8\) км.

\(CA\), \(CB\) – дотичні до кола. \(KA\!\perp\!CA\), \(KB\!\perp\!CB\) (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній).

Відповідь: \(1{,}62.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком, знаходити похідну функції та значення похідної функції в точці.

\(a=1\), \(c=13.\) Bершина параболи

Відповідь: \(-22.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди, ознак паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, властивостей подібних фігур; уміння знаходити відстані у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда. \(ABCD\) – трапеція \((AD\ ||\ BC)\), \(MN\) – середня лінія.

\(SB\!\perp\!(ABC)\rightarrow SB\) – висота піраміди.

\(MN=5\) см, \(SB=2MN=2\cdot5=10\) см.

Точка \(D_1\) – середина \(SD\).

У

за ознакою паралельності площин.

Відстань від точки \(D_1\) до площини \((SBC)\) – висота трапеції \(A_1D_1C_1D_1\), \((D_1E_1\!\perp\!B_1C_1).\)

\(D_1\) – середина \(SD.\) \(ABCD\) подібна \(A_1B_1C_1D_1\) (за пропорційними сторонами)

\(k=\dfrac{1}{2}\) – коефіцієнт подібності.

Відповідь: \(6{,}3.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні та ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння з параметром, нерівності; знання властивостей логарифмічної, тригонометричної та степеневої функцій.

ОДЗ:

Розглянемо функцію \(y=\lg(\sin 5\pi x).\) Якщо аргумент зростаючої функції належить проміжку \((0; 1)\), тоді \(\lg(\sin 5\pi x)\le 0.\)

Функція $$ g(x)=\sqrt{16+a-x} $$ приймає значення \([0; +\infty).\)

Отже, рівність досягається за умови:

Корінь рівняння належить проміжку \(\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].\)

при \(n\in Z\) нерівності задовольняє значення \(n=4.\)

Отже,

При \(a=-14{,}3\) корінь рівняння належить проміжку \(\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].\)

Відповідь: \(-14{,}3.\)