ЗНО онлайн 2011 року з математики – основна сесія

Тестові завдання основної сесії ЗНО 2011 року з математики

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 35

Розв'яжіть рівняння \(\dfrac2x=5\).

А\(x=0{,}1\)

Б\(x=10\)

В\(x=2{,}5\)

Г\(x=0{,}4\)

Д\(x=-3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac 2x=5;\\[6pt] x=\frac 25;\\[6pt] x=0{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6122

Завдання 2 з 35

Учитель роздав учням певного класу \(72\) зошити. Кожен учень отримав однакову кількість зошитів. Якому з поданих нижче чисел може дорівнювати кількість учнів у цьому класі?

А\(7\)

Б\(9\)

В\(10\)

Г\(11\)

Д\(14\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності на \(2\), \(3\), \(5\), \(9\), \(10.\)

Кожен учень отримав однакову кількість зошитів, тому кількість учнів – дільник \(72.\)

Отже, з даних чисел відповідає умові число \(9.\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6123

Завдання 3 з 35

Спростіть вираз \(0{,}8b^9\colon8b^3\).

А\(0{,}1b^6\)

Б\(10b^6\)

В\(6{,}4b^{12}\)

Г\(0{,}1b^3\)

Д\(10b^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії зі степенями з раціональним показником.

\begin{gather*} 0{,}8b^9 : 8b^3 = \frac{8b^9}{10 \cdot 8b^3} = \frac{b^6}{10} = 0{,}1b^6. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6124

Завдання 4 з 35

Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний вісі абсцис і проходить через точку \(A(-2;3)\).

А\(y=-\dfrac32x\)

Б\(y=-2\)

В\(x=-2\)

Г\(x=3\)

Д\(y=3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій.

Пряма, паралельна осі абсцис, через точку \(A(-2; 3).\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6125

Завдання 5 з 35

Доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює…».

Агіпотенузі

Бквадрату суми катетів

Вквадрату гіпотенузи

Гдобутку катетів

Дподвійному добутку катетів

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Властивості трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора.

Правильне твердження: «Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи».

Дане твердження – теорема Піфагора.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6126

Завдання 6 з 35

Обчисліть \(\log_2\dfrac18+\log_525\).

А\(2\)

Б\(-1\)

В\(5\)

Г\(\lg\dfrac{25}{8}\)

Д\(\log_725\dfrac18\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх тотожні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_2\frac 18+\log_5 25=\log_2 2^{-3}+\log_5 5^2=-3\cdot \log_2 2+2\cdot \log_5 5=-3+2=-1. \end{gather*}

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^p=p\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6127

Завдання 7 з 35

На рисунку зображено куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з \(CD_1\) пару мимобіжних прямих.

А\(A_1B\)

Б\(C_1D\)

В\(CB_1\)

Г\(AB\)

Д\(CD\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Взаємне розміщення прямих і площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознаки мимобіжних прямих.

Використаємо ознаку мимобіжних прямих: якщо пряма \(AB \in (ABC)\), а пряма \(D_1C \cap (ABC)\) в точці \(C\), яка не належить прямій \(AB\), то \(AB\) мимобіжна з \(CD_1.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6128

Завдання 8 з 35

Журнал коштував \(25\) грн. Через два місяці цей самий журнал став коштувати \(21\) грн. На скільки відсотків знизилася ціна журналу?

А\(4\,\%\)

Б\(\dfrac{4}{21}\cdot100\,\%\)

В\(\dfrac{25}{21}\cdot100\,\%\)

Г\(84\,\%\)

Д\(16\,\%\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати основні задачі на відсотки.

Журнал коштував \(25\) грн, а став – \(21\) грн. Отже, ціна знизилась на \(4\) грн від початкової (\(25\) грн). Це становить:

\begin{gather*} \frac{4}{25}\cdot 100\ \%=16\ \%. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6129

Завдання 9 з 35

На одиничному колі зображено точку \(P(-0{,}8;0{,}6)\) і кут \(\alpha\) (див. рисунок). Визначте \(\cos\alpha\).

А\(-0{,}8\)

Б\(0{,}6\)

В\(0{,}8\)

Г\(-0{,}6\)

Д\(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса числового аргументу.

\(P(-0{,}8;\ 0{,}6).\) Косинусу кута \(\alpha\) відповідає абсциса точки. Отже, \(\cos\alpha = -0{,}8.\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6130

Завдання 10 з 35

Знайдіть градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.

А\(18^\circ\)

Б\(36^\circ\)

В\(72^\circ\)

Г\(144^\circ\)

Д\(162^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Суму внутрішніх кутів знаходимо за формулою:

\begin{gather*} 180^\circ (n - 2), \end{gather*}

де \(n\) – кількість кутів правильного многокутника. Кожний з десяти кутів дорівнює:

\begin{gather*} 180^\circ (10 - 2) : 10 = 18 \cdot 8 = 144^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6131

Завдання 11 з 35

Спростіть вираз \(a-\lvert a\rvert\), якщо \(a\lt0\).

А\(2a\)

Б\(a\)

В\(0\)

Г\(-a\)

Д\(-2a\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з цілими числами, знання поняття модуля.

За умовою \(a \lt 0.\) За властивістю модуля числа \(|a| = -a\) (при \(a \lt 0\)).

Спростимо вираз:

\begin{gather*} a - |a| = a - (-a) = a + a = 2a. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6132

Завдання 12 з 35

Об'єм кулі дорівнює \(36\pi\) см\(^3\). Знайдіть її діаметр.

А\(3\) см

Б\(24\) см

В\(6\) см

Г\(18\) см

Д\(12\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей кулі, формули її об’єму.

Об’єм кулі знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V = \frac{4}{3}\pi R^3, \end{gather*}

де \(R\) – радіус кулі.

\begin{gather*} 36\pi = \frac{4}{3}\pi R^3;\\[6pt] R^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27. \end{gather*}

\(R = 3\) см. Діаметр кулі

\begin{gather*} d = 2R = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6133

Завдання 13 з 35

Визначте знаменник геометричної прогресії \((b_n)\), якщо \(b_9=24\), \(b_6=-\dfrac19\).

А\(\dfrac{2}{\sqrt[\scriptstyle3]3}\)

Б\(-\dfrac{2}{\sqrt[\scriptstyle3]3}\)

В\(3\)

Г\(6\)

Д\(-6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання означення арифметичної і геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. \(b_9 = 24\), \(b_6 = -\dfrac 19.\)

Знаменник \(q\) геометричної прогресії знаходимо за властивістю \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} b_9 = b_6 \cdot q^3;\\[6pt] q^3 = \frac{b_9}{b_6} = \frac{24}{-1/9} = -216;\\[6pt] q = -6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6134

Завдання 14 з 35

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac{3x}{x+1}\lt\dfrac{7}{x+1}\).

А\(\left(-1;\dfrac73\right)\)

Б\((-\infty;-1)\)

В\((-\infty;-1)\cup\left(\dfrac73;+\infty\right)\)

Г\((-\infty;-1)\cup\left(-1;\dfrac73\right)\)

Д\(\left(-\infty;\dfrac73\right)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності. Означення нерівності з однією змінною, розв’язки нерівності з однією змінною.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

\begin{gather*} \frac{3x}{x + 1} \lt \frac{7}{x + 1};\\[6pt] \frac{3x}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} \lt 0;\\[6pt] \frac{3x - 7}{x + 1} \lt 0. \end{gather*}

Розв’язуємо методом інтервалів:

\begin{gather*} 3x - 7 = 0;\\[7pt] 3x = 7;\\[6pt] x = \frac 73. \end{gather*}

\begin{gather*} x + 1 \ne 0;\\[7pt] x \ne -1;\\[7pt] x \in \left(-1;\ \frac 73\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6135

Завдання 15 з 35

Обчисліть площу чотирикутника \(ABCD\) (див. рисунок), сторони \(AB\) i \(CD\) якого паралельні вісі \(Oy\).

А\(10\)

Б\(5\)

В\(3\)

Г\(6\)

Д\(7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Площі фігур.

Це завдання перевіряє знання формули знаходження площі паралелограма.

\(CK\!\perp\!AB\), \(AB\!\parallel\!Oy\), \(CD\!\parallel\!Oy\), \(AB = CD\), звідси \(ABCD\) – паралелограм.

Площа паралелограма \(ABCD\).

\begin{gather*} S = ah_a;\\[7pt] a = AB = 2;\\[7pt] h_a = CK = 3;\\[7pt] S = 2 \cdot 3 = 6. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6136

Завдання 16 з 35

Якому з наведених нижче проміжків належить корінь рівняння \(5^{x+3}=\left(\dfrac{1}{125}\right)^x\)?

А\((-3;-2]\)

Б\((-2;-1]\)

В\((-1;0]\)

Г\((0;1]\)

Д\((1;3]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення рівняння з однією змінною, кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною, вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо до спільної основи

\begin{gather*} 5^{x+3}=(5^{-3})^x;\\[7pt] 5^{x+3}=5^{-3x};\\[7pt] x+3=-3x;\\[7pt] 4x=-3;\\[6pt] x=-\frac 34. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=-0{,}75\) належить проміжку \((-1; 0].\)

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6137

Завдання 17 з 35

Нa рисунку зображено коло з центром у точці \(O\) і рівносторонній трикутник \(AOB\), що перетинає коло в точках \(M\) і \(N\). Точка \(D\) належить колу. Знайдіть градусну міру кута \(MDN\).

А\(15^\circ\)

Б\(30^\circ\)

В\(45^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(120^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло. Трикутник.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кута.

За властивістю вписаного та центрального кута: \(\angle MON = 2\angle MDN\).

\(\angle O = 60^\circ.\) Отже,

\begin{gather*} \angle MDN = \frac 12\angle MON = \frac12 \cdot 60^\circ = 30^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6138

Завдання 18 з 35

Функція \(y=f(x)\) є спадною на проміжку \((-\infty;+\infty)\). Укажіть правильну нерівність.

А\(f(1)\gt f(-1)\)

Б\(f(1)\lt f(8)\)

В\(f(1)\gt f(0)\)

Г\(f(-1)\lt f(0)\)

Д\(f(1)\gt f(10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій.

Функція \(y=f(x)\) є спадною, тому меншому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Отже, правильна нерівність \(f(1)\gt f(10).\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6139

Завдання 19 з 35

У прямокутник \(ABCD\) вписано три круги одного й того самого радіуса (див. рисунок). Визначте довжину сторони \(BC\), якщо загальна площа кругів дорівнює \(3\pi\).

А\(2\)

Б\(3\)

В\(6\)

Г\(9\)

Д\(18\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Площі фігур.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутників, чотирикутників і правильних многокутників.

Довжина \(BC\) – шість радіусів кіл. Площа круга

\begin{gather*} S = \pi R^2. \end{gather*}

Площа \(3\) кругів – \(3\pi R^2\) (за умовою). \(R^2 = 1\), \(R = 1.\)

\begin{gather*} BC = 6 \cdot 1 = 6. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6140

Завдання 20 з 35

О шостій годині ранку визначено температуру на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.

Температура (у градусах)	\(1\)	\(3\)	\(4\)	\(x\)
Кількість метеостанцій	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(1\)

Визначте \(x\), якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює \(3{,}5^\circ\).

А\(x=5\)

Б\(x=6\)

В\(x=7\)

Г\(x=8\)

Д\(x=9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Статистичні характеристики рядів даних.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, які задано таблицею, знаходити середнє арифметичне декількох чисел.

Запишемо формулу знаходження середнього арифметичного цих даних

\begin{gather*} \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + x \cdot 1}{10} = 3{,}5;\\[6pt] 27 + x = 35;\\[7pt] x = 8. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6141

Завдання 21 з 35

У трикутнику \(ABC\): \(AB=31\) см, \(BC=15\) см, \(AC=26\) см. Пряма \(a\), паралельна стороні \(AB\), перетинає сторони \(BC\) і \(AC\) у точках \(M\) і \(N\) відповідно. Обчисліть периметр трикутника \(MNC\), якщо \(MC=5\) см.

А\(15\) см

Б\(24\) см

В\(48\) см

Г\(21\) см

Д\(26\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання означення рівності та подібності фігур, ознаки рівності і подібності фігур.

\(\Delta ABC\), \(AB = 31\) см, \(BC = 15\) см, \(AC = 26\) см. \(MN\!\parallel\!AB.\ MC = 5\) см.

Пряма \(MN\!\parallel\!AB\) відтинає від \(\Delta ABC\) подібний. Отже, \(\Delta ABC\) подібний \(NCM.\)

Відповідні сторони – пропорційні з коефіцієнтом подібності

\begin{gather*} k = \frac{BC}{CM} = \frac{15}{3} = \frac 31. \end{gather*}

Периметри подібних трикутників пропорційні з тим самим коефіцієнтом.

\begin{gather*} P_{ABC} = AB + BC + AC = 31 + 15 + 26 = 72\ \text{см}.\\[6pt] P_{NCM} = \frac 13 P_{ABC} = \frac 13 \cdot 72 = 24\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6142

Завдання 22 з 35

На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об'єм.

А\(9\pi\) см\(^3\)

Б\(15\pi\) см\(^3\)

В\(30\pi\) см\(^3\)

Г\(36\pi\) см\(^3\)

Д\(45\pi\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити об’єм циліндра.

Об’єм циліндра знаходимо за формулою

\begin{gather*} V = \pi R^2 H, \end{gather*}

де \(R\) – радіус основи, \(H\) – висота.

\(R = 3\) см, \(H = 5\) см.

\begin{gather*} V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6143

Завдання 23 з 35

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0{,}5}(x-1)\gt2\).

А\((1;1{,}25)\)

Б\((2;+\infty)\)

В\((1{,}25;+\infty)\)

Г\((0;0{,}25)\)

Д\((-\infty;1{,}25)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Функція \(y = \log_{\textstyle 0{,}5}(x - 1)\) спадна. Отже,

\begin{gather*} x - 1 \lt 0{,}5^2;\\[7pt] x - 1 \lt 0{,}25;\\[7pt] x \lt 1{,}25. \end{gather*}

ОДЗ: \(x - 1 \gt 0\), \(x \gt 1.\)

Розв’язок нерівності:

\begin{gather*} x \in (1;\ 1{,}25). \end{gather*}

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6144

Завдання 24 з 35

Функція \(F(x)=6\sin(2x)-1\) є первісною функції \(f(x)\). Знайдіть функцію \(f(x)\).

А\(f(x)=-12\cos(2x)\)

Б\(f(x)=6\cos(2x)\)

В\(f(x)=12\cos(2x)\)

Г\(f(x)=-3\cos(2x)-x+C\)

Д\(f(x)=-6\cos(2x)-x+C\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну функції, знання правила знаходження первісних.

Первісна \(F(x) = 6\sin(2x) - 1.\)

За означенням первісної функції

\begin{gather*} F'(x) = f(x) = 6 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' - 1' = 12\cos2x. \end{gather*}

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6145

Завдання 25 з 35

Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює \(40\) см\(^2\). Периметр основи призми дорівнює \(20\sqrt2\) см. Визначте висоту призми.

А\(\sqrt2\) см

Б\(2\sqrt2\) см

В\(4\) см

Г\(1\) см

Д\(2\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники і тіла обертання, їх види і властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості призми до розв’язування стереометричних задач.

\(BB_1D_1D\) – прямокутник, який є перерізом правильної чотирикутної призми.

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D} = 40\ \text{см}^2.\\[7pt] P_{ABCD} = 20\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

Призма правильна, тому \(ABCD\) – квадрат.

\begin{gather*} AB = BC = CD = AD = 20\sqrt{2} : 4 = 5\sqrt{2}\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABD\ (\angle A = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AB^2 + AD^2 = BD^2;\\[7pt] 2 \cdot (5\sqrt{2})^2 = BD^2;\\[7pt] BD = 10\ \text{см}.\\[7pt] S_{BB_1D_1D} = BD \cdot BB_1;\\[7pt] 10 \cdot BB_1 = 40;\\[7pt] BB_1 = 4\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6146

Завдання 26 з 35

Установіть відповідність між функціями (1–4) та ескізами їхніх графіків (А – Д).

Функція

1\(y=\operatorname{tg}x\)

2\(y=\operatorname{ctg}x\)

3\(y=\left(\dfrac12\right)^{\textstyle x}\)

4\(y=\dfrac1x\)

Ескіз графіка функції

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, заданих формулою або графічно.

Наведені ескізи графіків елементарних функцій.

1. \(y=\mathrm{tg}\ x.\) Отже, 1 – Г.

2. \(y=\mathrm{ctg}\ x.\) Отже, 2 – Б.

3. \(y=\left(\dfrac 12\right)^{\textstyle x}.\) Отже, 3 – Д.

4. \(y=\dfrac 1x.\) Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – Д, 4 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6147

Завдання 27 з 35

На рисунку зображено вектори \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\), \(\vec d\) у прямокутній системі координат. Установіть відповідність між парою векторів (1–4) і твердженням (А – Д), що є правильним для цієї пари.

Вектори

1\(\vec a\) i \(\vec b\)

2\(\vec a\) i \(\vec c\)

3\(\vec c\) i \(\vec d\)

4\(\vec b\) i \(\vec c\)

Твердження

Авектори перпендикулярні

Бвектори колінеарні, але не рівні

Вскалярний добуток векторів більший за \(0\)

Гвектори рівні

Дкут між векторами тупий

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє знання про рівні вектори, кут між векторами, дії з векторами.

1. Кут між векторами гострий, тому скалярний добуток векторів більший за \(0.\) Отже, 1 – В.

2. Кут між векторами тупий. Отже, 2 – Д.

3. Вектори перпендикулярні. Отже, 3 – А.

4. Колінеарні, але не рівні (лежать на паралельних прямих, але різні за довжиною). Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – А, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6148

Завдання 28 з 35

Установіть відповідність між виразами (1–4) тa їхніми значеннями, якщо \(x=0{,}5\) (А – Д).

Вираз

1\(\dfrac{x^2-9}{3+x}\)

2\((x-5)^2+5(2x-5)\)

3\(\dfrac{x^3+1}{x^2-x+1}\)

4\(\dfrac{3x-6}{8x}\cdot\dfrac{x}{x^2-4x+4}\)

Значення виразу

А\(-2{,}5\)

Б\(-0{,}25\)

В\(0{,}25\)

Г\(1{,}5\)

Д\(2{,}5\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} \frac{x^2 - 9}{3 + x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{3 + x} = x - 3 = 0{,}5 - 3 = -2{,}5. \end{gather*}

Отже, 1 – A.

\begin{gather*} (x - 5)^2 + 5(2x - 5) = x^2 - 10x + 25 + 10x - 25 = x^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

\begin{gather*} \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = x + 1 = 0{,}5 + 1 = 1{,}5. \end{gather*}

Отже, 3 – Г.

\begin{gather*} \frac{3x - 6}{8x} \cdot \frac{x}{x^2 - 4x + 4} = \frac{3(x - 2)\cdot x}{8x(x-2)^2}= \frac{3}{8(x - 2)}=\\[6pt] =\frac{3}{8(0{,}5 - 2)} = \frac{3}{8 \cdot (-1{,}5)} = \frac{3}{-12} = -\frac{1}{4} = -0{,}25. \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6149

Завдання 29 з 35

Обчисліть значення виразу \(\dfrac{3\sqrt2-5}{\sqrt2-1}+\dfrac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt3}\).

Впишіть відповідь:

-9

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{3\sqrt{2} - 5}{\sqrt{2} - 1} + \frac{\sqrt{24} - \sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} + \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{6} - 10\sqrt{3})}{3} =\\[6pt] = \frac{6 + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 5}{2 - 1} + \frac{6\sqrt{2} - 30}{3} = 1 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 10 = -9. \end{gather*}

Відповідь: \(-9.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6150

Завдання 30 з 35

Матеріальна точка рухається за законом \(s(t)=2t^2+3t\), де \(s\) вимірюється в метрах, а \(t\) у секундах. Знайдіть значення \(t\) (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює \(76\) м/с.

Впишіть відповідь:

18.25

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє знання механічного змісту похідної, вміння знаходити похідну елементарної функції.

Закон, за яким матеріальна точка рухається

\begin{gather*} S(t) = 2t^2 + 3t. \end{gather*}

Використовуємо фізичний зміст похідної

\begin{gather*} V(t) = S'(t).\\[7pt] S'(t) = 4t + 3. \end{gather*}

За умовою \(V = 76\) м/с.

\begin{gather*} 4t + 3 = 76;\\[7pt] 4t = 73;\\[7pt] t = 18{,}25\ \text{с}. \end{gather*}

Відповідь: \(18{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6151

Завдання 31 з 35

У відділі працює певна кількість чоловіків і жінок. Для анкетування навмання вибрали одного із співпробітників. Імовірність того, що це чоловік, дорівнює \(\dfrac27\). Знайдіть відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.

Впишіть відповідь:

2.5

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на найпростіші випадки підрахунку ймовірностей.

Чоловіків \(\frac 27\) від усіх співробітників відділу. Отже, кількість жінок становить \begin{gather*} 1-\frac 27=\frac 57. \end{gather*}

Відношення кількості жінок до кількості чоловіків становить: \begin{gather*} \frac 57:\frac 27=\frac{5\cdot 7}{7\cdot 2}=\frac 52=2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6152

Завдання 32 з 35

Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за \(2\) години \(6\) хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи самостійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на \(4\) години більше, ніж першому робітникові?

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння, нерівності та їхні системи до розв’язування текстових задач.

Нехай першому робітнику потрібно \(x\) годин на скошування трави, тоді другому потрібно – \((x + 4)\) години.

Якщо разом вони виконають цю роботу, то складемо рівняння:

\begin{gather*} 2\ \text{години}\ 6\ \text{хвилин}=2\frac{6}{60}\ \text{год}=2 \frac{1}{10}\ \text{год}=\frac{21}{10};\\[6pt] \frac 1x+\frac{1}{x + 4} = \frac{1}{21/10};\\[6pt] \frac 1x + \frac{1}{x + 4} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{x + 4 + x}{x(x + 4)} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{10}{21}. \end{gather*}

ОДЗ: \(x \ne 0\), \(x \ne -4.\)

\begin{gather*} 21(2x + 4) = 10x(x + 4);\\[7pt] 42x + 84 = 10x^2 + 40x;\\[7pt] 10x^2 - 2x - 84 = 0;\\[7pt] 5x^2 - x - 42 = 0;\\[7pt] D = (-1)^2 - 4 \cdot 5(-42) = 1 + 840 = 841;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 29}{10} = 3;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 29}{10} = -2{,}8\ \text{не задовольняє умови задачі}. \end{gather*}

Другий робітник виконає цю роботу за

\begin{gather*} 3 + 4 = 7\ \text{год}. \end{gather*}

Відповідь: \(7.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6153

Завдання 33 з 35

У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною \(13\) см і основами \(18\) см і \(8\) см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса \(S_\text{бічне}\) (у см\(^2\)), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\). У відповіді запишіть значення \(\dfrac{S_\text{бічне}}{\pi}\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, формул площ поверхонь тіл обертання.

\(EABCD\) – піраміда. У піраміду вписано конус, тому висота піраміди збігається з висотою конуса \(EO.\) Основа конуса – коло, вписане в трапецію. \(OK\!\perp\!BC\) – радіус даного кола.

Усі бічні грані нахилені до основи під кутом \(60^\circ.\) \(OK\) – проекція похилої \(EK\) на площину \((ABC).\) Отже, за теоремою про три перпендикуляри, \(EK\!\perp\!BC\).

\((EKO)\!\perp\!BC\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини), тому \(\angle EKO = 60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного.

\(AD = CB = 13\) см, \(DC = 8\) см, \(AB = 18\) см.

Проведемо висоти \(DM\), \(CP.\)

\(DC = MP = 8\) см, \(AM = PB = (18 - 8) : 2 = 5\) см.

У \(\Delta AMD\ (\angle M = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2 = DM^2 + AM^2;\\[7pt] DM = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції – діаметр вписаного кола. Отже,

\begin{gather*} r = \frac{DM}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)\)

\begin{gather*} EK = \frac{OK}{\cos K} = \frac{6}{\cos 60^\circ} = 12\ \text{см}.\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi rl, \end{gather*}

де \(r\) – радіус основи, \(l\) – твірна.

\begin{gather*} r = OK = 6\ \text{см};\\[7pt] l = EK = 12\ \text{см};\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S_{\text{біч}}}{\pi} = \frac{72\pi}{\pi} = 72. \end{gather*}

Відповідь: \(72.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6154

Завдання 34 з 35

Ha рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), що визначена на проміжку \((-\infty;+\infty)\) i має лише три нулі.

Розв'яжіть систему \(\begin{cases}f(x)\ge0, \\ x^2+x-6\gt0.\end{cases}\)

У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування раціональних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь, нерівностей та їхніх систем.

Розв’яжемо нерівність \(x^2 + x - 6 \gt 0\)

\begin{gather*} x^2 + x - 6 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25;\\[6pt] x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x \in [-1; 6] \cup \{9\},\\ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty). \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’язок системи \(x \in (2; 6] \cup \{9\}.\)

Сума цілих розв’язків:

\begin{gather*} 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27. \end{gather*}

Відповідь: \(27.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6155

Завдання 35 з 35

Знайдіть найменше значення \(a\), при якому має розв'язки рівняння

\(\dfrac12(\sin x+\sqrt3\cos x)=6-5a-2a^2\).

Впишіть відповідь:

-3.5

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування раціональних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь, нерівностей та їхніх систем, уміння розв’язувати рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \frac 12\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 6 - 5a - 2a^2;\\[6pt] \cos\frac{\pi}{3} = \frac 12;\\[6pt] \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Використовуємо метод допоміжного кута. Отримаємо:

\begin{gather*} \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3}=6-5a-2a^2;\\[6pt] \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 6 - 5a - 2a^2. \end{gather*}

Тригонометричне рівняння має корені, якщо \(|6 - 5a - 2a^2| \le 1.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 6 - 5a - 2a^2 \le 1, \\ 6 - 5a - 2a^2 \ge -1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -2a^2 - 5a + 5 \le 0, \\ -2a^2 - 5a + 7 \ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a^2 + 5a - 5 \ge 0, \\ 2a^2 + 5a - 7 \le 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’яжемо кожну нерівність:

1) \(2a^2 + 5a - 5 \ge 0,\)

\begin{gather*} 2a^2 + 5a - 5 = 0;\\[7pt] D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 65;\\[6pt] a_1 = \frac{-5 + \sqrt{65}}{4};\\[6pt] a_2 = \frac{-5 - \sqrt{65}}{4} \end{gather*}

2) \(2a^2 + 5a - 7 \le 0,\)

\begin{gather*} 2a^2 + 5a - 7 = 0;\\[7pt] D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81;\\[6pt] a_3 = \frac{-5 + 9}{4} = 1;\\[6pt] a_4 = \frac{-5 - 9}{4} = -3{,}5. \end{gather*}

Знайдемо розв’язок системи нерівностей

\begin{gather*} a \in \left[-3{,}5;\ \frac{-5 - \sqrt{65}}{4}\right] \cup \left[\frac{-5 + \sqrt{65}}{4};\ 1\right]. \end{gather*}

Найменше значення \(a\), при якому рівняння має розв’язки \(a = -3{,}5.\)

Відповідь: \(-3{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6156

Новини

Розпочалась реєстрація електронних кабінетів вступників на бакалавра
На Вступ.ОСВІТА.UA опубліковані пропозиції для вступників
Коли та як реєструють електронний кабінет вступника у 2026 році

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра