ЗНО онлайн 2010 року з математики – 1 сесія

Тестові завдання першої сесії ЗНО 2010 року з математики

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Зачекайте, йде розрахунок...

Завдання 1 з 36

Розв’яжіть нерівність \(10-3x\gt4\).

А\((-2;+\infty)\)

Б\((2;+\infty)\)

В\((-3;+\infty)\)

Г\((-\infty;-2)\)

Д\((-\infty;2)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 10 - 3x \gt 4;\\[7pt] -3x \gt 4 - 10;\\[7pt] -3x \gt -6;\\[7pt] x \lt 2. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6157

Завдання 2 з 36

Обчисліть \(\dfrac{5}{9}\cdot0{,}3\).

А\(\dfrac{1}{6}\)

Б\(\dfrac{5}{3}\)

В\(\dfrac{1}{8}\)

Г\(\dfrac{8}{19}\)

Д\(\dfrac{1}{30}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 59 \cdot 0{,}3 = \frac{5\cdot 3}{9\cdot 10}=\frac 16. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6158

Завдання 3 з 36

За видачу свідоцтва про право на спадщину стягується державне мито в розмірі \(0{,}5\, \%\) від вартості майна, що успадковується. Скільки державного мита повинен сплатити спадкоємець, якщо вартість майна, що успадковується, становить \(32\, 000\) грн?

А\(16\) грн

Б\(64\) грн

В\(160\) грн

Г\(320\) грн

Д\(1\,600\) грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Знайдемо \(0{,}5\ \%\) від \(32\ 000\) грн.

\begin{gather*} \frac{32\ 000\cdot 0{,}5}{100}=320\cdot 0{,}5=160\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6159

Завдання 4 з 36

На рисунку зображено вектор \(\vec a\). Який із наведених векторів дорівнює вектору \(-\dfrac{2}{3}\vec a\)?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, уміння виконувати дії з векторами.

За правилом знаходження добутку вектора на число, вектор \(-\dfrac{2}{3}\vec{a}\) спрямований у протилежний бік від \(\vec{a}\) та довжиною \(\dfrac{2}{3}\) від довжини \(\vec{a}.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6160

Завдання 5 з 36

Спростіть вираз \(\dfrac{b^2\cdot b^{10}}{b^4}\), де \(b\neq0\).

А\(b^{16}\)

Б\(b^8\)

В\(b^5\)

Г\(b^4\)

Д\(b^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів з цілими показниками, вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} \frac{b^2 \cdot b^{10}}{b^4} = \frac{b^{12}}{b^4} = b^{12 - 4} = b^8. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6161

Завдання 6 з 36

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

А\(10\)

Б\(9\)

В\(8\)

Г\(6\)

Д\(5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку трикутної призми. Отже, кількість його вершин – \(6.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6162

Завдання 7 з 36

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(2^x=\dfrac 18\)?

А\((-6; -4]\)

Б\((-4; -2]\)

В\((-2; 0]\)

Г\((0; 2]\)

Д\((2; 4]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6163

Завдання 8 з 36

Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює \(150^\circ\). Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.

А\(75^\circ\)

Б\(95^\circ\)

В\(105^\circ\)

Г\(115^\circ\)

Д\(120^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

У паралелограма протилежні кути рівні, а прилеглі до однієї сторони – у сумі дорівнюють \(180^\circ\) (як внутрішні односторонні при паралельних прямих).

За умовою сума двох кутів \(150^\circ.\) Це можуть бути тільки протилежні кути, кожен з яких

\begin{gather*} 150^\circ : 2 = 75^\circ. \end{gather*}

Інші протилежні кути дорівнюють

\begin{gather*} 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\ \text{(більший кут)}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6164

Завдання 9 з 36

Обчисліть \(\log_3 18-\log_3 2.\)

А\(2\)

Б\(3\)

В\(\log_3 16\)

Г\(6\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма та вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_3 18-\log_3 2=\log_3\left(\frac{18}{2}\right)=\log_3 9=\log_3 3^2=2\log_3 3=2. \end{gather*}

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^p=p\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6165

Завдання 10 з 36

До кола проведено дотичну \(AB\) (\(B\) – точка дотику) та січну \(AC\), що проходить через центр \(O\) кола (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута \(COB\), якщо \(\angle OAB=35^\circ\).

А\(105^\circ\)

Б\(115^\circ\)

В\(120^\circ\)

Г\(125^\circ\)

Д\(145^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, зовнішнього кута трикутника.

Дотична \(AB\) до кола перпендикулярна радіусу \(OB\), проведеному в точку дотику \(\angle OBA = 90^\circ.\)

\(\angle COB\) – зовнішній кут \(\Delta OAB.\)

Отже,

\begin{gather*} \angle COB = \angle OBA + \angle BAO = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6166

Завдання 11 з 36

У саду ростуть \(60\) дерев: \(28\) яблунь, \(20\) вишень і \(12\) абрикос. На одній із діаграм правильно зображено розподіл дерев у саду. Укажіть цю діаграму.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

Всього \(60\) дерев. Яблунь – \(28\) (трохи менше половини), вишень – \(20\) (третина всіх дерев), абрикос – \(12\) (менше чверті).

Даним умовам задовольняє діаграма Д.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6167

Завдання 12 з 36

На рисунку зображено куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Перерізом куба площиною, що проходить через точки \(A\), \(C\), \(C_1\), є

Апрямокутний трикутник

Брівносторонній трикутник

Впрямокутник

Громб

Дтрапеція

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників, уміння будувати перерізи, встановлювати їх вид.

Переріз площиною, що проходить через точки \(A\), \(C\), \(C_1\) є прямокутник \(AA_1C_1C.\)

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6168

Завдання 13 з 36

Спростіть вираз \((1-\cos^2\alpha)\operatorname{ctg}^2\alpha\).

А\(\cos^2\alpha\)

Б\(\sin2\alpha\)

В\(\dfrac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}\)

Г\(\sin^2\alpha\)

Д\(\operatorname{tg}^2\alpha\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} (1 - \cos^2\alpha)\mathrm{ctg}^2\ \alpha = \sin^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cos^2\alpha. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6169

Завдання 14 з 36

Обчисліть площу сфери, діаметр якої дорівнює \(12\) см.

А\(36\pi\) см\(^2\)

Б\(72\pi\) см\(^2\)

В\(144\pi\) см\(^2\)

Г\(288\pi\) см\(^2\)

Д\(576\pi\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей сфери, формули площі поверхні сфери.

\begin{gather*} d = 12\ \text{см};\\[6pt] R = \frac 12d = \frac 12 \cdot 12 = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Площу сфери знаходимо за формулою

\begin{gather*} S = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot 6^2 = 144\pi\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6170

Завдання 15 з 36

Пасічник зберігає мед в однакових закритих металевих бідонах. Їх у нього дванадцять: у трьох бідонах міститься квітковий мед, у чотирьох – мед із липи, у п'яти – мед із гречки. Знайдіть імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.

А\(\dfrac{1}{4}\)

Б\(\dfrac{5}{12}\)

В\(\dfrac{1}{12}\)

Г\(\dfrac{3}{4}\)

Д\(\dfrac{1}{3}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Всього \(12\) бідонів. Квітковий мед міститься у \(3\) бідонах. Імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити кідковий мед: \begin{gather*} P=\frac{3}{12}=\frac 14. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6171

Завдання 16 з 36

На папері у клітинку зображено трикутник \(ABC\), вершини якого збігаються з вершинами клітинок (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника \(ABC\), якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною завдовжки \(1\) см.

А\(15\) см\(^2\)

Б\(8{,}5\) см\(^2\)

В\(8\) см\(^2\)

Г\(7{,}5\) см\(^2\)

Д\(7\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули площі трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12a \cdot h_a, \end{gather*}

де \(a = AC\), \(h_a=BH\ (BH\!\perp\!AC).\)

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12 \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6172

Завдання 17 з 36

Знайдіть значення похідної функції \(f(x)=4\cos x+5\) у точці \(x_0=\dfrac{\pi}{2}.\)

А\(-4\)

Б\(-1\)

В\(1\)

Г\(4\)

Д\(5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

\(f(x)=4\cos x+5.\)

Знайдемо похідну: \(f'(x)=-4\sin x.\)

Похідна функції в точці \(x_0=\frac{\pi}{2}{:}\)

\begin{gather*} f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\sin \frac{\pi}{2}=-4\cdot 1=-4. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6173

Завдання 18 з 36

Довжина кола основи конуса дорівнює \(8\pi\) см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює \(3\) см.

А\(11\) см

Б\(10\) см

В\(7\) см

Г\(5\) см

Д\(4\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання теореми Піфагора.

Довжина кола основи конуса \(C = 2\pi R = 8\pi\) см, де \(R = OB = 4\) см. \(AO = 3\) см – висота конуса.

У \(\Delta AOB\ (\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2 = AO^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 25. \end{gather*}

\(AB = 5\) см – твірна.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6174

Завдання 19 з 36

Якому з наведених проміжків належить число \(\sqrt[\scriptstyle4]{30}\)?

А\((1;2)\)

Б\((2;3)\)

В\((3;4)\)

Г\((4;5)\)

Д\((5;6)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати раціональні та ірраціональні числа.

Знайдемо, між якими цілими числами лежить число \(\sqrt[\scriptstyle 4]{30}{:}\)

\begin{gather*} 2^4 = 16;\\[7pt] 3^4 = 81. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle 4]{16}\lt \sqrt[\scriptstyle 4]{30}\lt \sqrt[\scriptstyle 4]{81};\\[7pt] 2\lt \sqrt[\scriptstyle 4]{30}\lt 3. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6175

Завдання 20 з 36

На одному з рисунків зображено ескіз графіка функції \(y=3^{-x}\). Укажіть цей рисунок.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

Перетворимо графік функції \(y = 3^x\) у графік функції \(y = 3^{-x}\) (симетрія відносно осі \(Oy\)).

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6176

Завдання 21 з 36

На рисунку зображено прямокутник \(ABCD\) і рівносторонній трикутник \(ABK\), периметри яких відповідно дорівнюють \(20\) см і \(12\) см. Знайдіть периметр п’ятикутника \(AKBCD\).

А\(23\) см

Б\(24\) см

В\(26\) см

Г\(28\) см

Д\(32\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника та трикутника.

\(\Delta ABK\) – рівносторонній. \(P_{ABK} = 3 \cdot AB = 12\) см, \(AB = 4\) см.

\begin{gather*} P_{AKBCD} = BC + CD + DA + 2AB = P_{ABCD} + AB = 20 + 4 = 24\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6177

Завдання 22 з 36

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), яка визначена на відрізку \([-4;6]\). Скільки всього коренів має рівняння \(f(x)=x\) на цьому відрізку?

Ажодного

Бодин

Вдва

Гтри

Дчотири

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння графічним методом.

Кількість коренів рівняння \(f(x) = x\) – це кількість точок перетину функції \(f(x)\) та \(y = x.\)

Отже, коренів рівняння три.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6178

Завдання 23 з 36

Студенти однієї з груп під час сесії повинні скласти п’ять іспитів. Заступнику декана потрібно призначити складання цих іспитів на п’ять визначених дат. Скільки всього існує різних варіантів розкладу іспитів для цієї групи?

А\(5\)

Б\(25\)

В\(60\)

Г\(120\)

Д\(240\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Кількість способів скласти розклад іспитів знаходимо за формулою перестановок: \(P_n = n!\)

\begin{gather*} P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6179

Завдання 24 з 36

Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами \(25\) см, \(12\) см, \(6{,}5\) см. Знайдіть масу \(m\) цеглини. (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою \(m=\rho\,V\), де \(V\) – об’єм, \(\rho=1{,}8\) г / см\(^3\) – густина цегли.)

А\(5{,}31\) кг

Б\(3{,}51\) кг

В\(3{,}5\) кг

Г\(3{,}41\) кг

Д\(3\) кг

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули об’єму призми, вміння застосовувати властивості многогранників до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

Об’єм паралелепіпеда з вимірами \(25\) см, \(12\) см, \(6{,}5\) см знаходимо за формулою: \(V = abc.\)

\begin{gather*} V = 25 \cdot 12 \cdot 6{,}5 = 1950\ \text{см}^3;\\[7pt] m = \rho V = 1{,}8 \cdot 1950 = 3510\ \text{г} = 3{,}51\ \text{кг}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6180

Завдання 25 з 36

На рисунку зображено ескіз графіка функці \(y=ax^2+bx+c\). Укажіть правильне твердження щодо коефіцієнтів \(a\), \(b\), \(c\).

А\(\begin{cases} a\lt0, \\ b\lt0, \\ c=0.\end{cases}\)

Б\(\begin{cases} a\gt0, \\ b\lt0, \\ c\gt0.\end{cases}\)

В\(\begin{cases} a\gt0, \\ b\gt0, \\ c=0.\end{cases}\)

Г\(\begin{cases} a\lt0, \\ b\gt0, \\ c\lt0.\end{cases}\)

Д\(\begin{cases} a\lt0, \\ b\gt0, \\ c=0.\end{cases}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції.

\(a\lt 0\) гілки параболи напрямлені вниз.

\(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\gt 0\) абсциса вершини параболи.

При \(a\lt 0\), \(b\gt 0\).

\(c = 0\) – точка перетину з віссю \(Oy\) (\(x = 0\), \(y = c\)).

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6181

Завдання 26 з 36

Установіть відповідність між числом (1– 4) та множиною, до якої воно належить (А – Д).

Число

1\(-8\)

2\(23\)

3\(\sqrt{16}\)

4\(1{,}7\)

Множина

Амножина парних натуральних чисел

Бмножина цілих чисел, що не є натуральними числами

Вмножина раціональних чисел, що не є цілими числами

Гмножина ірраціональних чисел

Дмножина простих чисел

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання про дійсні числа.

1. \(-8 \in Z\) множина цілих чисел, що не є натуральними числами. Отже, 1 – Б.

2. \(23\) – просте число (має тільки два дільника – \(1\) та \(23\)). Отже, 2 – Д.

3. \(\sqrt{16} = 4\) парне натуральне число. Отже, 3 – А.

4. \(1{,}7 \in Q\) раціональне число, що не є цілим. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6182

Завдання 27 з 36

Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1–4), та їхніми властивостями (А – Д).

Функція

1\(y=x^3\)

2\(y=\cos x\)

3\(y=\operatorname{tg}x\)

4\(y=\log_{0,2}x\)

Властивість функції

Аобластю визначення функції є проміжок \([0;+\infty)\)

Бфункція спадає на інтервалі \((0;+\infty)\)

Вфункція зростає на інтервалі \((-\infty;+\infty)\)

Гпарна функція

Дперіодична функція з найменшим додатним періодом \(T=\pi\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=x^3\ D(y)=(-\infty; +\infty).\) Отже, 1 – B.

2. \(y=\cos x\) – парна функція. Отже, 2 – Г.

3. \(y=\mathrm{tg} x\) – періодична функція з найменшим додатним періодом \(T = \pi.\) Отже, 3 – Д.

4. \(y=\log_{0,2} x\) – спадає на інтервалі \((0; +\infty)\), оскільки \(0\lt 0{,}2\lt 1\) – основа логарифма. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Г, 3 – Д, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6183

Завдання 28 з 36

На рисунку зображено прямокутну систему координат у просторі, на осях якої позначено точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\). Установіть відповідність між точками \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) (1–4) та їхніми можливими координатами (А – Д).

Точка

1\(K\)

2\(L\)

3\(M\)

4\(N\)

Координати точки

А\((-3;0;0)\)

Б\((0;-3;0)\)

В\((0;0;-3)\)

Г\((0;0;3)\)

Д\((0;3;0)\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

1. \(K(0; -3; 0)\) точка на осі \(Oy.\) Отже, 1 – Б.

2. \(L(0; 0; 3)\) точка на осі \(Oz.\) Отже, 2 – Г.

3. \(M(-3; 0; 0)\) точка на осі \(Ox.\) Отже, 3 – А.

4. \(N(0; 3; 0)\) точка на осі \(Oy.\) Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6184

Завдання 29 з 36

Знайдіть значення виразу \(\dfrac{m+4}{m^2-6m+9}\cdot\dfrac{2m-6}{m^2-16}-\dfrac{2}{m-4}\), якщо \(m=4{,}25\).

Впишіть відповідь:

-1.6

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

\begin{gather*} \frac{m + 4}{m^2 - 6m + 9} \cdot \frac{2m - 6}{m^2 - 16} - \frac{2}{m - 4} = \frac{(m + 4)\cdot 2(m - 3)}{(m - 3)^2(m - 4)(m + 4)} - \frac{2}{m - 4}=\\[6pt] =\frac{2}{(m - 3)(m - 4)} - \frac{2}{m - 4} = \dfrac{2 - 2(m - 3)}{(m - 3)(m - 4)}=\\[6pt] =\frac{2 - 2m + 6}{(m - 3)(m - 4)} = \frac{8 - 2m}{(m - 3)(m - 4)} = \frac{-2(m - 4)}{(m - 3)(m - 4)} = \frac{-2}{m - 3}. \end{gather*}

Якщо \(m=4{,}25\), то

\begin{gather*} \frac{-2}{4{,}25 - 3} = \frac{-2}{1{,}25} = -2:1{,}25 = -2:1\frac 14=\\[6pt] -2:\frac 54 = -2 \cdot \frac 45 = -\frac 85 = -1\frac 35 = -1{,}6. \end{gather*}

Відповідь: \(-1{,}6.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6185

Завдання 30 з 36

Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію «Довше розмовляєш – менше платиш» з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує \(30\) коп, а за кожну наступну хвилину розмови – на \(3\) коп менше, ніж за попередню; плата за одинадцяту та всі наступні хвилини розмови не нараховується; умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю \(8\) хвилин (у грн)?

Впишіть відповідь:

1.56

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Математичною моделлю задачі буде: \((a_n)\) – арифметична прогресія, \(a_1 = 30\), \(d = -3\), знайти \(S_8.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії знаходимо:

\begin{gather*} S_8 = \frac{2a_1 + d(8 - 1)}{2} \cdot 8 = \frac{2 \cdot 30 - 3 \cdot 7}{2} \cdot 8 =(60 - 21)\cdot 4=39 \cdot 4 = 156. \end{gather*}

Абонент заплатить \(156\) коп = \(1\) грн \(56\) коп = \(1{,}56\) грн.

Відповідь: \(1{,}56.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6186

Завдання 31 з 36

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності \(\log_{\textstyle \frac14}(x^2+6x)\ge-2\).

Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні та квадратичні нерівності та їхні системи.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac 14}(x^2 + 6x) \ge -2;\\[6pt] \log_{\textstyle \frac 14}(x^2 + 6x) \ge \log_{\textstyle \frac 14} 16. \end{gather*}

Функція \(y = \log_{\textstyle \frac 14} x\) спадна. Отже,

\begin{gather*} \begin{cases} x^2 + 6x \le 16, \\ x^2 + 6x\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2 + 6x - 16 \le 0, \\ x(x + 6)\gt 0, \end{cases}\\[7pt] x^2 + 6x - 16 = 0;\\[7pt] D = 36 - 4 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100;\\[6pt] x_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8.\\[7pt] \begin{cases} (x - 2)(x + 8)\le 0, \\ x(x + 6)\gt 0. \end{cases} \end{gather*}

Розв'язуємо методом інтервалів:

\begin{gather*} x\in [-8; -6)\cup (0; 2]. \end{gather*}

Цілі розв'язки: \(x = -8\); \(-7\); \(1\); \(2.\)

Кількість цілих розв'язків – \(4.\)

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6187

Завдання 32 з 36

Обчисліть інтеграл \(\displaystyle\int\limits_{-2}^1(x^2-4x)dx\).

Впишіть відповідь:

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_{-2}^{1}(x^2 - 4x)\ dx = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\\[6pt] = \left(\frac{x^3}{3} - 2x^2\right)\Bigg|_{-2}^{1} = \left(\frac 13 - 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - 8\right)=\\[6pt] = \frac 13 - 2 + \frac 83 + 8 = \frac 93 + 6 = 3 + 6 = 9. \end{gather*}

Відповідь: \(9.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6188

Завдання 33 з 36

Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої фігури (у см\(^2\)), якщо менше з кіл обмежує круг площею \(64\) см\(^2\).

Впишіть відповідь:

192

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі круга.

Площу зафарбованої фігури знайдемо як різницю площ більшого круга та меншого

\begin{gather*} S_\text{фігури}=S_\text{більшого}-S_\text{меншого}.\\[7pt] S_\text{меншого}=\pi r^2 = \pi \cdot OA^2 = 64\ \text{см}^2;\\[6pt] OA^2=\frac{64}{\pi};\\[6pt] S_\text{більшого}=\pi R^2 = \pi(2 \cdot OA)^2 = \pi \cdot 4 \cdot OA^2 = \frac{4\pi \cdot 64}{\pi} = 256\ \text{см}^2;\\[6pt] S_\text{фігури} = S_\text{більшого} - S_\text{меншого} = 256 - 64 = 192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(192.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6189

Завдання 34 з 36

Розв’яжіть рівняння \(\Bigl||2x-1|-3\Bigr|=5\).

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Впишіть відповідь:

-15.75

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з модулем.

За властивістю модуля:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} |2x-1|-3=5,\\ |2x-1|-3=-5, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} |2x-1|=8,\\ |2x-1|=-2. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння \(|2x - 1| = -2\) не має коренів, тому розв’язуємо тільки перше рівняння сукупності:

\begin{gather*} |2x - 1| = 8,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x-1=8,\\ 2x-1=-8, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} 2x=9,\\ 2x=-7, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x_1=4{,}5,\\ x_2=-3{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння має два корені. У відповідь запишемо добуток коренів:

\begin{gather*} x_1 \cdot x_2 = 4{,}5 \cdot (-3{,}5) = -15{,}75. \end{gather*}

Відповідь: \(-15{,}75.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6190

Завдання 35 з 36

Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює \(30^\circ\). Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом \(60^\circ\). Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см\(^2\)), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює \(3\) см.

Впишіть відповідь:

144

Пропустити Відповісти Наступне Показати відповідь Читати пояснення

Наступне Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі поверхні многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 30^\circ.\)

Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під одним кутом, тому основа висоти \(EO\) – центр вписаного в ромб кола. Точка \(O\) – точка перетину діагоналей ромба.

У ромбі \(ABCD\) проведемо \(OK\!\perp\!AB.\) \(OK\) – радіус вписаного кола, \(OK = 3\) см.

\(OK\!\perp\!AB\), \(EK\!\perp\!AB\) (за теоремою про три перпендикуляри).

\((EKO)\!\perp\!AB\) (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

\(\angle EKO = 60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((ABC)\) та \((ABE).\)

У ромбі \(ABCD\ OK = \dfrac 12CH.\)

(\(CH\!\perp\!AB\) – висота ромба).

\begin{gather*} CH = 2 \cdot OK = 6\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta BCH\ (\angle H = 90^\circ)\), \(\angle B = 30^\circ\) за властивістю катета, протилежного до кута \(30^\circ\),

\begin{gather*} BC = 2 \cdot CH = 12\ \text{см}.\\[6pt] S_{ABCD} = AB^2 \sin B = 12^2 \cdot \sin 30^\circ = 144 \cdot \frac 12 = 72\ \text{см}^2. \end{gather*}

Ортогональна проекція бічної поверхні – основа піраміди (ромб).

\begin{gather*} S_\text{біч} = \frac{S_\text{осн}}{\cos K} = \frac{72}{\cos 60^\circ} = 72 : \frac 12 = 144\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6191

Завдання 36 з 36

Розв’яжіть систему \(\begin{cases}5\cos\dfrac{\pi y}{2}=x^2-8x+21, \\ y+5x-4=0.\end{cases}\)

Якщо система має єдиний розв’язок \((x_0;y_0)\), то у відповідь запишіть суму \(x_0+y_0\); якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.

Впишіть відповідь:

-12

Показати відповідь Читати пояснення

Завершити тест

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння та їхні системи, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

Використаємо властивість функцій для розв'язку рівняння

\begin{gather*} 5\cos\frac{\pi y}{2} = x^2 - 8x + 21. \end{gather*}

Оцінимо вирази:

\begin{gather*} -1 \le \cos\frac{\pi y}{2} \le 1;\\[6pt] -5 \le 5\cos\frac{\pi y}{2} \le 5;\\[6pt] x^2 - 8x + 21 = x^2 - 8x + 16 + 5 = (x - 4)^2 + 5;\\[7pt] (x - 4)^2 + 5 \ge 5,\ \text{бо}\ (x - 4)^2 \ge 0. \end{gather*}

Отже, рівність \(5\cos\dfrac{\pi y}{2} = (x - 4)^2 + 5\) досягається при значенні змінних \(x\) та \(y\), при яких ліва і права частина дорівнюють \(5.\)

\begin{gather*} (x - 4)^2 + 5 = 5\ \text{при}\ x = 4;\\[6pt] 5\cos\frac{\pi y}{2} = 5;\\[6pt] \cos\frac{\pi y}{2} = 1;\\[6pt] \frac{\pi y}{2} = 2\pi n,\ n \in Z,\ \text{при}\ y = 4n,\ n \in Z. \end{gather*}

Розв'язком першого рівняння є пара \((4; 4n)\), \(n \in Z.\)

Підставимо у друге рівняння:

\begin{gather*} y + 5x - 4 = 0;\\[7pt] 4n + 5 \cdot 4 - 4 = 0;\\[7pt] 4n = -16;\\[7pt] n = -4. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи \((4; -16).\)

У відповідь запишемо суму

\begin{gather*} x_0 + y_0 = 4 + (-16) = -12. \end{gather*}

Відповідь: \(-12.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6192

Новини

Подання заяви про вступ: на що звернути увагу абітурієнту
Як визначити пріоритети заяв про вступ до закладів вищої освіти
Перші списки вступників опубліковані на Вступ.ОСВІТА.UA

Інформація

Усі завдання ЗНО з математики за темами
Усі тести ЗНО з математики онлайн
Завдання й відповіді ЗНО з математики минулих років
Усе про тест ЗНО з математики
Програма ЗНО з математики
Тести ЗНО онлайн з інших предметів
Дорожня карта учасника ЗНО
Дорожня карта вступника на бакалавра