ЗНО онлайн 2010 року з математики – 2 сесія

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

За властивістю ромба (діагоналі є бісектрисами кутів) \(\angle BAD = 50^\circ\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Після зниження ціни на \(15\ \%\) вартість товару становить \begin{gather*} 100\ \%-15\ \%=85\ \%. \end{gather*}

Знайдемо \(85\ \%\) від \(1800\) грн:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів з цілими показниками, уміння виконувати тотожні перетворення з ними.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда.

Отже, кількість ребер – \(12.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Використовуємо формулу

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра.

Висота циліндра \(OO_{1}=BA=CD=8\) см. \(ABCD\) – прямокутник \(AC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ (\angle D = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\(AD = 2 \cdot AO\), \(AO = 3\) см – радіус основи.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Додамо почленно рівняння

Підставимо значення \(x = 1\) у друге рівняння:

У відповідь запишемо

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

\(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\), \(AB=BC=7.\)

Абсциси точок \(B\) та \(C\) збігаються. \(C(4; -2).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати раціональні та ірраціональні числа.

Дано числа \(a = \sqrt{5} - 2\), \(b = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}\), \(c = \sqrt[\scriptstyle 3]{3} - \sqrt[\scriptstyle 3]{2}.\)

\(a = \sqrt{5} - \sqrt{4} \gt 0\), \(\sqrt{5}\gt \sqrt{4}.\)

\(b = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} = \sqrt{12} - \sqrt{18}\lt 0\), \(\sqrt{12}\lt \sqrt{18}.\)

\(c = \sqrt[\scriptstyle 3]{3} - \sqrt[\scriptstyle 3]{2}.\)

З них додатні \(a\) та \(c.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, зовнішнього кута трикутника.

\(\Delta BOC\) – рівнобедрений \(BO = OC\) як радіуси. \(\angle C = \angle B = 35^\circ.\)

\(\angle ABO = 90^\circ\) (радіус \(BO\) перпендикулярний дотичної \(AB\)).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об’єму кулі, уміння застосовувати властивості кулі.

Об’єм кулі знаходиться за формулою:

де \(R\) – радіус кулі.

Якщо радіус збільшити у \(2\) рази, то об’єм збільшиться у \(2^{3} = 8\) разів.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

I. Влітку опадів випало:

Навесні випало опадів:

Отже, твердження неправильне.

II. У вересні випало \(18\) мм опадів, у жовтні – \(12\) мм. Отже, у вересні випало у \(1{,}5\) рази більше, ніж у жовтні. Твердження правильне.

III. Середня місячна кількість опадів за рік:

Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання формули площі паралелограма.

Площа паралелограма

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, порівнювати раціональні числа.

Корінь рівняння належить проміжку \((8; 11].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Вектори і координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, уміння виконувати дії з векторами.

Скалярний добуток векторів \(\overrightarrow{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})\) та \(\overrightarrow{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

На полиці \(18\) банок із джемом. З абрикосовим джемом \(6\) банок.

Імовірність того, що навмання взята банка буде з абрикосовим джемом, становить: \begin{gather*} P=\frac{6}{18}=\frac 13. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: АЛгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, значення похідної функції в точці.

\(f(x)=2x^3-5.\)

Знайдемо похідну функції: \(f'(x)=6x^2.\)

Похідна функції в точці \(x_0=-1{:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

Зробимо елементарне перетворення графіка функції \(y = \log_{4} x \Rightarrow y = -\log_{4} x\) (симетрія відносно осі \(Ox\)).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

З \(10\) цифр необхідно вибрати \(2.\)

Оскільки порядок цифр неважливий, то використаємо формулу сполук

кількість способів вибрати \(m\) елементів.

Відповідь: В.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей прямокутника та трикутника.

\(ABCD\) – квадрат, \(P_{ABCD} = 24\) см, \(AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6\) см. \(\Delta BKC\), \(P_{BKC} = 20\) см.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння графічним методом.

\(f(x) \ge 2\) розв’язком є проміжок, на якому графік функції \(f(x)\) вище графіка \(y = 2\), або точки їх перетину.

Отже, \(x \in \{-1\} \cup [3; 5].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного паралелепіпеда до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

Знайдемо площу поверхні прямокутного паралелепіпеда

де \(a = 10\) см, \(b = 20\) см, \(c = 80\) см.

На \(1\) м\(^2\) витрачається \(100\) г лаку. На покриття поверхні витратять

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадратичної функції.

\(a = 1\gt 0\) – гілки параболи напрямлені вгору

\(c\gt 0\) – точка перетину параболи з віссю \(Oy.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє знання про дійсні числа.

1. \(3{,}4\) – множина дробових чисел. Отже, 1 – Г.

2. \(\sqrt{8}\) – множина ірраціональних чисел. Отже, 2 – Д.

3. \(\dfrac{10}{2} = 5\) – множина натуральних чисел. Отже, 3 – A.

4. \(-13\) – множина цілих чисел, що не є натуральними числами. Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y = \cos x\) область значень \([-1; 1].\) Отже, 1 – Б.

2. \(y = \mathrm{ctg}\ x\) непарна функція. Отже, 2 – Г.

3. \(y = 4\) періодична функція, що не має найменшого додатного періоду. Отже, 3 – Д.

4. \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\textstyle x}\) спадає \((-\infty; +\infty).\) Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, уміння будувати перерізи, встановлювати їх вид.

1.

Переріз прямокутник. Отже, 1 – Г.

2.

Переріз круг. Отже, 2 – А.

3.

Переріз трикутник. Отже, 3 – Д.

4.

Переріз кулі – круг, але сфери – коло. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – Д, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма та вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: \(20{,}25.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Математична модель задачі – дано \((a_{n})\) – арифметична прогресія, \(a_{1} = 50\), \(d = 20\), знайти \(S_{12}.\)

Відповідь: \(1920.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові та квадратні нерівності та їхні системи.

Зведемо обидві частини нерівності до однакової основи.

Функція \(y = 2^x\) зростає, тому

\begin{gather*} x \in (-5; 3). \end{gather*}

Сума цілих розв’язків:

Відповідь: \(-7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь.

Нехай швидкість пішки \(x\) км/год, тоді на велосипеді – \((x + 8)\) км/год.

Шлях пішки та на велосипеді однаковий, тому складемо рівняння:

\(6\) км/год – швидкість пішки.

Отже, відстань від села до станції

Відповідь: \(42.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі круга.

Кола з центрами в точках \(O\) та \(O_1\) мають внутрішній дотик. Нехай \(R\) – радіус великого кола, \(r\) – радіус маленького кола.

Відстань між центрами кіл знаходимо різницею

Відповідь: \(13{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати визначений інтеграл до знаходження площі криволінійної трапеції.

Побудуємо схематично графіки функцій:

\(x = \dfrac{\pi}{2}\), \(x = \pi\) – границі інтегрування.

Площу фігури знайдемо за допомогою визначеного інтеграла (від «верхньої лінії» віднімемо «нижню лінію»):

Відповідь: \(3.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(DABC\) – піраміда, \(\Delta ABC\) – прямокутний, \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 4\sqrt{3}\) см, \(\angle A = 30^\circ\).

Усі бічні ребра \(DA\), \(DB\), \(DC\) нахилені до площини під кутом \(45^\circ\) – основа висоти піраміди є центром описаного навколо \(\Delta ABC\) кола.

Центр кола точка \(O\) – середина гіпотенузи.

\(DA\), \(DC\), \(DB\) – похилі до площини \((ABC).\)

\(OA\), \(OC\), \(OB\) – проекції похилих.

Отже, кути між бічними ребрами та площиною основи

У \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(\angle A = 30^\circ\), \(AB = 4\sqrt{3}\) см.

У \(\Delta AOD\ (\angle O = 90^\circ)\), \(\angle A = 45^\circ\), \(AO = \dfrac 12AB = 2\sqrt{3}\) см. Отже, \(\angle D = 45^\circ\) та \(\Delta AOD\) – рівнобедрений \(AO = OD = 2\sqrt{3}\) см.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння та їхні системи, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

Оцінимо значення виразів:

Отже, якщо рівняння має розв'язки, то кожний з виразів повинен дорівнювати нулю (щоб їх сума дорівнювала нулю).

Розв'язуємо (1) рівняння:

Перевіримо, чи є коренями \(x_1 = 1\) та \(x_2=-\dfrac 92\) коренями (2) рівняння:

\(1 \ne 0\) не є розв'язком.

Отже, \(x = -4{,}5\) – корінь рівняння.

Відповідь: \(-4{,}5.\)