ЗНО онлайн 2014 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника.

\(BM\) – висота, отже \(\angle AMB=90^\circ.\)

У \(\triangle ABM\) (\(\angle M=90^\circ\)) \begin{gather*} \angle A+\angle B=90^\circ,\\[7pt] \angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє уміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(6{:}\) \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=2\ \big|\cdot 6,\\[6pt] 3x+2x=12,\\[6pt] 5x=12,\\[7pt] x=12:5,\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення та властивостей геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії: \begin{gather*} b_{n+1}=b_n\cdot q,\\[7pt] q=\frac{b_{n+1}}{b_n}. \end{gather*}

А) $$ q=\frac{20}{-25}\ne\frac{-15}{20}. $$

Б) $$ q=\frac{-40}{-80}=\frac{-20}{-40}=\frac{-10}{-20}=\frac{1}{2} $$ геометрична прогресія, але \(q\gt 0.\)

В) $$ q=\frac{10}{30}\ne\frac{-10}{10}. $$

Г) $$ q=\frac{-20}{10}=\frac{40}{-20}=\frac{-80}{40}=-2 $$ геометрична прогресія, \(q\lt 0\).

д) $$ q=\frac{-30}{-15}\ne \frac{-45}{-30}. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано протягом місяця.

Круг поділено на \(12\) рівних секторів. Загальна кількість проданих столів – \(108.\) Отже, кожний сектор відповідає \(108:12=9\) столам.

Журнальних столів було продано \(9\cdot 3=27\) штук.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

Якщо \(b\) становить \(47\ \%\) від числа \(a\), то $$ b=a\cdot\frac{47}{100}=\frac{a}{100}\cdot 47. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратичні, тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Розглянемо графік кожної з запропонованих функцій та перевіримо чи належить зоборажений фрагмент йому.

A. \(y=-x^2\)

Б. \(y=\sin x\)

В. \(y=\mathrm{tg}\ x\)

Г. \(y=\cos x\)

Д. \(y=x^2\)

Проаналізувавши всі графіки запропонованих функцій бачимо, що на рисунку зображено фрагмент графіка \(y=\cos x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та знання властивостей степенів.

Корінь рівняння належить проміжку \([-5; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання колінеарних векторів.

Колінеарні вектори – це вектори, які лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Напрямок та довжина для визначення їх колінеарності не важливі.

\(\overrightarrow{BO}\parallel\overrightarrow{BD}\).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та круга, їхніх елементів; формули для обчислення відстані між двома точками, рівняння кола.

Коло задано рівнянням \(x^2+y^2=9\). Точки, які належать кругу, обмеженого цим колом, розташовані на відстані, не більшій, ніж радіус від центра кола. \((0; 0)\) – центр кола, \(R=3.\)

Отже, умова виконується, якщо координати точки \((x_0, y_0)\) задовольняють умові $$ x_0^2+y_0^2\le 9. $$

А) \((\sqrt{2})^2+5^2\gt 9.\)

Б) \(1^2+3^2\gt 9.\)

В) \(4^2+5^2\gt 9.\)

Г) \(3^2+2^2\gt 9.\)

Д) \(2^2+(\sqrt{3})^2\le 9,\ 7\le 9.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\),
\(b=\cos 120^\circ\lt 0\), отже \(b\lt 0\lt a.\)

Кут \(120^\circ\) належить II координатній чверті. У даній координатній чверті функція \(y=\sin x\) має додатний знак, а \(y=\cos x\) – від’ємний.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, ребро якого \(1\) см.

Відстань від точки \(A\) до прямої \(B_1C_1\) – довжина перпендикуляра з точки \(A\) до прямої \(B_1C_1.\)

\(AB\ \perp\ (BB_1C_1)\), \(AB_1\) – похила на \((BB_1C_1)\), \(BB_1\) – проекція \(AB_1\) на \((BB_1C_1).\)

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція \(BB_1\ \perp\ B_1C_1\), то й похила \(AB_1\ \perp\ B_1C_1\), а отже, \(AB_1\) – відстань від \(A\) до \(B_1C_1.\)

У \(\triangle ABB_1\) (\(\angle B=90^\circ\)) \(AB=BB_1=1\) см.

За теоремою Піфагора

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних нерівностей.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей першого степеня.

$$ -3\lt 2-5x\lt 6 $$

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2-5x\gt -3,\\ 2-5x\lt 6, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} -5x\gt -5,\\ -5x\lt 4, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -\frac 45. \end{array} \right. $$

\(-0\mathord{,}8\lt x\lt 1.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, знання основних властивостей функцій.

Функція \(y = f(x)\) зростає на проміжку \((-\infty; +\infty)\), тому меншому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

За умовою \(f(1) = -2\), \(f(9) = 5.\) Значення функції в точці \(x = 8\): \begin{gather*} f(1) \lt f(8) \lt f(9),\\[7pt] -2 \lt f(8) \lt 5. \end{gather*}

З наведених чисел може бути значення \(f(8) = 3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(H = 7\) см, \(C = 18\pi\) см – довжина кола.

За формулою $$ S_{б} = 2\pi RH, $$ де \(C = 2\pi R\). Отже,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Спростимо вираз: \begin{gather*} |2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|,\\[7pt] 2\lt \sqrt{5}, \end{gather*} тому $$ 2-\sqrt{5}\lt 0, $$ а отже $$ |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+\sqrt{5}\gt 0, $$ звідси $$ |2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення площин у просторі.

I. Це твердження правильне.

II. Через точку \(M\) можна провести пряму, перпендикулярну \(\alpha\), та тільки одну. Через дану пряму можна провести безліч площин, перпендикулярних даній. Отже, твердження – неправильне.

III. Через точку \(M\) можна провести безліч похилих до площини \(\alpha.\) Через кожну похилу можна провести площину, яка утворює з площиною \(\alpha\) кут \(45^\circ\). Отже, твердження – неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, знання правила знаходження похідної добутку.

За правилом $$ (uv)' = u'v + uv' $$ знаходимо похідну:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса, вміння застосовувати властивості конуса.

\(V_{K1} = 64\ \text{см}^3\), \(SO_1 = O_1O.\)

Круги з центрами \(O\) та \(O_1\) подібні.

Конуси з радіусами основ \(r\) та \(R\) подібні.

Отже, $$ \frac{r}{R} = \frac{1}{2} = k, $$ де \(k\) – коефіцієнт подібності.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектор на площині. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, основних видів та змісту геометричних перетворень на площині (симетрія, поворот).

1. Симетрія відносно осі \(x\)

Отже, 1 – Б.

2. Симетрія відносно осі \(y\)

Отже, 2 – Г.

3. Симетрія відносно точки \(O\)

Отже, 3 – А.

4. Поворот відносно точки \(O\) на \(90^\circ\) проти годинникової стрілки.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1.

Отже, 1 – А.

2.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, 3 – В.

4.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Початки теорії ймовірностей.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності на \(5\), \(3\), класичного означення ймовірності події.

Дано натуральні числа \(9 \lt n \lt 20.\)

1. На даному проміжку прості числа: \(11\), \(13\), \(17\) та \(19.\) Всього натуральних чисел \(10.\) Отже, ймовірність того, що вибране число буде простим $$ P=\frac{4}{10}=0{,}4. $$

Отже, 1 – Г.

2. На даному проміжку всі числа двоцифрові, тому ймовірність того, що вибране число буде двоцифровим \(P=1.\) Отже, 2 – Д.

3. Серед даних чисел немає дільників числа \(5\), тому \(P=0.\) Отже, 3 – А.

4. Сума цифр вибраного числа буде ділитися на \(3\) у таких чисел: \(12\), \(15\) та \(18.\) $$ P=\frac{3}{10}=0{,}3. $$

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійна функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1.

Отже, 1 – А.

2.

Отже, 2 – Г.

3.

Отже, 3 – Д.

4.

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Г, 3 – Д, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

1. Другу частину маршруту, довжиною \(36\) км, велосипедист проїхав зі сталою швидкістю \(18\) км/год.

2. Для знаходження середньої швидкості необхідно знайти частку від ділення довжини всього маршруту та всього часу руху.

Весь маршрут склав \(81\) км. Весь час, який витратив велосипедист, становить \(2 + 3 = 5\) год.

Отже,

Відповідь: 1. \(2.\)
                   2. \(16{,}2.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості ромба до розв’язування планіметричних задач, знання теореми Фалеса.

\(ABCD\) – ромб, \(OK\) – радіус вписаного кола.

1. \(S_{кр}=\pi r^2=2{,}25\pi\ \text{см}^2.\) \(\ r^2=2{,}25;\ \ r=1{,}5\ \text{см}.\)

2.

\(AO=OC.\) За теоремою Фалеса \(KC=KE.\) Отже, в \(\Delta AEC\) \(OK\) – середня лінія, $$ OK=\frac{1}{2}AE. $$

\(AE=2\cdot OK=2\cdot 1{,}5=3\) см – висота ромба.
\(S_{p}=BC\cdot AE=BC\cdot 3=10{,}8;\) \(\ BC=3{,}6\) см.

Відповідь: 1. \(1{,}5.\)
                   2. \(3{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності методом інтервалів, застосовувати методи та прийоми у процесі розв'язування нерівностей.

Розкладемо на множники квадратний тричлен за формулою:

де \(x_1\), \(x_2\) – корені тричлена.

Отже,

Розв'яжемо методом інтервалів. Нулі функції: \(x=-9\), \(x=-3\), \(x=-5.\)

Сума цілих розв'язків: $$ -5+(-4)+(-3)+(-9)=-21. $$

Відповідь: \(-21.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Це завдання перевіряє знання означення кореня \(n\)-го степеня, властивостей коренів, формули скороченого множення.

Використаємо формулу "різниці квадратів":

Відповідь: \(-7.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, ірраціональні рівняння, та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні, лінійні та квадратні рівняння та їхні системи.

Піднесемо до квадрату обидві частини першого рівняння.

Перевіримо, чи належить ОДЗ \((4; 11).\)

Нерівність виконується. Отже, \((4; 11)\) – розв’язок системи.

Відповідь: \(44.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, кола, круга та їхніх елементів; вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

\(\Delta ABO\) – рівнобедрений, \(OA = OB\) як радіуси. Медіана \(ON\) є висотою (за властивістю рівнобедреного трикутника). \(AB = 12\) м, \(AN = NB = 6\) м.

Нехай \(OA = OB = OM = x\) м (радіуси кола). \begin{gather*} MN + NO = MO,\\[7pt] NO = MO - MN = (x - 3)\ \text{м}. \end{gather*}

У \(\Delta ONB\) (\(\angle N = 90^\circ\)) за теоремою Піфагора: $$ OB^2 = ON^2 + NB^2. $$

Складемо рівняння: \begin{gather*} 6^2 + (x - 3)^2 = x^2,\\[7pt] 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2,\\[7pt] 6x = 45,\\[7pt] x = 45 : 6,\\[7pt] x = 7{,}5. \end{gather*}

\(OB = 7{,}5\) м.

Відповідь: \(7{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, вміння досліджувати на періодичність функцію.

Дана періодична функція \(y = f(x)\) із періодом \(T = 9.\) На проміжку \((-5; 4]\) функція задана формулою $$ f(x) = 19 - x^3. $$

За означенням періодичної функції $$ f(x) = f(x + T) = f(x - T). $$

Отже, $$ f(5) = f(5 - 9) = f(-4), $$ \(x = -4\) належить даному проміжку \((-5; 4].\)

Відповідь: \(83.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

\((SBC)\ \perp\ (ABC)\), тому висота піраміди \(SO\) належить цій грані.

\(AD\ ||\ BC\) (основи трапеції) \((SBC)\) проходить через пряму \(BC\ ||\ DA.\)

За ознакою паралельності прямої і площини \(AD\ ||\ (SBC).\)

Площина \((AMD)\) проходить через \(AD\ ||\ (SBC)\), тому \((AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.\)

\(AD\ ||\ BC\), \(AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC\),
\((SAB)\cap (MAD)=AM\), \((SCD)\cap (MAD)=ND.\)

\(AMND\) – переріз піраміди (трапеція).

У \(\Delta SBC\) \(MN\) – середня лінія (за умовою \(SM=MB\)), \(MN\ ||\ BC.\) За властивістю середньої лінії трикутника:

Відповідь: \(3{,}05.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння і нерівності, що містять показникові вирази, рівняння з параметрами, застосовувати властивості функцій у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо ліву частину рівняння.

Оцінимо область значень функції

Розглянемо праву частину рівняння:

Отже, рівність досягається при

Корінь рівняння буде додатним при \begin{gather*} \frac{n}{2}-\frac{5}{8},\\[6pt] n\gt \frac{5}{4},\\[6pt] n\gt 1\frac{1}{4},\ n\in Z. \end{gather*}

Отже, при \(n=2\), \(3\), \(4\text{...}\)

Найменше значення параметра \(a{:}\ n=2.\)

Відповідь: \(-2{,}625.\)