ЗНО онлайн 2013 року з математики – пробний тест

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

За даними діаграми, цифрових фотоапаратів продано \(200\), а мобільних телефонів приблизно \(600.\) Більше ніж фотоапаратів, але менше ніж телефонів, продано телевізорів та ноутбуків.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознаки паралельності прямої та площини.

Через дві точки \(B\) і \(C\) можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Через одну пряму можна провести безліч площин.

\(a\ ||\ BC.\) За ознакою паралельності прямої та площини, кожна з площин, яка містить пряму \(BC\), буде паралельна прямій \(a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Область значень функції – множина всіх значень, які може приймати змінна \(y.\)

Отже, \(E(y) = [-1; 2].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

\(\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ\) як суміжні.

\(\angle DAC = 146^\circ\), \(\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.\)

У \(\Delta ABC\) \((\angle B = 90^\circ).\) \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.\) \(\angle ACB = \alpha = 56^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на \(6{:}\) \begin{gather*} 2(2x - 3) = x + 1,\\[7pt] 4x - 6 = x + 1,\\[7pt] 3x = 7,\\[6pt] x = \frac{7}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, вміння множити вектор на число, виконувати додавання векторів.

За правилом паралелограма

Отже, \begin{gather*} \overrightarrow{CO} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}). \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування квадратних нерівностей.

\(x = 0\), \(x = 2\) – нулі функції. Розв'яжемо методом інтервалів.

\begin{gather*} x \in [0; 2]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників.

\(\Delta ABC\) – рівносторонній \(KM = \dfrac{1}{2}AC\), \(KM\ ||\ AC\) (за властивістю середньої лінії).

\(\Delta ABC\) подібний \(\Delta KBM.\) Отже, \(\Delta KBM\) – рівносторонній.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

Використаємо властивість кореня \begin{gather*} \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b},\\[7pt] a,\ b \gt 0. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

На відрізку \([0;\ \pi]\) графік функції \(y = \cos x\) перетворимо у графік функції \(y = 4\cos x.\)

\(f(x) \rightarrow kf(x)\) – розтяг уздовж осі \(Oy\) в \(k\) раз.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної прогресії.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

Математична модель задачі: дана арифметична прогресія з \(a_1 = 15\), \(d = 3.\) Необхідно знайти \(a_7.\)

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії

У сьомому ряду цього кінотеатру \(33\) крісла.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості конуса, знання формули площі бічної поверхні конуса.

\(BC = 6\) см, \(BO = \dfrac{1}{2}BC = 3\) см.

де \(R = BO = 3\) см, \(l = AB.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі сектора.

\(\alpha+\beta= 360^\circ\), \(\alpha=120^\circ\), \(\beta=240^\circ.\) Отже, \(\beta=2\alpha.\)

Сектор з центральним кутом \(\beta=240^\circ\) має площу:

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування задач, знання теореми Піфагора.

\(SABCD\) – правильна піраміда. \(ABCD\) – квадрат. \(SK\!\perp\!AB\), \(SK = 10\) см – апофема. \(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SO = 8\) см висота піраміди.

У \(\Delta SOK\) \((\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\(KO = \dfrac{1}{2}AD\), \(AD = 12\) см (\(KO\) – радіус вписаного кола у квадрат \(ABCD\)).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Використовуючи геометричний зміст похідної \(f'(x_0) = k = \mathrm{tg}\ \alpha\), \(\alpha\) – кут нахилу дотичної до графіка функції в точці до осі \(Ox.\)

Отже, \(f'(x_0) = \mathrm{tg}\ 45^\circ = 1.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

При \(n = 1\) \begin{gather*} x = -\frac{\pi}{3} + \pi= \frac{2\pi}{3} \end{gather*} найменший додатний корінь.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Квадратична функція \(y = f(x)\) має від'ємний коефіцієнт \(a\) у формулі \begin{gather*} y = ax^2 + bx + c. \end{gather*}

Розкладемо на множники \begin{gather*} x \cdot f(x) \lt 0,\\[7pt] -x(x - 1)(x - 4) \lt 0,\\[7pt] x(x - 1)(x - 4) \gt 0. \end{gather*} Розв'яжемо методом інтервалів

\begin{gather*} x \in (0; 1) \cup (4; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння застосувати рівняння до розв’язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

1. \(50 \cdot 0{,}1 = 5\) кг. Отже, 1 – А.

2. \(50 \cdot 0{,}1 + 100 \cdot 0{,}25 = 5 + 25 = 30\) кг. Отже, 2 – Д.

3. \(\dfrac{30}{150} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{5} \cdot 100\,\% = 20\,\%.\) Отже, 3 – В.

4. Нехай II сплаву взяли \(x\) кг. Міді в I сплаві \(5\) кг, у II сплаві – \(0{,}25x\) кг. Всього \((5 + 0{,}25x)\) кг міді у сплаві масою \((50 + x)\) кг.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Лише I, II, III.

Отже, 1 – В.

2. Лише I, III.

Отже, 2 – Б.

3. Лише I, II.

Отже, 3 – А.

4. I, II, III, IV.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання координат точки у просторі.

1. \(K(0; 0; 12)\) збігається з \(B_1.\) Отже, 1 – Д.

2. \(M(1; 8; 0)\) належить ребру \(CD.\) Отже, 2 – Б.

3. \(P(4; 4; 4)\) належить грані \(AA_1D_1D.\) Отже, 3 – А.

4. \(Q(0; 4; 6)\) належить діагоналі \(BC_1,\ CC_1.\)

\(OQ = \dfrac{1}{2}CC_1 = 6.\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Б, 3 – A, 4 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Многокутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, вписане у правильні многокутники, у трикутники.

За формулою для радіуса вписаного кола для правильних многокутників \begin{gather*} r_n = \frac{a_n}{2\mathrm{tg}\left(180/n\right)} \end{gather*} знайдемо

1. \begin{gather*} r_3 = \frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{tg}(180/3)} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1{,}5\ \text{см}. \end{gather*} Отже, 1 – Б.

2. \begin{gather*} r_4 = \frac{2}{2\mathrm{tg}45^\circ} = 1\ \text{см}. \end{gather*} Отже, 2 – А.

3. \begin{gather*} r = \frac{a + b - c}{2} \end{gather*} – формула для прямокутного трикутника.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь та їх систем.

Нехай пострілів у «десятку» було \(x\), а у «дев'ятку» – \(y.\)

Усього пострілів зроблено \(10.\) Отже, \(x + y = 10.\)

Усього спортсмен набрав \(94\) очки, отже, \(10x + 9y = 94.\)

Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання:

Отже, у «дев'ятку» спортсмен влучив \(6\) разів.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

Функція \(y = 4 - |20x + 7|\) набуває найбільшого значення при \begin{gather*} 20x + 7 = 0,\\[7pt] 20x = -7,\\[6pt] x = -\frac{7}{20},\\[6pt] x = -0{,}35. \end{gather*}

\(|20x + 7| \ge 0\), тому найбільше значення різниці \(4 - |20x + 7|\) при найменшому значенні \(|20x + 7|.\)

Відповідь: \(-0{,}35.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та раціональні нерівності та їхні системи.

Функція \(y = 0{,}5^x\) спадна, тому

\begin{gather*} x \in \left(-2\frac{1}{3};\ 5\right). \end{gather*}

Цілі розв'язки: \(-2\); \(-1\); \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4.\)

Отже, кількість цілих розв'язків – \(7.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення та властивості логарифма.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма, вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

За формулою переходу до нової основи знаходимо:

Відповідь: \(1{,}6.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Імовірність обрати старосту з першої групи – \(\dfrac{1}{20}\), а з другої – \(\dfrac{1}{25}.\)

Імовірність того, що учасниками заходу будуть обрані обидва старости (подія \(A\)), знаходимо за правилом добутку ймовірностей:

Відповідь: \(0{,}002.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику, теореми Піфагора, властивостей трапеції.

\(AC\!\perp\!CD.\) Проведемо \(CK\!\perp\!AD.\)

\(ABCK\) – прямокутник,

\(\Delta ACD\) \((\angle C = 90^\circ)\) за властивістю висоти, проведеної до гіпотенузи:

\(\Delta ACK\) \((\angle K = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу криволінійної трапеції знаходимо за допомогою визначеного інтеграла. За умовою площа дорівнює \(40\) кв.од. Отже,

Розв'яжемо рівняння:

Нехай

За умовою \(a \gt 0,\) тому \(a = 4.\)

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – призма, \(BB_1\) – висота призми. \(AC = 17\) см.

1. \((AB_1C) \cap (AA_1B_1) = AB_1\), \((AB_1C) \cap (BCC_1) = B_1C\). Отже, \(\Delta AB_1C\) – даний переріз.

2. \(BO\!\perp\!AC\) (властивість діагоналей ромба). \(B_1O\!\perp\!AC\) (за теоремою про три перпендикуляри). \((BOB_1)\!\perp\!AC.\) Отже, \(\angle B_1OB = \alpha\) – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами \((AB_1C)\) і \((ABC).\)

3. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\),

4.

За умовою, \(V = 1020\ \text{см}^3.\) Отже,

5. \(BB_1 = 1{,}2BD = 1{,}2 \cdot 10 = 12\) см.

6. \(\Delta B_1BO\) \((\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: \(110{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

ОДЗ:

Використаємо властивість коренів:

\(x = 5\) – корінь рівняння незалежно від параметра \(a.\)

Для того, щоб рівняння мало два корені, необхідно, щоб \(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) мало один корінь, який не збігається з \(x = 5.\)

\(\sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = \sqrt{a}\) піднесемо до квадрата обидві частини рівняння: \begin{gather*} x + x - 4 + 2\sqrt{x(x - 4)} = a,\\[7pt] 2\sqrt{x(x - 4)} = a + 4 - 2x. \end{gather*}

Ліва частина рівняння невід'ємна, тому й права частина повинна бути невід'ємною. Отже,

З урахуванням ОДЗ:

Найменше ціле значення параметра \(a\), при якому початкове рівняння має два корені при \(a \gt 6 + 2\sqrt{5}\)
\(6 + 2\sqrt{5} \approx 10{,}5.\) Отже, \(a = 11.\)

Відповідь: \(11.\)